3rd Iranian Conference on Mathematical Physics

(1)

س ی متس اه ی ذپ لارگتناربا یر

موتناوک ی

اراد ی پسا ی ن یرایتخا رد

یاهدعب فلتخم

هدیكچ

ادتبا قیقحت نیا رد اه لدم

ی ذپ لارگتناربا یر

ناکم یک ی موتناوک ی اراد ی پسا ی ن رادرب طسوت هک LRL

صوت لباق ی ف دنا

، دنب هقبط ی دیدرگ نچمه . ی ن اهرادرب ام ی LRL

اراد ی پسا ی ن اه ی یرایتخا ارب ار ی سی متس اه ی دعب ود ی دعب هس و ی دنب هقبط ی ا هدومن یم .

هژاودیلک :اه

رادرب ،ریذپ لارگتناربا یاه متسیس یرایتخا نیپسا ،LRL

Quantum superintegrable systems with arbitrary spin in different dimensions

Hajibabaeian, Mohaddeseh Sadat; Bakhshi, Zahra

Department of Physics, Faculty of Basic Sciences, Shahed University, Tehran, Iran

Abstract

In this paper we first classify quantum superintegrable systems with arbitrary spin which can be described by LRL vector. We also classify LRL vectors with arbitrary spin for 2d and 3d systems.

Keywords: Superintegrable systems, LRL vector, Arbitrary spin PACS No.(2)

همدقم

اراد لئاسم ی

لباق ی ت قد لح ی ق س رد1

ی متس اه ی ناکم ی ک ی

موتناوک ی اه شور اب و لماک روط هب2

ی قتسم ی م صوت لباق هداس و ی

ف

م ی ا ندوب لح لباق .دنشاب ی

ن .تسا طبترم نراقت اب ًلاومعم لئاسم

ای ن قد لح هار )لکش( ِمرف ،نراقت ی

ق رس ی هدرک لماک ار اهرگلمع

م هک ی ارب دناوت ی ی نتفا هار لح اه ی د ی رگ رارق هدافتسا دروم لئاسم

گی در . ثحب لصا ی ا رد ام ی ن هلاقم دنب هقبط ی اه لدم ی ذپ لارگتناربا یر

3

ناکم ی ک ی موتناوک ی اراد ی پسا ی ن م ی رادرب طسوت هک دشاب LRL4

لباق

صوت ی ف نچمه .دنا ی

ن اهرادرب ام ی

ارادLRL ی پسا ی ن اه ی یرایتخا

ارب ار ی س ی متس اه ی دعب ود ی دعب هس و ی دنب هقبط ی ا هدومن ی م .

1Exactly Solvable Problems 2Quantum Mechanics Systems 3Superintegrable

لاثم اه ی کدنا ی س زا ی متس اه ی ناکم ی ک ی موتناوک ی دعب هس ی اراد ی

پسا ی ن رادرب هک اهنآ ردLRL

م قدص ی دراد دوجو دنک [

1 ]:

1 - س ی متس پسا اب رلپک ی

ن 2 / 1

2 - ی ک بطقود رواتشگ اب نورتوئن هرذ ی

اراد ی پسا ی ن 2 / 1

زا ر رظن ی ضا ی

، ا عوضوم ی ن دنب هقبط ی س لماش ی متس اه ی جوز

دورش تلاداعم ی

رگن ز مرف هب یر م ی دوش [ 1 ]:

Hψ = Eψ, H = (P²/2m) + V(x). (1)

:_ψ ی ک ئزجدنچ درکلمع ی

جوم

ی : V ک سناتپ ی ل رتام ی س

هلداعم لاثم نیرت فورعم 1

رگنیدورش هلداعم ، -

یلوئاپ کی یارب5

نویمرف نورتوئن (

ره ی ک نب تارذ زا ی

دا ی وئاپ نوناق عبات هک متا یل

)دشاب دشاب یم [ 2 ].

4LaplaceRungeLenz 5Schrodinger-Pauli

شخب ی

،

ارهز تاداس هثدحم،نایئابابیجاح

هت ،دهاش هاگشناد ،هیاپ مولع هدکشناد ،کیزیف هورگ رایداتسا ناریا ،نار

[email protected]

اریا ،نارهت ،دهاش هاگشناد ،هیاپ مولع هدکشناد ،کیزیف هورگ ن

[email protected]

ناریا یضایر کیزیف سنارفنک نیموس مقیتعنص هاگشناد ،1397 هام ید 13

3^rd Iranian Conference on Mathematical Physics

(2)

زا ف رظن یز ی ک ی

، تلاداعم اهنت ی

مومع مرف اب ی

هلداعم 1 ارب ی اس تخ

اه لدم ی بطقود رواتشگ اب تارذ ی

م هدافتسا )نورتوئن دننام(

ی ش دو

رتکلا راب و ی

ک ی ای ن م رفص تارذ ی

دشاب [ 3 ].

رادرب

LRL ناکم رد ی ک سلاک ی ک رادرب رادرب LRL

ی ارب ًاتدمع هک تسا ی

صوت ی ف رادم تهج و لکش ی

ک اضف مسج یی

د رادم لوح ی

رگ ی

م هدافتسا ی شدرگ دننام ،دوش ی

ک س ی هرا رود هب ی ک ادرب .هراتس ر

مامت ردLRL ی لئاسم ی رب مسج ود هک ی

دک ی رگ

،دنراد لباقتم رثا

طسوت ی ک نی ور ی زکرم ی غت اب هک یی ر ف هلصا تروص هب مسج ود

غت عبرم سوکعم یی

ر م ی م ظوفحم ،دنک ی

ا هب .دشاب ی

هنوگن ،لئاسم

م هتفگ رلپک لئاسم ی

ه متا دننام دوش ی

نژورد [ 4 ].

هدافتسا رادرب زا ادتبا ردLRL

ی ناکم زا هدافتسا ی

ک موتناوک ی د ر

طی ف ه متا ی نژورد رورض ی ثات و ی راذگر اعم هعسوت زا سپ اما دوب هلد

دورش ی رگن م هدافتسا نآ زا تردن هب نونکا ی

دوش .

متسیس یاه یكیناكم یموتناوک

یاراد تیلباق لح قیقد

و ود ی گژ ی هک دراد دوجو تروص رد

س ره رد دوجو ی

متس ناکم ی ک ی

موتناوک ی م ی تفگ ناوت س

ی متس اراد ی لباق ی ت قد لح ی ق تسا [ 1 ]:

فلا - نراقتربا ی و1

ب - ذپ لارگتناربا یر

ی

2.

اه متسیس نیا رد

ود م لمع نراقتربا تروص هب تلاح ی

:دنک

1 ماگنه . ی ضعب هک ی اه لارگتنا زا ی

س تکرح ی

متس ناکم ی ک ی

موتناوک ی ی ک دعب ود ربج ی

کشت ار ی ل م ی .دنهد

2 ماگنه . ی ماه هک ی نوتل ی س ی متس ناکم ی ک ی موتناوک ی اراد ی ی ک اقت نر

دبت هب هجوت اب صوصخ هب ی

ل ا رد هک دشاب سکوبراد ی

ن تروص

مان تباث لکش ی

هد م ی .دوش

رد ناکم ی ک موتناوک ی رگا هتسباو نامز هب رگلمع کی ناونع هب A

لداعم هب انب هاگنآ ،دشابن ۀ

ریوصت رد تکرح اب رگلمع نیا ،گربنزیاه

ماه ی نوتل ی س ی متس مان تکرح تباث و هدوب ریذپ اج هب اج ی

هد م ی دوش

م هتفگ تکرح لارگتنا نآ هب هک ی

ارب .دوش ی س ی متس اه ی لارگتنا

ًاموزل ریذپ گتنا

لار اه ی م مه زا لقتسم تکرح ی

نعی دنشاب ی هولاع

ماه اب هکنیا رب ی

نوتل ی س ی متس م اج هب اج ی

ن مه اب دنوش یز

اج هب اج

اه لارگتنا دادعت رگا لاح .دنریذپ ی

س تکرح ی

متس جرد زا ۀ دازآ ی

1Supersymmetry

س ی متس بی رتش س دشاب ی متس ار کی هک ،دنیوگ ریذپ لارگتناربا

س زا هعومجمریز ی

متس اه ی پ لارگتنا ریذ دشاب یم س کی . ی متس

ریذپ لارگتنا طرش رب هولاع ،ریذپ لارگتناربا ی

اراد ی اه لارگتنا ی

فاضا تکرح ی

گید ر ی نی ز ماه اب هک هدوب ی

نوتل ی س ی متس ریذپاج هب اج

دشاب یم ن ریذپاج هب اج مه اب ًاموزل اما

ی دنتس [ 1 ].

س ی متس اه ی ذپ لارگتناربا یر

ربج شور اب ی

بوخ نامه هب ی

شور

لحت یل ی م لح لباق ی

خرب .دنشاب ی

س زا ی متس اه ی ناکم ی ک ی موتناوک ی

دننام ی ک ه متا ی نژورد ی ا نومراه رگناسون ی

ک ای پورتوز ی ک ربا مه

ذپ لارگتنا یر

مها ثعاب هک دنتسه نراقتربا مه و ی

ت سب ی را ز ی دا ای ن

س ی متس م اه ی دوش [ 3 ].

یاه نیپسا یارب یموتناوک ریذپ لارگتناربا یاه متسیس یرایتخا

س ی متس اه ی موتناوک ی دودعم ی راد دوجو ن

زا تعرس اهنآ رد هک د

بی ن ط نتفر ی ف بی رتش نامز زا ی سدنه نراقت زا اهنآ هک تسا ی

ئسم هل

پی ور ی م ی رت فورعم .دننک ی

ن ای ن س ی متس ا رگناسون اه ی

پورتوز ی ک

سفت هک دنتسه رلپک هلئسم و یر

سدنه ی ا .دنرادن ی ن ب زا ی ن نتفر ا فاض ی

طی ف د نراقت رثا رد ی

مان ی ک ی م دوجو هب ی

آ ی د [ 4 ] ا اب . ی ن ،شور ت نراق

سدنه ی ا رگناسون تلاح رد SO3

ی پورتوز ی ک هورگ هب رد وSU3

ط تلاح ی ف قم ی د هورگ هب رلپک هلئسم م شرتسگSO4

ی ی دبا ا . ی ن

س عون ی متس ذپ لارگتنا قوف اه یر

مان ی هد م ی دنوش و و ی گژ ی ای ن

س ی متس ا اه ی ن س طخ هک تسا یر

سم(

یر هتسب اهنآ )رذگ م

ی .دشاب

دروم رد هلاقم نیا رد ام ثحب ارب نراقت

ی فنم تمسق ی

طی ف یم

.دشاب ارب ی اه تلاح ی ا ،هدنکارپ ی ن پک هلئسم تلاح دننام هورگ رل

غت یی ر ی هتفا دبت و ی ل قح مرف هب یق

ی پی چ ی هد هکSO3 SO(2,1) (

رد

تلاح ،E=0 E(2) ) مان ی هد م ی م ،دوش ی دشاب [ 5 ].

ماه ی نوتل ی س ی متس زا تسا ترابع هدش هتفرگ رظن رد هک [

5 ]:

2 2

2 Px Py

H ^m  

⁽²⁾

هک طانغم رواتشگµ ی

س ی و هرذ میH ناد طانغم ی س ی رج ی نا طخ ی رد

روحم دادتما تهج مZ

ی دشاب [ 5 ]:

( )

2 2

y x CI

r r

 

⁽³⁾

2Superintegrability

ناﺮﯾا ﯽﺿﺎﯾر ﮏﯾﺰﯿﻓ ﺲﻧاﺮﻔﻨﮐ ﻦﯿﻣﻮﺳ

، 13 هﺎﻣ يد1397ﻢﻗﯽﺘﻌﻨﺻ هﺎﮕﺸﻧاد

(3)

رض ی ب تباث هک C س هب ی متس گتسب دحاو ی

س رد ،دراد ی

متس تارذ

C=0.2 م ی اربانب .دشاب ی

ن اهن لکش یی ماه ی نوتل ی ز تروص هب یر

دوب دهاوخ [

5 ]:

2 2

Px Py s y s xx y

H k

m r

 

  (4)

هک رض ی ب امنK ی هدن لک یه م اه تباث ی ارب .دشاب ی پسا ی ن 2/

1 مع ، رگل

پسا ی ن رتام اب بسانتم ی

س لوئاپ ی م ی ماه .دشاب ی

نوتل ی هلداعم 1 ب ا

روحم لوح شخرچ هب هجوت طسوت هکZ

+ Sz

= Lz

Jz

لوت ی د م ی

سدنه لارگتنا رب هولاع .تسا تباث دوش ی

ماه ی نوتل ی هلداعم 3 اد ار ی

رفص ریغ یهیدب لارگتنا ود م

ی دشاب [ 5 ]:

1( )

3 3 2

2

1( )

3 3 2

2

s y s xx y

A J P P J km y

x x x r

s y s xx y

Ay J P PyJ km x

y r

   

(5) لارگتنا اه ی 5 اب ماه ی نوتل ی و Jz

، ز ربج یر ار ت کش ی ل م ی دنهد [ 5 ]:

, , , , ,

, 0, , 0

Jz Ax iAy Jz Ay iAx A Ax y iHJy A Hx A Hy

   

      

     

 

   

   

(6) نونکا رعت ار اهرگلمع ام رگا ی

ف نک ی م راد ی م:

1/2 1/2

( ) , ( )

JxAx H  JyAy H  (7

)

سپس دبت طباور یل

ی ز یر ربج زا قاب تسردSO3

ی م ی :دنام

,

J Ji j i ijk kJ

  

  (8)

ماگنه ی رگلمع ام هک Ji

حارط ار ی دومن ی

،م ط نهذ رد ی

ف ادج یی رد

تشاد رظن ی م ژرنا هک ی فنم ی تسا ارب . ی ژرنا ی ربج تبثم SO(2,1)

م ی ز دشاب ی ار خرب ی هلداعم رد اه تملاع زا 8

غت یی ر م ی ی دبا ع . رگلم

ساک یم یر هلداعم رد ربج 7

سو هب ی هل ماه ی نوتل ی ز یر بی نا م ی دوش [ 5 ]:

1 2

2 2 2 2

1 2 3 4 2

J J J J mk

     H (9)

اربانب ی ن تشاد میهاوخ :

) 10 (

2 1

2 2 1 4 H mk

J





امن ی ش پسا اب SO3

ی ن اه ی حص ی ح ی ا نی هم حص ی ح م هداد ناشن ی

و رادقم هک تسا حضاو ام هلئسم رد .دوش ی

هژ J3

لد هب ی ل پسا ی ن 2 / 1

شخرچ رواتشگ و ی

حص ی ح م اهنت ی ن دناوت ی هم حص ی ح اربانب .دشاب ی

ن

و رادقم ی هژ J2

م ی دوش [ 5 ]:

) 11 (

2 1

2 ( 1)2 En mk

n

 

هابت ی فاضا ی طی ف ا رد ین اج ی نع ی طی ف هب من هتسباوJz ی شاب .د

رتلااب نیپسا اب یدعب ود یاه متسیس

اه لدم ی غ ی بسنر ی ه متا ی نژورد پسا ی ن اه ی ن رظن رد ار نورتکلا م

ی

گی دنر لوا . ی ن اراد لدم ی پسا ی ن رات رظن زا(

ی خ ی هک ) ی ک گولانآ ب رادر

ذپ ارLRL ی تفر اپ رب یه ماه ی نوتل ی ز یر تسا راوتسا [

1 ]:

) 12 (

2 2

2 2 2

1 2 1 2 2 1,

1 2

2 2

P P x x

H r x x

m r

 

  

   

ا و ی ن لدم ی ک پسا ی رون ثنخ ی صوت ار ی ف م ی ب روط هب هک دنک ی

ظن یر ی م اب ی ناد طانغم ی س ی لوت ی د طسوت هدش ی

ک رج ی نا طخ ی قتسم ی م

موس روحم رد تباث هلداعم رد .تسا لماعت رد تاصتخم

12 ، σ1

و

σ2

رتام ی س اه ی لوئاپ ی λ و لپوک لارگتنا تباث ی

گن م ی .دشاب

ماه ی نوتل ی هلداعم 12 دبت لباق ی ل شخرچ رواتشگ موس رصنع هب ی

لک

ی نع ی )

13 (

3 1 2 2 1 3

J x p x pS

م ی نآ رد هک دشاب

1

3 3

S 2

م ی نچمه .دشاب ی

ن ود د تباث ی رگ تکرح

ارب ی هلداعم 12 دراد دوجو [

1 ]:

(14)

1 1

( ) ( ) , ( ) ( )

1 3 1 1 3 2 2 3 2 2 3 1

2 2

m m

K J p p J n x K J p p J n x

r r

     

نآ رد هک

( )n (S n1 2 S n2 1),na xa,n (n n1 2, )

   r 

.دشاب یم

اهرگلمع ی لبق دبت لباق ی ل اب ز طباور و دنتسهH یر

م اضرا ار ی

دننک [ 1 :]

) 15 ( [

J K3^, 1iK2^,J K3^, 2iK1^,K K1^, 2²imJ H3

ربج ی ازجا رد هک ی

اپی ه K1

، K2

و J3

م دراد دوجو ی

طسوت دناوت

رس ی اه لح هار ی

و رادقم هلئسم ی

هژ ز یر رعت ی ف دوش [ 1 ]:

HE

⁽¹⁶⁾

اج هب اج اب یی

ماه ی نوتل ی و رادقم ابH ی

هژ نآ ی نع ی ج هب ام ،E ل رب ی

اب هباشم راتخاس اب ردSO3

E<0 و یا SO(1,2) رد

E>0 م ی سر ی م.

اب ا زا هدافتسا ی

ن نراقت ی نتفا و رادقم ی هژ اربE ی اه تلاح ی ج تف

ربج رظن زا ی

، می رس م ی ارب .ددرگ ی ا ماجنا ی ن فاک اهنت ،راک ی

تس ات

اهرگلمع ی K1

و K A2

قم رد ار ی سا رتکچوک ی سررب ی نک ی م [ 1 ]:

2 , 2

1 1 2 2

K   mEJ K   mEJ (17) سپس J1

و J2

و j3

ی ک امن ی ش ربج زا SO3

.دومن دنهاوخ ققحم ار

ا ضرف اب ی

هکن ای ن امن ی ش وحت ی ل ذپان یر دودحم هب ام ،دشاب ی

ت ز یر

ارب ی و رادقم ی هژ م ی سر ی م [ 1 ]:

2 2 2

( 1 2 3) ( 1)

C J J J n n  (18)

ا رب هولاع ی

،ن م ضرف ی هک دوش یψ

ک و رادرب ی هژ رگلمع J3

هدوب

اب هک وH اجC ی زگ ی ن :تسا هدش

(4)

) 19

1 3 (

, , ,...

3 2 2

J k k

تلاداعم زا هدافتسا اب 13

، 14 ، 17 و 18 نچمه و ی ن تلاداعم 16

و

19 ط ام ، ی ف ژرنا ی ز مرف رد ار یر

م تسد هب ی

روآ ی م [ 1 ]:

2

, 0,1,2,...

(2 2 1)2

E m n

n k

  

 

⁽²⁰⁾

نراقتربا زا هدافتسا اب ی

ماه تباث لکش و ی

نوتل ی هلداعم 12 رب ، و راد ی هژ

م ار رظانتم ی

پ ناوت ی اد ا .دومن ی ن نراقتربا ی رگتنا هب طوبرم اه لا

ی

هلداعم تکرح هدوب

14 ازجا هک ی ود دعب ی رادرب مLRL ی .دنشاب

یدعب هس یاه متسیس

ارب ی تخاس ی ک س ی متس هس دعب ی اراد ی پسا ی

،ن ای ن رورض ی تسا

واز رواتشگ هک یه

ا ی واز رواتشگ طسوتL یه

ا ی غت لک یی ر ی دبا [ 1 ]:

L  J L S (21)

یS ک پسا رادرب ی ن ازجا هک تسا ی

ارش نآ ی ط ز یر م اضرا ار ی :دنک

^Sa b^,^S ⁱabc c^{S S}^, ₁²^S₂²^S₃²^{s s}⁽ ¹⁾^I (22) ارب ی پسا ی ن 2 /1 راد ی م [ 1 ]:

1 1 1

( 1, 2, 3)

2 2 2

S    (23)

ا رب ضرف ی

ن رادرب هک تسا ارادLRL

ی پسا ی ن اراد ی ز مرف یر تسا :

1 ( )

K 2 p J J p xV

 m     (24)

نآ رد هک یv

ک سناتپ ی ل ماه هک تسا ی

نوتل ی م ار هلداعم رظانتم صخش

م ی ام هلداعم لاح .دنک ی

ک رتام ی س (2s+1)(2s+1) دعب

ی هتسباو

هب مx ی .دشاب رعت قبط ی

،ف رادرب 24 اب ی د ماه اب ی نوتل ی ز یر اج ی زگ ی ن

دوش [ 1 ]:

) 25 (

2 2 H p V

 m

ارش ی ط فاک و مزلا ی

ارب ی اج ی زگ ین ی ز تلاداعم طسوت یر

هدش هئارا

تسا : ) 26 (

, , 0, 0, 0

V Ja b xa aV V Sab bV bVSab

       

 

نآ رد هک

a xa



 

و

Sababc cS

.دشاب یم

ارب ی ازفا تباث ی ش ی اهنت ،α ی ک زگ ی هن ارب ی دراد دوجوv :

. 2 V x

x



 (27)

اربانب ی ن واز رواتشگ یه

ا ی رادرب و لک ارب LRL

ی پسا ی ن 2/

1 هب

تروص ز یر دش دنهاوخ [

1 ]:

1 1 .

, ( )

2 2 2

J L K p J J p x x

m x

  

       (28) م ام

ی ناوت ی م و رادقم ی هژ ماه ی نوتل ی ربج تروص هب ار ی

بی بای م . ب ا

هلداعم زا هدافتسا 28

هاوخ ی م تشاد [ 1 ]:

2 2 3 2

(2 )

K J 2

m 

   (29)

اج اب ی راذگ ی ای ن واست و لبق تلاداعم رد ترابع ی

وH هاوخE ی م

تشاد : ) 30 (

2 2 3

( )

C    4 I

:نینچمه و

2 2 2

(1 / 2) (2q1) , (1 / 2) (2g1) (31) :زین و

2 2 2 E m

N

   (32)

:نآ رد هک N= n + 1/2 , n = 2q + 1 = 2g = 1, 2, …

ه متا تلاح سکع رب ی

،نژورد لصا موتناوک )ددع( دادعت ی

، اب ،N ی د

نی هم حص ی ح .دشاب

ماه ی نوتل ی 27 و 32 اراد ی هک تسا تباث لکش ی

نتفا طی ف ژرنا ی

هلداعم 25 نراقتربا رازبا زا هدافتسا اب ار ی

ناکم ی ک ی موتناوک ی رودقم

م ی .دنک

یریگ هجیتن

یموتناوک یکیناکم یاه متسیس یفرعم نمض هلاقم نیا رد

، لارگتناربا

نراقتمربا و ریذپ اراد

ی پسا ی ن رادرب طسوت هک صوت لباقLRL

ی ف

،دنشاب یم هک میتفای تسد یموتناوک یکیناکم یمتسیس هب ام

تارذ

اراد ی پسا ی ن ار یربج شور هب صوت

ی ف م ی .دیامن

کی یژرنا فیط میتسناوت ام نینچمه س

ی متس لارگتناربا یموتناوک

ریذپ دعب ود ی یدعب هس و یاراد

پسا ی ن رگلمع زا هدافتسا اب ار یاه

فلتخم یربج شور هب .میروآ تسد هب

عجرم اه

[ 1

] ^A.G. NIKITIN, “SUPERINTEGRABLE SYSTEMS WITH ARBITRARY SPIN”, Institute of Mathematics, Nat. Acad. of Sci. of Ukraine, 2013.

2] ز[ ی بن لع ی

،هداز

"

ریذپ لارگتناربا یموتناوک یاه لدم هعلاطم

"

دکشناد ، مولع ه

اپی ه نمهب ،تشر هاگشناد 1390

.

[3] David McMahon, “Quantum Field Theory Demystified”, 2008.

[4] W. Miller, Jr., S. Post and P. Winternitz, “Classical and Quantum Superintegrability with Applications”, School of Mathematics, University of Minnesota, 2013.

[ 5

] G.P.Pronko, “Quantum superintegrable systems for arbitrary spin”, Institute for High Energy Physics , Protvino, Moscow reg.,Russia Institute of Nuclear Physics, National Research Center” Demokritos”, Athens, Greece, 2007.