ﺧﻼﺻﻪ ی ﻫﻔﺘﻪ ﻫﺸﺘﻢ ١ ﯾ ﻓﺮﻣﻮل ﺟﺒﺮی ﺑﺮای دﺗﺮﻣﯿﻨﺎن

٩٧ لﺎﺳ ‐ ﺰﯿﯾﺎﭘ مﺮﺗ ‐ (ﻊﯾﺎﻨﺻ ﺳﺪﻨﻬﻣ ﻪﺘﺷر نﺎﯾﻮﺠﺸﻧاد یاﺮﺑ) ﻄﺧ ﺮﺒﺟ ﺳﻮﻃ ﻦﯾﺪﻟاﺮﯿﺼﻧ ﻪﺟاﻮﺧ ﺘﻌﻨﺻ هﺎ ﺸﻧاد ( ﺿﺎﯾر هﺪ ﺸﻧاد) یﺮﻫﻮﺟ ﻦﯿﺴﺣ :ﻂﺳﻮﺗ ﺲﯾرﺪﺗ (ﮓﻧﺮﺘﺳا تﺮﺒﻠﯿﮔ) نآ یﺎﻫدﺮﺑرﺎﮐ و ﻄﺧ ﺮﺒﺟ :ﻊﺟﺮﻣ بﺎﺘﮐ

ﻢﺘﺸﻫ ﻪﺘﻔﻫ ی ﻪﺻﻼﺧ

نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد یاﺮﺑ یﺮﺒﺟ لﻮﻣﺮﻓ ﯾ ١

ﻒﯾﺮﻌﺗ یاﺮﺑ لوا ﺖﯿﺻﺎﺧ ﻪﺳ ﻊﻗاو رد .ﻢﯾدﺮﮐ ﻒﯿﺻﻮﺗ ﺖﯿﺻﺎﺧ یﺮﺳ ﯾ زا دﺎﻔﺘﺳا ﺮﺑ ار نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻞﺒﻗ سرد رد .دﻮﺑ ﻓﺎﮐ و مزﻻ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد det I = 1ﺮ ﯾد ترﺎﺒﻋ ﻪﺑ .ﺖﺳا ﯾ ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑI ﻧﺎﻤﻫ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد . ١ .دﻮﺷ ﻣ ضﻮﻋ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﺖﻣﻼﻋ ﻢﯿﻨﮐ ضﻮﻋ ار ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﺮﻄﺳ ود یﺎﺟ ﺮﮔا . ٢ .ﺖﺳا ﻄﺧ (نﻮﺘﺳ و ﺮﻄﺳ ﺮﻫ ﻊﻗاو رد) لوا ﺮﻄﺳ ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد . ٣

a+a^′ b+b^′ c+c^′

d e f

g h i

=

a b c d e f g h i +

a^′ b^′ c^′ d e f g h i

یرﻮﺌﺗ ظﺎﺤﻟ زا ﺮﺘﺸﯿﺑ ﻪﮐ ﻢﯿﻫد ﻣ ﻪﺋاراdet Aیاﺮﺑ ﻢﯿﻘﺘﺴﻣ یﺮﺒﺟ لﻮﻣﺮﻓ ﯾ ،ﺖﯿﺻﺎﺧ ﻪﺳ ﻦﯾا زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﻞ ﺷ ﻦﯾﺪﺑ ار نآ مﻮﺳ ﺖﯿﺻﺎﺧ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﻢﯿﻧاﻮﺗ ﻣ .ﻢﯿﻨﮐ عوﺮﺷ ود رد ود ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﺎﺑ ﺪﯾراﺬ ﺑ .ﺖﺳا ﺖﯿﻤﻫا ﺰﯾﺎﺣ

.ﺪﻧﻮﺷ ﻣ فﺬﺣ ﺪﻨﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ﺮﻔﺻ نﻮﺘﺳ ﻪﮐ ﯽﯾﺎﻬﻣﺮﺗ .ﻢﯿﻫد ﻂﺴﺑ a b

c d =

a 0 c d

+ 0 b

c d =

a 0 c 0

+ a 0

0 d +

0 b c 0

+ 0 b

0 d =

a 0 0 d

+ 0 b

c 0 ﺖﺳﺪﺑ ﺪﻧراد ﺮﻔﺻ نﻮﺘﺳ ﻪﮐ ﯽﯾﺎﻬﻣﺮﺗ فﺬﺣ زا ﺪﻌﺑ ،3ﺪﻌﺑ یاﺮﺑ .داد ﻢﯿﻤﻌﺗ ﺮﺗﻻﺎﺑ یﺎﻫﺪﻌﺑ ﻪﺑ ار هﺪﯾا ﻦﯿﻤﻫ ناﻮﺗ ﻣ

:ﺪﯾآ ﻣ

a11 a12 a13

a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃ =

a11 0 0 0 a₂₂ 0 0 0 a₃₃

+

a11 0 0 0 0 a₂₃ 0 a₃₂ 0

+

0 a₁₂ 0 a21 0 0 0 0 a₃₃

+

0 a₁₂ 0 0 0 a23

a₃₁ 0 0 +

0 0 a₁₃ a21 0 0

0 a₃₂ 0 +

0 0 a₁₃ 0 a22 0 a₃₁ 0 0

.ﺪﻨﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ﺪﻨﻧاﻮﺗ ﻣ ﺮﻔﺻﺮﯿﻏ ﺮﺼﻨﻋ ﯾ ﺎﻬﻨﺗ نﻮﺘﺳ و ﺮﻄﺳ ﺮﻫ رد ﺪﻨﻧﺎﻣ ﻣ ﻗﺎﺑ ﻪﮐ ﯽﯾﺎﻬﺴﯾﺮﺗﺎﻣ ﺪﯿﻨﮐ ﻣ ﻪﻈﺣﻼﻣ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ،زﺎﯿﻧ درﻮﻣ یﺎﻬﯿﯾﺎﺠﺑﺎﺟ داﺪﻌﺗ ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑ .ﻢﯿﻨﮐ یﺮﻄﻗ ار ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﺎﻫﺮﻄﺳ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﺎﺑ ﻢﯿﻧاﻮﺗ ﻣ ،ﻦﯾا زا ﻪﺘﺷﺬﮔ

.ﺖﺳا ﻪﻃﻮﺑﺮﻣ ﺖﺸ ﯾﺎﺟ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﺖﻣﻼﻋ ﻊﻗاو رد ﻦﯾا .دﻮﺷ ﻣ−1ﺎﯾ+1رد بﺮﺿ

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

= (+1)a11a22a33+ (−1)a11a23a32+ ١

(−1)a₁₂a₂₁a₃₃+ (+1)a₁₂a₂₃a₃₁+ (+1)a₁₃a₂₁a₃₂+ (−1)a₁₃a₂₂a₃₁

.ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ ﻢﯿﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ﻢﯿﻧاﻮﺗ ﻣ ﺖﺸ ﯾﺎﺟn!عﻮﻤﺠﻣ رد نﻮﭼn×nﺖﻟﺎﺣ یاﺮﺑ

det A=∑

n!

sign(α₁, α₂, . . . , α_n)×(a_1α1a_2α2. . . a_nαn)

مزﻻ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ داﺪﻌﺗ ﺮﮔا ﺖﺳا+1ﺖﺸ ﯾﺎﺟ ﺖﻣﻼﻋ .ﺖﺳا1,2, . . . , nزا ﺘﺸ ﯾﺎﺟα1, α2, . . . , αnﺎﺠﻨﯾا .ﺖﺳا−1ﺖﺸ ﯾﺎﺟ ﺖﻣﻼﻋ ترﻮﺼﻨﯾا ﺮﯿﻏ رد ﺪﺷﺎﺑ جوز یدﺪﻋ ﻧﺎﻤﻫ ﺖﺸ ﯾﺎﺟ ﻪﺑ ﻞﯾﺪﺒﺗ یاﺮﺑ

:لﺎﺜﻣ sign(1,3,2,4,5,7,6) = +1

sign(7,6,5,4,3,2,1) =−1

:لﺎﺜﻣ

0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 =

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 +

0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0

= (−1) + (+1) = 0

.ﺪﻨﺘﺴﯿﻧ ﻄﺧ ﻞﻘﺘﺴﻣ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ یﺎﻫﺮﻄﺳ نﻮﭼ ﺪﺷ ﺮﻔﺻ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻢﯿﺘﺷاد ار شرﺎﻈﺘﻧا ﻪﮐ رﻮﻄﻧﺎﻤﻫ ﻻﺎﺑ لﺎﺜﻣ رد

زﺎﺴﻤﻫ و دﺎﻬﮐ ١ . ١

ﺖﺳﺪﺑ ،ﻢﯾﺮﯿ ﺑ رﻮﺘﮐﺎﻓa₁₃وa₁₂وa₁₁ ﻨﻌﯾ لوا ﺮﻄﺳ یﺎﻫ ﻪﯾارد زا ﺮﮔا3×3ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ لﻮﻣﺮﻓ رد :ﺪﯾآ ﻣ

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

=a₁₁(a₂₂a₃₃−a₂₃a₃₂) +a₁₂(a₂₃a₃₁−a₂₁a₃₃) +a₁₃(a₂₁a₃₂−a₂₂a₃₁)

=a₁₁

a₂₂ a₂₃ a32 a33

−a₁₂

a₂₁ a₂₃ a31 a33

+a₁₃

a₂₁ a₂₂ a31 a33

.دﻮﺷ ﻣ ﻞﺻﺎﺣ لوا نﻮﺘﺳ و ﺮﻄﺳ فﺬﺣ زا ﻪﮐ ﺖﺳا ﯽﯾ2رد2ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻊﻗاو رد ﺰﺘﻧاﺮﭘ ﻦﯿﻟوا نورد ترﺎﺒﻋ ﻞﺻﺎﺣ ﻪﻃﻮﺑﺮﻣ نﻮﺘﺳ و ﺮﻄﺳ فﺬﺣ زا ﻪﮐ ﺖﺳا ﺴﯾﺮﺗﺎﻣ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ ﺎﻫﺰﺘﻧاﺮﭘ ﺮ ﯾد نورد تارﺎﺒﻋ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻦﯿﻤﻫ ﻪﺑ .ﺖﺳا هﺪﺷ سﻮﮑﻌﻣ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﺖﻣﻼﻋ ،مود ﺰﺘﻧاﺮﭘ درﻮﻣ رد ﻪﺘﺒﻟا .دﻮﺷ ﻣ و ماi ﺮﻄﺳ فﺬﺣ زا ﻪﮐ ﺖﺳا ﺴﯾﺮﺗﺎﻣ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ دﻮﺷ ﻣ هداد نﺎﺸﻧM_ij ﺎﺑ ﻪﮐa_ij ﻪﯾارد دﺎﻬﮐ :ﻒﯾﺮﻌﺗ

.دﻮﺷ ﻣ ﻞﺻﺎﺣAﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ماjنﻮﺘﺳ Cij = (−1)^i+jMij ﺎﺑ ﺖﺳا ﺮﺑاﺮﺑaij ﻪﯾارد زﺎﺴﻤﻫ:ﻒﯾﺮﻌﺗ

ﻢﯾراد ﻻﺎﺑ تاﺪﻫﺎﺸﻣ ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ det A=a₁₁C₁₁+a₁₂C₁₂+. . .+a_1nC_1n

٢

نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ٢

n! ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ﻪﺑ زﺎﯿﻧ ﻠﮐ ﺖﻟﺎﺣ رد) دراﺪﻧ ﻠﻤﻋ ﻪﺒﻨﺟ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ یاﺮﺑ ﺖﺸ ﯾﺎﺟ لﻮﻣﺮﻓ ﻪﮐ ﻢﯾﻮﺷ ﻣ روآدﺎﯾ .ﻢﯾروآ ﻣ رد ﺜﻠﺜﻣﻻﺎﺑ ﻞ ﺷ ﻪﺑ یﺮﻄﺳ تﺎﯿﻠﻤﻋ ﺎﺑ ار ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ،نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻊﯾﺮﺳ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ یاﺮﺑ .(دراد بﺮﻀﻠﺻﺎﺣ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ داﺪﻌﺗ ﻪﺑ ﮕﺘﺴﺑ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﺖﻣﻼﻋ ﻪﺘﺒﻟا) دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ ﻠﺻا ﺮﻄﻗ یﺎﻫ ﻪﯾارد بﺮﻀﻠﺻﺎﺣ ﻪﮐ دراد دﻮﺟوP ﺖﺸ ﯾﺎﺟ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ،ﺪﺷﺎﺑ دﺮﻔﻨﻣﺎﻧAﺮﮔا .(دراد ﺎﻫﺮﻄﺳ

P A=LU

ﺲﭘ A=P⁻¹LU

det(A) =det(P⁻¹)det(L)det(U)

ﺲﭘ .det(L) = 1ﺖﺳا ﯾ ﻪﻤﻫ شا ﻠﺻا ﺮﻄﻗ یﺎﻫ ﻪﯾارد و ﺖﺳا ﺜﻠﺜﻣ ﻦﯿﯾﺎﭘLنﻮﭼ det(A) =det(P⁻¹)det(U)

:لﺎﺜﻣ

1 4 −1 3 0 0 5 8 0 3 1 1 0 0 0 7 =?

ﺲﭘ .دﻮﺷ ﻣ ﻞﯾﺪﺒﺗ ﺜﻠﺜﻣﻻﺎﺑ ﻪﺑ یﺮﻄﺳ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﯾ ﺎﺑ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ

1 4 −1 3 0 0 5 8 0 3 1 1 0 0 0 7 =−

1 4 −1 3 0 3 1 1 0 0 5 8 0 0 0 7

=−(1×3×5×7)

نوراو ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ و نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻪﻄﺑار ٣

.ﺖﺳاa_ij ﻪﯾارد زﺎﺴﻤﻫ نﺎﻤﻫCﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ماij ﻪﯾارد .ﻢﯿﻫد ﻣ نﺎﺸﻧCﺎﺑ ارAزﺎﺴﻤﻫ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ:ﻒﯾﺮﻌﺗ

C =







C₁₁ C₁₂ . . . C_1n C₂₁ C₂₂ . . . C_2n

... ...

C_n1 C_n2 . . . C_nn







هﺎﮕﻧآ ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد دﻮﺟوA⁻¹ ﺮﮔا:ﻪﯿﻀﻗ

A⁻¹ = 1 det(A)C^T

:لﺎﺜﻣ [a b

c d ]₋1

= 1

ad−bc

[ d −b

−c a ]

٣

ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ .ﻢﯿﻨﮐ ﻣ بﺮﺿAرد ار ﻦﯿﻓﺮﻃ:تﺎﺒﺛا

AC^T =det(A)I

ﺮ ﯾد ترﺎﺒﻋ ﻪﺑ







a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n

... ...

a_n1 a_n2 . . . a_nn













C₁₁ C₂₁ . . . C_n1 C₁₂ C₂₂ . . . C_n2

... ...

C_1n C_2n . . . C_nn





=









det(A)

det(A)

0

0

...

det(A)









.ﺖﺳاAنﺎﻨﯿﻣﺮﺗد نﺎﻤﻫ ﻊﻗاو ردC^T لوا نﻮﺘﺳ ردAلوا ﺮﻄﺳ ﻠﺧاد بﺮﺿ

[a₁₁ a₁₂ . . . a_1n]





 C₁₁ C₁₂ ...

C_1n





=a₁₁C₁₁+a₁₂C₁₂+. . .+a_1nC_1n=det(A)

.بﻮﺧ رﺎﯿﺴﺑ .ﺪﻨﺷﺎﺑdet(A)ﻪﻤﻫ ﺪﯾﺎﺑ ﭗﭼ ﺖﻤﺳ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﻠﺻا ﺮﻄﻗ یﺎﻫ ﻪﯾارد ﻪﮐ داد نﺎﺸﻧ ناﻮﺗ ﻣ ﺐﯿﺗﺮﺗ ﻦﯿﻤﻫ ﻪﺑ ﺮﺑاﺮﺑ ﻪﯾارد ﻦﯾا .ﺪﯾﺮﯿ ﺑ ﺮﻈﻧ رد ار ﭗﭼ ﺖﻤﺳ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ مود نﻮﺘﺳ و لوا ﺮﻄﺳ ی ﻪﯾارد ؟ﺪﻨﺘﺴﻫ ﺮﻔﺻ ﺮ ﯾد یﺎﻫ ﻪﯾارد اﺮﭼ .C^T مود نﻮﺘﺳ ردAلوا ﺮﻄﺳ ﻠﺧاد بﺮﺿ ﺎﺑ ﺖﺳا

[a₁₁ a₁₂ . . . a_1n]





 C21

C₂₂ ...

C_2n





=a₁₁C₂₁+a₁₂C₂₂+. . .+a_1nC_2n

.ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ مود ﺮﻄﺳ ردAلوا ﺮﻄﺳ ندﺮﮐ ﯽﭙﮐ زا ﻪﮐ ﺖﺳا ﺴﯾﺮﺗﺎﻣ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻊﻗاو رد ﻦﯾا

0 =

a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₁₁ a₁₂ . . . a_1n

... ...

a_n1 a_n2 . . . a_nn

=a₁₁C₂₁+a₁₂C₂₂+. . .+a_1nC_2n

ﻪﮐ ﺴﯾﺮﺗﺎﻣ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻢﯿﻧاد ﻣ .ﻢﯾا هدﺮﮐ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ مود ﺮﻄﺳ یﺎﻫزﺎﺴﻤﻫ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ار نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻻﺎﺑ رد ﺪﯿﻨﮐ ﺖﻗد .ﻢﯾدﻮﺑ ﺶﻟﺎﺒﻧد ﻪﮐ یﺰﯿﭼ ﺎﻘﯿﻗد .ﺖﺳا ﺮﻔﺻ دراد یراﺮﮑﺗ یﺮﻄﺳ :ﻢﯾراد ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻦﯾا ﺎﺑ .دﻮﺷ ﻣ هداد نﺎﺸﻧadj(A)دﺎﻤﻧ ﺎﺑ ﻪﮐ دﻮﺷ ﻣ ﻪﺘﻔﮔA ﻗﺎﺤﻟا ﺲﯾﺮﺗﺎﻣC^T ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﻪﺑ

adj(A) = det(A)A⁻¹

ﺮﻣاﺮﮐ هﺪﻋﺎﻗ ۴

.ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑAx =bهﺎﮕﺘﺳد ﻞﺣ یاﺮﺑ لﻮﻣﺮﻓ ﯾ ﻪﻄﺑار ﻦﯾا زا .A⁻¹ = _det(A)¹ C^T ﻪﮐ ﻢﯾداد نﺎﺸﻧ ﻞﺒﻗ سرد رد

x= 1

det(A)C^Tb ۴

دﻮﺷ ﻣ ﻠﺧاد بﺮﺿbرادﺮﺑ ردC^T لوا ﺮﻄﺳ ،ﻢﯿﻨﮐ ﻒﯿﺻﻮﺗ ﻪﻄﺑار ﻦﯾا ﺎﺑ ارx₁ ﻨﻌﯾxلوا ﻪﻔﻟﻮﻣ ﻢﯿﻫاﻮﺨﺑ ﺮﮔا .دﻮﺷ ﻣdet(A)ﺮﺑ ﻢﯿﺴﻘﺗ ﻞﺻﺎﺣ ﺎﺘﯾﺎﻬﻧ و

x₁ = 1 det(A)

[C₁₁ C₂₁ . . . C_n1]





 b₁ b₂ ...

b_n







زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ارAﺲﯾﺮﺗﺎﻣ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻪﮐ ﺖﺳا ﻦﯾا ﻞﺜﻣ ﻻﺎﺑ ﻠﺧاد بﺮﺿ .ﺖﺳا C لوا نﻮﺘﺳ نﺎﻤﻫC^T لوا ﺮﻄﺳ زا .ﻢﯿﺷﺎﺑ هداد راﺮﻗ ارbرادﺮﺑ ،لوا نﻮﺘﺳ یﺎﺟ ﻪﺑ ﻪﮐ توﺎﻔﺗ ﻦﯾا ﺎﺑ ﻢﯿﺷﺎﺑ هدﺮﮐ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ لوا نﻮﺘﺳ یﺎﻫ ﻪﯾارد زﺎﺴﻤﻫ .ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ ﺮﻣاﺮﮐ هﺪﻋﺎﻗ هﺪﻫﺎﺸﻣ ﻦﯾا x₁ = det(B₁)

det(A)

.ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑAﺲﯾﺮﺗﺎﻣ لوا نﻮﺘﺳ ردbرادﺮﺑ نداد راﺮﻗ زا ﻪﮐ ﺖﺳا ﺴﯾﺮﺗﺎﻣB₁ﺎﺠﻨﯾا

B₁ =







b1 a12 . . . a1n

b₂ a₂₂ . . . a_2n

... ...

b_n a_n2 . . . a_nn







ﺖﺳﺪﺑAﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ماiنﻮﺘﺳ ردbرادﺮﺑ نداد راﺮﻗ زاB_iﺲﯾﺮﺗﺎﻣ .ﺖﺳا راﺮﻗﺮﺑ ﺮﯾز ﻪﻄﺑارx_iﻪﻔﻟﻮﻣ یاﺮﺑ ﻠﮐ رﻮﻄﺑ .ﺪﯾآ ﻣ x_i = det(B_i)

det(A)

نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﺳﺪﻨﻫ ﺮﯾﻮﺼﺗ ۵

ﻪﺑ طﻮﺑﺮﻣ یﺎﻫرادﺮﺑ ﻂﺳﻮﺗ ﻪﮐ ﺖﺳا یﺪﻌﺑn حﻮﻄﺴﻟا یزاﻮﺘﻣ ﻢﺠﺣ ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑAﺲﯾﺮﺗﺎﻣ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻖﻠﻄﻣ رﺪﻗ :ﻪﯿﻀﻗ .دﻮﺷ ﻣ دﺎﺠﯾاAیﺎﻫﺮﻄﺳ

A=



 u₁ u₂ u₃



 ۵

|det(A)|=Aیﺎﻫﺮﻄﺳ ﻂﺳﻮﺗ هﺪﺷ دﺎﺠﯾا حﻮﻄﺴﻟا یزاﻮﺘﻣ ﻢﺠﺣ

ﻦﺷور .ﺪﯾﺮﯿ ﺑ ﺮﻈﻧ رد ار3×3 ﻧﺎﻤﻫ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ .ﻢﯾروآ ﻣ نآ درﻮﻣ رد ﺪﻫﺎﺷ ﺪﻨﭼ ﺎﻣا ﻢﯿﻨﮐ ﻤﻧ تﺎﺒﺛا ار ﻻﺎﺑ ﻪﯿﻀﻗ .دراد1ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ ﻤﺠﺣ ﺎﻫﺮﻄﺳ ﻂﺳﻮﺗ هﺪﺷ دﺎﺠﯾا ﺐﻌ ﻣ ﺖﺳا

1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 1

ﻦﯾا ﺎﺑ .ﺪﻨﻨﮐ ﻣ ﺮﯿﯿﻐﺗ نآ هﺪﻧزﺎﺳ یﺎﻫرادﺮﺑ ﺎﻣا ﺪﻨﮐ ﻤﻧ یﺮﯿﯿﻐﺗ نآ ﻢﺠﺣ ﺖﺳا ﻦﺷور ،ﻢﯿﻧﺎﺧﺮﭽﺑ ار ﺐﻌ ﻣ ﺮﮔا .ﺪﻧدﻮﻤﻋ ﻢﻫ ﺮﺑ و ﺖﺳا1نﺎﮐﺎﻤﮐ هﺪﻧزﺎﺳ یﺎﻫرادﺮﺑ لﻮﻃ ﻢﯿﻧاد ﻣ دﻮﺟو

ﺎﺑ یﺪﻌﺑn ﺐﻌ ﻣ ﯾ ﺎﻫرادﺮﺑ ﻦﯾا .ﺪﻧدﻮﻤﻋ ﻢﻫ ﺮﺑ ﻪﻤﻫ و ﺖﺳا1ماﺪﮐ ﺮﻫ لﻮﻃ ﻪﮐ ﻢﯾراد رادﺮﺑnﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ لﻮﻃ و ﺪﻧدﻮﻤﻋ ﻢﻫ ﺮﺑQیﺎﻫﺮﻄﺳ نﻮﭼ .ﺪﻨﺷﺎﺑ Qﺲﯾﺮﺗﺎﻣ یﺎﻫﺮﻄﺳ ﺎﻫرادﺮﺑ ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .ﺪﻨﻨﮐ ﻣ دﺎﺠﯾا1ﻢﺠﺣ

ﻢﯾراد ،ﺪﻧراد ﺪﺣاو QQ^T =I

۶

نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﺖﯿﺻﺎﺧ ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ det(Q)det(Q^T) =det(I) = 1

ﺲﭘdet(Q) = det(Q^T)نﻮﭼ det(Q)² = 1

ﻪﺠﯿﺘﻧ رد

|det(Q)|= 1

.ﺖﺳا هﺪﺷ دﺎﺠﯾا ﺐﻌ ﻣ ﻢﺠﺣ ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد .ﻢﯿﺘﺷاد ﻢﻫ ار رﺎﻈﺘﻧا ﻦﯿﻤﻫ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﻢﻫ ﺳﺪﻨﻫ ﺪﯾد زا .دراﺪﻧ یﺮﯿﺛﺎﺗ ﻖﻠﻄﻣ رﺪﻗ رد و ﺪﻨﮐ ﻣ ضﻮﻋ ار نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﺖﻣﻼﻋ ﺎﻬﻨﺗ ﺎﻫﺮﻄﺳ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ

.دراﺪﻧ نآ ﻢﺠﺣ ﺮﺑ ﺮﯿﺛﺎﺗ حﻮﻄﺴﻟا یزاﻮﺘﻣ ﻊﻠﺿ ود حﻮﻄﺴﻟا یزاﻮﺘﻣ زا ﻌﻠﺿ ﻪﮐ ﺖﺳا ﻦﯾا لدﺎﻌﻣ ﻦﯾا .دﻮﺷ ﻣ بﺮﺿtرد نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ،ﻢﯿﻨﮐ بﺮﺿtرد ار یﺮﻄﺳ ﺮﮔا

.دﻮﺷ ﻣ بﺮﺿtرد ﻢﻫ ﻞﺻﺎﺣ ﻢﺠﺣ ﺖﺳا ﻦﺷور .ﻢﯿﻨﮐ بﺮﺿtرد ار رد ﺎﻫرادﺮﺑ زا ﯾ ،یﺪﻌﺑ ﻪﺳ ﺖﻟﺎﺣ رد .ﺖﺳا ﺮ ﯾد یﺎﻫﺮﻄﺳ ﻪﺑ ﻪﺘﺴﺑاو ﺎﻫﺮﻄﺳ زا ﯾ ،ﺪﺷﺎﺑ ﺮﻔﺻ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﺮﮔا دراﺪﻧ ار یﺪﻌﺑ ﻪﺳ یﺎﻀﻓ ﯾ دﺎﺠﯾا ﯽﯾﺎﻧاﻮﺗ ﺎﻫرادﺮﺑ ﺲﭘ .ﺖﺳا هﺪﺷ ﻊﻗاو ﺮ ﯾد رادﺮﺑ ود ﻂﺳﻮﺗ هﺪﺷ دﺎﺠﯾا ی ﻪﺤﻔﺻ

.ﺪﺷﺎﺑ ﺮﻔﺻ ﺪﯾﺎﺑ ﻞﺻﺎﺣ ﻢﺠﺣ ﺎﺗﺪﻋﺎﻗ و

٧

ﺖﺣﺎﺴﻣ و نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ﻪﻄﺑار ﺮﯾز ﻞ ﺷ .ﺖﺳا هدوﺪﺤﻣ ﯾ ﺖﺣﺎﺴﻣ ﻢﺠﺣ یﺎﺟ ﻪﺑ نﺎﻨﯿﻣﺮﺗد ،یﺪﻌﺑ ود ﺖﻟﺎﺣ رد .ﺪﻫد ﻣ نﺎﺸﻧ ار یﺮﻄﺳ رادﺮﺑ ود ﻂﺳﻮﺗ هﺪﺷ ﺪﯿﻟﻮﺗ

a b c d

=ad−bc

٨