٩٦ لﺎﺳ ‐ مود مﺮﺗ ‐ (ﻊﯾﺎﻨﺻ ﺳﺪﻨﻬﻣ ﻪﺘﺷر نﺎﯾﻮﺠﺸﻧاد یاﺮﺑ) ﻄﺧ ﺮﺒﺟ ﺳﻮﻃ ﻦﯾﺪﻟاﺮﯿﺼﻧ ﻪﺟاﻮﺧ ﺘﻌﻨﺻ هﺎ ﺸﻧاد ( ﺿﺎﯾر هﺪ ﺸﻧاد) یﺮﻫﻮﺟ ﻦﯿﺴﺣ :ﻂﺳﻮﺗ ﺲﯾرﺪﺗ (ﮓﻧﺮﺘﺳا تﺮﺒﻠﯿﮔ) نآ یﺎﻫدﺮﺑرﺎﮐ و ﻄﺧ ﺮﺒﺟ :ﻊﺟﺮﻣ بﺎﺘﮐ
ﻢﺸﺷ سرد ی ﻪﺻﻼﺧ
:لﺎﺜﻣ ﺪﻨﭼ
• sp(
0 0 0
) = {
0 0 0
}
• sp(
1 0
−2
) = {c
1 0
−2
,∀c∈R} ⇒
1 0
−2
رادﺮﺑ داﺪﺘﻣا رد ﻂﺧ ﯾ
• sp(
1 0
−2
,
2 0
−4
) ={c
1 0
−2
,∀c∈R}
• A=
1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5
, C(A) = sp(
1 2 3 4
,
1 1 1 1
,
2 3 4 5
) =sp(
1 2 3 4
,
2 3 4 5
)
• A=
[1 2 3 0 0 4 ]
, C(A) = sp(
[1 0 ]
, [2
0 ]
, [3
4 ]
) =sp(
[1 0 ]
, [3
4 ]
) = R2
چﻮﭘ یﺎﻀﻓ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ ١
؟ﺖﺴﯿﭼA=
1 0 5 4 2 4
ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ چﻮﭘ یﺎﻀﻓ
.ﺪﻨﻨﮐ ﻣ قﺪﺻ ﺮﯾز ﻪﻟدﺎﻌﻣ رد ﻪﮐ [u
v ]
یﺎﻫرادﺮﺑ ﻪﻤﻫ :باﻮﺟ
1 0 5 4 2 4
[ u v ]
=
0 0 0
ﻪﺑ ار
1 9 6
ﻞﺜﻣ ﺮ ﯾد یرادﺮﺑ ﺮﮔا ﺎﻣا .ﺖﺳا ﺮﻔﺻ رادﺮﺑ ﻞﻣﺎﺷ ﺎﻬﻨﺗ جﻮﭘ یﺎﻀﻓ ﺲﭘ .u= 0, v = 0 :ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ
١
.ﺪﺑﺎﯾ ﻣ ﺶﯾاﺰﻓا چﻮﭘ یﺎﻀﻓ هﺎﮕﻧآ (ﺖﺳا ﻠﺒﻗ نﻮﺘﺳ ود ﻊﻤﺠﻠﺻﺎﺣ ﺪﯾﺪﺟ نﻮﺘﺳ ﺪﯿﻨﮐ ﺖﻗد) ﻢﯿﻨﮐ ﻪﻓﺎﺿا ﺎﻬﻧﻮﺘﺳ ﻊﻤﺟ
1 0 1 5 4 9 2 4 6
u v w
=
0 0 0
ﻄﺧ ﺐﯿﮐﺮﺗ ﯾ ﻪﮑﻨﯾا ﻨﻌﯾ ﻦﯾا .ﺪﺷﺎﺑ ﻣ ﻢﻫ
1 1
−1
رادﺮﺑ ﻞﻣﺎﺷ ،ﺮﻔﺻ رادﺮﺑ زا ﺮﯿﻏ ،جﻮﭘ یﺎﻀﻓ ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾا رد .ﺖﺳا هﺪﺷ ﺮﻔﺻ ﺎﻬﻧﻮﺘﺳ زا ( ﻬﯾﺪﺑ ﺮﯿﻏ)
1
1 5 2
+ 1
0 4 4
+ (−1)
1 9 6
=
0 0 0
دﻮﺑ ﺮﻔﺻ رادﺮﺑ ﻞﻣﺎﺷ ﺎﻬﻨﺗ چﻮﭘ یﺎﻀﻓ ﻪﮐ ﻠﺒﻗ ﺖﻟﺎﺣ رد /ﺖﺳا Aﺲﯾﺮﺗﺎﻣ یﺎﻬﻧﻮﺘﺳ ﻦﯿﺑ ﮕﺘﺴﺑاو ﺮﻃﺎﺨﺑ ﻦﯾا ﻊﻤﺠﻠﺻﺎﺣ ﺎﻬﻧﻮﺘﺳ زا ﯾ یﺪﻌﺑ ﺖﻟﺎﺣ رد ﺎﻣا (ﺪﻧدﻮﺒﻧ ﻢﻫ زا ﯽﺒﯾﺮﺿ ﺎﻬﻧﻮﺘﺳ) ﺪﻧدﻮﺒﻧ ﻪﺘﺴﺑاو ﻢﻫ ﻪﺑ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ یﺎﻬﻧﻮﺘﺳ
.ﺖﺳا نﻮﺘﺳ ود ﺮ ﯾد
ﻄﺧ لﻼﻘﺘﺳا ١ . ١
ﺪﺷﺎﺑ ﺖﺳرد ﺗرﻮﺻ رد ﺎﻬﻨﺗα1v1+. . .+αnvn =0ﺮﮔا ﺪﻨﺘﺴﻫ ﻄﺧ ﻞﻘﺘﺴﻣv1, . . . ,vnیﺎﻫرادﺮﺑ :ﻒﯾﺮﻌﺗ ﻪﮐ α1 = 0, . . . , αn= 0
.ﺪﺷﺎﺑ ﺮﻔﺻ رادﺮﺑ ﻞﻣﺎﺷ ﺎﻬﻨﺗAچﻮﭘ یﺎﻀﻓ ،ﺪﻨﺷﺎﺑAﺲﯾﺮﺗﺎﻣ یﺎﻬﻧﻮﺘﺳv1, . . . ,vn ﺮﮔا ،ﺮ ﯾد ترﺎﺒﻋ ﻪﺑ
v1 . . . vn
α1
...
αn
=
0...
0
.دﻮﺑ ﺪﻨﻫاﻮﺧ ﻄﺧ ﻪﺘﺴﺑاو رﻮﮐﺬﻣ یﺎﻫرادﺮﺑ ترﻮﺼﻨﯾا ﺮﯿﻏ رد ﺮ ﯾد یﺎﻫرادﺮﺑ ﻄﺧ ﺐﯿﮐﺮﺗ ﺎﺑ ناﻮﺗ ﻣ ار ﺎﻫرادﺮﺑ زا ﯾ ﺎﻤﺘﺣ هﺎﮕﻧآ ﺪﻨﺷﺎﺑ ﻄﺧ ﻪﺘﺴﺑاوv1, . . . ,vn ﺮﮔا :ﻢﻟ
.ﺖﺷﻮﻧ ﻪﮐ ﺪﻨﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد دﻮﺟو(α1, . . . , αn)ﺮﻔﺻ ﺮﯿﻏ ﺐﯾاﺮﺿ ﺪﯾﺎﺑ ﻢﻟ ضﺮﻓ ﻪﺑ ﺎﻨﺑ :تﺎﺒﺛا
α1v1+. . .+αnvn =0
ﺲﭘ .α1 ̸= 0ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ﻪﻠﺌﺴﻣ ﺖﯿﻣﻮﻤﻋ ﺶﻫﺎﮐ نوﺪﺑ α1v1 =−α2v2+. . .+−αnvn
ﻪﺠﯿﺘﻧرد v1 = −α2
α1 v2+. . .+ −αn α1 vn
.دراد ﺎﺘ ﯾ باﻮﺟ ،باﻮﺟ ﻦﺘﺷاد ترﻮﺻ رد ﺮﯾز هﺎﮕﺘﺳد هﺎﮕﻧآ ﺪﻨﺷﺎﺑ ﻄﺧ ﻞﻘﺘﺴﻣAﺲﯾﺮﺗﺎﻣ یﺎﻬﻧﻮﺘﺳ ﺮﮔا :ﻢﻟ Ax=b
٢
چﻮﭘ یﺎﻀﻓ ﻪﺒﺳﺎﺤﻣ رد ﺳوﺎﮔ فﺬﺣ دﺮﺑرﺎﮐ ٢ . ١
.ﺖﺳا هﺎﮕﺘﺳد ﻦﯾا یﺎﻬﺑاﻮﺟ ندﺮﮐ اﺪﯿﭘ ﺎﻣ فﺪﻫ Ax=0
.ﺪﻨﮐ ﻤﻧ دﺎﺠﯾا تﻻدﺎﻌﻣ هﺎﮕﺘﺳد باﻮﺟ رد یﺮﯿﯿﻐﺗ ﻢﯾدﺮﺑ رﺎ ﺑ ﺳوﺎﮔ فﺬﺣ شور رد ﻪﮐ یﺮﻄﺳ تﺎﯿﻠﻤﻋ ﻪﮐ ﻢﯿﻧاد ﻣ ﻪﯾارد ﻪﮐ ﻣﺎﮕﻨﻫ ﺳوﺎﮔ فﺬﺣ شور رد .ﻢﯾﺮﺒﺑ رﺎ ﺑ ﻌﺑﺮﻣﺮﯿﻏ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ یاﺮﺑ ار لﺎﻤﻋا ﻦﯿﻤﻫ ﻢﯿﻧاﻮﺘﻧ دراﺪﻧ ﻠﯿﻟد (ﻢﯾﺪﯿﺳر ﻣ ﺖﺴﺑ ﻦﺑ ﻪﺑ حﻼﻄﺻا ﻪﺑ) ﻢﯿﻨﮐ ﻊﻓر ار ﻞ ﺸﻣ ﻢﯿﺘﺴﻧاﻮﺗ ﻤﻧ یﺮﻄﺳ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﺎﺑ و ﺪﺷ ﻣ ﺮﻔﺻ یرﻮﺤﻣ .ﻢﯿﻨﮐ اﺪﯿﭘ یرﻮﺤﻣ ﻪﯾارد ﯾ یﺪﻌﺑ نﻮﺘﺳ رد ﻢﯿﻨﮐ ﻣ ﻌﺳ و ﻢﯿﻫد ﻣ ﻪﻣادا ار رﺎﮐ ﺎﺠﻨﯾا ﺎﻣا ﻢﯾدﺮﮐ ﻣ ﻒﻗﻮﺘﻣ ار رﺎﮐ .دﻮﺷ ﻣ ﺺﺨﺸﻣ رﺎﮐ شور لﺎﺜﻣ ﯾ ﺎﺑ .ﻢﯿﻨﮐ ﻣ ﺮﻈﻧ فﺮﺻ نآ ﻦﺘﺷﻮﻧ زا ،ﺖﺳا ﺮﻔﺻ هﺎﮕﺘﺳد ﺖﺳار ﺖﻤﺳ رادﺮﺑ نﻮﭼ :ﻪﺟﻮﺗ
A=
1 2 2 2 2 4 6 8 3 6 8 10
ﺮﻔﺻ ار نآ ﺮﯾز یﺎﻫ ﻪﯾارد یﺮﻄﺳ تﺎﯿﻠﻤﻋ ﺎﺑ ﻢﯿﻨﮐ ﻣ ﻌﺳ و ﻢﯿﻨﮐ ﻣ بﺎﺨﺘﻧا یرﻮﺤﻣ ﻪﯾارد ﻦﯿﻟوا ناﻮﻨﻋ ﻪﺑa11ﻪﯾارد .دﻮﺷ ﻣ ﻞﺻﺎﺣ ﺮﯾز ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ .ﻢﯿﻨﮐ
A=
⃝1 2 2 2 0 0 2 4 0 0 2 4
ﻪﯾارد ناﻮﻨﻋ ﻪﺑ ارa23ﻪﯾارد ﺲﭘ .دﺮﮐ ﺮﻔﺻﺮﯿﻏ ار نآ یﺮﻄﺳ ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ ﺎﺑ ناﻮﺗ ﻤﻧ و ﺖﺳا ﺮﻔﺻa22ﻪﯾارد ﻪﻧﺎﻔﺳﺎﺘﻣ .ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ .ﻢﯿﻨﮐ ﻣ ﺮﻔﺻ ار نآ ﺮﯾز ﻪﯾارد یﺮﻄﺳ تﺎﯿﻠﻤﻋ ﺎﺑ و ﻢﯿﻨﮐ ﻣ بﺎﺨﺘﻧا یﺪﻌﺑ یرﻮﺤﻣ
A=
⃝1 2 2 2 0 0 ⃝2 4 0 0 0 0
.ﻢﯾدﺮﮐ اﺪﯿﭘ یرﻮﺤﻣ ﻪﯾارد ود ﻂﻘﻓ ﺎﺠﻨﯾا رد ﺎﻣ ﺲﭘ .دﺮﮐ ناﻮﺗ ﻤﻧ یرﺎﮐ ﺮ ﯾد و ﺖﺳا ﺮﻔﺻ ﻢﻫa34ﻪﯾارد .ﻢﯿﻣﺎﻧ ﻣدازآ نﻮﺘﺳار ﺮ ﯾد یﺎﻬﻧﻮﺘﺳ ویرﻮﺤﻣ نﻮﺘﺳ ار ﺪﻧراد یرﻮﺤﻣ ﻪﯾارد ﻪﮐ ﯽﯾﺎﻬﻧﻮﺘﺳ .ﺪﻨﯾﻮﮔ ﻣ ﻧﺎ ﻠﭘ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﯾ ﻞﺻﺎﺣ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﻪﺑ
: ﺳﺎﺳا ﻪﺘﮑﻧ ود (؟اﺮﭼ) ﺪﻨﺘﺴﻫ ﻄﺧ ﻞﻘﺘﺴﻣ یرﻮﺤﻣ یﺎﻬﻧﻮﺘﺳ • (؟اﺮﭼ) .دروآ ﺖﺳﺪﺑ یرﻮﺤﻣ یﺎﻬﻧﻮﺘﺳ ﻄﺧ ﺐﯿﮐﺮﺗ ﺎﺑ ناﻮﺗ ﻣ ار دازآ نﻮﺘﺳ ﺮﻫ • .ﺖﺳا ﺮﯾز ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻄﺧ ﺐﯿﮐﺮﺗ ﺐﯾاﺮﺿAﺲﯾﺮﺗﺎﻣ چﻮﭘ یﺎﻀﻓ رد رادﺮﺑ ﯾ
x1
1 0 0
+x2
2 0 0
+x3
2 2 0
+x4
2 4 0
=
0 0 0
ﻦﯾا رد .ﻢﯿﻣﺎﻧ ﻣدازآ یﺎﻫﺮﯿﻐﺘﻣار ﺎﻫﺮﯿﻐﺘﻣ ﺮ ﯾد ویرﻮﺤﻣ یﺎﻫﺮﯿﻐﺘﻣار یرﻮﺤﻣ یﺎﻬﻧﻮﺘﺳ ﺎﺑ ﺮﻇﺎﻨﺘﻣ یﺎﻫﺮﯿﻐﺘﻣ .ﺪﻨﺘﺴﻫ دازآ یﺎﻫﺮﯿﻐﺘﻣx4 وx2 و یرﻮﺤﻣ یﺎﻫﺮﯿﻐﺘﻣx3 وx1 لﺎﺜﻣ
٣
:ﺮ ﯾد ﺳﺎﺳا ﻪﺘﮑﻧ ﯾ .ﺪﻨﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ دﺮﻔﺑ ﺮﺼﺤﻨﻣ ترﻮﺼﺑ یرﻮﺤﻣ یﺎﻫﺮﯿﻐﺘﻣ ،ﻢﯿﻫﺪﺑ دازآ یﺎﻫﺮﯿﻐﺘﻣ ﻪﺑ ﻪﮐ ﻫاﻮﺨﻟد راﺪﻘﻣ ﺮﻫ •
(؟اﺮﭼ) ﺪﯿﻨﮐ ﺖﻗد .ﻢﯾروآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ دازآ یﺎﻫﺮﯿﻐﺘﻣ ﺐﺴﺣﺮﺑ ار یرﻮﺤﻣ یﺎﻫﺮﯿﻐﺘﻣ ،هﺎﮕﺘﺳد باﻮﺟ ندروآ ﺖﺳﺪﺑ یاﺮﺑ ﺮﺼﺤﻨﻣ ترﻮﺼﺑ یرﻮﺤﻣ یﺎﻫﺮﯿﻐﺘﻣ (ﺪﻨﺷﺎﺑ ﻄﺧ ﻞﻘﺘﺴﻣ ﻪﻤﻫ ﺎﻬﻧﻮﺘﺳ) ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاﺪﻧ دازآ ﺮﯿﻐﺘﻣ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﻪﮐ ﺘﻟﺎﺣ رد
.ﺖﺳا ﺮﻔﺻ رادﺮﺑ نﺎﻤﻫ ﻪﺘﺒﻟا ﻪﮐ ﺪﻨﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ دﺮﻔﺑ .دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧ ﺮﯾز ترﻮﺼﺑ تﻻدﺎﻌﻣ هﺎﮕﺘﺳد ،ﺚﺤﺑ درﻮﻣ لﺎﺜﻣ رد
x1+ 2x2+ 2x3+ 2x4 = 0 2x3+ 4x4 = 0
0 = 0
.ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ ﻻﺎﺑ تﻻدﺎﻌﻣ زا x3 =−2x4
x1 =−2x2+ 2x4
.ﺖﺷﻮﻧ ﺮﯾز ترﻮﺼﺑ ناﻮﺗ ﻣ ار هﺎﮕﺘﺳد باﻮﺟ
x=
x1 x2 x3 x4
=
−2x2+ 2x4 x2
−2x4 x4
=x2
−2 1 0 0
+x4
2 0
−2 1
صﺎﺧ یﺎﻬﺑاﻮﺟباﻮﺟ ود ﻦﯾا ﻪﺑ .ﺖﺳا هﺪﺷ ﻪﺘﺷﻮﻧ رادﺮﺑ ود ﻄﺧ ﺐﯿﮐﺮﺗ ترﻮﺼﺑ باﻮﺟ ﺪﯿﻨﯿﺑ ﻣ ﻪﮐ رﻮﻄﻧﺎﻤﻫ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ چﻮﭘ یﺎﻀﻓ ﻪﮐ دﻮﺷ ﻣ ﻪﺠﯿﺘﻧ ﻦﯾا زا .(؟اﺮﭼ) ﺪﻨﺘﺴﻫ ﻄﺧ ﻞﻘﺘﺴﻣ ﺎﻣوﺰﻟ صﺎﺧ یﺎﻬﺑاﻮﺟ .ﻢﯿﯾﻮﮔ ﻣ هﺎﮕﺘﺳد یرﻮﺤﻣ یﺎﻬﻧﻮﺘﺳ داﺪﻌﺗ ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑA ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﻧﻮﺘﺳ یﺎﻀﻓﺪﻌﺑ ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺖﺳا یﺪﻌﺑ ود یﺎﻀﻓﺮﯾز ﯾ ﺚﺤﺑ درﻮﻣ (.دﻮﺷ ﻣ ﻪﺘﺧادﺮﭘ ﺎﻀﻓﺮﯾز ﺪﻌﺑ مﻮﻬﻔﻣ ﻪﺑ یﺪﻌﺑ سورد رد) ﺖﺳا ﻧﻮﺘﺳ یﺎﻀﻓ ﺪﻌﺑ=یرﻮﺤﻣ یﺎﻬﻧﻮﺘﺳ داﺪﻌﺗ =ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﻪﺒﺗر
چﻮﭘ یﺎﻀﻓ ﺪﻌﺑ=دازآ یﺎﻬﻧﻮﺘﺳ داﺪﻌﺗ
:چﻮﭘ یﺎﻀﻓ ندروآ ﺖﺳﺪﺑ ﻞﺣاﺮﻣ .ﻢﯾروآ ﻣ رد ﻧﺎ ﻠﭘ ترﻮﺼﺑ یﺮﻄﺳ تﺎﯿﻠﻤﻋ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ارAﺲﯾﺮﺗﺎﻣ • .ﻢﯿﻨﮐ ﻣ ﺺﺨﺸﻣ ار دازآ یﺎﻬﻧﻮﺘﺳ و یرﻮﺤﻣ یﺎﻬﻧﻮﺘﺳ • .ﺪﻨﺘﺴﻫ دازآ یﺎﻬﻧﻮﺘﺳ ﺎﺑ ﺮﻇﺎﻨﺘﻣ دازآ یﺎﻫﺮﯿﻐﺘﻣ و یرﻮﺤﻣ یﺎﻬﻧﻮﺘﺳ ﺎﺑ ﺮﻇﺎﻨﺘﻣ یرﻮﺤﻣ یﺎﻫﺮﯿﻐﺘﻣ • دازآ یﺎﻫﺮﯿﻐﺘﻣ داﺪﻌﺗ ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ صﺎﺧ یﺎﻬﺑاﻮﺟ داﺪﻌﺗ ﺪﯿﻨﮐ ﺖﻗد .ﻢﯾروآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ ار هﺎﮕﺘﺳد صﺎﺧ یﺎﻬﺑاﻮﺟ • .ﻢﯿﻫد ﻣ راﺮﻗ0ار دازآ یﺎﻫﺮﯿﻐﺘﻣ ﻪﯿﻘﺑ و1ار ﻪﻃﻮﺑﺮﻣ دازآ ﺮﯿﻐﺘﻣ ،صﺎﺧ باﻮﺟ ﺮﻫ ندروآ ﺖﺳﺪﺑ یاﺮﺑ .ﺖﺳا
.ﻢﯾروآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ ار یرﻮﺤﻣ یﺎﻫﺮﯿﻐﺘﻣ یراﺬ ﯾﺎﺟ زا ﺪﻌﺑ .دﻮﺷ ﻣ ﻪﺘﺷﻮﻧ صﺎﺧ یﺎﻬﺑاﻮﺟ زا ﻄﺧ ﺐﯿﮐﺮﺗ ترﻮﺼﺑ هﺎﮕﺘﺳد باﻮﺟ •
۴