MCMC ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﻫﺎي ﺑﺎ ﺗﺎﺑﻊ ﺧﻄﺮ ﺗﻮاﻧﻲ ﻣﻘﺎوﻣﺖ ﺑﺮاي -

دروآﺮﺑ ﺶﻨﺗ دﺎﻤﺘﻋا ﺖﻴﻠﺑﺎﻗ

- ﻊﻳزﻮﺗ ياﺮﺑ ﺖﻣوﺎﻘﻣ ﻲﻧاﻮﺗ ﺮﻄﺧ ﻊﺑﺎﺗ ﺎﺑ يﺎﻫ

شور زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ MCMC

شوﺮﺑآ ،

1ﺮﺒﻛا

؛ ﻲﺠﻨﮔ ، ﻣ

1دﻮﻌﺴ داﺪﻬﺑ ،ﻲﺋﺎﻔﻄﺼﻣ ؛

1

1

ﺮﺗﻮﻴﭙﻣﺎﻛ مﻮﻠﻋ و رﺎﻣآ هوﺮﮔ

، ﻲﻠﻴﺑدرا ﻖﻘﺤﻣ هﺎﮕﺸﻧاد ،

ﻞﻴﺑدرا

هﺪﻴﻜﭼ

ﺶﻨﺗ دﺎﻤﺘﻋا ﺖﻴﻠﺑﺎﻗ -

ﺖﻣوﺎﻘﻣ ﻋ رد يدﺮﺑرﺎﻛ ﻢﻴﻫﺎﻔﻣ زا ﻲﻜﻳ ناﻮﻨﻌﺑ ﻪﻛ ﺖﺳا ﻲﺳﺪﻨﻬﻣ مﻮﻠ

ﻢﺘﺴﻴﺳ ﻚﻳ دﺎﻤﺘﻋا ﺖﻴﻠﺑﺎﻗ ﻦﻴﻴﻌﺗ ياﺮﺑ ﻲﺼﺧﺎﺷ ﻲﻣ رﺎﻜﺑ

دور ﻊﺑﺎﺗ ،ﻪﻟﺎﻘﻣ ﻦﻳا رد .

ﺮﮔ ﺮﻈﻧ رد ﺎﻄﺧ مود ناﻮﺗ نﺎﻳز ياﺮﺑ يﺰﻴﺑ ﺮﮔدروآﺮﺑ ﻚﻳ و هﺪﺷ ﻪﺘﻓ

ﺶﻨﺗ دﺎﻤﺘﻋا ﺖﻴﻠﺑﺎﻗ -

ﺖﻣوﺎﻘﻣ ﻊﻳزﻮﺗ ياﺮﺑ ﻲﻣ ﻪﺋارا ﻲﻧاﻮﺗ ﺮﻄﺧ ﻊﺑﺎﺗ ﺎﺑ يﺎﻫ

ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ياﺮﺑ .دﻮﺷ ﻦﻳا ي

ا ﺮﮔدروآﺮﺑ ) ﻮﻟﺎﻛ ﺖﻧﻮﻣ فﻮﻛرﺎﻣ ﺮﻴﺠﻧز شور ز ﻲﻣ هدﺎﻔﺘﺳا (MCMC

.دﻮﺷ

،نﺎﻳﺎﭘ رد دﺮﻜﻠﻤﻋ ﻦﻳا دﺮﻜﻠﻤﻋ ﺎﺑ شور شور

يﺎﻫ ﺮﮕﻳد ﻪﻴﺒﺷ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ راﺰﻓا مﺮﻧ رد يزﺎﺳ

R

ﻲﻣ ﻪﺴﻳﺎﻘﻣ دﻮﺷ .

Estimation of Stress-Strength reliability for distributions with power hazard function using MCMC method

Abravesh, Akbar¹; Ganji, Masoud¹; Mostafaiy, Behdad¹

1 Department of Statistics and Computer sciences, University of Mohaghegh Ardabili, Ardabil

Abstract

Stress-Strength reliability is one of the applied concepts in engineering which applied as a scale to determine the reliability of a system. In this paper, squared error loss function is considered and a Bayes estimator of Stress- Strength reliability is obtained for distributions with power hazard function. Finally, the performance of this method is compared with the performance of other methods using simulation in software R.

ﻣ ﻪﻣﺪﻘ

ﻠﺑﺎﻗ ﻴ ﺖ ﺶﻨﺗ دﺎﻤﺘﻋا -

ﺖﻣوﺎﻘﻣ ﻳ ﻚ زرا ﻳ ﺑﺎ ﻲ ﻠﺑﺎﻗ زا ﻴ ﺖ دﺎـﻤﺘﻋا ـﻳ ﻚ

ﻣ ﺐﺴﺣ ﺮﺑ ﻪﻔﻟﺆﻣ ﻴ

"ناﺰ "ﺶﻨـﺗ ﻪـﻔﻟﺆﻣ ﻂـﺳﻮﺗ هﺪـﺷ ﻞـﻤﺤﺗ Y)

( و

"

ﺖﻣوﺎﻘﻣ

"

اﺮﺑ نآ ي ﺶﻨﺗ ﺮﺑ ﻪﺒﻠﻏ X)

( .ﺖﺳا زا ﺶﻨـﺗ راﺪـﻘﻣ هﺎﮔﺮﻫ

ﺪﻨﻛ زوﺎﺠﺗ ﺖﻣوﺎﻘﻣ راﺪﻘﻣ ،

ﻳ ﻨﻌ Y>Xﻲ ﻪـﻔﻟﺆﻣ ، ﻪـﺟاﻮﻣ ﻞﻜـﺸﻣ ﺎـﺑ

و هﺪﺷ ﻲﻣ رﺎﻛ زا ﺪﺘﻓا

اﺮﺑﺎﻨﺑ . ﻳ ﻦ

، ﻠﺑﺎﻗ ﻴ ﺖ مﺪﻋ لﺎﻤﺘﺣا ترﻮﺼﺑ دﺎﻤﺘﻋا

ﺑاﺮﺧ ﻲ P(X>Y) ،

ﺮﻌﺗ ، ﻳ ﻒ ﻲـﻣ [1] دﻮـﺷ . ا رد ـﻳ ﻦ ﺎﻘﻣ ﻪـﻟ ﻠﺑﺎﻗ ، ـﻴ ﺖ

ﺶﻨﺗ لﺪﻣ دﺎﻤﺘﻋا -

ﺑ ﺖﻣوﺎﻘﻣ Rﺎ

ـﻣ هداد نﺎﺸﻧ ﻲ

دﻮـﺷ . ا ـﻳ ﻦ عﻮـﺿﻮﻣ

يدﺎﻳز يﺎﻫدﺮﺑرﺎﻛ مﻮﻠﻋ رد

مﻮﻠﻋ ،ﻲﺳﺪﻨﻬﻣ ﻜﺷﺰﭘ

ﻲﻣﺎـﻈﻧ مﻮـﻠﻋ و ﻲ

دراد . يﺎﻫدﺮﺑرﺎﻛ زا ﺮﺘﻬﺑ كرد ياﺮﺑ ﻠﺑﺎﻗ

ﻴ ﺖ

ﺶﻨـﺗ دﺎـﻤﺘﻋا -

ﺖـﻣوﺎﻘﻣ

رد عﻮـﺿﻮﻣ ﻦـﻳا يﺎـﻫدﺮﺑرﺎﻛ زا ﻪﻧﻮﻤﻧ ﻚﻳ ﻪـﺋارا ﻚـﺷﻮﻣ ﺖﺧﺎـﺳ

ﻲﻣ دﻮﺷ . ضﺮﻓ ﻨﻛ ﻴ Yﺪ ﺑ راﺪﻘﻣ ﻴ ﺸ ﻴ ﻪﻨ ﻪﻈﻔﺤﻣ رﺎﺸﻓ ي

ﻚﺷﻮﻣ قاﺮﺘﺣا

قاﺮﺘﺣا ﻂﺳﻮﺗ ﻪﻛ ﺪﺷﺎﺑ ﻳ

ﻚ ﭘﻴ ناﺮﺸ ﻟﻮﺗ ﺪﻣﺎﺟ ﻴ ﺪ ﻣ ﻲ دﻮﺷ ﻢﻫ . ـﻨﭼ ﻴ ﻦ

،

ﻨﻛ ضﺮﻓ ﻴ Xﺪ ا ﺖﻣوﺎﻘﻣ ـﻳ ﻦ

اﺮﺑﺎـﻨﺑ .ﺪـﺷﺎﺑ ﻪـﻈﻔﺤﻣ ﻳ

ﻦ P(X>Y)،

ﻣ ﻲ ﺪﻧاﻮﺗ ناﻮﻨﻌﺑ ﻳ ﻚ اﺮﺑ لﺎﻤﺘﺣا ي

ﻠﺷ ﻴ ﻚ ﻘﻓﻮﻣ ﻴ ﺖ ﻣآ ﻴ ﺰ ـﻳ ﻚ ﻚـﺷﻮﻣ

دور رﺎﻜﺑ [2])

( .

ﻨﻛ ضﺮﻓ ﻴ Xﺪ Y و ﻐﺘﻣ ود ﻴ ﺮ ﻓدﺎﺼﺗ ﻲ اراد و ﻞﻘﺘﺴﻣ ي

زﻮﺗ ﻳ ﻊ ﻊﺑﺎﺗ ﺎﺑ

ﻧاﻮﺗ ﺮﻄﺧ ﻲ ﺗﺮﺗ ﻪﺑ ﻴ ﺐ ﺎﭘ ﺎـﺑ ﺎـﻫﺮﺘﻣار ي

( , ) 1

و

( , ) 2

.ﺪﻨـﺷﺎﺑ رد

ترﻮﺻ ﻦﻳا ﺗ

ﻮ ﻲﻟﺎﮕﭼ ﻊﺑا وX

ﺮﻳز ترﻮﺼﺑY ﺪﻨﺘﺴﻫ

:

1 1

( ) 1 exp( ), 0,

fX x x^  x^ x



    (1)

1 2

( ) 2 exp( ), 0.

fY y  y^  y^ y



    (2)

ا رد ﻳ ﻦ ترﻮﺻ ﺎﻗ ﻠﺑ ﻴ ﺖ ﺶﻨﺗ دﺎﻤﺘﻋا -

ﺎﺑ ﺖﺳا ﺮﺑاﺮﺑ ﺖﻣوﺎﻘﻣ

²

1 2

( ) .

R P X Y 

   

 (3)

ﻪﻛ ﺪﻴﻨﻛ ﻪﺟﻮﺗ نﻮﭼ

زﻮﺗ ﻳ ﻊ ﺎﻫ ي او ﻳ لﻮﺒ

، ر ﻳﻠ ﻲ ﺎﻤﻧ و ﻲﻳ ﺖﻟﺎﺣ ﺎﻫ ي

ﺻﺎﺧ ﻲ زﻮﺗ زا ﻳ ﻊ ﻧاﻮﺗ ﺮﻄﺧ ﻊﺑﺎﺗ ﺎﺑ ﻲ

ﺪﻨﺘﺴﻫ رد هﺪﻣآ ﺖﺳﺪﺑ ﺞﻳﺎﺘﻧ ،

ﻪﻟﺎﻘﻣ ﻦﻳا ﻠﻛ ﺖﻟﺎﺣ ﻚﻳ

و ﻪﺘﺷاد ﻲ ﻊﻳزﻮﺗ ﻦﻳا ياﺮﺑ

راﺮﻗﺮﺑ ﺰﻴﻧ ﺎﻫ

) ﺖﺳا ([3]

.

.دراﺪﻧ دﻮﺟو ﺎﻫﺮﺘﻣارﺎﭘ ﻊﻳزﻮﺗ درﻮﻣ رد ﻲﻓﺎﻛ تﺎﻋﻼﻃا ،ﻞﻤﻋ رد ﻲﮔﮋﻳو ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ ،ﻪﻟﺎﻘﻣ ﻦﻳا رد ،ﻦﻳاﺮﺑﺎﻨﺑ ﺰﻳﺮﻔﺟ ﻦﻴﺸﻴﭘ بﻮﺧ يﺎﻫ

ﻦﻳا زا [4]

ﻴﭘ ﻲﻫﺎﮔآﺎﻧ ﻦﻴﺸ ﻲﻣ هدﺎﻔﺘﺳا ﺶﺨﺑ

.دﻮﺷ ﻦﻴﺸﻴﭘ ﻦﻳا

زا ﻲﺘﺒﺴﻧ ترﻮﺼﺑ ﺮﺸﻴﻓ عﻼﻃا رﺬﺟ

ﻲﻣ ﻒﻳﺮﻌﺗ دﻮﺷ

. نﻮﭼ ياﺮﺑ

ﻲﻧاﻮﺗ ﺮﻄﺧ ﻊﺑﺎﺗ ﺎﺑ ﻊﻳزﻮﺗ ﺮﺸﻴﻓ عﻼﻃا

ﺮﺑاﺮﺑ

2 2

1 2

/ nm  

ﺖﺳﺪﺑ

ﻲﻣ .ﺪﻳآ ﺰﻳﺮﻔﺟ ﻦﻴﺸﻴﭘ اﺬﻟ

1 2

( ,  )

،

1 2

( , )

  J

، ﺎﺑ

1/ 1 2

ﺐﺳﺎﻨﺘﻣ

ﺖﺳا [3]) (.

ﺰﻴﺑ ﺮﮔدروآﺮﺑ R

ﻨﻛ ضﺮﻓ ﻴ ﺪ

x=(x1,x2,…,xn)

y=(y1,y2,…,ym) و ﻪﻧﻮﻤﻧ ود

ي

ﻓدﺎﺼﺗ ﻲ زﻮﺗ زا ﻞﻘﺘﺴﻣ ﻳ

ﻊ ﻧاﻮﺗ ﺮﻄﺧ ﻊﺑﺎﺗ ﺎﺑ ﻲ

ﺗﺮﺗ ﻪﺑ ﻴ ﺐ ﺎﻫﺮﺘﻣارﺎﭘ ﺎﺑ ي

( , ) 1

و

( , ) 2

ﺪﻨﺷﺎﺑ ز ﻊﺑﺎﺗ ﺮﮔا . ﻳ

نﺎ ﺮﻈﻧ رد ﺎﻄﺧ مود ناﻮﺗ

دﻮﺷ ﻪﺘﻓﺮﮔ ﺑ ﺮﮔدروآﺮﺑ ،

ﻴ ﺰ R ﺮﺑاﺮﺑ

( | , ) 0 ( | , )

E R x y 



^r r x y dr ⁽⁴⁾

نآ رد ﻪﻛ ﺖﺳا

( | , )r x y

ﻲﻟﺎﮕﭼ ﻊﺑﺎﺗ 

Rﻦﻴﺴﭘ .ﺖﺳا

MCMC شور ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ياﺮﺑ

R ي

لاﺮﮕﺘﻧا ) 4 ( اراد ي ﻪﺘﺴﺑ مﺮﻓ ا ي ﻧﻴ ﺖﺴ و ﻦﻳاﺮﺑﺎﻨﺑ ﻘﻣ راﺪ ﺮﻘﺗ ﻳ ـﺒ ﻲ

نآ ار شور ﻪﺑ ﻣ ﺖﺳﺪﺑMCMC

ﻲ آ ﻢـﻳرو . ﻦـﻳا زا هدﺎﻔﺘـﺳا ياﺮـﺑ

ﻦﻴﺴﭘ ﻊﻳزﻮﺗ ﺪﻳﺎﺑ اﺪﺘﺑا رد شور .ﻢﻳروآ ﺖﺳﺪﺑ ارR

زا هدﺎﻔﺘـﺳا ﺎـﺑ

ﺰﻳﺮﻔﺟ ﻦﻴﺸﻴﭘ ﻦﻴﺴﭘ ﻊﻳزﻮﺗ ،

1 2

( ,  )

ﻲﻣ ﺖﺳﺪﺑ ﺮﻳز ترﻮﺼﺑ ﺪﻳآ

:

1 2 1 1

/ /

1 1

1 2 1 2

( , | , ) e e .

n m i j i j

x y

n m

x y

  

 

    ^{ } ^  ^{ } ^

 (5)

ﻦﻳاﺮﺑﺎﻨﺑ

1 2

1 1

, | , ( , / ) ( , / ).

n m

i j

i j

x y Gamma n x ^ Gamma m y ^

   

 







(6)

ﺪﻴﻫد راﺮﻗ

2/ ( 1 2)

R   

و

W 2

ﻦﻴﺴﭘ ﻊﻳزﻮﺗ ﻦﻳاﺮﺑﺎﻨﺑ . R

ترﻮﺼﺑ

( , | , ) | | ( (1 1), | , )

r w x y J w w x y

   r (7)

نآ رد ﻪﻛ ﺖﺳا ﺎﺑ ﺖﺳا ﺮﺑاﺮﺑ و ﻻﺎﺑ ﻞﻳﺪﺒﺗ ﻲﺑﻮﻛاژ ﻖﻠﻄﻣ رﺪﻗ|J|

2

2

1 1

| | | det( ) | .

0 1

w w

J r r

r

  

 

   

 

) 8 (

ترﻮﺻ ﻦﻳا رد

0

1 1

1 1

( )

1 1

( | , ) ( , | , )

( )( ) ( )

=

( ) ( ) (1 )

, 0 r 1.

(1 )

n m

n m

i j

i j

m n

n m n m

i j

i j

r x y r w x y dw

n m x y

n m

r r

r x r y

 

 

 ^

 

 



 



 

 

   

 

 

 

 



 

 

) 9 (

هﺎﮔﺮﻫ r1

r2 ، ،...،

rk

ﻳ ﻚ ﻪﻧﻮﻤﻧ ي دﻮﮔرا ﻳ MCMCﻚ (r|x,y) زا

π

ﺪﺷﺎﺑ

، نآ رد ﻪﻛ هزاﺪﻧا ﻪﺑk

،ﺖﺳا گرﺰﺑ ﻲﻓﺎﻛ ي هﺎﮕﻧآ

ﺰﻴﺑ ﺮﮔدروآﺮﺑ

ز ترﻮﺼﺑR ﻳ

ﺮ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ ﻲ آﻳ ﺪ :

1

1 .

k i i

R r

k 





(10)

ﻪﻴﺒﺷ يزﺎﺳ

ا رد ﻳ ﻦ ﺶﺨﺑ ، دﺮﻜﻠﻤﻋ ﺑ ﺮﮔدروآﺮﺑ ﻴ

Rﺰ شور زا هﺪﻣآ ﺖﺳﺪﺑ

ﺮﮔدروآﺮﺑ ﺎﺑ MCMC يﺎﻫ

ﺳﻼﻛ ﻴ ﻚ زا هﺪﻣآ ﺖﺳﺪﺑ ﺮﮕﻳد و [5]

شور رد هﺪﺷ نﺎﻴﺑ يﺰﻴﺑ يﺎﻫ ﺒﺷ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ[3]

ﻴ ﻪ زﺎﺳ ي ﻪﺴﻳﺎﻘﻣ

ﻲﻣ ﺪﻧﻮﺷ ﻣ . ﻴ ﮕﻧﺎ ﻴ ﻦ ﺎﻄﺧ مود ناﻮﺗ ي

ﺎﻫﺮﮔدروآﺮﺑ ﻦﻳا ﻪﺑ

ازا ي (n,m)

ﺎﻫ ي ﻒﻠﺘﺨﻣ ﺒﺷ سﺎﺳا ﺮﺑ ﻴ

ﻪ زﺎﺳ ي ﺎﺑ 1000 ﺎﻘﻣ ﻢﻫ ﺎﺑ راﺮﻜﺗ ﻳ

ﻪﺴ

ﻣ ﻲ ﺪﻧﻮﺷ ﻢﻫ . ﻨﭼ ﻴ ﻦ

، راﺮﻜﺗ ﺮﻫ رد ﻳ

ﻚ ﻧ ﻪﻧﻮﻤ MCMC ي ﻢﺠﺣ ﻪﺑ

5000 ﻟﻮﺗ ﻴ ﺪ ﻣ ﻲ دﻮﺷ . ﻣ ﻴ ﮕﻧﺎ ﻴ ﻦ ﺎﻄﺧ مود ناﻮﺗ ي

ﻦﻳا رد ﺎﻫﺮﮔدروآﺮﺑ

ﻞﻜﺷ 1 ﻞﻜﺷ ﺎﺗ 4 .ﺖﺳا هﺪﺷ ﻢﺳر

ﻣﺎﮕﻨﻫ ﻲ ﻢﺠﺣ ﻪﻛ ﺎﭘ ﻪﻧﻮﻤﻧ

ﻴﻳ ﻦ ﺪﺷﺎﺑ ﻞﻜﺷ ، 1 ﻣ نﺎﺸﻧ ﻲ ﺪﻫد ﻪﻛ

ﻞﻜﺷ ﻣ ﻴ ﮕﻧﺎ ﻴ ﻦ ﺎﻄﺧ مود ناﻮﺗ

اﺮﺑ ي MCMC شور

هدﻮﺑ بﺪﺤﻣ

ﻪﺑ و ازا R ي ﺎﻫ ي دﺰﻧ ﻳ ﻚ ﻪﺑ 0.5 ﺮﺘﻜﭼﻮﻛ ﻳ ﻦ دﺎﻘﻣ ﻳ ﺮ .دراد ار يﺎﻄﺧ

هﺪﺷ ﻪﺋارا ﺮﮔدروآﺮﺑ ﻪﺑ

ازا ي <R<0.9 0.4 ﺮﮔدروآﺮﺑ زا ﺮﺘﻤﻛ ﺎﻫ

ي

ﺳﻼﻛ ﻴ ﻚ ﺮﻇﺎﻨﺘﻣ .ﺖﺳا اﺰﻓا ﺎﺑ ﻳ ﺶ ﻤﻧ ﻢﺠﺣ ﻪﻧﻮ ﺎﻫ

، ﺎﻫﺮﮔدروآﺮﺑ يﺎﻄﺧ

ﻨﻌﻣ رﻮﻃ ﻪﺑ ﻲ

راد ي ﻣ ﺶﻫﺎﻛ ﻲ ﻳ ﺑﺎ ﻨ ﺪ . ﻪﻧﻮﻤﻧ ﻢﺠﺣ ياﺮﺑ ﻻﺎﺑ يﺎﻫ

،

يﺎﻄﺧ ﺮﮔدروآﺮﺑ هﺪﺷ ﻪﺋارا

اﺮﺑ R>0.5 ي د زا ﺮﺘﻜﭼﻮﻛ

ﻳ ﺮﮕ

ﻠﻛ ﺖﻟﺎﺣ رد .ﺖﺳا ﺎﻫﺮﮔدروآﺮﺑ ﻲ

، ﻞﻜﺷ ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ 1

شور

ﺖﺤﺗ MCMC ﭘﻴ

ﺸ ﻴ ﻦ ﻫﺎﮔآﺎﻧ ﻲ ﺶﺨﺑ ﺮﻔﺟ ﻳ ﺰ اراد ي دﺮﻜﻠﻤﻋ

ﺒﺳﺎﻨﻣ ﻲ ﺖﺳا .

ياﺮﺑR يﺎﻫﺮﮔدروآﺮﺑ ياﺮﺑﺎﻄﺧ مود ناﻮﺗﻦﻴﮕﻧﺎﻴﻣ :1ﻞﻜﺷ n=m=5

ﻞﻜﺷ 2 : ﻣ ﻴ ﮕﻧﺎ ﻴ ﻦ ﺎﻄﺧ مود ناﻮﺗ ﺮﮔدروآﺮﺑ ياﺮﺑ

R يﺎﻫ

ﻞﻜﺷ 3 : ﻣ ﻴ ﮕﻧﺎ ﻴ ﻦ ﺎﻄﺧ مود ناﻮﺗ ﺮﮔدروآﺮﺑ ياﺮﺑ

R يﺎﻫ ياﺮﺑ n=5,m=20

ﻞﻜﺷ 4 : ﻣ ﻴ ﮕﻧﺎ ﻴ ﻦ ﺎﻄﺧ مود ناﻮﺗ ﺮﮔدروآﺮﺑ ياﺮﺑ

R يﺎﻫ ياﺮﺑ n=m=20

ﻊﺟﺮﻣ

ﺎﻫ

[1]S. , Kotz , S . Lumelskii , and M . Pensky , . " The stress-strength model and its generalizations . Theory and Applications" . ( 2003 ) Singapore : World Scientific .

[2] Johnson, R. A. 3 Stress-strength models for reliability. Handbook of statistics, (1988) 7, 27-54.

[3]A., Abravesh, M. Ganji, and B, Mostafaiy, "Estimation of Reliability P(X > Y) for Distributions with Power Hazard Function Based on Upper Record Values". Mathematical population studies. (2018) accepted paper

[4]H, Jeffreys, "An invariant form for the prior probability in estimation problems". Proceedings of the royal society of London. Series A, mathematical and physical sciences, ( 1946 ) 453 - 461 .

[5]Mugdadi, A. R. "The least squares type estimation of the parameters in the power hazard function." Applied mathematics and computation. ( 2005 ) 169(2) , 737 - 748 .