一般流束条件での定常Navier-Stokes方程式の数値解析

(1)

一般流束条件での

定常 Navier-Stokes _{方程式の数値解析}

明治大学大学院

理工学研究科基礎理工学専攻数学系福嶋剛史

指導教員森本浩子教授

2005 年 2 月 25 日

(2)

1

初めに

2

1.1

初めに

. . . . 2

2

準備

5 2.1

記号と関数空間の説明

. . . . 5

3

定常

Stokes

方程式

6 3.1

問題設定と弱定式化

. . . . 6

3.2

離散化したときの弱形式

. . . . 7

3.3

要素係数行列の計算

. . . . 11

3.4

近似方程式の作成

. . . . 19

4

定常

Navier-Stokes

方程式

21 4.1

非線形項の弱定式化

. . . . 21

4.2 Newton

法

. . . . 25

5

数値実験

29 5.1

実験の問題設定

. . . . 29

5.1.1

数値実験１

. . . . 29

5.1.2

数値実験２

. . . . 31

5.2

実験結果

. . . . 31

5.2.1

数値実験１の結果

. . . . 31

5.3

数値実験２の結果

. . . . 40

5.4

結果のまとめ

. . . . 57

6

実験で用いたプログラム

57 6.1

領域分割と境界値作成を行うプログラム

. . . . 57

6.2 Stokes

方程式を解くプログラム

. . . . 65

6.3

行列

κ

^x_ijk

, κ

^y_ijk の計算プログラム

(Mathematica

による)

. . . . 74

6.4 Navier-Stokes

方程式を解くプログラム

. . . . 74

6.5

流速のベクトル場を描くプログラム

. . . . 85

6.6

等圧線を描くプログラム

. . . . 90

(3)

1 初めに

1.1 初めに

本論文では以下のような定常

Navier-Stokes

方程式を考える.

 

 

 



−ν4u + (u · ∇)u + 1

ρ ∇p = f in Ω,

−div u = 0 in Ω, u = b on ∂Ω.

Ω

は流体の占める２次元有界領域,

∂Ω

はその境界,

ρ

は流体の密度,

ν > 0

は粘性係数,

u = (u, v)

^T は未知の２次元速度ベクトル,

p

は未知の圧力,

f = (f, g)

^T は既知の滑らかな関数で単位質量あたりに働く外力,

b(x, y)

は

Dirichlet

境界条件に対応する与えられた関数とする.

ただし,

b(x, y)

は

Gauss

の発散定理

Z Z

Ω

div u dx dy = Z

∂Ω

b · n dS = 0,

により,

Z

∂Ω

b · n dS = 0,

をみたさなければならない.

ここで,

n

は

∂Ω

の外向き単位法線ベクトル,

Z

∂Ω

dS

は

∂Ω

における境界積分を表す記号とする.

また,境界

∂ Ω

の連結成分が複数個,すなわち

∂Ω = Γ

1

∪ Γ

2

∪ · · · ∪ Γ

N

( Γ

i は連結成分), の場合,上の条件は以下のように書き表せる.

Z

∂Ω

b · n dS = X

N

i=1

Z

Γi

b · n dS = 0.

この条件を一般流束条件という.

各

i (i = 1, 2, · · · , N)

について

Z

Γi

b · n dS = 0.

をみたすならば,一般流束条件をみたす. このときは

Navier-Stokes

方程式の解の存在が解析的に示されている. (H.Fujita , O.A.Ladyzhenskaya)

しかし,この条件が成立せず,一般流束条件のみが成立する場合は, 解が一般的にあるかどうかは知られていない.

そこで,本論文では一般流束条件のみが成立するような問題を考え, その問題に対して２つの数値実験を行ったので紹介する.

(4)

領域

Ω

を以下のような円環領域に設定する.

Ω = {x ∈ R

²

; a < |x| < 1}

ただし

a

は

0 < a < 1

をみたす定数とする. また,境界

Γ

₁

, Γ

₂ を次のようにおく.

Γ

₁

= {x ∈ R

²

; |x| = a}

Γ

₂

= {x ∈ R

²

; |x| = 1}

e

r

, e

θ を動径方向,偏角方向の単位ベクトルとして,

µ , ω

1

, ω

2 は与えられた定数,

R

₁

= a , R

₂

= 1

とする.

Navier-Stokes

方程式の境界値

b

を

b = µ

R

_i

e

_r

+ R

_i

ω

_i

e

_θ

on Γ

_i

(µ 6= 0 , i = 1, 2),

とすると,

b

は一般流束条件のみをみたす.

なぜなら,外向き法線ベクトル

n

が

n =

( −e

_r

on Γ

₁

e

_r

on Γ

₂ なので,

Z

Γ1

b · n dS = Z

Γ1

³ µ

a e

_r

+ aω

_i

e

_θ

´

· (−e

_r

) dS

= − Z

Γ1

µ

a dS = − Z

_2π

0

µ a a dθ

= −2πµ, Z

Γ2

b · n dS = Z

Γ2

(µe

_r

+ ω

_i

e

_θ

) · e

_r

dS

= Z

Γ2

µ dS = Z

_2π

0

µ dθ

= 2πµ.

よって,

µ 6= 0

ならば,一般流束条件のみをみたす.

上の

b

に対して,

ν = ρ = 1 , f = 0

である場合は以下のような厳密解

u

0が存在することが

H.Morimoto[7]

で示されている.

u

0

= µ

r e

r

+ b(µ, r)e

θ

ただし,

r

は各点の原点からの距離で,

b(µ, r)

は

µ

の値によって以下のように変わる.

(1) µ 6= −2ν

のとき,

b(µ, r) = c

₁

r + c

2

r

¹⁺^µ^ν

,

(5)

c

1

= ω

₁

a

²

− ω

₂

a

²⁺^µ^ν

1 − a

²⁺^µ^ν

, c

2

= ω

₂

− ω

₁

a

²

1 − a

²⁺^µ^ν

. (2) µ = −2ν

のとき,

b(µ, r) = 1

r (c

₁

+ c

₂

log r), c

₁

= ω

₂

, c

₂

= ω

1

a

²

− ω

2

log a .

１つ目の数値実験としては, 数値計算で求めた

Navier-Stokes

方程式の解がどの程度厳密解を近似しているかを確認する. そのために,有限要素法における要素分割数と,数値解と厳密解との誤差の相関関係を可視化してみる.

今度は,上の境界値に摂動を加えた場合を考える.

b =

³ µ R

i

+ ϕ

_i

(θ)

´

e

_r

+ (R

_i

ω

_i

+ ψ

_i

(θ))e

_θ

on Γ

_i

, (i = 1, 2)

ただし,

ϕ

i

(θ) , ψ

i

(θ)

は周期

2π

の滑らかな関数で,以下の条件をみたす.

Z

_2π

0

ϕ

_i

(θ)dθ = 0 , Z

_2π

0

ψ

_i

(θ)dθ = 0

摂動を加えた場合も同様に

µ 6= 0

のときは, 一般流束条件のみをみたす.

このとき,

ν, a, ω

₁

, ω

₂ が以下の条件

|ω

₁

− ω

₂

| a

²

1 − a

²

(log a)

²

< 2ν

をみたしている場合,ある１次元可算集合

M

に対し,任意の

µ ∈ R \ M

として,

ϕ

i

, ψ

i

(i = 1, 2)

が十分小さいならば

Navier-Stokes

方程式の解が存在することが

H.Morimoto and S.Ukai[8]

で示されている.

２つ目の数値実験は, このことを確認するとともに, この条件を満たさない場合でも解が存在するかどうかについて調べることである.本論文では,

ν = ρ = 1 , a = 0.5 , f = 0,

( ϕ

_i

(θ), ψ

_i

(θ) ) = (AR

_i

cos θ, BR

_i

sin θ) ( A, B

は任意の実数).

と固定して考える. このとき条件式を

ω

₁

, ω

₂ について整理すると

|ω

₁

− ω

₂

| < 6

(log 2)

²

; 12, 488.

となるので,パラメータ

µ, ω

1

, ω

2

, A, B

を色々変えた場合の解について調べる.

この論文の概略は以下のとおりである. まず,第２節で準備として記号と関数空間を設定し, 第３節で定常

Stokes

方程式を３角形有限要素を用いた有限要素法により数値的に解く. 第４節では

Stokes

方程式の数値解を初期値として, Newton法を用いることで

Navier-Stokes

方程式の近似解を求める. 第５節では,数値実験の問題設定と実験結果を紹介する. 第６節では,実験で用いたプログラムを紹介する.

(6)

2 準備

2.1 記号と関数空間の説明

本節では記号と関数空間の説明を行う.

考える領域

Ω

は流体の占める２次元有界領域,

∂Ω

はその境界とする.

本論文では,

Ω = {x ∈ R

²

; a < |x| < 1}

Γ

1

= {x ∈ R

²

; |x| = a} , Γ

2

= {x ∈ R

²

; |x| = 1}

∂Ω = Γ

₁

∪ Γ

₂ とする.ただし

a

は

0 < a < 1

をみたす定数.

また,

R

₁

= a , R

₂

= 1

とおく.

ρ

は流体の密度とする.

ν > 0

は粘性係数とする.

u = (u, v)

^T は未知の２次元速度ベクトルとする.

p

は未知の圧力とする.

f = (f, g)

^T は既知の滑らかな関数で単位質量あたりに働く外力とする.

b(x, y)

は

Dirichlet

境界条件に対応する与えられた関数とする.

本論文では,摂動を考慮しない場合は,

b = µ

R

_i

e

_r

+ R

_i

ω

_i

e

_θ

on Γ

_i

, (i = 1, 2)

摂動を考慮する場合は,

b =

³ µ

R

_i

+ A cos θ

´

e

_r

+ (R

_i

ω

_i

+ B sin θ)e

_θ

on Γ

_i

, (i = 1, 2)

とする. ただし

µ , ω

₁

, ω

₂

, A , B

は与えられた定数,

e

_r

, e

_θ は動径方向,偏角方向の単位ベクトルとする.

関数空間

L

²

(Ω), H

¹

(Ω)

を以下の式で定義する.

L

²

(Ω) = n

u : Ω → R;

Z Z

Ω

|u|

²

dx dy < ∞ o

H

¹

(Ω) = n

u ∈ L

²

(Ω); ∂u

∂x , ∂u

∂y ∈ L

²

(Ω)

o

(7)

3 定常 Stokes 方程式

3.1 問題設定と弱定式化

Navier-Stokes

方程式の近似解を求めるためには, まず

Stokes

方程式の近似解を求める必要がある.

領域

Ω

を三角形分割したのち, Rits-Galerkin法により近似方程式を作成し, それを解いて有限要素解を求める. 考える

Stokes

方程式は以下のようなものである.

ν4u(x, y) − 1 ρ

∂p

∂x (x, y) + f = 0 in Ω, ν4v(x, y) − 1

ρ

∂p

∂y (x, y) + g = 0 in Ω,

−div u = 0 in Ω,

u(x, y) = b(x, y) on ∂ Ω.

次に,この問題に対する弱形式を考える.

u

^∗

, v

^∗ は

∂Ω

上で０をみたす区分的双２次関数,

p

^∗ は区分的双１次関数とする.

上の第１式から第３式の両辺にそれぞれ

u

^∗

, v

^∗

, p

^∗ を掛けて

Ω

上積分すると以下の式を得る.

ν Z Z

Ω

(4u)u

^∗

dx dy − 1 ρ

Z Z

Ω

∂p

∂x u

^∗

dx dy + Z Z

Ω

f u

^∗

dx dy = 0, ν

Z Z

Ω

(4v)v

^∗

dx dy − 1 ρ

Z Z

Ω

∂p

∂y v

^∗

dx dy + Z Z

Ω

gv

^∗

dx dy = 0,

− Z Z

Ω

∂u

∂x p

^∗

dx dy − Z Z

Ω

∂v

∂y p

^∗

dx dy = 0

Green

の公式, Gauss の公式,

u

^∗

, v

^∗ が境界で

0

になることより,上

2

式を次のように変形できる.

−ν Z Z

Ω

(∇u · ∇u

^∗

) dx dy + 1 ρ

Z Z

Ω

∂u

^∗

∂x p dx dy + Z Z

Ω

f u

^∗

dx dy = 0,

−ν Z Z

Ω

(∇v · ∇v

^∗

) dx dy + 1 ρ

Z Z

Ω

∂v

^∗

∂y p dx dy + Z Z

Ω

gv

^∗

dx dy = 0.

ここで,

E, F ∈ H

¹

(Ω), G, H ∈ L

²

(Ω)

に対して,以下の記号を定義する.

 

 



 

 

hE, F i = Z Z

Ω

µ ∂E

∂x

∂F

∂x + ∂E

∂y

∂F

∂y

¶

dx dy,

x

[F, G] = Z Z

Ω

∂F

∂x G dx dy,

y

[F, G] = Z Z

Ω

∂F

∂y G dx dy, (G, H ) =

Z Z

Ω

GH dx dy.

(8)

これらの記号を用いると定常

Stokes

方程式の弱形式は次のように表せる.

 

 



 

 

−νhu

^∗

, ui + 1

ρ

^x

[u

^∗

, p] + (u

^∗

, f ) = 0,

−νhv

^∗

, vi + 1

ρ

^y

[v

^∗

, p] + (v

^∗

, g) = 0,

−

x

[u

^∗

, p] −

y

[v

^∗

, p] = 0.

3.2 離散化したときの弱形式

本節では各３角形要素（有限要素）

e

について離散化した場合の弱形式を作成する.

上で表した定常

Stokes

方程式の弱形式において,

u, v, p, f, g, u

^∗

, v

^∗

, p

^∗ の近似関数をそれぞれ, ˆ

u, v, ˆ p, ˆ f , ˆ g, ˆ u ˆ

^∗

, v ˆ

^∗

, p ˆ

^∗ として離散化すると,以下の弱形式を得る.

 

 



 

  X

e

½

−νhˆ u

^∗

, ui ˆ

e

+ 1

ρ

^x

[ˆ u

^∗

, p] ˆ

e

+ (ˆ u

^∗

, f) ˆ

e

¾

= 0, X

e

½

−νhˆ v

^∗

, vi ˆ

_e

+ 1

ρ

^y

[ˆ v

^∗

, p] ˆ

_e

+ (ˆ v

^∗

, g) ˆ

_e

¾

= 0, X

e

{−

_x

[ˆ u

^∗

, p] ˆ

_e

−

_y

[ˆ v

^∗

, p] ˆ

_e

} = 0.

ただし,

 

 



 

 

hE, F i

_e

= Z Z

e

µ ∂E

∂x

∂F

∂x + ∂E

∂y

∂F

∂y

¶

dx dy,

x

[F, G]

_e

= Z Z

e

∂F

∂x G dx dy,

y

[F, G]

_e

= Z Z

e

∂F

∂y G dx dy, (G, H)

_e

=

Z Z

e

GH dx dy.

とする. (

E, F ∈ H

¹

(e), G, H ∈ L

²

(e) )

この式をさらに変形して,具体的に形が見えるようにする. その前に変形するために必要な事柄を説明する.

３角形要素

e

について,頂点を

P

₀

, P

₁

, P

₂

,

辺

P

₁

P

₂ の中点を

P

₃

,

辺

P

₂

P

₀ の中点を

P

₄

,

辺

P

₀

P

₁ の中点を

P

₅ とする.

また,流速

u, v

は各要素の頂点と中点で, 圧力

p

は頂点のみで考えることにする.

P

₀

, P

₁

, P

₂の座標を各々

(x

₀

, y

₀

) , (x

₁

, y

₁

) , (x

₂

, y

₂

)

として,

λ

₀

, λ

₁

, λ

₂ を以下の式で定義する.



 

 

 

 

λ

₀

(x, y) = (x

1

y

2

− x

2

y

1

)

D + (y

1

− y

2

)

D x + (x

2

− x

1

)

D y,

λ

₁

(x, y) = (x

₂

y

₀

− x

₀

y

₂

)

D + (y

₂

− y

₀

)

D x + (x

₀

− x

₂

)

D y,

λ

₂

(x, y) = (x

0

y

1

− x

1

y

0

)

D + (y

0

− y

1

)

D x + (x

1

− x

0

)

D y.

(9)

ただし,

D

は

P

₀

P

₁

, P

₀

P

₂ を２辺とする平行四辺形の面積で,次の式で表される.

D =

¯ ¯

¯

1 x

₀

y

₀

1 x

₁

y

₁

1 x

₂

y

₂

¯ ¯

¯ .

このとき

{λ

0

, λ

1

, λ

2

}

は

λ

_i

(P

_j

) = δ

_ij

(i, j = 0, 1, 2)

をみたすので,１次の基底となっている.

また,２次の基底

{φ

₀

, φ

₁

, φ

₂

, φ

₃

, φ

₄

, φ

₅

}

は１次の基底を用いて,以下のように定義できる.

 

 

 

 



φ

₀

= λ

₀

(2λ

₀

− 1), φ

1

= λ

1

(2λ

1

− 1), φ

₂

= λ

₂

(2λ

₂

− 1), φ

₃

= 4λ

₁

λ

₂

, φ

4

= 4λ

2

λ

0

, φ

₅

= 4λ

₀

λ

₁

. φ

_i は,

φ

_i

(P

_j

) = δ

_ij

(i, j = 0, 1, · · · , 5)

を満たしている.

S

を要素

e

の面積とすると,

S = D/2

であり,面積座標の積分公式

Z Z

e

λ

^l₀

λ

^m₁

λ

ⁿ₂

dx dy = 2S l!m!n!

(l + m + n + 2)! (l, m, n ≥ 0)

が成立する.

定数

α

_i

, β

_i を,



 



 



α

0

:= y

1

− y

2

D ,

α

₁

:= y

2

− y

0

D ,

α

₂

:= y

0

− y

1

D ,

β

₀

:= x

2

− x

1

D ,

β

₁

:= x

0

− x

2

D ,

β

₂

:= x

₁

− x

₀

D ,

と定義する. すると,

∂φ

_i

∂x = ∂

∂x (λ

_i

(2λ

_i

− 1))

= (4λ

_i

− 1)α

_i

, (i = 0, 1, 2)

∂φ

₃

∂x = ∂

∂x (4λ

₁

λ

₂

)

= 4α

1

λ

2

+ 4α

2

λ

1

,

∂φ

4

∂x = 4α

2

λ

0

+ 4α

0

λ

2

,

∂φ

₅

= 4α

0

λ

1

+ 4α

1

λ

0

,

(10)

が成立する.

φ

_i の

y

についての微分も

α

_i を

β

_i に置き換えれば,同様の結果を得る.

また

α

i

, β

iの定義式より

α

₀

+ α

₁

+ α

₂

= 1

D {(y

₁

− y

₂

) + (y

₂

− y

₀

) + (y

₀

− y

₁

)}

= 0, β

₀

+ β

₁

+ β

₂

= 1

D {(x

₂

− x

₁

) + (x

₀

− x

₂

) + (x

₁

− x

₀

)}

= 0

となる.

c

_i

(i = 0, 1, 2)

を以下のように定義する.

 



 

c

₀

:= α

₁

α

₂

+ β

₁

β

₂

, c

₁

:= α

₂

α

₀

+ β

₂

β

₀

, c

₂

:= α

₀

α

₁

+ β

₀

β

₁

.

さらに, ¯

c := c

₀

+ c

₁

+ c

₂ とする.

上に挙げた,１次の基底

λ

_i

,

２次の基底

φ

_i を用いると

u, ˆ v, ˆ p, ˆ f , ˆ g, ˆ u ˆ

^∗

, v ˆ

^∗

, p ˆ

^∗ は次のように表される.

ˆ u =

X

5

i=0

u

i

φ

i

(x, y), u ˆ

^∗

= X

5

i=0

u

^∗_i

φ

i

(x, y), ˆ

v = X

5

i=0

v

_i

φ

_i

(x, y), v ˆ

^∗

= X

5

i=0

v

_i^∗

φ

_i

(x, y), ˆ

p = X

2

i=0

p

i

λ

i

(x, y), p ˆ

^∗

= X

2

i=0

p

^∗_i

λ

i

(x, y), f ˆ =

X

5

i=0

f

_i

φ

_i

(x, y), ˆ g

^∗

= X

5

i=0

g

_i^∗

φ

_i

(x, y).

ただし,

u

_i などは

u

の各頂点

P

_i における値を表すものとして用いている.

この関係式を上の弱形式に代入する.

hˆ u

^∗

, ui ˆ

e

=

*

₅

X

i=0

u

^∗_i

φ

i

, X

5

j=0

u

j

φ

j

+

e

= X

5

i=0

X

5

j=0

u

^∗_i

hφ

i

, φ

j

i

e

u

j

= ˆ u

^∗_e^T

A ˆ

e

u ˆ

e

.

hˆ v

^∗

, ˆ vi

_e

=

* X

5

i=0

v

^∗_i

φ

_i

, X

5

j=0

v

_j

φ

_j

+

e

= X

5

i=0

X

5

j=0

v

^∗_i

hφ

_i

, φ

_j

i

_e

v

_j

= ˆ v

^∗_e^T

A ˆ

_e

v ˆ

_e

.

(11)

x

[ˆ u

^∗

, p] ˆ

_e

=

"

₅

X

i=0

u

^∗_i

φ

_i

, X p

_j

λ

_j

#

e

= X

5

i=0

X

2

j=0

u

^∗_{i x}

[φ

_i

, λ

_j

]

_e

p

_j

= ˆ u

^∗_e^T

B ˆ

_e

p ˆ

_e

.

y

[ˆ v

^∗

, p] ˆ

_e

=

"

X

5

i=0

v

_i^∗

φ

_i

, X

2

j=0

p

_j

λ

_j

#

e

= X

5

i=0

X

2

j=0

v

^∗_{i y}

[φ

_j

, λ

_i

]

_e

p

_j

= ˆ v

^∗_e^T

C ˆ

_e

p ˆ

_e

.

x

[ˆ u, p ˆ

^∗

]

e

=

"

₅

X

j=0

u

j

φ

j

, X

2

i=0

p

^∗_i

λ

i

#

e

= X

5

j=0

X

2

i=0

p

^∗_{i x}

[φ

j

, λ

i

]

e

u

j

= ˆ p

^∗_e^T

B ˆ

e T

u ˆ

e

.

y

[ˆ v, p ˆ

^∗

]

e

=

"

₅

X

j=0

v

j

φ

j

, X

2

i=0

p

^∗_i

λ

i

#

e

= X

5

j=0

X

2

i=0

p

^∗_{i y}

[φ

j

, λ

i

]

e

v

j

= ˆ p

^∗_e^T

C ˆ

e T

v ˆ

e

.

(ˆ u

^∗

, f)

e

= Ã

₅

X

i=0

u

^∗_i

φ

i

, X

5

j=0

f

j

φ

j

!

e

= X

5

i=0

X

5

j=0

u

^∗_i

(φ

i

, φ

j

)

e

f

j

= ˆ u

^∗_e^T

D ˆ

e

ˆ f

e

.

(ˆ u

^∗

, g)

_e

= Ã

₅

X

i=0

u

^∗_i

φ

_i

, X

5

j=0

g

_j

φ

_j

!

e

= X

5

i=0

X

5

j=0

u

^∗_i

(φ

_i

, φ

_j

)

_e

g

_j

= ˆ u

^∗_e^T

D ˆ

_e

g ˆ

_e

.

各々代入すると,以下の方程式を得る.

 

 

 

 

 X

e

u ˆ

^∗_e^T

n

νρ A ˆ

e

u ˆ

e

− B ˆ

e

p ˆ

_e

− ρ D ˆ

e

ˆ f

e

o

= 0, X

e

ˆ v

^∗_e^T

n

νρ A ˆ

_e

v ˆ

_e

− C ˆ

_e

p ˆ

_e

− ρ D ˆ

_e

g ˆ

_e

o

= 0, X

e

ˆ p

^∗_e^T

n

− B ˆ

_e^T

u ˆ

_e

− C ˆ

_e^T

v ˆ

_e

o

= 0.

(12)

ただし, 各

e

に対して, ˆ

u

e

, u ˆ

^∗_e

, v ˆ

e

, v ˆ

^∗_e

, p ˆ

_e

, p ˆ

^∗_e

, ˆ f

e

, ˆ g

_e は各頂点

P

i での値を並べた列ベクトルで, ˆ

A

_e

, ˆ D

_e は６行６列の行列で, ˆ

B

_e

, ˆ C

_e は６行３列の行列であり,各成分は以下の式で定義する.



 

 

 

 

( ˆ A

_e

)

_ij

= hφ

_i

, φ

_j

i

_e

= Z Z

e

µ ∂φ

_i

∂x

∂φ

_j

∂x + ∂φ

_i

∂y

∂φ

_j

∂y

¶ dx dy ( ˆ B

e

)

ij

=

x

[φ

i

, λ

j

]

^e

=

Z Z

e

∂φ

_i

∂x λ

j

dx dy ( ˆ C

_e

)

_ij

=

_y

[φ

_i

, λ

_j

]

^e

=

Z Z

e

∂φ

_i

∂y λ

_j

dx dy ( ˆ D

_e

)

_ij

= (φ

_i

, φ

_j

)

_e

=

Z Z

e

φ

_i

φ

_j

dx dy

次の節で実際に要素係数行列

A ˆ

_e

, B ˆ

_e

, C ˆ

_e

, D ˆ

_e を計算する.

3.3 要素係数行列の計算

この節では要素係数行列

A ˆ

e

, B ˆ

e

, C ˆ

e

, D ˆ

e を実際の計算により求めることにする.

A ˆ

_eの各成分

hφ

_i

, φ

_j

i

_e を求める. ˆ

A

_eの対称性より,上半分

(i ≤ j)

のところで考えればよい.

i = 0, 1, 2

のとき,

hφ

_i

, φ

_i

i

_e

= Z Z

e

µ ∂φ

_i

∂x

¶

₂

+

µ ∂φ

_i

∂y

¶

₂

dx dy

= Z Z

e

((4λ

_i

− 1)α

_i

)

²

+ ((4λ

_i

− 1)β

_i

)

²

dx dy

= (α

²_i

+ β

_i²

) Z Z

e

(16λ

²_i

− 8λ

_i

+ 1) dx dy

= (α

²_i

+ β

_i²

)2S

· 16 2!

4! − 8 1 3! + 1

2!

¸

= (α

²_i

+ β

_i²

)S

となる.

i, j = 0, 1, 2 i 6= j

のとき,

hφ

_i

, φ

_j

i

_e

=

Z Z

e

µ ∂φ

_i

∂x

¶ µ ∂φ

_j

∂x

¶ +

µ ∂φ

_i

∂y

¶ µ ∂φ

_j

∂x

¶ dx dy

= Z Z

e

((4λ

_i

− 1)α

_i

)((4λ

_j

− 1)α

_j

) + ((4λ

_i

− 1)β

_i

)((4λ

_j

− 1)β

_j

) dx dy

= (α

_i

α

_j

+ β

_i

β

_j

) Z Z

e

(16λ

_i

λ

_j

− 4λ

_i

− 4λ

_j

+ 1) dx dy

= (α

i

α

j

+ β

i

β

j

)2S

· 16 1

4! − 4 1 3! − 4 1

3! + 1 2!

¸

= − 1

3 (α

_i

α

_j

+ β

_i

β

_j

)S

となる.

(13)

hφ

₀

, φ

₃

i

_e

= Z Z

e

(4λ

₀

− 1)α

₀

(4α

₁

λ

₂

+ 4α

₂

λ

₁

) + (4λ

₀

− 1)β

₀

(4β

₁

λ

₂

+ 4β

₂

λ

₁

) dx dy

= 4(α

0

α

1

+ β

0

β

1

) Z Z

e

(4λ

0

− 1)λ

2

dx dy +4(α

₀

α

₂

+ β

₀

β

₂

)

Z Z

e

(4λ

₀

− 1)λ

₁

dx dy

ここで,

i 6= j

のとき

(i, j = 0, 1, 2)

Z Z

e

(4λ

_i

− 1)λ

_j

dx dy = Z Z

e

4λ

_i

λ

_j

− λ

_j

dx dy

= 2S

· 4 1

4! − 1 3!

¸

= 0

となるので,

hφ

₀

, φ

₃

i

_e

= 0

が成立する.また同様に,

hφ

₁

, φ

₄

i

_e

= hφ

₂

, φ

₅

i

_e

= 0

も成立する.

hφ

0

, φ

4

i

e

= Z Z

e

(4λ

0

− 1)α

0

(4α

2

λ

0

+ 4α

0

λ

2

) + (4λ

0

− 1)β

0

(4β

2

λ

0

+ 4β

0

λ

2

) dx dy

= 4(α

₀

α

₂

+ β

₀

β

₂

) Z Z

e

(4λ

₀

− 1)λ

₀

dx dy +4(α

²₀

+ β

₀²

)

Z Z

e

(4λ

₀

− 1)λ

₂

dx dy

= 4(α

₀

α

₂

+ β

₀

β

₂

) Z Z

e

(4λ

₀

− 1)λ

₀

dx dy

= 4(α

0

α

2

+ β

0

β

2

)2S

· 4 2!

4! − 1 3!

¸

= 4

3 (α

₀

α

₂

+ β

₀

β

₂

)S

= 4

3 c

₁

S.

(14)

また,

c

_i を用いて以下の結果も同様に得る.

 

 



 

 

hφ

₀

, φ

₅

i

_e

= 4 3 c

₂

S, hφ

1

, φ

3

i

e

= 4

3 c

0

S, hφ

₁

, φ

₅

i

_e

= 4

3 c

₂

S, hφ

₂

, φ

₃

i

_e

= 4

3 c

₀

S, hφ

2

, φ

4

i

e

= 4

3 c

1

S. hφ

₃

, φ

₃

i

_e

= Z Z

e

(4α

₁

λ

₂

+ 4α

₂

λ

₁

)

²

+ (4β

₁

λ

₂

+ 4β

₂

λ

₁

)

²

dx dy

= 16(α

²₁

+ β

₁²

) Z Z

e

λ

²₂

dx dy + 32(α

₁

α

₂

+ β

₁

β

₂

) Z Z

e

λ

₁

λ

₂

dx dy +16(α

²₂

+ β

₂²

)

Z Z

e

λ

²₁

dx dy

= 8 3

© (α

²₁

+ β

₁²

) + (α

₁

α

₂

+ β

₁

β

₂

) + (α

²₂

+ β

₂²

) ª S

= 8

3 {α

₁

(α

₁

+ α

₂

) + β

₁

(β

₁

+ β

₂

) − α

₂

(α

₀

+ α

₁

) − β

₂

(β

₀

+ β

₁

)} S

= − 8

3 {(α

₀

α

₁

+ α

₁

α

₂

+ α

₂

α

₀

) + (β

₀

β

₁

+ β

₁

β

₂

+ β

₂

β

₀

)} S

= − 8

3 (c

₀

+ c

₁

+ c

₂

)S

= − 8 3 ¯ cS.

同様に,

hφ

₄

, φ

₄

i

_e

= hφ

₅

, φ

₅

i

_e

= − 8

3 ¯ cS

が成立する.

一般流束条件での 定常Navier-Stokes方程式の数値解析