Modified couple stress theory is used to model the elasticity depends on the size of the microbeam

(1)

یملع ٍماىَام یشَيژپ

یسدنهم کیناکم

سردم

mme.modares.ac.ir

هسادنا هب هتسباو ربتفر زيثأت هعلبطم هطوغ یکيتبتساوزتکلا یبهزيتوزکيم

مکازت لبيس رد رو

زیذپبن

یدامتعا یداه ول یلعحتف دمحم ،

1

ینابعش لوسر ،

2

هدازاضر رداق ،

3

*3

-1

،کیًبکه یسذٌْه ،یشتکد یَجطًاد

ِیهٍسا ،ِیهٍسا ُبگطًاد

-2

ِیهٍسا ،ِیهٍسا ُبگطًاد ،کیًبکه یسذٌْه ،سبیدبتسا -3

ِیهٍسا ،ِیهٍسا ُبگطًاد ،کیًبکه یسذٌْه ،دبتسا یتسپ قٍذٌص ،ِیهٍسا * 57169-33111

، [email protected]

هلاقم تاعلاطا هدیکچ

لهبک یطٍّظپ ِلبقه :تفبیسد ىبثآ10 1395

:ششیزپ سرآ15 1395

:تیبس سد ِئاسا ید91

9911 لبیس ِْجاَه یسسشث ِث شضبح ِلبقه سد

- صا .تسا ُذض ِتخادشپ یذعث ِس کیهبٌیدٍشیآ یسَئت صا ُدبفتسا بث یکیتبتساٍشتکلا شیتٍشکیه کی سد ذهبج

لذه یاشث ،ُذض حلاصا لپَک صٌت یسَئت

ُذض ُدبفتسا شیتٍشکیه ُصاذًا ِث ِتسثاٍ ِتیسیتسلاا یصبس یه ُذض ِئاسا لذه .تسا

کی ىاٌَع ِث ذًاَت

بفتسا دسَه یهشج سَسٌس ٍشکیه د

طبتلٍ لبوعا بث سپس ٍ ُذض لبوعا نتسیس ِث نیقتسه طبتلٍ کی ،شیتٍشکیه یکیهبٌید سبتفس ضیلبًآ یاشث .دشیگ ساشق ُ

گ ساشق لیلحت دسَه یکیتبتسا ِتفبی لکض شییغت تیعضٍ لَح نتسیس یکیهبٌید تبصخطه ةٍبٌته تلادبعه یطخ شیغ تیّبه لیلد ِث .تسا ِتفش

ىآ لح یاشث نکبح

ُداد ىبطً جیبتً .تسا ُذض ُدبفتسا يیکشلبگ شث یٌتجه ِجتشه صّبک لذه صا بّ

صیاضفا ضیً ٍ لپَک صٌت يتفشگ شظً سد ِک ذًا

تٍشکیه فشط ٍد يیث ُذض دبجیا لبیس سبطف فلاتخا ُصاذًا صّبک ثعبث یلَط ِصخطه شتهاسبپ ُصاذًا یه شی

یسَئت ِث ِجَت بث لبح يیا بث .دَض

لبیس ِْجاَه یاشث یذعث ِس کیهبٌیدٍشیآ -

ٍد يیث ُدٍضفا مشج ُصاذًا یٌیث صیپ سد فلاتخا صٍشث ِث شجٌه ُذض دبجیا سبطف فلاتخا شییغت ،ذهبج

یوً ُذض حلاصا لپَک صٌت ٍ کیسلاک یسَئت

َجٍ ِک تسا ُذض ُداد ىبطً جیبتً صا یشگید صخث سد .دَض یه ُصاذًا ِچ بت ُدٍضفا مشج د

ذًاَت

نّ .دَض نتسیس یاشث ُذض نسس یسًبکشف خسبپ یبّسادَوً سد شییغت ثعبث یلَط ِصخطه شتهاسبپ ُصاذًا صیاضفا ٍ لپَک صٌت یسَئت لبوعا يیٌچ

تفس ثعبث ض تساس توس ِث یسًبکشف خسبپ یبّسادَوً تفیض ٍ یضبعتسا ٌِهاد صّبک ىآ تقبعته ٍ نتسیس ىذض شت تسا ُذ

.

:ىبگطاٍ ذیلک

ُذض حلاصا لپَک صٌت

ُدٍضفا مشج یعیجط سًبکشف لبیس ِجاَه - ذهبج

A study on the size-dependent behavior of electrostatic microbeams immersed in incompressible fluid

Hadi Etemadi, Mohammad Fathalilou,Rasool Shabani, Ghader Rezazadeh^*

Department of Mechanical Engineering, Urmia University, Urmia, Iran

* P.O.B. 57169-33111 Urmia, Iran, [email protected]

ARTICLE INFORMATION ABSTRACT

Original Research Paper Received 31 October 2016 Accepted 05 December 2016 Available Online 08 January 2017

In this paper, the fluid-solid interaction in an electrostatic microbeam by using three-dimensional aerodynamic theory has been studied. Modified couple stress theory is used to model the elasticity depends on the size of the microbeam. The proposed model can be used as a mass micro-sensor. To analyze the dynamic behavior of the microbeam a DC voltage was applied to the system and then by applying an AC voltage dynamic characteristics of the system around static deformed condition are analyzed. Because of the non-linear nature of the governing equations to solve them, reduced order model based on Galerkin is used. Results have shown that considering the couple stress and also increase in the size of the length characteristic parameter reduces the size of the fluid pressure differential created between the two sides of the microbeam. However, according to the three- dimensional aerodynamic theory for fluid-solid interaction, change in the pressure difference created does not lead to creation difference in predicting the size of the added mass between the classical and modified couple stress theories. In another part of the results it has been shown to what extent that the presence of added mass can make changes in the frequency response curves drawn for the system.

Also, the applied couple stress theory and increase in the size of the length characteristic parameter makes the system more rigid and consequently reduces the amplitude of the vibration and frequency response curves shift to the right.

Keywords:

Modified couple stress Added mass Natural frequencies Fluid-solid interaction

همدقم-1

َبؾ ضز تفطكیپ ،طیذا یبٞ

یطیٍٕكچ یبٞ

ضز

ٓتؿیؾ ٝٙیٔظ یبٞ

ٚطىیٔ

ٚطتىِا هی٘بىٔ

ئ ٜسٞبكٔ1

ٝو زٛق ضبظت٘ا ئ

زٚض

ٗیا ثػبث یغِٛٛٙىت

تاطییغت يؾبؾا ضز

ُو غیبٙص

ٗیا .زٛق ئ تاعیٟدت

ٗیعٍیبخ سٙ٘اٛت

1 MEMS , NEMS

[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-11-01 ]

(2)

بٞطٍّٕػ

ٚ یبٞضٛؿٙؾ

ٓیدح ضز ؼبیمٔ

ٚطىیٔ

س٘ٛق

ٗیا . ضز تاعیٟدت

يِبح

ٝو

،ٓدح ،ٝٙیعٞ

ٖظٚ

ٚ

ٖاٛت يفطصٔ

اض ئ فٞبو يیاضبو ،سٙٞز ٚ

یسٕٙ٘اٛت اض ئ فیاعفا سٙٞز

یاضاز يىی٘بىٔ ٚطتىِا ٚطىیٔ یبٞضٛؿٙؾ .

ئبظ٘ ،تبؼبجتضا ،یظبؾ ٚضزٛذ غیبٙص ضز ي٘اٚاطف یبٞزطثضبو بعفاٛٞ ٚ

ئ

یغِٛٛٙىت ظا ٜزبفتؾا ٚ ٓو ضبیؿث ٖظٚ بث یبٞضٛؿٙؾ سیِٛت يیب٘اٛت .سٙقبث غٕتدٔ تاضاسٔ تذبؾ (1

ٗییبپ ضبیؿث اض بٞضٛؿٙؾ ٗیا تذبؾ ٝٙیعٞ )IC

ٜزضٚآ

ٝتؿ٘اٛت ٖٛٙوبت ٝو یضٛؼ ،ئطخ یبٞضٛؿٙؾ ُیجل ظا بٞضٛؿٙؾ عاٛ٘ا س٘ا

ٝث ٚ يحاطؼ يٙییبپ تٕیل بث اض ضبكف یبٞضٛؿٙؾ ٚ طتٔٛٔطت ،حٙؾ ةبتق سٙ٘بؾطث تذبؾ ّٝحطٔ

.[1]

ئ ٝو س٘ضاز يقبؼتضا تِبح يتؼٙص یبٞضبتذبؾ یاعخا طتكیث س٘اٛت

يتؼٙص یبٞزطثبو یاطث .سقبث ةّٛؽٔ طیغ بی ٚ ةّٛؽٔ

ـبؼتضا فیؼ ٗتؿ٘از ،

ئ ٟٓٔ ضبیؿث يحاطؼ ّٝحطٔ ضز ٜسق سیِٛت َٛصحٔ

ٝؼِبؽٔ تّغا .سقبث

يٕ٘ يفبو فاطؼا ػیحٔ طیثأت ٗتفطٌ طظ٘ ضز ٖٚسث ٚ بٞضبتذبؾ هیٔبٙیز ،سقبث

ئ ضاصٌطیثأت ٖآ يىیٔبٙیز ضبتفض طث ضبتذبؾ فاطؼا ػیحٔ ٝىٙیا یاطث .سقبث

ز ضز ضبتذبؾ یاعخا ٝو ي٘بٔظ َبثٔ یاطث ئ قطغتؿٔ َبیؾ ُذا

سٙقبث

ئ فٞبو ٓتؿیؾ تب٘بؾٛ٘ يؼیجؼ ؽ٘بوطف فلاتا ٚ يیاطیٔ ضٛػ ضز ٚ سثبی

ئ فیاعفا یغط٘ا سثبی

ٓتؿیؾ ضبتفض ٝؼِبؽٔ یاطث ٗیاطثبٙث .[2]

سٙ٘بٔ يیبٞ

ٔ بث ضٛؿٙؾ ٟٝخاٛٔ ٜٛح٘ ظا يفبو تذبٙق سیبث ئطخ یبٞضٛؿٙؾ فاطؼا ػیح

.سقبث ٝتقاز زٛخٚ ،زٛذ

َبؾ ضز 1786 ٝؼِبؽٔ زضٛٔ اض ةآ ُذاز ضز یٚطو ْبؿخا ـبؼتضا تبثٚٚز

ٖآ ـبؼتضا ٝو تفبیضز ٚ زاز ضاطل ،تؾا ةآ ٝو فاطؼا ػیحٔ ظا طثأتٔ بٞ

ئ

يقبؼتضا ضبتفض فیصٛت یاطث يٟخٛت ُثبل تبؼِبؽٔ سؼث ٝث ٖبٔظ ٖآ ظا .سقبث تفطٌ ْبد٘ا سٙتؿٞ َبیؾ بث غبجتضا ضز ٝو قطغتؿٔ یبٞضبتذبؾ ئٕٟ ٝذبق .

ٗیثضٛت بث ٝؽثاض ضز تبمیمحت ٗیا ظا ئ يثآ یبٞ

سقبث .[3]

تفطكیپ بث عی٘ ٜظٚطٔا

ٜزطتؿٌ یبٞ

یغِٛٛٙىت ٛ٘ب٘ /ٚطىیٔ ٝٙیٔظ ضز ٝو یا

ئ ٝتذبؾ ٛ٘ب٘ /ٚطىیٔ ؼبیمٔ ضز یزبیظ يیبٞضبتذبؾ تؾا ٝتفطٌ تضٛص س٘ٛق

پٕپٚطىیٔ سٙ٘بٔ ٝث بٞضبتذبؾ ٗیا ظا يعؼث ضز ٝو حٙؾ يِبٍچ ٚطىیٔ ٚ بٞ

ٚ

ٗیثضٛت سٙ٘بٕٞ ،ْطخ صیركت یبٞضٛؿٙؾ ٚ سٔبخ یاعخا ٗیث غبجتضا يثآ یبٞ

،فاطؼا َبیؾ يّو ضٛؼ ٝث .زضاز زٛخٚ ٛ٘ب٘ /ٚطىیٔ ؼبیمٔ ضز ٓٞ ٖآ ٚ َبیؾ ئ َبٕػا ضبتذبؾ ٝث ٜزٚعفا ْطخ ٖاٛٙػ تحت يكٙواٚ یٚطی٘ هی ْطخ .سٙو

يٌػیٚ ظا ٝو ٜزٚعفا غیبٔ یضاصٌضبث یبٞ

ئ2

زطثضبو ،سقبث

ٜزطتؿٌ

ُیّحت ضز یا

پٕپٚطىیٔ يىیٔبٙیز حٙؾ يِبٍچ ٚطىیٔ ٚ بٞ

بٞ

يتؿیظ یبٞطٍؿح ٚ

عیِب٘آ ضز یا ٜزطتؿٌ زطثضبو ٜزٚعفا ْطخ ْٟٛفٔ .زضاز يىی٘بىٔ ٛ٘ب٘/ٚطىیٔ

فبؽؼ٘ا یبٞضبتذبؾ يىیٔبٙیز ئ َبیؾ ُذاز ضز قطغتؿٔ ٝو یطیصپ

سٙقبث

فبؽؼ٘ا ضبتذبؾ ـبؼتضا ّٝئؿٔ .زضاز

ُح ي٘بٔظ طیصپ ئ

یضاصٌضبث ٝو ززطٌ

ئ طیت توطح ثػبث ٝو غیبٔ

یضٛئت .ززطٌ ّْٛؼٔ زٛق ٖبیث یاطث یزبیظ یبٞ

ئ حطؽٔ بٞضبتذبؾ ضز يفبظا ْطخ ٚ غیبٔ یضاصٌضبث ْٟٛفٔ

ٚ ع٘ٛخ .سٙقبث

هیضبث َبث یضٛئت ف٘اضبىٕٞ

[4]3

جٛٔ ُح یضٛئت ف٘اضبىٕٞ ٚ عّیٔ ،

نطحتٔ

[5]4

یضٛئت ف٘اضبىٕٞ ٚ يىد٘ضٛو ، آ

زٚطی یسؼث ٚز يؽذ هیٔبٙی

5

یسؼث ٝؾ يؽذ هیٔبٙیز ٚطیآ یضٛئت طتٙپضبو ٚ يوِٛ ،[6]

[7]6

ضٛظٙٔ ٝث اض ،

ٚ يفبظا ْطخ ٝجؾبحٔ ٚ تلابیؾ ضز قطغتؿٔ یبٞضبتذبؾ يىیٔبٙیز ٝؼِبؽٔ

ضبتفض ف٘اضبىٕٞ ٚ ِٓٛٞسٙیِ .س٘زٕٛ٘ ٝئضا بٞضبتذبؾ یٚض طث غیبٔ یضاصٌضبث پیطتؾا ٝیطظ٘ ظا ٜزبفتؾا بث اض غیبٔ

يثطدت ضٛؼ ٝث بٟ٘آ .س٘زٕٛ٘ يثبیظضا7

1 Integrated Circuit

2 Fluid loading

3 The slender wing

4 Travelling wave solution

5 Two-dimensional linear aerodynamic

6 Three-dimensional linear aerodynamic

7 Strip-theory

ْبٕت ٚ ٕٝی٘ تضٛص ٝث ٚ اٛٞ ػیحٔ ضز ضازطیٌطؾ هی تیّپ يؿ٘ب٘ٚظض ؽ٘بوطف س٘زاز ضاطل ٝؼِبؽٔ زضٛٔ اض ةآ ُذاز ضز قطغتؿٔ

ضز ف٘اضبىٕٞ ٚ ئبٙیٔ.[8]

َبؾ نظب٘ َٛفطیا یضٛئت1998

یبكغ یٚض طث يفبظا ْطخ ٝجؾبحٔ یاطث اض8

ْطخ یٚض طث تب٘بؾٛ٘ ٝٙٔاز ٚ ؽ٘بوطف ٝو س٘زاز ٖبك٘ ٚ س٘زطث ضبىث ضازطیٌ

يٕ٘ طیثأت ٜسق ٝفبظا ْطخ ٚ َبیؾ يِبٍچ ٝث ٜسق ٝفبظا ْطخ ٝىّث ٚ زضاصٌ

زضاز يٍتؿث ٜسق ٝفبظا ؽ٘ب٘ٚظض ٝؼِبؽٔ ٝث اٌٛض ٝٙیتِٙاٚ ُكیٔ .[9]

یتٚطىیٔ ضز هیطتٔاضبپ ٗیا ظا ففسٞ ٚ تذازطپ ْطخ یطیٌ ٜظاس٘ا زطثضبو بث بٞط

يتؾز ضاعث ا ظا ٜزبفتؾا بث ْطخ صیركت ٗتذبؾ ٗىٕٔ یاطث ـلات كیمحت زٛث یٛخ ػیاطق يؼلاٚ ٖبٔظ َطتٙو یاطث ف٘اضبىٕٞ ٚ ٗیٌضا .[10]

ؽ٘بوطف قطغتؿٔ ٕٝی٘ ضازطیٌ طؿىی ٝحفص يؼیجؼ یبٞزٛٔ ٚ طیت يؼیجؼ یبٞ

ض ظا ٜزبفتؾا بث اض .س٘زٕٛ٘ ٝجؾبحٔ یظطٔ َاطٍت٘ا تلازبؼٔ ـٚض ٚ طیٚبصت ـٚ

یلابث ؽ٘بوطف ـبؼتضا یاطث یزبٟٙكیپ ـٚض ٝو س٘سیؾض ٝدیت٘ ٗیا ٝث بٟ٘آ ئ تؾبٙٔ قطغتؿٔ ٕٝی٘ هیتؾلاا یبٞضبتذبؾ سقبث

.[11]

ٚ ٛ٘ٚا ٛتیٞبوبت

ؽ٘ب٘ٚظض ٝؽؾاٚ ٝث ْطخ فدٙؾ ٝث ف٘اضبىٕٞ

( ي٘ٛىیّیؾ نظب٘ ضبیؿث طیت9

٘بو طیت تٔبرظ بث يِبتؿیطو هت ضٛیّت ػؾٛت ٜسق ٜزاز صیركت )طتٔ ٛ٘ب٘33

ٖبؾٛ٘ ؽ٘بوطف ٝو س٘زاز ٖبك٘ ٚ سٙتذازطپ طتٔ ـبؼتضا طّپاز ضعیِ ٛتطپ ٚز تؾا ؼبؿح ضبیؿث ٜسق یطیٌضبث ْطخ ٝث نظب٘ ضٛیّت٘بو طیت هی .[12]

یاطث َبىی٘بىٔٚطىیٔ ئطخ یبٞضٛؿٙؾ یٚض طث ٖبك٘اضبىٕٞ ٚ ٖٚاطث ؼبٔٛت ت سٙتفبیضز ٚ س٘زاز ْبد٘ا يتبؼِبؽٔ يىیغِٛٛیعیف ػیحٔ ضز يِٛىِٛٔٛیث صیرك فیاعفا اض صیركت يیب٘اٛت ٚ تػطؾ يؿ٘ب٘ٚظض يىی٘بىٔ یبٞضبتذبؾ ٝو

ئ

سٙٞز ٚ یسٙث ٝتؿث ٚ تذبؾ فیصٛت ٝث ف٘اضبىٕٞ ٚ يضٛث ؼبٔٛت .[13]

تِبل ضز يِٛىِٛٔٛیث صیركت یاطث يؿ٘ب٘ٚظض ئطخ ضٛؿٙؾ فیبٔظآ ؾٚطىیٔ

َب٘بو ٚطىیٔ هی ٜسق ٝتفطٌ ضبىث َسجٔ ،بٟ٘آ ِٝبؽٔ ضز .سٙتذازطپ َبی ئ يؿ٘ب٘ٚظض طصٙػ ٖاٛٙػ ٝث كّؼٔ

ٓتؿیؾ ٗیا ظا ٜزبفتؾا ُیِز ٝو زٛث

زٛث تلابیؾ ضز زٛخٛٔ يیاطیٔ ٝث غٛثطٔ تلاىكٔ ظا ةبٙتخا [14]

ٚ یضبجخ .

هیتبتؾاٚطتىِا طیتٚطىیٔ هی يؽذ طیغ ـبؼتضا ٝؼِبؽٔ ٝث ف٘اضبىٕٞ

هی ضز

ػیحٔ یظطٔ ػیاطق ٝو سٙتفبیضز ٚ ٝتذازطپ طیصپب٘ ٓواطت َبیؾ یٚبح ٝظفحٔ

ئ ـبؼتضا ٖآ ضز طیت ٚطىیٔ ٝو يِبیؾ ظا ٜسق َبٕػا ضبكف ٝجؾبحٔ ضز سیبٕ٘

طثؤٔ طیتٚطىیٔ يىی٘بىٔ ضبتفض ٖآ تلبؼتٔ ٚ طیتٚطىیٔ حؽؾ طث َبیؾ فطؼ ئ

سقبث

َسٔ یاطث ف٘اضبىٕٞ ٚ یضبجخ .[15]

ؾلاا یظبؾ ٝث ٝتؿثاٚ ٝتیؿیت

ئ ـبؼتضا َبیؾ ُذاز ضز ٝو یطیتٚطىیٔ ٜظاس٘ا ُپٛو فٙت یضٛئت ظا سیبٕ٘

ٝؼِبؽٔ ضز يِٛؼ ٝصركٔ طتٔاضبپ ٝو سٙتفبیضز ٚ ٜزٕٛ٘ ٜزبفتؾا ٝتفبی حلاصا تبقبؼتضا ٝٙٔاز فٞبو ثػبث ٚ ٜزٛث طثؤٔ طیتٚطىیٔ يؽذ طیغ يىیٔبٙیز ضبتفض ئ ٓتؿیؾ يٌسق ْط٘ ٚ زٛق

ْظلا .[16]

تاطثا ضبٙو ضز ٝو تؾا طوش ٝث

يقبؼتضا یبٞضبتذبؾ یٚض طث عی٘ يتفؾ ٚ يیاطیٔ تاطثا َبیؾ هی يؾطٙیا

َسٔ

ٚ يیاطیٔ ٝث ٜسق ٝفبظا ،يفبظا يتفؾ ٚ يیاطیٔ ٖاٛٙػ ٝث ٜسق یظبؾ تاطثا ٝؼِبؽٔ ٚ كیمحت یٚض طث عوطٕت طظبح ٝؼِبؽٔ ضز بٔا .زضاز يتفؾ

ئ َبیؾ يؾطٙیا

ٔ طٍیز یٛؾ ظا .سقبث

ٜزطتؿٌ ُىق ٝث بٞطیتٚطىی ضز یا

ٓتؿیؾ حٙؾ يِبٍچ ٚطىیٔ سٙ٘بٔ يىی٘بىٔٚطتىِاٚطىیٔ یبٞ

ئ ضبو ٝث بٞ

.س٘ٚض

ئ ٖبك٘ تبؼِبؽٔ ظا یضبیؿث طییغت ٗیح زاٛٔ ،بٞضبتذبؾ ٗیا ضز ٝو سٙٞز

ٜظاس٘ا ٝث ٝتؿثاٚ ضبتفض ،ُىق ئ ظٚطث زٛذ ظا10

ٝث ٝتؿثاٚ ضبتفض .سٙٞز ٜظاس٘ا

يٌػیٚ ظا يىی یبٞ

ئ ٝظحلأ ُثبل يؼلٛٔ ٝو تؾا ٜزبٔ هی يتاش ٝو ززطٌ

يِٛؼ ٝصركٔ طتٔاضبپ بث ٝؿیبمٔ ُثبل ٜزبٔ طؽل بی تٔبرظ ٜظاس٘ا ززطٌ ٜزبٔ11

[ یضٛئت .]17 طتٔاضبپ ٗیا ٗتفطٍ٘ طظ٘ ضز ُیِز ٝث ٝتیؿیتؾلاا هیؾلاو یبٞ

8 Thin airfoil

9 Resonating

10 Size dependence

11 Length scale parameter

(3)

يٕ٘ ضبتفض ٗیا طیؿفت ٝث ضزبل یضٛئت ظا سیبث ٚ سٙقبث

هیؾلاو طیغ یبٞ

ٜزبفتؾا

[ زٕٛ٘

َبؾ ضز ٗیِسٙیٔ .]18 َزبؼٔ ْطف ٝؾ ُٔبق زٛذ ئٕٛػ یضٛئت1962

ئ يك٘طو یغط٘ا يِبٍچ تضبجػ ضز بٟ٘آ فلاتذا ٝو زطو ٝئاضا اض [ سقبث

.]19

ٝثبخ ٖبیزاطٌ ُٔبق َٚا تضبجػ ٚ ف٘طو ٖبیزاطٌ ُٔبق ْٚز تضبجػ ،يیبخ

طث ُپٛو فٙت یضٛئت .تؾا فذطچ ٖبیزاطٌ ُٔبق ْٛؾ تضبجػ ٗیٔٛؾ ؼبؾا

يِبح ضز ،تؾا يك٘طو یغط٘ا يِبٍچ ظا تضبجػ ٝث طدٙٔ تضبجػ ٗیٔٚز ٝو

تثبث ٚز ُپٛو فٙت یضٛئت ضز .تؾا ٜسق ٝتیؿیتؾلاا ٖبیزاطٌ یضٛئت فیاسیپ ئ طٞبظ ػثاٚض ضز ٝٔلا تثبث ٚز ضبٙو ضز ٝتیؿیتؾلاا هیؾلاو طیغ [ زٛق

.]19

َبؾ ضز ا ُپٛو فٙت یضٛئت ف٘اضبىٕٞ ٚ ً٘بی 2002

يفطؼٔ اض ٜسق حلاص

ٚ ٜسق ٝتفطٌ طظ٘ ضز ٖضبمتٔ ضٛؿ٘بت هی ُپٛو فٙت ضٛؿ٘بت ٖآ ضز ٝو س٘زطو [ تؾا ٜسق طٞبظ ػثاٚض ضز يِٛؼ ٝصركٔ طتٔاضبپ هی ػمف ٝدیت٘ ضز بث .]18

ٜسق ٝتذبؾ طیت هی يىیتبتؾا ضبتفض ف٘اضبىٕٞ ٚ نضبپ یضٛئت ٗیا ظا ٜزبفتؾا

ٜزٕٛ٘ ٝؼِبؽٔ اض يؿوٛپا ظا [ س٘ا

.]20 ٚ ٓوبح تلازبؼٔ ف٘اضبىٕٞ ٚ ً٘ٛو

طّیٚا طیت هی طث ٓوبح یظطٔ ػیاطق -

ُپٛو فٙت یضٛئت ظا ٜزبفتؾا بث اض يِٛ٘طث

ٝتؿثاٚ يٌػیٚ هی طیت يتفؾ ٝو س٘زطو ـضاعٌ ٚ ٜزضٚآ تؾز ٝث ٜسق حلاصا [ تؾا ٜظاس٘ا ٝث فٙت طیثأت ،يّجل تبمیمحت ضز تؾا زٟٛكٔ ٝو ٝچ٘آ .]17

َسٔ یٚض طث ُپٛو اٛٔ یظبؾ

َبیؾ بث يىیتبتؾاٚطتىِا یبٞطیتٚطىیٔ ٟٝخ

ئ اض ٖآ ٕٝ٘ٛ٘ ٝو ،ٖآ ٖٛٔاطیپ ،زٕٛ٘ ٜسٞبكٔ ئطخ یبٞضٛؿٙؾ ضز ٖاٛت

یضٛئت ظا ٜزبفتؾا ٕٗظ طظبح ِٝبمٔ ضز .تؾا ٝتفطٍ٘ ضاطل يؼٔبخ ٝؼِبؽٔ زضٛٔ

ضٛؿٙؾٚطىیٔ هی تبقبؼتضا يظبیض َسٔ ٝئاضا یاطث ٜسق حلاصا ُپٛو فٙت بیؾ هی ُذاز ضز ئطخ یضٛئت ظا ،طیصپب٘ ٓوطت َ

آ یسؼث ٝؾ هیٔبٙیزٚطی

َسٔ یاطث

َبیؾ ٟٝخاٛٔ یظبؾ -

ئ ٜزبفتؾا سٔبخ َبیؾ َزبؼٔ ْطخ .زٛق

ْطخ ٝث ٚ ٜسق ٝجؾبحٔ ٜزٚعفا ْطخ هی تضٛص ٝث ضٛؿٙؾ ٚطىیٔ يؽیحٔ

ئ ٝفبظا طیتٚطىیٔ

طییغت ٝیبپ غبتِٚ هی ػؾٛت ٜزبفتؾا زضٛٔ طیتٚطىیٔ .زٛق

ٚ ٝتفبی يىیتبتؾا ُىق

ٝصركٔ ةٚبٙتٔ غبتِٚ َبٕػا بث ؽپؾ يىیٔبٙیز یبٞ

ئ ٝؼِبؽٔ ٝتفبی ُىق طییغت تیؼظٚ َٛح ئ ٖبك٘ حیبت٘ .س٘ٛق

ٝو سٙٞز

ئ يِٛؼ ٝصركٔ طتٔاضبپ طییغت ٚ ُپٛو فٙت یضٛئت َبٕػا یٚض طث س٘اٛت

طیتٚطىیٔ فطؼ ٚز ٗیث ٜسق زبدیا يِبیؾ ضبكف فلاتذا ٜسق ٝجؾبحٔ ٖاعیٔ

.زضاصٌ طیثأت -2 هلئسم نبيب

-2 -1 لدم یکیتاتساورتکلا ریتورکیم یزاس

ٖآ بث یظاٛٔ ٗوبؾ ٝحفص هی ٚ نطحتٔ طیتٚطىیٔ هی ُٔبق ٜسق ٝئاضا َسٔ

ضز ٝو تؾا تضٛص

َبٕػا

،يىیتبتؾاٚطتىِا ٖاسیٔ

ٝػٕٛدٔ

ٝث هی تضٛص

ٖظبذ

ُٕػ

ٜزٕٛ٘

ٝو ضز طثا

َبٕػا فلاتذا

،ُیؿ٘بتپ زٚطتىِا يیلابث

ٝث تٕؾ

زٚطتىِا

ٙییبپ ي توطح ئ

سٙو

ٚ ضز غبتِٚ

يٙیؼٔ

يىیتبتؾاٚطتىِا یبٞٚطی٘

طث

یٚطی٘

هیتؾلاا طیت

ٝجّغ اسیپ ئ

.سٙٙو ضز نطحتٔ زٚطتىِا تِبح ٗیا بی

ٚطىیٔ ٖبٕٞ

طیت ضاسیبپب٘

ٜسق

ٚ

ٝث ي٘بٌٟب٘ تضٛص

ٝث تٕؾ

ٝحفص يٙییبپ

توطح

ٜزطو

ٚ

ٝث

ٖآ ئ

ٝث سجؿچ

ٗیا

ٜسیسپ

ٗیِٛپ

ٚ1

ٝث یغبتِٚ

ٝو ضز ٖآ

ٗیا

ٜسیسپ خض ئ

،سٞز غبتِٚ

ئ ٗیِٛپ .سٙیٌٛ

ٝث ضٛؼ

ٜسٕػ

ٗیا بٞطٍّٕػ ضز

تِبح ٚز هی طؾ ضازطیٌ

ٚ طؾ ٚز ضازطیٌ

ٝمجؼ یسٙث ئ

.س٘ٛق طظبح ٗتٔ ضز

ئ ضازطیٌ طؿىی یظطٔ ػیاطق ضز ٝؼِبؽٔ زضٛٔ طیت ٚطىیٔ

ُىق( سقبث .)1

بث ،هیتبتؾا ٚطتىِا هیطحت تحت يِٛ٘طث طّیٚا طیت توطح طث ٓوبح ِٝزبؼٔ

ٝؽثاض تضٛص ٝث ٜسق حلاصا ُپٛو فٙت هیؾلاو طیغ یضٛئت ٗتفطٌ طظ٘ ضز ئ ٝتقٛ٘(1) زٛق :[21]

( ̅ ) ( )

( )

1 Pull in

( )1

( ( ))

ِٝزبؼٔ ٗیا ضز ٝو طیت ضطػ ٝث ̅

طیت تٔبرظ ٚb هی .زضاز يٍتؿثh

ئ ٝتفطٌ طظ٘ ضز طیطػ طیت ٝو ي٘بٔظ ،زٛق

طیطػ طیت ضز .سقبث ̅

تضٛص ٝث ٚ ٜسق ُیسجت تیّپ َٚسٔ ٝث ( )

ئ ٝتقٛ٘

.زٛق ٚE

ئ ٖٛؾاٛپ تجؿ٘ ٚ ً٘بی َٚسٔ تیتطت ٝث ٝتفطٌ طظ٘ ضز هیضبث طیت هی .سٙقبث

ئ

ٝو ي٘بٔظ ،زٛق

ػیاطق ٗیا ضز .سقبث ً٘بی َٚسٔ ٝث يٌزبؾ ٝث ̅

ُیسجتE ئ

.زٛق يؾطٙیا ٖبٕٔI تضٛص ٝث ٚ ٜزٛث طیت غؽمٔ حؽؾ ضاصٌطیثأت

ئ ٝتقٛ٘

.زٛق

ٚ ٚ يقطث َٚسٔ تیتطت ٝث l ٝصركٔ طتٔاضبپ

ئ طیت يِٛؼ .سٙقبث

ٚ ئ طیت غؽمٔ حؽؾ ٚ ٝتیؿ٘از تیتطت ٝث ٓٞA .سٙقبث

ٚ ( ) ٚ ٚ ُثبل ٚ بتؿیا یبٞزٚطتىِا ٗیث ٜسق َبٕػا غبتِٚ تیتطت ٝث

تیطظ ٚ لاذ يٞزضصٌ تیطظ ،يٙییبپ زٚطتىِا ٚ طیت ٗیث ٝیِٚا ّٝصبف ،توطح تىِا ٚ طیت ٗیث ػیحٔ هیطتىِا یز ئ يٙییبپ زٚط

تؾا ّْٛؼٔ يثٛذ ٝث .سٙقبث

هیطتىِا یز تیطظ ،هیتبتؾاٚطتىِا هیطحت تحت یبٞضبتذبؾٚطىیٔ ضز ٝو ضز ٚ ٜسق َبٕػا يىیطتىِا یٚطی٘ یٚض طث اسیسق ضبتذبؾ ٚطىیٔ ٖٛٔاطیپ َبیؾ ئ طیثأت ضبتذبؾ ٖبىٔ طییغت یٚض طث ٝدیت٘

ضز ٗیٙچٕٞ طیت ٚطىیٔ .زضاصٌ

ضبتذبؾ يیاطیٔ ضطؼٔ

ئ

سقبث َزبؼٔ يیاطیٔ تیطظ هی بث طیثأت ٗیا .[22]

ئ ٜزظ تیطمت َٛؼ سحاٚ ضز زٛق

ئ ٜسیز حٛظٚ ٝث .[23]

ضز ٝو زٛق

( ِٝزبؼٔ

ئ تٕؿل ٚز ُٔبق طیت فٕذ يتفؾ )1 ػجتطٔ ٝو تٕؿل هی ،سقبث

بث ئ هیؾلاو يتفؾ ٚ ٜزٛثEI بث ػجتطٔ ٝو طٍیز تٕؿل ٚ سقبث

ٜزٛث

ئ طیت يتفؾ یٚض طث ُپٛو فٙتطثا فطؼٔ ٚ َٛؼ ؼبیمٔ طتٔاضبپ طٌا .سقبث

( ِٝزبؼٔ تضٛص ٗیا ضز سقبث طفص بث طثاطث ٝؽثاض تضٛص ٝث )1

ٝث ُیسجت (2)

ئ هیؾلاو ِٝزبؼٔ

:زٛق ̅ ( )

( )

( )2

( ( ))

ضز ضازطیٌطؾ طیت ٚطىیٔ هی طث ٓوبح یظطٔ ػیاطق ٚx=0

تضٛص ٝثx=l

ػثاٚض ئ ٝتقٛ٘(3) :س٘ٛق

( )3 ( ) ( )

( )

-2 -2 دماج ههجاوم -

لایس

ٖبٕٞ

ضز ٜزطتؿٌ تضٛص ٝث ٜزٚعفا ْطخ ْٟٛفٔ ،سیزطٌ طوش ٓٞ ًلاجل ٝو ضٛؼ ئ غیبٔ یضاصٌضبث تحت سٔبخ ضبتذبؾ ٝو يؽیاطق ضاطل ٜزبفتؾا زضٛٔ ،سقبث

ئ

ئ ـبؼتضا َبیؾ ػیحٔ ضز طیت ٚطىیٔ ٝو يتلٚ .زطیٌ

تاطیثأت ،سیبٕ٘

ٝث ٜسق ٝفبظا ْطخ تضٛص ٝث ،طیت هیٔبٙیز یٚض طث َبیؾ يؾطٙیا طیت ْطخ

َسٔ

ئ یظبؾ ززطٌ

فطص َبیؾ يیاطیٔ یٚطی٘ طثا ظا طظبح ٗتٔ ضز .[24]

طظ٘

ئ

ت ٚطىیٔ ْطخ ٝث ٜسق ٝفبظا ْطخ يٌضعث .ززطٌ

ٝجؾبحٔ طیظ تضٛص ٝث طی

ئ

.ززطٌ

طییغت خط٘ ،بتؿیا ٚ يكذطچ طیغ ،ظٛىؾٚ طیغ ،طیصپب٘ ٓواطت َبیؾ یاطث

Fig. 1 Schematic of an electrostatically actuated microbeam

لکش ضازطیٌطؾ هی طیتٚطىیٔ هی ظا يىیتبٕق یبٕ٘1

(4)

ػؾٛت ٝتفطٌ ْبد٘ا ضبو بث ،َبیؾ ظا يكرث طٞ ٖبٔظ ٝث تجؿ٘ يكجٙخ یغط٘ا ئ طثاطث ٖآ حؽؾ ضز ضبكف سقبث

:[25]

( )4

∬

ٖآ ضز ٝو .تؾا َبیؾ يكجٙخ یغط٘ا

َبیؾ تاضش یزٕٛػ تػطؾ

ئ

.سقبث

َبیؾ ٟٝخاٛٔ حؽؾ ٜسٙٞز ٖبك٘ S -

ئ سٔبخ .سقبث ٖبك٘

تاضش طث جضبذ ظا ٜسق َبٕػا ضبكف ٜسٙٞز ضبو ْبد٘ا َبح ضز ٚ یظطٔ dS

ئ

َبیؾ ٝؽثاض تضٛص ٝث طیت ضطف بث .سقبث -

ٗتفطٌ طظ٘ ضزبث ٚ سٔبخ

( ٝؽثاض َاطٍت٘ا ،هچٛو تبقبؼتضا ٝؽثاض تضٛص ٝث )4

ئ ٝتقٛ٘(5) زٛق

:[26]

( )5

∬ ∫ ∫

ٖآ ضز ٝو ⁄

ئ طیت یزٕٛػ تػطؾ یغط٘ا طییغت خط٘ .سقبث

یاضاز حؽؾ سحاٚ طٞ ضز ٝو يقبؼتضا َبح ضز طیت ٖبٔظ ٝث تجؿ٘ يكجٙخ يفبظا ْطخ َزبؼٔ ئطخ ئM

ٝؽثاض تضٛص ٝث سقبث ئ ٝتقٛ٘(6)

زٛق :[9]

( )6

∫ ∫

( ػثاٚض ٝث ٝخٛت بث ٗیاطثبٙث ( بت )4

ئ )6 ٝؽثاض كثبؽٔ يتضبجػ ٖاٛت (7)

:زضٚآ تؾسث يفبظا ْطخ یاطث ( )7 ∫ ∫

∫ ∫

یضٛئت ظا ٜزبفتؾا بث آ

،بتؿیا َبیؾ یاطث یسؼث ٝؾ هیٔبٙیزٚطی ٝث

ٝؽثاض تضٛص ئ ٝتقٛ٘(8)

زٛق :[7]

( )8 ( ̂ ̂ ) ̅ ∫ ∫

⁽̂ ̂) ( )

ٖآ ضز ٝو ٚ

ئ يٍتذبؾ یبٞطیغتٔ

.سٙقبث ٚ ̂ سؼث يث تبصترٔ ̂

ػثاٚض كثبؽٔ ٝو سٙتؿٞ

(10,9) بث :س٘ضاز ٝؽثاضx,y

( )9 ̂ ̂

( )10 √( ̂ ) ̅ ( ̂ )

( ِٝزبؼٔ ضز ،)8

ئ طیت فطؼا َبیؾ ٝتیؿ٘از .سقبث

طیت زبؼثا تجؿ٘ ̅

َزبؼٔ ٚ ٜزٛث ⁄

ئ

سحاٚ ٚ سقبث عی٘

( ⁄ ) ئ

ٗیا ضز .سقبث

ٗیاطثبٙث ،ززطٌ ٝفبظا طیت ْطخ ٝث يتؿیبث ٜسق ٝجؾبحٔ ٜزٚعفا ْطخ ّٝحطٔ

( ِٝزبؼٔ

تضٛص ٝث )1

ٝؽثاض ئ ٝتقٛ٘(11)

زٛق : ( ̅ ) ( )

( )

( )11

( ( ))

ٝؽثاض ٖآ ضز ٝو :تؾا ضاطلطث(12)

( )12 ( )

يث يفبظا ْطخ عی٘

تضٛص ٝث ٚ ٜزٛث ٜسق سؼث ⁄

ٝتقٛ٘

ئ

زٛق .[27]

ٜزبؾ یاطث ٚ ضبو ضز تِٟٛؾ یاطث ( ٝؽثاض یظبؾ

سؼث يث یبٞطییغتٔ ظا )11

كثبؽٔ

ػثاٚض ئ ٜزبفتؾا(13)

:ززطٌ

( )13

̂ ̂

( ٝؽثاض ضز )13

تضٛص ٝث ٚ ٜزٛث ٓتؿیؾ ٝصركٔ زٛیطپ ٝؽثاض

(14)

ئ ٝتقٛ٘

.زٛق (

)14 (

̅ )

ٝؽثاض تضٛص ٝث طیت ٚطىیٔ ـبؼتضا ٜسق سؼث يث ِٝزبؼٔ ٗیاطثبٙث (15)

ئ ٝتقٛ٘

- :زٛق

̂( ̂ ̂)

̂ ̂( ̂ ̂)

̂ ̂ ̂( ̂ ̂) ̂

( )15

( ̂( ̂ ̂))

ِٝزبؼٔ ضز ٝو ػثاٚض ،(15)

:س٘ضاطلطث(16)

( ̅ ) ̂

̅

( )16 √

ضز ضازطیٌطؾ هی طیت یاطث ٜسق سؼث يث یظطٔ ػیاطق ̂= 0

̂=1 ٚ ٝث

ػثاٚض تضٛص ئ فیطؼت(17)

س٘ٛق .

̂( ̂) ̂( ̂) ̂

( )17

̂( ̂) ̂

-3 مکبح تلادبعم یددع لح ٝث هیتبتؾاٚطتىِا هیطحت غبتِٚ ٝو ززطٍیٔ ضطف تضٛص ٗیا ٝث ّٝحطٔ ٗیا ضز

ٖبیطخ غبتِٚ ظا يجیوطت تضٛص ٚDC

ئAC تحت استثا طیت ٚطىیٔ ٚ سقبث

غبتِٚ بث هیتبتؾاٚطتىِا هیطحت ضبچز ٚ ٝتفطٌ ضاطل )ٓیمتؿٔ ٖبیطخ( DC

ئ هیتبتؾا فٕذ

ٙتٔ ٖبیطخ ،ٝیِٚا تِبح ظا فاطح٘ا ظا ؽپ ٚ زٛق َبٕػا ةٚب

غبتِٚ بث هیطحت تحت طیت ٚ ٜسق َٛح ـبؼتضا ٝث عٚطق ٚ ٝتفطٌ ضاطل AC

ئ يىیتبتؾا ٝتفبی ُىق طییغت تیؼظٚ

يظطػ ٖبىٔ طییغت تیبٟ٘ ضز .سیبٕ٘

ٝؽثاض( زٛث سٞاٛذ هیٔبٙیز ٚ هیتبتؾا ٖبىٔ طییغت تیوطت تضٛص ٝث طیت يّو :)18

( )18

̂( ̂ ̂) ̂( ̂) ̂ ( ̂ ̂)

ؼٔ ٗیا ضز ٝو ِٝزب

̂ ( ̂)

̂ ( ̂ ̂) ٚ ٖبىٔ طییغت فطؼٔ تیتطت ٝث

ئ طیت ٚطىیٔ يىیٔبٙیز ٚ يىیتبتؾا يظطػ فصح بث يىیتبتؾا ِٝزبؼٔ .سٙقبث

ْطت ئ ُصبح توطح يىیٔبٙیز ِٝزبؼٔ ظا ٖبٔظ ٝث ٝتؿثاٚ یبٞ

ٝؽثاض( ززطٌ

.)19 ( )19

̂ ( ̂)

̂ ( ) ( ̂ ( ̂))

( ٝؽثاض ِٝزبؼٔ هی )19 ئ يئعخ تبمتكٔ بث يؽذ طیغ ُیؿ٘اطفیز

سقبث

(طیت يظطػ ٖبىٔ طییغت فطؼٔ ٝو ئ هیتبتؾا تِبح ضز )̂

ٜزبفتؾا .سقبث

ـٚض ظا ٓیمتؿٔ

ٌ ٚ زٚسحٔ ُظبفت یبٞ

ب طدٙٔ ،قٛف ِٝزبؼٔ ُح یاطث ٗیوطِ

ئ يؽذ طیغ یطجخ تلازبؼٔ جاطرتؾا ٝث ُح یاطث طظبح ٗتٔ ضز اصِ .ززطٌ

( ِٝزبؼٔ

قٚض ظا )19 ئ ٜزبفتؾا ي ئ ّٝحطٔ ٚز ُٔبق ٝو ززطٌ

ضز .سقبث

يؽذ ّٝحطٔ ٝث ّٝحطٔ ـٚض ،َٚا ّٝحطٔ

( یظبؾ ضاطل ٜزبفتؾا زضٛٔ )SSLM

ئ

زطیٌ

ٌ یزسػ ـٚض ؽپؾ ٚ[28]

ب تؾسث يؽذ ِٝزبؼٔ ُح یاطث ٗیوطِ

ئ ضاطل ٜزبفتؾا زضٛٔ ّٝحطٔ طٞ ضز ٜسٔآ ـٚض ظا ٜزبفتؾا یاطث .زطیٌ

( ئ ٗیا طث ضطف )SSLM ٝو سقبث

غبتِٚ كثبؽٔ طیت ٚطىیٔ ٖبىٔ طییغت ̂

ٜسق َبٕػا ئ

ٔ ٝث ٖسیؾض ٚ يِبٕػا غبتِٚ فیاعفا بث ٗیاطثبٙث .سقبث ضاسم

ٝؽثاض( سیسخ ض تضٛص ٝث ٖبىٔ طییغت ،))20)

ؽثا

ٝ ئ ٝتقٛ٘(20) زٛق :[28]

( )20 ( ) ( ) ( )

(5)

( )21

̂ ̂ ̂ ̂ ( ̂)

( ِٝزبؼٔ ٗتفطٌ طظ٘ ضز بث ( ِٝزبؼٔ ًبتیبٟ٘ )21

ٝؽثاض تضٛص ٝث )19 (22)

ئ ٝتقٛ٘

.زٛق ( )22

̂

̂ ( ) ( ̂)

یاطث نس٘ا ضاسمٔ ٗتفطٌ طظ٘ ضز بث ( )

ئ ضبظت٘ا ، ٝو زٚض

( ̂)

تاطییغت ةبؿح یضٛئت ظا ٜزبفتؾا بث ٚض ٗیا ظا ،سقبث هچٛو يفبو ٜظاس٘ا ٝث ٚ1

َٛح ،ضّٛیت یطؾ ػؿث تؾبٙٔ ضاسمٔ ٗتفطٌ طظ٘ ضز بث ٚ َٚا ٝجتطٔ بت ̂

( ) ٝجؾبحٔ یاطث يؽذ ِٝزبؼٔ ،

( ̂) ٝؽثاض تضٛص ٝث ٝتقٛ٘(23)

ئ

:زٛق ( ) ( ̂)

̂ ( ) ( ̂ )

( )23 ( )( )

( ̂ )

( ِٝزبؼٔ ُح یاطث

ٌ ـٚض ظا )23 ب

ئ ٜزبفتؾا ٗیوطِ

.ززطٌ

( ̂) طث

ئ يؼثبت یبعف یبٙجٔ

ٝؽثاض تضٛص ٝث س٘اٛت ززطٌ فیطؼت(24)

[29]

:

( )24 ( ̂) ∑

( ̂)

ِٝزبؼٔ ٗیا ضز ٝو ( ̂)

ظا تؾا تضبجػ طظبٙتٔ ٝو ُىق غثبت ٗیٔاn

ئ طیت ٚطىیٔ یظطٔ ػیاطق بث ةبرت٘ا بث .سقبث

ُىق ٝث قٛف یطؾ ّٕٝخN

ٝؽثاض ئ ٜزظ تیطمت(25)

:زٛق

( )25 ( ̂) ∑

( ̂)

( ٝؽثاض َبٕػا بث ( ٝؽثاض ضز )25

ةطظ ٚ )23 ضز ٖظٚ غثبت ٖاٛٙػ ٝث ( ̂)

ٌ ـٚض ب

َاطٍت٘ا ؽپؾ ٚ ٗیوطِ

ظا ُصبح ٝدیت٘ ظا یطیٌ

̂=0 ̂=1 بت ،

ٝؽثاض تضٛص ٝث يؽذ یطجخ تلازبؼٔ ٝػٕٛدٔ

ئ ُصبح(26) :س٘زطٌ

( )26

∑

ئ ٖآ ضز ٝو ػثاٚض ٖاٛت

:تقٛ٘ اض(27)

∫ ^{( )}( ̂) ( ̂) ̂

( )

( ̂ ) ∫ ( ̂) ( ̂) ̂

( )27 ( )( )

( ̂ ) ∫ ( ̂) ̂

یضاصٍیبخ بث ّٝحطٔ طٞ ضز ( ̂)

( ِٝزبؼٔ ضز ٜسق ٝجؾبحٔ

،)20

̂

طٞ یاطث ( )

ئ تؾسث ٜسق ٜزاز ةٚبٙتٔ ٖبیطخ غبتِٚ ٝو يیبد٘آ ظا .سیآ

يفبو ٜظاس٘ا ٝث ٓیمتؿٔ ٖبیطخ غبتِٚ ٝث تجؿ٘ َسٔ ٗیا ضز ٜسق ٜزبفتؾا ئ هچٛو ( ٝؽثاض یظبؾ يؽذ بث ،سقبث

ٝث تجؿ٘ )15 ،ٜسق ٝجؾبحٔ ̂

ٝؽثاض ظا ٜزبفتؾا بث هچٛو يؽذ تبقبؼتضا ئ ضاطل ٝؼِبؽٔ زضٛٔ(28)

:س٘طیٌ

( ̂ ̂ )

̂ ( ̂

̂ ) ̂ ̂

( )28 *( )

( ̂ )

( )

( ̂) ̂ ( ) ( ̂) +

( ٝؽثاض ضز ،)28

( )

̂ ٚ ̂ ئ

.سٙقبث

ةٚبٙتٔ ٖبیطخ غبتِٚ َبٕػا بث ( ) ( ) ̂

ِٝزبؼٔ ضز

1 Calculus of Variation

( ،)28 ( ِٝزبؼٔ

ئ ٝتقٛ٘ طیظ تضٛص ٝث )29 :زٛق

( ̂ ̂ )

̂ ( ̂

̂ ) ̂ ̂ *( )

( ̂ )

( )

( ̂ ) ̂ ( )( ) ̂ ( ̂ ) +

( )29 ( ٝؽثاض ضز ،)29

ٝؽثاض تضٛص ٝث ٚ ٜزٛث سؼث يث هیطحت ؽ٘بوطف ̂ (30)

ئ ٝتقٛ٘

:زٛق ( )30 ̂

√

( ِٝزبؼٔ ُح یاطث

ٚض ،)30

ٌ ـ ب زضٛٔ ٝجتطٔ فٞبو َسٔ ؼبؾا طث ٗیوطِ

ئ ضاطل ٜزبفتؾا .زطیٌ

̂ ( ̂ ̂) ئ يؼثبت یبعف یبٙجٔ طث ( ٝؽثاض تضٛص ٝث س٘اٛت

فیطؼت )31

:ززطٌ

( )31

̂ ( ̂ ̂) ∑ ( ̂)

∞

( ̂)

̂ ( ̂ ̂) تیطمت بث ( ٝؽثاض ُىق ٝث ّٕٝخN

ئ ٝتقٛ٘ )32 :زٛق

( )32

̂ ( ̂ ̂) ∑ ( ̂)

( ̂)

( ٝؽثاض َبٕػا بث ( ٝؽثاض ضز )32

ةطظ ٚ )29 ضز ٖظٚ غثبت ٖاٛٙػ ٝث ( ̂)

ٌ ـٚض ب

َاطٍت٘ا ؽپؾ ٚ ٗیوطِ

ظا ُصبح ٝدیت٘ ظا یطیٌ

̂=0 ̂=1 بت ،

( ٝؽثاض تضٛص ٝث يؽذ یطجخ تلازبؼٔ ٝػٕٛدٔ

ُصبح )33 ئ

:س٘زطٌ

∑ ̈ ( ̂)

∑ ̇ ( ̂)

∑ ( ̂) ( ̂ ̂)

( )33 ِٝزبؼٔ ضز ٝو ئ ،(33)

ػثاٚض ٖاٛت :تقٛ٘ اض(34)

( -34 )فِا

∫ ( ̂) ( ̂) ̂

( -34

̂ ∫ ( ̂) ( ̂) ̂ )ة

∫ ^{( )}( ̂) ( ̂) ̂

( -34 ( ) )ج

( ̂) ∫ ( ̂) ( ̂) ̂

( -34 ( )( ) )ز

( ̂ ) ∫ ( ̂) ̂

ٖبیطخ غبتِٚ هی یاطث طیت ٚطىیٔ يؼیجؼ ؽ٘بوطف ٗییؼت ضٛظٙٔ ٝث طیثأت ظا ٚ ٜسق ٝتفطٌ طظ٘ ضز طیت ٚطىیٔ زاظآ ـبؼتضا ،ٜسق ٜزاز ٓیمتؿٔ

هیطحت یٚطی٘ ٚ يیاطیٔ

فطص ئ طظ٘

( ٝؽثاض ٝث ٝخٛت بث ؽپ .ززطٌ

،)33 i

ٝؽثاض تضٛص ٝث طیتٚطىیٔ يؼیجؼ ؽ٘بوطف ٗیٔا ئ ٝتقٛ٘(35)

:زٛق

( )35

√

ٗتفطٌ طظ٘ ضز بث ٓتؿیؾ يؿ٘بوطف دؾبپ ،ٓوبح تلازبؼٔ ُح بث ًبتیبٟ٘

غبتِٚ ٗیٙچٕٞ ،ٜزٚعفا ْطخ طیثأت اطل ٝؼِبؽٔ زضٛٔ ُپٛو فٙت عی٘ ٚ DC

ض

َبیؾ ٟٝخاٛٔ یٚض طث ُپٛو فٙت طیثأت ٚ ٝتفطٌ

- ئ يؾضطث سٔبخ .زٛق

-4 بهنآ یور ثحب و جیبتن طیتٚطىیٔ هی ،طظبح فٞٚػپ ضز ٜسق ٝئاضا عیِب٘آ یزسػ حیبت٘ فیبٕ٘ یاطث

َٚسخ ضز ٜسق ٝئاضا تبصركٔ بث لاؼ ؽٙخ ظا ضازطیٌطؾ هی ٝتفطٌ طظ٘ ضز1

(6)

ئ حیظٛت ٝث ْظلا .تؾا ٜسق طییغت فّترٔ زبؼثا تجؿ٘ ضز طیت ضطػ ٝو سقبث

تضٛص ٝث ضبتذبؾ يیاطیٔ ٚ ٜزٕٛ٘

ٜسك٘ فطحٙٔ طیت ي٘اطحث يیاطیٔ ظا0.5%

ئ ٜزظ ٗیٕرت زٛق

ئ ضطف .[22]

ضز طیتٚطىیٔ ،ٜسق ٝئاضا َسٔ ضز ٝو ززطٌ

( هیطتىِا یز تیطظ بث ةآ ٚ ءلاذ ػیحٔ ٚز طٞ

تیتطت ٝث ) ٚ1

ـبؼتضا78

ئ

یبٞضبو ضز ٜسق ٝئاضا حیبت٘ بث يىیتبتؾا حیبت٘ يكرثضبجتػا یاطث .سیبٕ٘

ضز ف٘اضبىٕٞ ٚ ٜزاظبظض ػؾٛت ٜسق ٜزبفتؾا تبصركٔ بث طیتٚطىیٔ هی ،يّجل َبؾ (2011 L=150µm, h=3µm , =1µm, E=169GPa,

, b=50 µm ئ ٝتفطٌ طظ٘ ضز )

زٛق َٚسخ ضز .[30]

2

ظا ٜسق جاطرتؾا حیبت٘ بث ،هیؾلاو طیت ٚطىیٔ یاطث ٜسق ٝجؾبحٔ ٗیِٛپ غبتِٚ

ٝؿیبمٔ لابث ضز ٜسق طوش تبصركٔ بث ضازطیٌ طؿىی طیتٚطىیٔ یاطث زٛخٛٔ ضبو ظا ُصبح حیبت٘ ٗیث ٝو تؾا تیؼلاٚ ٗیا طٍ٘بك٘ يثٛذ ٝث حیبت٘ .تؾا ٜسق یمحت حیبت٘ ٚ ٗیِٛپ غبتِٚ یاطث فٞٚػپ ٗیا يّجل تبم

[30]

يثٛذ كثبؽت

.زضاز زٛخٚ

ٗیا ضز ٝتفطٌ ْبد٘ا يىیٔبٙیز تبمیمحت يكرثضبجتػا یاطث ٗیٙچٕٞ

ٜسق ٝئاضا تبصركٔ بث ضازطیٌ طؿىی طیت ٚطىیٔ یاطث ٜزٚعفا ْطخ ضاسمٔ ،ِٝبمٔ

َبؾ ضز ف٘اضبىٕٞ ٚ ٜزاظبظض ِٝبمٔ ضز ( 2009

L=400µm, h=1.5µm

, =2µm, E=169GPa, تجؿ٘ یاطث )

ئ ٝجؾبحٔ فّترٔ زبؼثا زٛق

ئ ضطف .[27]

زٛٔ هی ضز طیت ٚطىیٔ ٝو ززطٌ

ئ ـبؼتضا يؼیجؼ ُىق .سیبٕ٘

ضز ٜسق ٝجؾبحٔ سؼث يث ٜزٚعفا ْطخ طیزبمٔ2

ػؾٛت ٜسق ٝجؾبحٔ سؼث يث ٜزٚعفا ْطخ طیزبمٔ ٚ طظبح ٗتٔ

ٚ ٜزاظبظض

َبؾ ضز ف٘اضبىٕٞ

ئ ٖبك٘ اض2009 سٞز

ُىق .[27]

صركٔ يثٛذ ٝث2

غخطٔ حیبت٘ ٚ طظبح ٗتٔ حیبت٘ ٗیث ٝو تؾا تیؼلاٚ ٗیا ٜسٙٙو كثبؽت[27]

.زضاز زٛخٚ يثٛذ

ٝحفص فطؼ ٚز ٗیث ضبكف فلاتذا ٜظاس٘ا تٕؿل ٗیا ضز ( ⁄ )

َٚسخ ضز ٜسق ٝئاضا تبصركٔ بث ضازطیٌ طؿىی طیت ٚطىیٔ یاطث ظا ٜزبفتؾا بث1

ئ ٝجؾبحٔ فّترٔ زبؼثا تجؿ٘ یاطث ٚ یسؼث ٝؾ هیٔبٙیزٚطیآ ـٚض .زٛق

ُىق ٝجؾبحٔ ٝث غٛثطٔ حیبت٘ طٍ٘بك٘3 هیٔبٙیزٚطیا یضٛئت ظا ٜزبفتؾا بث

َسٔ یاطث یسؼث ٝؾ طظ٘ ضز بث ٜسق حلاصا ُپٛو فٙت ٚ هیؾلاو طیت یبٞ

ئ فّترٔ َٛؼ ؼبیمٔ طتٔاضبپ ٗتفطٌ

ظٚ ٝث .سقبث ئ ٜسیز حٛ

ٝو زٛق

لودج طیغتٔ طیزبمٔ1 يحاطؼ یبٞ

.[21]

Table 1 The values of design variables

طیزبمٔ يحاطؼ یبٞطیغتٔ

541.8µm َٛؼ

2.68 µm تٔبرظ

2.83 µm ٝیِٚا ّٝصبف

27 GPa ٝتیؿیتؾلاا َٚسٔ

98.5 GPa يقطث َٚسٔ

19300 kg/m ٝتیؿ٘از

8.85 PF/m ءلاذ يٞزضصٌ تیطظ

0.44 ٖٛؾاٛپ تجؿ٘

لودج ضازطیٌطؾ هی طیتٚطىیٔ یاطث ٗیِٛپ غبتِٚ ٝؿیبمٔ2 Table 2 Comparison of the pull-in voltage for a cantilever microbeam

حیبت٘

ٗیِٛپ غبتِٚ

( )V

طظبح ضبو

16.93

ف٘اضبىٕٞ ٚ ٜزاظبظض 30]

17

ٝیجق ِٛٛؾٛو یظبؾ 16.9 [30]

ٝتؿث ْطف یسؼثٚز َسٔ

16.8 [30]

َسٔ یاطث ئ تٚبفتٔ ٝتفبی حلاصا ُپٛو فٙت ٚ هیؾلاو یبٞ

.سقبث یاطث

ئ ٝتفبی حلاصا ُپٛو فٙت طیت َسٔ ظا طتٌضعث هیؾلاو طیت َسٔ

ؽپ .سقبث

ٗتفبی فٞبو ثػبث ٝتفبی حلاصا ُپٛو فٙت َسٔ َبٕػا ئ

ضز .ززطٌ

ُىق ئ ٜسیز حٛظٚ ٝث 3 تجؿ٘ ٖسق طتٌضعث بث ٝو زٛق

ضاسمٔ l/h

ٜطٟث بث ٜسق ٝجؾبحٔ

ٝث تجؿ٘ ٜسق حلاصا ُپٛو فٙت َسٔ ظا یطیٌ

ٚز ٗیثبٔ تٚبفت ٚ ٜسق طتىچٛو هیؾلاو َسٔ ظا ٜزبفتؾا بث ٜسق ٝجؾبحٔ

ئ ٝخٛت ُثبل َسٔ

نس٘ا طیزبمٔ یاطث بٔا .سقبث ٓو َسٔ ٚز ٗیث تٚبفت ،l/h

ٜزٛث ئ ٓٞ ٝث هیزع٘ ٚ یاطث ًبصٛصرٔ .سقبث

بث طثاطث l/h ظا ُصبح حیبت٘0.1

ئ ٖبؿىی ًبجیطمت َسٔ ٚز طٞ

ضاسمٔ ٗیطتٕو ٗیٙچٕٞ .سٙقبث قبفتا ي٘بٔظ

ئ

تجؿ٘ ٝو ستفا زٛخٚ بث ٝو تؾا حیظٛت ٝث ْظلا .سقبث هی بث طثاطث l/h

فیپ ضز فلاتذا ضاسمٔ يٙیث

یضٛئت ٚز ظا ٜزبفتؾا بث ٝئاضا ٝتیؿیتؾلاا

فیپ ٜزٚعفا ْطخ یاطث ي٘بؿىی ضاسمٔ یضٛئت ٚز طٞ ،ٜسق ئ يٙیث

ٝو سٙٙو

ئ اض طٔا ٗیا ُیِز ( ِٝزبؼٔ ٗتفطٌ طظ٘ ضز بث ٖاٛت

.زٕٛ٘ ٝیخٛت(7

ُىق ٖبیطخ غبتِٚ تحت طیت ٝو ي٘بٔظ اض طیت ٚطىیٔ يؿ٘بوطف دؾبپ 4

ٓیمتؿٔ

بث طثاطث DC ؽپؾ ٚ ٜسق فٕذ ضبچز ٝیِٚا تِبح ظا تِٚ 0.4

ئ ـبؼتضا سیسخ تیؼلٛٔ ٖٛٔاطیپ ئ ٖبك٘ اض سیبٕ٘

ُىق ظا .سٞز يثٛذ ٝث4

ـبؼتضا ةآ ُذاز ضز ٝو يتِبح ضز طیتٚطىیٔ ٖبؾٛ٘ ٝٙٔاز ٝو تؾا صركٔ

طتٌضعث سیبٕ٘ ئ ـبؼتضا ءلاذ ػیحٔ ضز ٝو يتِبح بث ٝؿیبمٔ ضز سیبٕ٘ ئ

ٚ هی یاطث اطیظ ،تؾا ٖبیطخ غبتِ

طثؤٔ غبتِٚ ،ٜسق ٜزاز DC ةآ ػیحٔ

Fig. 2 variation of the nondimensional added mass versus the aspect ratio and order of the natural mode using the Three-dimensional linear aerodynamic theory; calculated results (dotted lines) and the results obtained by Rezazadeh et al. [27] (continues lines)

لکش ٝؾ هیٔبٙیزٚطیا یضٛئت ظا ٜزبفتؾا بث زبؼثا تجؿ٘ ُثبمٔ ضز ٜزٚعفا ْطخ طییغت2 ػذ غٛؽذ( طظبح ِٝبمٔ ضز ٜسق ٝجؾبحٔ حیبت٘ ،فّترٔ يؼیجؼ یبٞزٛٔ یاطث یسؼث

ف٘اضبىٕٞ ٚ ٜزاظبظض ػؾٛت ٜسق ٝجؾبحٔ حیبت٘ ٚ )ٗیچ )ستٕٔ غٛؽذ ( .[27]

Fig. 3 Dependence of the on the aspect ratio for classic and modified couple stress beam models considering various length scale parameters

لکش يٍتؿثاٚ3

َسٔ یاطث زبؼثا تجؿ٘ ٝث ٜسق ٝجؾبحٔ

ٚ هیؾلاو طیت یبٞ

ؼبیمٔ ٗتفطٌ طظ٘ ضز بث ٝتفبی حلاصا ُپٛو فٙت فّترٔ َٛؼ یبٞ

(7)

ذ ػیحٔ ٝث تجؿ٘

فیاعفا ثػبث تیؼلاٚ ٗیا ٝدیت٘ ضز .سقبث ئ طتكیث ءلا

ُىق .زٛق ئ ٓتؿیؾ ُو يتفؾ فٞبو ٚ يىیطتىِا يتفؾ ٗیا طٍ٘بك٘ 4

ْطخ طیثأت ٗتفطٌ طظ٘ ضز بث ةآ ُذاز ضز طیت ٚطىیٔ ـبؼتضا ٝو تؾا تیؼلاٚ

.زٛق ئ َسٔ يؼیجؼ ؽ٘بوطف فٞبو ثػبث ٜزٚعفا ُىق طظ٘ ضز بث ةآ ُذاز ضز طیت ٚطىیٔ ـبؼتضا يؿ٘بوطف دؾبپ طٍ٘بك٘5

ٜزبفتؾا ٚ ٜزٚعفا ْطخ طیثأت ٗتفطٌ

ضز .سقبث ئ ُپٛو فٙت یضٛئت ظا

ُىق

َسٔ طیتٚطىیٔ ٖبؾٛ٘ ٝٙٔاز طثواسح ٝو تؾا صركٔ يثٛذ ٝث5 یظبؾ

َسٔ طیت ٚطىیٔ ٖبؾٛ٘ ٝٙٔاز طثواسح ٝث تجؿ٘ هیؾلاو یضٛئت بث ٜسق یظبؾ

ث ٜسق طیتٚطىیٔ ٖبؾٛ٘ ٝٙٔاز .تؾا طتٌضعث ٝتفبی حلاصا ُپٛو فٙت یضٛئت ب

َسٔ

تجؿ٘ ضاسمٔ ٝث يٍتؿث ٝتفبی حلاصا ُپٛو فٙت یضٛئت بث ٜسق یظبؾ l/h

تجؿ٘ فیاعفا بث ٝو یضٛؼ ٝث زضاز .سثبی ئ فٞبو تب٘بؾٛ٘ ٝٙٔاز l/h

ٓٞ

ٖبٕٞ ٗیٙچ ٚ ُپٛو فٙت ٗتفطٌ طظ٘ ضز تؾا صركٔ ُىق ضز ٝو ٌٝ٘ٛ

عفا تفیق ٚ يؿ٘ب٘ٚظض ؽ٘بوطف فیاعفا ثػبث يِٛؼ ٝصركٔ طتٔاضبپ فیا

ئ تؾاض تٕؾ ٝث بٞضازٕٛ٘

.زٛق

-5 هجيتن یزيگ

َبیؾ ٟٝخاٛٔ یٚض طث ُپٛو فٙت طیثأت يؾضطث ٝث ٜسق ٝئاضا كیمحت ضز -

سٔبخ

ٝؾ هیٔبٙیزٚطیآ یضٛئت ظا .سق ٝتذازطپ يىیتبتؾاٚطتىِا طیتٚطىیٔ هی ضز ٝجؾبحٔ یاطث یسؼث ٜزٚعفا ْطخ ٝدیت٘ ضز ٚ طیت فطؼ ٚز ٗیث ضبكف فلاتذا

يؽذ طیغ تیٞبٔ ُیِز ٝث .سق ٜزبفتؾا طیتٚطىیٔ تبقبؼتضا ٝث ٜسق َبٕػا

Fig. 4 The effects of the added mass on the frequency response of the microbeam

لکش طیتٚطىیٔ يؿ٘بوطف دؾبپ یٚض طث ٜزٚعفا ْطخ طیثأت4

Fig. 5 The effects of the length scale parameter on the frequency response of the microbeam

لکش طیت ٚطىیٔ يؿ٘بوطف دؾبپ یٚض طث َٛؼ ؼبیمٔ طتٔاضبپ طیثأت5

ٖآ ُح یاطث ٗیوطِبٌ طث يٙتجٔ ٝجتطٔ فٞبو َسٔ ظا ٓوبح تلازبؼٔ

بٞ

ت یضٛئت َبٕػا ٝو س٘زاز ٖبك٘ حیبت٘ .سق ٜزبفتؾا ٜسق حلاصا ُپٛو فٙ

ٜزٚعفا ْطخ ٖاعیٔ ضز یطییغت ،ٜسق زبدیا ضبكف فلاتذا ٖاعیٔ طییغت ٓغطیّػ يٕ٘ زبدیا ئ اض ٖآ ُیِز ٝو سٙو ْطخ ٝجؾبحٔ یاطث ٓوبح ٝؽثاض ضز ٖاٛت

ٝو س٘زاز ٖبك٘ حیبت٘ ٗیٙچٕٞ .تفبی یسؼث ٝؾ هیٔبٙیزٚطیآ یضٛئت ضز ٜزٚعفا یفیو ضز طییغت ثػبث ٜزٚعفا ْطخ زٛخٚ

ٓتؿیؾ يؿ٘بوطف دؾبپ یبٞضازٕٛ٘ ت

ئ

ٝصركٔ طتٔاضبپ ٜظاس٘ا فیاعفا ٚ ُپٛو فٙت ٗتفطٌ طظ٘ ضز ٗیٙچٕٞ .زٛق ٝدیت٘ ضز ٚ ٓتؿیؾ يتفؾ فیاعفا ثػبث طیتٚطىیٔ تٔبرظ ٝث تجؿ٘ يِٛؼ تؾاض تٕؾ ٝث يؿ٘بوطف دؾبپ یبٞضازٕٛ٘ تفیق ٚ يقبؼتضا ٝٙٔاز فٞبو .سیزطٌ

-6 میلاع تسزهف ( طیت ضطػ )m

( طیت عبفتضا )m

( ٝتیؿیتؾلاا َٚسٔ

)GPa

يِٛؼ ٝصركٔ طتٔاضبپ ( غؽمٔ حؽؾ m²

)

غبتِٚ

يٙییبپ زٚطتىِا ٚ طیت ٗیث ٝیِٚا ّٝصبف يؾطٙیا ٖبٕٔ

َبیؾ يكجٙخ یغط٘ا

َبیؾ تاضش یزٕٛػ تػطؾ

َبیؾ ٝخاٛٔ حؽؾ -

سٔبخ

طیت زبؼثا تجؿ٘ ̅

میلاع ینانوی ( يقطث َٚسٔ

)GPa

( طیتٚطىیٔ يِبٍچ kgm^-3

)

هیطتىِا یز تیطظ ( َبیؾ يِبٍچ kgm^-3

)

ٖٛؾاٛپ تجؿ٘

ءلاذ يٞزضصٌ تیطظ

سیونلااب اه

ّٝحطٔ ـضبٕق

سیونریز اه طثؤٔ

-7 عجازم

[1] D. DiLella, L. J. Whitman, R. J. Colton T.W. Kenny, W.J. Kaiser, E.C.Vote, J.A. Podosek, L.M. Miller, A micromachined magnetic-field sensor, based on an electron tunneling displacement transducer, Journal of Sensors and actuators, Vol. 86, No. 1-2, pp. 8–20, 2000.

[2] Johannes A. N. Hengstler, Influence of the fluid-structure interaction on the vibrations of structures, PhD Thesis, Department of Mechanical Engineering, Zurich University, Switzerland, 2013.

[3] Gerard A. Maugin, Continuum Mechanics Through The Ages-From The Renaissance To The Twentieth Century, From Hydralics To Plasticity, Solid Mechanics and Its Applications, pp. 38-42, Switzerland: Springer, 2016.

[4] Jones RT, Properties of low-aspect ratio pointed wings at speeds below and above the speed of sound, Technical Report 835, NASA, 1946.

[5] Miles JW, On the aerodynamic instability of thin panels, Journal of Aeronautical Sciences, Vol. 23, No. 1, pp. 771–791, 1956.

[6] Kornecki A, Dowell EH, O’brien J, On the aeroelastic instability of two- dimensional panels in uniform incompressible flow, Journal of Sound and Vibration , Vol. 47, No. 2, pp. 163–178, 1976.

[7] Lucey AD, Carpenter PW, The hydroelastic stability of three dimensional