ﺗﻤﺮﯾﻨﺎت ﺳﺮی اول: ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻫﺎ و اﻋﺪاد ﻣﺨﺘﻠﻂ

ﯽﺳﻮﻃ ﻦﯾﺪﻟاﺮﯿﺼﻧ ﻪﺟاﻮﺧ ﯽﺘﻌﻨﺻ هﺎﮕﺸﻧاد اﺪﺧ مﺎﻧ ﻪﺑ

ﻂﻠﺘﺨﻣ داﺪﻋا و ﺎﻫ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ :لوا یﺮﺳ تﺎﻨﯾﺮﻤﺗ ١ ﯽﻣﻮﻤﻋ ﯽﺿﺎﯾر

.ﺖﺴﯿﻧ ﺎﯾﻮﮔ√ ۳+√^۳

۲ﺪﯿﻫد نﺎﺸﻧ .١ :ﻢﯿﻨﮐ ﯽﻣ ﻒﯾﺮﻌﺗ ﺮﯾز ترﻮﺼﺑ ارA+B ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ .ﺪﻨﺷﺎﺑRⁿﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﺮﯾز ودB وAﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .٢

A+B ={a+b |a∈A , b∈B}

ﺮﺑاﺮﺑ نآ یﻻﺎﺑ ناﺮﮐ ﻦﯾﺮﺘﮑﭼﻮﮐ و ﺖﺳا راﺪﻧاﺮﮐ ﻻﺎﺑ زا ﺰﯿﻧA+B ،ﺪﻨﺷﺎﺑ راﺪﻧاﺮﮐ ﻻﺎﺑ زا B وA ﺮﮔا ﺪﯿﻨﮐ ﺖﺑﺎﺛ .ﺖﺳاB وAیﻻﺎﺑ یﺎﻫ ناﺮﮐ ﻦﯾﺮﺘﮑﭼﻮﮐ عﻮﻤﺠﻣ

یﺮﺒﺟ ﻪﻟدﺎﻌﻣ .٣ xⁿ+p۱x^n−۱+p۲x^n−۲+. . .+p_n=۰

.ﺪﯿﻫد ﺦﺳﺎﭘ ﺮﯾز دراﻮﻣ ﻪﺑ .ﺪﯾﺮﯿﮕﺑ ﺮﻈﻧ رد ،ﺪﻨﺘﺴﻫ ﯽﺤﯿﺤﺻ داﺪﻋا ﺎﻫp_i نآ رد ﻪﮐ ار .ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ﺢﯿﺤﺻﺎﻧ یﺎﯾﻮﮔ ﻪﺸﯾر ﺪﻧاﻮﺗ ﯽﻤﻧ ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻦﯾا ﺪﯿﻫد نﺎﺸﻧ (ﻒﻟا)

،p_n=۱ﺮﮔا ﺪﯿﻫد نﺎﺸﻧ (ب) ۱+p۱+p۲+. . .̸=۰

و ۱−p۱+p۲−p۳+. . .̸=۰,

.ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ﺎﯾﻮﮔ ﻪﺸﯾر ﺪﻧاﻮﺗ ﯽﻤﻧ ﻪﻟدﺎﻌﻣ هﺎﮕﻧآ .ﺖﺴﯿﻧ ﺎﯾﻮﮔ√

۷ﺪﯿﻫد نﺎﺸﻧ (ﻒﻟا) ﺖﻤﺴﻗ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ (ج) ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻪﺸﯾر ﮏﯾwﺮﮔا ﺪﯿﻨﮐ ﺖﺑﺎﺛ .۴ a_۰zⁿ+a_۱z^n−۱+. . .+a_n =۰

.ﺖﺳا ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻦﯾا زا یا ﻪﺸﯾر ﺰﯿﻧw¯هﺎﮕﻧآ ،ﺪﺷﺎﺑa_i ∈Rﺎﺑ .ﺪﯿﻨﮐ ﺖﺑﺎﺛz۲وz۱ ﻂﻠﺘﺨﻣ دﺪﻋ ود یاﺮﺑ ار ﺮﯾز یﺮﺑاﺮﺑﺎﻧ .۵

||z_۱| − |z_۲|| ≤ |z_۱±z_۲| ≤ |z_۱|+|z_۲|.

.ﺪﯿﻨﮐ ﺺﺨﺸﻣ ،هﺪﺷ ﻒﯿﺻﻮﺗ ﺮﯾز تﻻدﺎﻌﻣﺎﻧ ﺎﺑ ﻪﮐ ار ﻪﺤﻔﺻ زا یا ﻪﯿﺣﺎﻧ .۶

|z|^۲−۳|z|+۲<۰(د) π≤arg(z)≤ ۷π

۴ (ج) |z−۳+۴i| ≤۵(ب) |z−۲i| ≤۳(ﻒﻟا) .|z−۱| ≤۲|z+۱|(ه)

١

.ﺪﯿﺴﯾﻮﻨﺑ ﯽﻓرﺎﻌﺘﻣ ترﻮﺼﺑ ار ﺮﯾز ﻂﻠﺘﺨﻣ داﺪﻋا .٧

(λ+iµ

λ−iµ)^۳−(λ−iµ

λ+iµ)^۳ (ج) (۱+i√ ۳

۱−i )^۴۰ (ب) (۲¯z+۵)(√ ۲−i)

۲z+۵ (ﻒﻟا)

و ﺪﻨﻨﮐ ﯽﻣ قﺪﺻ |z −c| = R ﻪﻄﺑار ردcﺰﮐﺮﻣ و R عﺎﻌﺷ ﻪﺑ هﺮﯾاد یورz طﺎﻘﻧ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ﺪﯿﻫد نﺎﺸﻧ (ﻒﻟا) .٨ .ﺲﮑﻋﺮﺑ

هﺮﯾاد ﯽﺒﻄﻗ تﺎﺼﺘﺨﻣ هﺎﮕﻧآ ،ﺪﺷﺎﺑ R ﺮﺑاﺮﺑ هﺮﯾاد عﺎﻌﺷ و (r_۰, θ_۰) یا هﺮﯾاد ﺰﮐﺮﻣ ﯽﺒﻄﻗ تﺎﺼﺘﺨﻣ ﺮﮔا (ب) .ﺖﺳا ﺮﯾز ترﻮﺼﺑ ضوﺮﻔﻣ r^۲−۲rr۰cos(θ−θ۰) +r^۲_۰−R^۲=۰.

ﻪﺑ ﻂﻠﺘﺨﻣ ﻪﺤﻔﺻ رد ار z_۴ =dو z_۳ = cطﺎﻘﻧ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ وz_۲ = bو z_۱ = aطﺎﻘﻧ ﻪﮐ ﯽﻄﺧ ود ﺪﯿﻫد نﺎﺸﻧ .٩ ﺮﮔا ﺎﻬﻨﺗ و ﺮﮔا ﺪﻧدﻮﻤﻋ ﻢﻫ ﺮﺑ ﺪﻨﻨﮐ ﯽﻣ ﻞﺼﺘﻣ ﺮﮕﯾﺪﮑﯾ

arg(a−b

c−d) =±π ۲.

سﻮﺋر ﺎﻫz_kﺪﯿﻫد نﺎﺸﻧ ،|z۱| =|z۲| =|z۳| ̸= ۰ﻪﮑﯾرﻮﻄﺑ ﺪﻨﺷﺎﺑ ﺰﯾﺎﻤﺘﻣ ﻂﻠﺘﺨﻣ دﺪﻋ ﻪﺳz۳ وz۲ ،z۱ ﺮﮔا .١٠ .z۱+z۲+z۳ =۰ﺮﮔا ﺎﻬﻨﺗ و ﺮﮔا ﺪﻨﺘﺴﻫ عﻼﺿﻻا یزاﻮﺘﻣ ﺚﻠﺜﻣ ﮏﯾ

.ﺪﯿﻨﮐ ﻞﺣ ار ﺮﯾز تﻻدﺎﻌﻣ .١١

z^۶+۳z^۳+۱=۰(ب) z^۳−۳z^۲+۶z−۸ =۰(ﻒﻟا)

.zⁿ+z^n−۱+. . .+z+۱=۰(د) z^۴−۴iz^۳−۶z^۲+۴iz+۱ =۰(ج) :ﺪﯿﻨﮐ ﺖﺑﺎﺛ .ﺖﺳا ﻂﻠﺘﺨﻣ دﺪﻋ ودz_۲ وz_۱ ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .١٢

|z۱+z۲|^۲ =|z۱|^۲+|z۲|^۲+۲Re(z۱z¯۲)

هﺎﮕﻧآ ،ﺪﺷﺎﺑz_۲وz_۱ ﻪﺑ۰زا لﺎﺻاو یﺎﻫ ﻂﺧ ﻢﯿﻧ نﺎﯿﻣ ﻪﯾوازθ وz_۱, z_۲̸=۰ﺮﮔا ﻪﮐ ﺪﯾﺮﯿﮕﺑ ﻪﺠﯿﺘﻧ و

cosθ= Re(z۱z¯۲)

|z_۱||z_۲| .

n−۱

∑

i=۰

w_i =۰.هﺎﮕﻧآ ،ﺪﻨﺷﺎﺑwⁿ=۱ﻪﻟدﺎﻌﻣ یﺎﻫ ﻪﺸﯾر ﺎﻫw_i ﺮﮔا ﺪﯿﻫد نﺎﺸﻧ .١٣ .ﺪﯿﻨﮐ ﺖﺑﺎﺛ ار ﺮﯾز یوﺎﺴﺗ .١۴ ۱+ cos(θ) + cos(۲θ) +. . .+ cos(nθ) = ۱

۲ +sin(^۲n+۱_۲ θ) ۲sin(_۲^θ) .ﺪﯿﺷﺎﺑ ﻖﻓﻮﻣ

٢