他 教 科 と の 関 連 を 踏 ま え た 数 学 史 の 授 業 実 践

他 教 科 と の 関 連 を 踏 ま え た 数 学 史 の 授 業 実 践

− Brachistochrone Problem を 題 材 に −

筑 波 大 学 大 学 院 修 士 課 程 教 育 研 究 科 齋 藤   康 則

１ ． は じ め に

２ ． 研 究 目 的 と 方 法 ３ ． 授 業 概 要

  ① 授 業 環 境   ② 授 業 目 標   ③ 教 材 解 説

④ 授 業 展 開 ４ ． 考 察 ５ ． お わ り に

１ ． は じ め に

     ｢ 数 学 っ て 暗 記 教 科 だ よ ね ？ ｣ こ れ は ， あ る 中 学 生 の 言 葉 で あ る 。「 ど う し て 数 学 を 学 習 し な け れ ば な ら な い の ？ 」「 数 学 っ て 何 に 役 立 つ の ？ 」 こ の よ う な こ と を 言 う 生 徒 に 対 し ， 適 切 な 解 答 を 示 す こ と が で き な い の が 筆 者 の 現 状 で あ る が ， こ れ ら の 発 言 は ， 生 徒 が 「 数 学 」 と い う も の を ど の よ う に 捉 え て い る の か を 考 え て い く 上 で 必 要 な も の で あ る 。 ま た ， こ れ ら の 言 葉 を 耳 に す る 中 ， 現 在

「 数 学 離 れ 」 が 懸 念 さ れ て い る 。 例 え ば ， 高 等 学 校 で は 「 受 験 の た め の 数 学 」 と い う イ メ ー ジ が ど う し て も 強 調 さ れ ， 授 業 の 中 で 数 学 を 楽 し む ま で に は 至 ら ず ， こ れ が ｢ 数 学 離 れ ｣ の 要 因 と 筆 者 は 考 え る 。 筆 者 が 高 校 生(14名)に 実 施 し た ア ン ケ ー ト 『 問 ： あ な た が 今 ま で に 受 け た 数 学 の 授 業 の 印 象 を 自 由 に 書 い て 下 さ い 。』 の 回 答 の 中 に も ，「 難 し く ， わ け の 分 か ら な い と き も あ る 。」「 あ ま り 面 白 く な い 。」「 き ち ん と 理 解 で き な い 。」 と い っ た 回 答 が 目 立 ち ， 数 学 を 楽 し む 要 素 が 授 業 に は あ ま り な い こ と が 推 測 で き る 。

2002 年 度 よ り 小 ・ 中 学 校 で ，2003 年 度 よ り 高 等 学 校 で 新 学 習 指 導 要 領 が 実 施 さ れ る が ， 学 校 週 ５ 日 制 に 合 わ せ ， 小 ・ 中 学 校 で は 授 業 時 数 を 年 間 70 時 限 カ ッ ト す る 。 中 学 校 数 学 は ， 現 行 の 学 習 指 導 要 領 で は ，1年 ：3 時 間 ，2 年 ：4

要 約

現 在 懸 念 さ れ て い る ｢ 数 学 離 れ ｣ ｢ 学 力 低 下 ｣ の 問 題 や ， 新 学 習 指 導 要 領 の 実 施 に 伴 う 授 業 時 数 削 減 を 考 え る に あ た り ，2003 年 度 か ら 高 等 学 校 に 導 入 さ れ る ｢ 数 学 基 礎 ｣ の 中 の 数 学 史 を 題 材 に し た ， 他 教 科 と の 合 理 的 な 取 り 組 み を 導 入 し た 数 学 の 授 業 実 践 を 行 っ た 。 そ の 結 果 ， 生 徒 の 持 つ 数 学 の イ メ ー ジ を よ い 方 向 に 変 容 さ せ た 。 ま た ， 他 教 科 を 取 り 入 れ た 数 学 の 授 業 は 生 徒 に ， 教 科 ど う し が 関 わ り の あ る も の で あ る と 認 識 さ せ る こ と が で き た 。

時 間 ，3 年 ：4 時 間(各 学 年 と も 週 当 た り)で あ っ た の が ， 新 学 習 指 導 要 領 で は ， １ 年 ： ３ 時 間 ， ２ 年 ： ３ 時 間 ， ３ 年 ： ３ 時 間(各 学 年 と も 週 当 た り)と な る 。 こ れ で は ， 授 業 時 数 削 減 に よ り 数 学 と 接 す る 機 会 が 減 少 し ， 現 在 懸 念 さ れ て い る

「 数 学 離 れ 」「 学 力 低 下 」 等 の 問 題 解 決 ま で に は 至 ら な い と 筆 者 は 考 え る ｡ こ こ で ， 筆 者 は 上 記 の 問 題 点 「 受 験 の た め の 数 学 」「 数 学 離 れ 」 等 を 考 え る に あ た り ，2003 年 度 よ り 高 等 学 校 で 施 行 さ れ る 「 数 学 基 礎 」 に 注 目 し た 。「 数 学 基 礎 」 は 「 生 徒 の 主 体 的 な 活 動 を 重 視 し ， 具 体 的 な 事 象 の 考 察 を 通 し て 学 習 が 進 め ら れ る よ う に す る 」 と い う こ と で ， 生 徒 の 興 味 ・ 関 心 ， 学 習 意 欲 な ど を 高 め る 科 目 と 考 え る 。 こ の こ と か ら 筆 者 は ，「 数 学 基 礎 」 の 目 標 の 冒 頭 「 数 学 と 人 間 と の か か わ り 」 に 着 眼 点 を 置 い た ， 数 学 史 を 利 用 し た 授 業 が 効 果 的 と 考 え る 。 数 学 史 に 関 し て ， 恩 田(1998)は ， 一 次 文 献 の 利 用 と そ の 意 義 に つ い て 考 察 を し ， 礒 田 ， 土 田(2001)は 「 歴 史 解 釈 の 方 法 と し て の 解 釈 学 を ， 数 学 を 教 え る 教 室 に 持 ち 込 む 」 と い う 主 張(Jahnke，1994)に つ い て 具 体 的 な 事 例 を 挙 げ ， 生 徒 の 持 つ 数 学 観 の 変 容 を 確 認 し て い る 。 本 研 究 で は 両 者 の 視 点 に 立 ち ， 一 次 文 献 の 利 用 及 び そ の 解 釈 を 通 し て ， 生 徒 の 持 つ 数 学 観 が ど の よ う に 変 容 す る か を 考 察 し て い く 。 考 察 に あ た っ て は ， Tzanakis and Arcavi (2000)の ｢ 教 授 に お け る 歴 史 の 統 合 が 一 目 見 た だ け で 関 連 の な い 領 域 間 の 連 結 を 引 き 出 す こ と を 助 け る ｣ と い う 主 張 と ， Grugnetti and Rogers (2000)の 「 歴 史 的 文 脈 か ら 問 題 に つ い て 考 え る こ と が 物 理 学 と 数 学 の 学 習 を よ り 意 味 の あ る も の に す る 」 と い う 主 張 に 視 点 を 置 い た ， ｢ 物 理 ｣ に 関 連 の あ る 数 学 史 に よ る ， 他 教 科 と の 合 理 的 な 取 り 組 み を 導 入 し た 数 学 の 授 業 実 践 を 基 に 行 っ て い く 。 ま た ， こ の 実 践 が 授 業 時 数 削 減 に 対 す る １ つ の 策 に な る か ど う か も 考 察 し て い く 。

２ ． 研 究 目 的 と 方 法

① 研 究 目 的 ： 数 学 史 の 教 材 と し て Brachistochrone Problem− 最 速 降 下 曲 線 問 題 − を 導 入 し ， 数 学 的 事 実 や 物 理 現 象 が 発 見 ・ 発 展 さ れ る ま で の 歴 史 的 過 程 に つ い て ， 原 典 に お け る 追 体 験 及 び 数 学 的 活 動 を 行 っ て い く 中 で ， こ れ ま で に 持 っ て い た 生 徒 の 数 学 観 や 生 徒 が イ メ ー ジ し て い る 教 科 間 の 関 連 性 が ど の よ う に 変 容 す る か を 明 ら か に し て い く 。

② 研 究 方 法 ： 本 研 究 の 目 的 を 達 成 す る た め に ， 以 下 の 課 題 を 設 定 す る 。

【 課 題 １ 】 数 学 史 を 授 業 に 導 入 す る こ と に よ り ， 既 に 生 徒 が 持 っ て い る 数 学 や 数 学 の 授 業 に 対 す る 考 え 方 が ど う 変 化 す る か 。

【 課 題 ２ 】 Brachistochrone Problem を 授 業 教 材 に 用 い る こ と で ， 生 徒 は 数

学 と 物 理 の 関 連 性 を ど う と ら え る か 。

【 課 題 ３ 】 生 徒 の ， 数 学 的 事 実 や 物 理 現 象 の 発 見 ・ 発 展 の 歴 史 的 過 程 に 触 れ る 体 験 が ， 生 徒 の 数 学 観 に 変 容 を も た ら す こ と が で き た か 。

こ れ ら の 課 題 に 基 づ い て 実 践 授 業 を 行 い ， 授 業 の 事 前 ・ 事 後 に 行 っ た ア ン ケ ー ト の 回 答 や 授 業 毎 の 感 想 ， 授 業 の 様 子 を 撮 影 し た ビ デ オ 等 に よ り 考 察 す る 。

３ ． 授 業 概 要

    ① 授 業 環 境

    (１)授 業 対 象 ： 宇 都 宮 大 学 教 育 学 部 数 学 科 専 攻 ，(主 に)２ 年 生

(２)実 施 期 間 ： 平 成 13年 10 月 31 日(水)，11 月 ７ 日(水)，11 月 14日(水)       ｢ 数 学 科 教 育 法 BⅠ ｣ の 授 業 内(10：30〜12：00)

  ② 授 業 目 標

・ 最 速 降 下 曲 線 問 題 が ど の よ う な 問 題 な の か を 理 解 し ， 当 時 ， ど の よ う に 解 か れ て い た か を 原 典 を 読 ん で 追 体 験 す る 。

・ 数 学 を 用 い て 物 理 的 現 象 を 解 明 す る こ と を き っ か け に ， ｢ 数 学 ｣ ｢ 物 理 ｣ と い う 教 科 間 の 関 連 性 を 考 え て も ら う 。

・ 平 成 15 年 度 実 施 の 新 学 習 指 導 要 領 に お け る 数 学 史 の 位 置 付 け ・ 役 割 を ， 数 学 史 を 利 用 し た 授 業 を 通 じ て 考 え て も ら う 。

③ 教 材 解 説

本 研 究 で は ， ｢ 数 学 ｣ ｢ 物 理 ｣ の 関 連 性 を 考 え て い く に あ た り ，『A Source Book in Mathematics』 の 中 の 『Brachistochrone Problem』 を 基 に 教 材 開 発 を 行 っ た 。Brachistochrone Problemと は ，『 重 い 物 体 が 自 重 の 力 で ， あ る 点 Ａ か ら 任 意 の 他 の 点 Ｂ へ 最 も 速 い 速 度 で 落 下 す る と き の ， 曲 線 Ａ Ｄ Ｂ を 求 め な け れ ば な ら な い 』 と い う も の で あ る 。 こ の 問 題 は ニ ュ ー ト ン や ラ イ プ ニ ッ ツ な ど の 数 学 者 が 解 い て お り ， ｢ 倒 立 し た サ イ ク ロ イ ド 曲 線 ｣ と い う 解 を 導 い て い る 。 現 在 ， Brachistochrone Problemは ｢ 変 分 学(数 学 的 に は ， 未 知 な 関 数 と そ の 導 関 数 を 含 む 式 の 積 分 に ， 極 値 を 与 え る よ う な 関 数 を 求 め る 問 題)｣ の 分 野 で 取 り 上 げ ら れ る 内 容 で あ り ， 変 分 原 理 は 力 学 ， 電 磁 気 学 ， 光 学 ， 量 子 力 学 な ど 様 々 な 物 理 分 野 で 利 用 さ れ て い る 。 今 回 の 授 業 で は こ の 手 法 を 用 い て 問 題 解 決 す る の で は な く ，Brachistochrone Problem を 提 案 し た ジ ャ ン ・ ベ ル ヌ ー イ 自 身 の 解 法 を 追 体 験 す る 授 業 形 式 を 採 用 し た 。 ま た ， こ の 問 題 は 微 積 分(こ こ で は 主 に 置 換 積 分 を 利 用 し た 解 法)を 用 い て 解 く こ と が 可 能 で あ る 。授 業 で は ベ ル ヌ ー イ の 解 法 と の 比 較 を 行 う の と 共 に ， 微 分 積 分 学 の 歴 史 的 背 景 や 置 換 積 分 の 有 用 性 等 に つ

い て 考 え て い っ た ｡

授 業 の 資 料 に は ， 原 典 で あ る 『Leibnizens mathematische Schriften（ ド イ ツ 語 ）』 と そ の 英 語 訳 で あ る 『A Source Book in Mathematics』， ま た そ れ を 筆 者 が 日 本 語 訳 し た も の を 用 い た 。 ま た ，Brachistochrone Problem を 解 く の に 必 要 な 基 本 事 項(物 理 に 関 し た 内 容 ： 等 速 直 線 運 動 ， 等 加 速 度 直 線 運 動 ， 光 の 屈 折 の 法 則 ， フ ェ ル マ ー の 原 理)を 確 認 す る た め の 資 料 や 平 成 15 年 度 施 行 の 高 等 学 校 学 習 指 導 要 領 の 『 数 学 基 礎 』 に 関 し た 部 分 を抜 粋 し て 作 っ た 資 料 も 用 意 し ， 授 業 の 中 で 活 用 し た 。

④ 授 業 展 開

    【 第 1日 目 】：微 分 積 分 学 の 歴 史 ，Brachistochrone Problemの 紹 介 ， 物 理 公 式 の 確 認 ，「 ２ つ の 坂 道 問 題 」 を 利 用 し た Brachistochrone Problemの 解 法

● 微 分 積 分 学 の 歴 史

授 業 の 最 初 に ， 微 分 積 分 学 の 歴 史 に つ い て 簡 単 に 触 れ た 。 高 等 学 校 で は 微 分 を 先 に 取 り 扱 っ て い る が ， 歴 史 的 に 古 い の は 積 分 で あ る こ と ， ニ ュ ー ト ン や ラ イ プ ニ ッ ツ が 微 積 分 の 体 系 を 作 っ た こ と な ど を Power Pointを 用 い て 説 明  

し た 。

●Brachistochrone Problemの 紹 介 授 業 で は ， 左 の 【 問 題 １ 】 を 提 示 し た あ と ， 経 路 Ａ Ｍ Ｂ が ど の よ う な 経 路 に な る か 予 想 を し て も ら い ， テ キ ス ト に 予 想 し た 経 路 を 描 い て も ら っ た(【 写 真 １ ，写 真 ２ 】)。そ の 際 ，Brachistochrone Problemの 日 本 語 訳 が ｢ 最 速 降 下 曲 線 ｣ で あ る こ と は 伏 せ ， 経 路 を 予 想 す る 環 境 を 作 っ た 。 実 際 ， こ の 予 想 の 場 面 で 直 線 経 路 と 曲 線 経 路 の ２ つ の 考 え が 出 さ れ た が ， 本 授 業 で は ， 直 線 経 路 の 立 場 に 立 っ て Brachistochrone Problem の 問 題 解 決 を 行 っ た 。

【 写 真 １ 】

【 写 真 ２ 】

【 問 題 １ 】 Brachistochrone Problem

● 直 線 上 の 物 体 の 運 動(物 理 公 式 の 確 認) こ こ で は 等 速 直 線 運 動 ， 等 加 速 度 直 線 運 動 に つ い て の 説 明 を 行 っ た 。 高 校 で 物 理 を 履 修 し て い な い 学 生 も い る こ と を 配 慮 し ， 穴 埋 め 形 式 の テ キ ス ト を 用 い ， ま た 公 式 を 示 す た め に グ ラ フ を 用 い た 。【 写 真 ３ 】 は ， 筆 者 が グ ラ フ を

【 写 真 ３ 】       い て 等 速 直 線 運 動 の 説 明(Power Point を 利 用)を し て い る と こ ろ で あ る 。

● ２ つ の 坂 道 問 題

  等 速 直 線 運 動 ， 等 加 速 度 直 線 運 動 の 公 式 を 利 用 し て 左 の 【 問 題 ２ 】 に 取 り 組 ん で も ら っ た 。 記 述 式 の ワ ー ク シ ー ト を 配 布 し ， 自 分 な り の 考 え や 解 法 を ま と め て も ら っ た 。 自 力 解 決 を 試 み る 学 生 も い れ ば ， 周 囲 で 相 談 し な が ら 解 法 を 考 え る 学 生 も い た 。 活 動 の 途 中 で 授 業 時 間 が 終 了 に な っ た の で ， ２ 日 目 に こ の 答 え 合 わ せ を 行 っ た 。

※ 初 日 は ， 大 学 の 授 業 参 観 に 来 て い た 高 校 1年 生 14 名 を 交 え て の 授 業 だ っ た 。 物 理 は 14 名 中 13 名 が 未 習 で ， 三 角 比 に 関 し て は

sin θ

，

cos θ

，

tan θ

を 知 っ て い る 程 度 だ っ た 。 ２ つ の 坂 道 問 題 に つ い て は ，

｢ 難 し い ｣ と い う 感 想 が 多 か っ た が ， ｢ 解 け な か っ た け れ ど ， 楽 し か っ た ｣ と い う 感 想 も あ り ，「 数 学 」「 物

【 写 真 ４ 】 高 校 生 を 交 え て の 授 業     理 」 へ の よ い 動 機 付 け に な っ た 。

  

【 写 真 ５ 】 ２ つ の 坂 道 問 題 を 考 え 中

【 問 題 ２ 】 ２ つ の 坂 道 問 題

    【 第 ２ 日 目 】： ２ つ の 坂 道 問 題 の 答 え 合 わ せ ， フ ェ ル マ ー の 原 理 ， 課 題 提 示

● ２ つ の 坂 道 問 題

  基 本 的 に 等 速 直 線 運 動 ， 等 加 速 度 直    線 運 動 の 公 式 を 利 用 し た 解 答 が ほ と   ん ど だ っ た 。 時 間 の 大 小 関 係 を 調 べ る 場 面 で は ， 主 に 左 の 【 学 生 の 解 答 】 の よ う な 3 種 類 の 方 法 が 挙 げ ら れ た 。 学 生 に と っ て ， 答 え は 1 つ で も ， そ れ に た ど り 着 く ま で の プ ロ セ ス は 何 通 り も あ る こ と を 実 感 す る こ と の で き た 活 動 で あ っ た と 考 え る 。 ま た ， 学 生 の 感 想 の 中 で ，｢ 私 は Ａ Ｂ 間 の 方 が 早 い と 予 想 し て い ま し た が ， 実 際 に 計 算 し て み て ， Ａ Ｐ Ｂ 間 の 方 が 早 い こ と に 驚 き ま し た 。｣ と い う よ う な も の が あ っ た 。 こ の 活 動 を 通 し て ，    改 め てBrachistochrone Problemの 解 に つ い て 考 え る 場 面 を 作 る こ と が で き ， ２ つ の 坂 道 問 題 は 数 学 へ の 興 味 ・ 関 心 を 高 め る 効 果 的 な 教 材 で あ っ た と 言 え る 。(【 写 真 ６ ， 写 真 ７ ， テ キ ス ト の 記 述 】： ２ つ の 坂 道 問 題 か ら 考 察 で き る こ と を 図 や 言 葉 で ま と め て い る 。)

【 写 真 ６ 】           【 写 真 ７ 】

【 学 生 の 解 答(Ａ Ｂ 間 ：t１秒 ， Ａ Ｐ Ｂ 間 ：t２秒)】

・t_１＝

2 2 π

2

+

^≒2.6，t２＝

( )

4 2 2 + π − 2

≒2.4(π ≒

３ で 計 算)よ り ，t_１＞t_２。 よ っ て Ａ Ｐ Ｂ 間 の 方 が 早 い 。

・t_１＝

2

2

+ 4 π

_，t

２＝

2 1 2 2 +2 − π

  (t_１の 分 子)^２−(t_２の 分 子)^２＞ ０ よ り ，t_１＞t_２。 よ っ て Ａ Ｐ Ｂ 間 の 方 が 早 い 。

・t_１＝

2 2 π

2

+

^{＝2.633･･･，}

t_２＝

( )

4 2

2 + π − 2

_{＝2.404･･･(}

関 数 電 卓 利 用)よ り ，

t_１＞t_２。 よ っ て Ａ Ｐ Ｂ 間 の 方 が 早 い 。

【 テ キ ス ト の 記 述 】

・ 最 終 的 な 最 短 ル ー ト は 点 Ａ ， Ｂ を 結 ぶ 滑 ら か な 曲 線 に な る と 思 わ れ る 。

・ 曲 線 ル ー ト が 早 く 着 き そ う 。

・ は じ め は 落 下 に 近 い ， 点 Ｏ 付 近 で カ ー ブ は 急 に な り ， 点 Ｂ 近 く で は 水 平 に 近 い 。

本 授 業 か ら 曲 線 経 路 の 立 場 で 考 え る

● フ ェ ル マ ー の 原 理

  Brachistochrone Problemを 解 く 際 ，   ジ ャ ン ・ ベ ル ヌ ー イ は 落 下 運 動 を 光

の 運 動(こ こ で は 光 の 屈 折)に 置 き 換 え ， 問 題 を 解 い て い る 。 こ こ で は ベ ル ヌ ー イ の 解 法 を 追 体 験 す る に あ た り ，フ ェ ル マ ー の 原 理 を 導 入 し た(こ の 段 階 で ， 学 生 は ， 最 速 降 下 曲 線 問 題 を 光 の 概 念 を 用 い て 解 く こ と は 知 ら さ れ て い な い 。)。 こ の 原 理 は ，『2 点 間 を 結 ぶ 光 の 経 路 は ， そ の 時 間 を 最 小 に す る も の で あ る 』 と い う も の で ， 高 校 の 微 積 分 の レ ベ ル で も 証 明 で き る 。 学 生 に は 左 の 【 ワ ー ク シ ー ト 】を 使 っ て 証 明 を 行 っ て も ら っ た 。

実 際 に 証 明 す る と ，

v

= u φ θ sin

sin

を 満 た

す

θ

^，φが 存 在 す る と き 時 間 は 最 小 を 示 す 。

● 事 前 課 題

最 終 日 に Brachistochrone Problemを 解 く に   あ た り ， 次 の よ う な 課 題 を 提 示 し た 。

① ベ ル ヌ ー イ が 問 題 を 提 示 し て か ら ， 自 ら 解 答 す る ま で の 経 過

② ベ ル ヌ ー イ が 幾 何 学 者 と 微 分 積 分 学 者 へ 抱 い た 思 い

【 写 真 ８ 】          ③ ベ ル ヌ ー イ が Brachistochrone Problemを 解 く 際 に 用 い た 方 法

こ の 課 題 は ，Brachistochrone Problem に 潜 む 歴 史 的 背 景 を 考 え な が ら ベ ル ヌ ー イ の 解 法 を 追 体 験 し て も ら お う と い う 筆 者 の 意 図 か ら 提 示 し た も の で あ る 。 課 題 は 『A Source Book in Mathematics』 の 日 本 語 訳(筆 者 の 翻 訳 に よ る)を 基 に 考 え て も ら っ た 。 上 の 【 写 真 ８ 】 は ， 最 終 日 に こ の 課 題 に 関 し て 解 説(Power Point を 利 用)を し て い る と こ ろ で あ る 。

【 ワ ー ク シ ー ト 】 フ ェ ル マ ー の 原 理 の 解 法

    【 第 ３ 日 目 】：Brachistochrone Problemの 問 題 解 決

        最 終 日 は 原 典 に 基 づ い て ， ジ ャ ン ・ ベ ル ヌ ー イ の 解 法 を 追 体 験 し て も ら っ た 。 ま た ， 現 在 の 解 法(置 換 積 分 を 利 用 し た も の)と 比 較 す る 活 動 を 行

っ た 。         

【 写 真 ９ 】Cabri -Geometry を 利 用 し た Brachistochrone Problem の 解 説(左 の 【 原 典 】 の 図 を 参 照)

【 写 真 10】 最 速 降 下 曲 線 問 題 を 解 答 中

【 原 典 】Leibnizens mathematische Schriften

４ ． 考 察

     学 生 の ア ン ケ ー ト の 回 答 よ り ，【 課 題 １ 】 か ら 【 課 題 ３ 】 に つ い て 考 察 す る 。(回 答 の A，B，C， ･ ･ ･ は 学 生 ， 物 ○ は 物 理 履 修 者 ， 物 × は 物 理 未 履 修 者 を そ れ ぞ れ 示 す 。)

(１)【 課 題 １ 】「 数 学 史 を 授 業 に 取 り 入 れ る こ と に よ り ， 既 に 生 徒 が 持 っ て い る 数 学 や 数 学 の 授 業 に 対 す る 考 え 方 が ど う 変 化 す る か 。」 に 関 し て

【 Ⅰ 】 今 回 の 数 学 史 を 用 い た 数 学 の 授 業 は ， 今 ま で に 受 け て き た 数 学 の 授 業 と 比 較 し て ど う で し た か 。(事 後 ア ン ケ ー ト よ り)

【 回 答 】

Ａ(物 ×)： 数 学 史 を 用 い た 数 学 は ， 今 ま で の 問 題 解 決 だ け の 授 業 と は 違 っ て い ろ い ろ 役 立 つ こ と も 多 く て よ い と 思 う 。

Ｂ(物 ○)： 今 ま で に 受 け て き た 数 学 の 授 業 で は ， 公 式 ・ 定 理 の 簡 単 な 証 明 及 び そ の 使 い 方(練 習 問 題 を や る)と い っ た 内 容 の 繰 り 返 し が ほ と ん ど で ， そ の 定 理 ・ 公 式 が 作 ら れ た 時 代 背 景 は 説 明 さ れ る こ と は な か っ た 。 身 の 回 り で 起 こ り う る 現 象 を 数 学 を 使 っ て 考 え る こ と は ， 興 味 ・ 関 心 を 引 く 意 味 に お い て も ， 大 き い と 思 う 。 昔 の 人 々 の 知 恵 を 実 際 に 感 じ る こ と が ， 数 学 史 を 用 い る こ と で で き る の で は と 思 っ た 。

Ｃ(物 ○)： 高 校 ま で の 授 業 で は ， い き な り 定 理 な ど が 与 え ら れ て ， そ こ か ら 話 を 展 開 さ せ て い く よ う な 形 式 の 授 業 だ っ た が ， 今 回 の 数 学 史 を 用 い た 授 業 で は ， 具 体 的 な あ る 問 題 が あ っ て ， そ の 解 決 の た め の 必 要 性 か ら 微 分 積 分 と い う 考 え が 使 わ れ て い る と い う ，ま さ に 数 学 的 思 考 の 有 用 性 を 認 識 さ せ る の に 最 適 な 授 業 だ と 思 う 。｢ 数 学 を や る こ と に は 意 味 が あ る ｣ と い う こ と を 生 徒 に 意 識 さ せ る に は 非 常 に 有 効 な 授 業 で あ る 。

学 生 が こ れ ま で に 受 け て き た 数 学 の 授 業 は ，｢ 例 題 → 練 習 問 題 と い う 流 れ ｣ ｢ 黒 板 を 写 す → 解 く → 黒 板 を 写 す → 解 く → ･ ･ ･ ｣ ｢ た だ 問 題 を 解 く だ け ｣ な ど と い っ た も の で あ っ た(事 前 ア ン ケ ー ト よ り)が ， 時 代 背 景 を 考 え ， 当 時 を 感 じ な が ら 数 学 に 取 り 組 む こ と に よ り ， 数 学 の 授 業 の 印 象 を よ い も の に 変 え る の と 同 時 に ， 数 学 や 数 学 史 へ の 興 味 ・ 関 心 ， 学 習 意 欲 が 高 ま る こ と が 確 認 で き た 。

【 Ⅱ 】 あ な た は 数 学 を ど ん な 学 問 と 思 い ま す か 。 自 由 に 書 い て 下 さ い 。(事 前 ・ 事 後 ア ン ケ ー ト よ り)

  【 回 答 】

Ｄ(物 ○)：「あ る 意 味 ， 非 常 に 確 立 さ れ て い る 気 が す る 。 開 拓 す る の が 困 難 だ 。」(事 前)

「物 理 を 支 え る ， 非 常 に 重 要 な 学 問 。 人 の 主 観 性 を 時 に は 裏 付 け ， 時 に は 否 定 す る 。 分 か る と 面 白 い が ， 分 か ら な い と 授 業 が 非 常 に つ ら い 。 し か し ， ｢ な ぜ そ う な る の か ｣ が 客 観 的 に 示 せ る の で ， 理 解 し や す い 学 問 で あ る(国 語 ・ 社 会 に 比 べ て)。」(事 後)

Ｅ(物 ○)：「論 理 的 で 筋 の 通 っ た 学 問 だ と 思 う 。」(事 前)

     「あ ら ゆ る 学 問 分 野 の 基 礎 を な す 学 問 だ と 思 う 。 ま だ 数 学 と い う 学 問 分 野 に は 無 限 の 広 が り が あ る の で は な い か と 感 じ て い る 。 古 代 か ら の 積 み 重 ね の 上 に 現 代 の ， 今 ， 私 達 が 勉 強 し て い る 数 学 が 成 り 立 っ て い る と す る な ら ば ， こ れ か ら 先 も 今 あ る 数 学 を 基 礎 に し て ， き っ と 新 し い 数 学 が う ま れ る の だ と 思 う 。 ま た ， 数 学 の 進 歩 に 伴 い ， き っ と そ の 他 の 学 問 分 野 も 新 た な 境 地 を 切 り 開 く こ と に な る の で は な い か と 思 う 。」(事 後)

Ｆ(物 ○)：「い ろ い ろ な 他 の 分 野 ・ 学 問 の 基 礎 と な る も の だ と 思 う 。 具 体 的 な 例 は あ げ ら れ な い が ， 建 築 な ど に お い て も ， 建 物 の 様 々 な 部 分 を 計 算 し て あ る と い っ た 風 に 。」(事 前)

     「数 学 は ， 日 常 生 活 に お い て 基 本 と な る と こ ろ に あ る も の だ と 思 う 。 身 の 回 り に は ， 数 学 を も と に 作 ら れ た も の な ど が た く さ ん あ る と 思 う 。 ま た ， 数 学 は 他 の 学 問 の 問 題 に も ， 解 く こ と に つ い て 根 底 に あ る も の だ と 思 う 。」(事 後)

学 生 は 数 学 史 の 授 業 を 通 じ て ，「 数 学 は 他 分 野 ， 日 常 生 活 に お い て 土 台 と な る 教 科 で あ る 」 こ と を 認 識 す る こ と が で き た 。 つ ま り ， ｢ 数 学 を ど う し て 学 ぶ の ？ ｣ ｢ 数 学 が 何 に 役 に 立 つ の ？ ｣ と い っ た 質 問 に 答 え る こ と が で き る き っ か け を 作 る こ と が で き た と 言 え よ う 。 本 授 業 で ， 数 学 を 学 ぶ 意 義 に つ い て 考 え る き っ か け を つ く る こ と が で き た の で は な い だ ろ う か 。

     【 Ⅰ 】【 Ⅱ 】 よ り ， 数 学 へ の 興 味 ・ 関 心 ， 学 習 意 欲 を 高 め ， 数 学 を す る 意 義 を 理 解 す る の に ， 解 釈 学 的 営 み を 数 学 の 授 業 に 取 り 入 れ る こ と は 有 効 で あ る 。

    (２)【 課 題 ２ 】「 Brachistochrone Problem を 授 業 教 材 に 用 い る こ と で ， 生 徒 は 数 学 と 物 理 の 関 連 性 を ど う と ら え る か 。 ｣ に 関 し て

・ 授 業 全 体 に つ い て や 数 学 ・ 物 理 へ の 興 味 ・ 関 心 な ど ， 今 日 の 授 業 を 通 じ て 思 っ た こ と を 自 由 に 書 い て 下 さ い 。 そ の 際 ， 先 週 ま で の 授 業 や 今 ま で に 受 け て き た 数 学 の 授 業 と 比 較 し て 書 い て 下 さ い 。(事 後 ア ン ケ ー ト よ り)

  【 回 答 】

Ｇ(物 ×)： 数 学 と 物 理 は 関 係 あ る と 思 っ た 。 し か し ， 私 は 高 校 で 物 理 を 全 く や っ て い な い の で ， 制 度 を 見 直 し た 方 が よ い と 思 っ た 。

Ｈ(物 ○)： 数 学 と 物 理 が 切 り 離 さ れ た 存 在 で は な い こ と が 分 か っ た 。 今 ま で は 数 学 な ら 数 学 だ け ， 物 理 な ら 物 理 だ け と い っ た 内 容 の 授 業 が 多 か っ た が ， 一 度 に ２ つ の こ と を 学 ぶ 授 業 で あ っ た 。   Ｉ(物 ×)： 今 ま で に な い 形 で 興 味 深 い 授 業 だ っ た 。 数 学 や 物 理 に 対 す る 考 え 方 も 少 し だ け 変 わ っ た よ

う な 気 が す る 。

Ｊ(物 ○)： 物 理 分 野 の 問 題 を 扱 っ た こ と で ， 今 ま で と は 違 う 感 じ の 数 学 だ な と 思 っ た 。

授 業 の 感 想 に 「 物 理 に は 高 校 時 代 か ら の 苦 手 意 識 が あ り ， や は り 好 ん で 深 く 知 り た い と は あ ま り 思 わ な い 。 だ が ， 知 っ て い れ ば ， 原 理 か ら 導 か れ る こ と に 納 得

し ， 役 に 立 つ と 思 う 。 そ し て そ れ は ， 今 ， 私 が 学 ん で い る 数 学 と と て も 結 び つ き が 強 い こ と を 先 週 ・ 今 週 を 通 し て 知 っ た 。 嫌 だ 嫌 だ と 思 っ て い て は 身 に 付 く こ と も 付 か な い と 思 う の で ， こ れ か ら は 物 理 に も 意 欲 を 持 っ て 取 り 組 ん で い こ う と 考 え た 。」 と 書 い て く れ た 学 生 が い た が ， 物 理 現 象 を 取 り 扱 っ た 数 学 史 の 導 入 に よ り ， 数 学 と 物 理 の 距 離 間 隔 が 縮 ま る こ と ， 物 理 に 対 す る 興 味 ・ 関 心 が 湧 く こ と が ア ン ケ ー ト 回 答 か ら 確 認 で き た 。 高 等 学 校 で 物 理 を 履 修 し て い な い 学 生 に も そ の よ う な 傾 向 が 見 ら れ た の で ， 数 学 史 は 教 科 間 の つ な が り を 持 つ こ と の で き る 教 材 で あ る と 言 う こ と が で き る 。

(３)【 課 題 ３ 】「 生 徒 の ， 数 学 的 事 実 や 物 理 現 象 の 発 見 ・ 発 展 の 歴 史 的 過 程 に 触 れ る 体 験 が ， 生 徒 の 数 学 観 に 変 容 を も た ら す こ と が で き た か 。」 に 関 し て

・ あ な た が 持 っ て い る 微 分 積 分 の イ メ ー ジ を 自 由 に 書 い て 下 さ い 。(事 前 ア ン ケ ー ト よ り)

・ 今 回 の 授 業 で 『 微 分 積 分 学 』 を ど の よ う に 考 え ま し た か 。(事 後 ア ン ケ ー ト よ り)

【 回 答 】

Ｋ(物 ○)：「計 算 だ け な ら そ れ ほ ど 難 し く は な い が ，微 分 と 積 分 の 概 念 を 理 解 す る の は 難 し い と 思 う 。 (自 分 も よ く は 理 解 し て い な い 。)」(事 前)

     「高 校 ま で の 授 業 で は ｢ 微 分 積 分 学 ｣ と い っ て も 計 算 練 習 が 主 だ っ た が ， 今 回 の 授 業 で は 微 積 分 が ど の よ う に 役 立 つ か と い う こ と が 少 し わ か っ た 気 が す る 。 微 小 な も の を 考 え る 微 分 や そ れ を 足 し 合 わ せ る 積 分 の 考 え は ， 改 め て す ご い な と 感 じ た 。」(事 後)

  Ｌ(物 ○)：「微 分 → 曲 線 の 概 形 を 知 る た め に 使 う 。(主 に 曲 線 の 接 線 を 求 め る イ メ ー ジ が あ る 。)」「積 分 → 計 算 が と て も 大 変 だ っ た 。(面 積 ・ 体 積 の 値 を 求 め る の が 大 半 で あ っ た 。)」(事 前)      「今 回 は 一 見 ， 物 理 学 の よ う に 見 え る 問 題 も ｢ 微 分 ・ 積 分 ｣ と い う 極 小 区 間 を 考 え ， ホ イ ヘ ン

ス の 光 の 屈 折 を 取 り 入 れ た こ と に よ っ て ， 問 題 を 解 決 し て い る 。 ま さ に ， ｢ 細 か く 区 切 っ た も の を 全 て あ わ せ る ｣ と い う 概 念 に 基 づ い て 作 ら れ た も の で あ る と 感 じ た 。」(事 後)

事 前 ア ン ケ ー ト の 回 答 に は ，高 等 学 校 で 得 た 微 分 積 分 学 の イ メ ー ジ(面 積 や 曲 線 ， 接 線 を 求 め る と い う 考 え 方 ， 計 算 が 大 変 ・ 難 し い)が 多 く 書 か れ て い た が ， 原 典 の 追 体 験 ・ 数 学 的 活 動 を 行 っ て い く 中 で 学 生 は ， 微 分 積 分 学 の ｢ 存 在 性 ｣ ， ｢ 広 が り ・ 応 用 ｣ 等 ， 考 え 方 を 膨 ら ま せ る こ と が で き た 。 そ れ は ，Brachistochrone Problem を 解 く 前 に 提 示 し た 事 前 課 題 か ら も 考 察 す る こ と が で き る 。

  次 の 不 定 積 分  

①

∫ ^sin

²

^{x cos xdx}

^【

^{sin x = t}

^{】    ②}

∫ ^a

²

^{x −}

²

^x

²

^dx

  ^【

^{x = a sin θ}

^】  

を 解 く と き ，【   】 と お い て 積 分 の 計 算 を 行 い ま す が ， こ の よ う に 置 き 換 え て 積 分 を 行 う 理 由 を あ  

(

^{1 cos 2φ}

)

2 −

= a

x

(

2φ sin 2φ

)

2 −

= a y

な た は ど の よ う に 考 え て い ま す か 。 自 由 に 書 い て 下 さ い 。

【 回 答 】

・ 原 始 関 数 を 求 め や す く す る た め 。

・ 計 算 し や す く す る た め 。

・ 置 換 し な い と 計 算 で き な い ， ま た は ， 置 換 す る 以 外 の 方 法 が 見 つ け づ ら い か ら 。

上 記 の 回 答 や 筆 者 の 経 験 か ら ， 高 校 の 授 業 で は ，「

sin x = t

と 置 換 す る こ と で 積 分 で き る 」 と い っ た 指 導 し か 受 け て い な い と 考 え ら れ る 。 つ ま り ， 置 換 積 分 は 計 算 の 道 具 ， 手 段 に し か 過 ぎ な い と い う こ と だ 。 と は い う も の の ， 置 換 積 分 を 行 う 理 由 が 上 記 の よ う に な る こ と は 筆 者 自 身 も 予 想 し て い た こ と で あ る 。

実 際 に Brachistochrone Problemを 解 く と ， 微 分 方 程 式        が 求 ま る 。 こ の 微 分 方 程 式 を 現 代 的 に 解 い た 場 合 ，        と 置 く こ と に よ り ，     解          ，         が 求 ま る 。 授 業 で は ， 原 典 の 図 を 利 用

し て ，tanφや2φ =θ と し た と き の

θ

の 位 置 を 確 認 す る こ と が で き た 。 積 分 の 求 積 問 題 で は 図 示 し て 考 え る 場 面 も あ る が ， 置 換 積 分 の 問 題 場 面 を 図 示 し て 考 え る こ と は こ れ ま で の 経 験 を さ か の ぼ っ て も 記 憶 が な い 。 置 換 積 分 を 視 覚 的 に と ら え る こ と が で き た こ と は 学 生 に と っ て も 筆 者 に と っ て も 驚 き で あ り ， 学 生 の 持 つ 微 分 積 分 学 全 体 の 考 え 方 を 変 容 さ せ た 1 つ の 要 因 に な る と 考 え る 。  

５ ． お わ り に

     本 研 究 で は ， 数 学 と 他 教 科 と の 関 連 性 ， 特 に ， 数 学 史 を 利 用 し た 授 業 実 践 を 例 に ， 数 学 と 物 理 と の 関 連 性 に 焦 点 を 当 て て 考 え て き た 。 そ の 結 果 ， 数 学 史 を 利 用 し た 授 業 は 生 徒 の 持 つ 数 学 の イ メ ー ジ を よ い 方 向 に 変 容 さ せ る と 共 に ， 数 学 に 対 す る 興 味 ・ 関 心 ， 学 習 意 欲 を 高 め ， ま た ， 物 理 を 取 り 入 れ た 数 学 の 授 業 は 生 徒 に

｢ 数 学 ｣ ｢ 物 理 ｣ は 個 別 の も の で は な く ， お 互 い に 関 わ り の あ る も の で あ る と 認 識 さ せ る こ と が で き た 。

     理 科 と の 合 科 的 な 取 り 組 み を 数 学 に 導 入 す る 実 践 例 は 他 に も 考 え ら れ る 。 例 え ば ， ｢ １ 次 関 数 ｣ に ｢ 質 量 保 存 の 法 則 ｣ を 取 り 入 れ た 授 業 ， ｢ ２ 次 関 数 ｣ に ｢ 物 体 の 落 下 運 動 ｣ を 取 り 入 れ た 授 業 が あ る 。 新 学 習 指 導 要 領 で 授 業 時 数 が 大 幅 に 削 減 さ れ る が ， こ れ ら の 実 践 に よ り こ の 問 題 が 少 し は 解 消 さ れ る と 考 え る 。 ま た ， 今 回 の 実 践 に よ り 数 学 観 を 変 容 さ せ る こ と を 結 論 づ け る こ と が で き た の で ， 今 後 は 理 科 以 外 の 教 科 と 数 学 と の 関 連 性 に つ い て も ， 生 徒 の 持 つ 数 学 観 が 変 容 す る た め の ， ま た ， 授 業 時 数 削 減 問 題 に 対 応 し た 教 材 開 発 及 び 授 業 づ く り を 行 っ て い く 必 要 が あ る と 考 え る 。

xdx a dy x

= − φ

= tan

− x a

x

謝 辞

    実 験 授 業 の 実 施 に 際 し て ， 宇 都 宮 大 学 教 育 学 部 木 村 寛 教 授 に は ， 貴 重 な ご 指 導 を い た だ き ま し た 。 ま た ， そ の 際 ， 多 く の 関 係 院 生 か ら 有 意 な ご 意 見 ， ご 協 力 を い た だ く こ と が で き ま し た 。 厚 く お 礼 申 し 上 げ ま す 。  

註 １ ： 本 研 究 は 、 筑 波 大 学 学 内 プ ロ ジ ェ ク ト 研 究 （ 助 成 研 究 Ｂ ： 研 究 代 表 者   礒 田 正 美 ）

「 イ ン タ ー ネ ッ ト 上 の 数 学 博 物 館 の 開 発 ・ 評 価 研 究 」 の 一 貫 と し て 行 わ れ た 。

註 ２ ： 授 業 の 詳 細 、 並 び に 資 料 は 次 に 掲 示 し て い る 。   http://www.mathedu‑jp.org

【 引 用 ・ 参 考 文 献 】

【 １ 】 礒 田 正 美(2001)． 異 文 化 体 験 か ら み た 数 学 の 文 化 的 視 野 の 覚 醒 ． 筑 波 数 学 教 育 研 究 第 20 号 ， pp.39‑48．  

【 ２ 】 礒 田 正 美 ・ 土 田 知 之 (2001)． 異 文 化 体 験 を 通 じ て の 数 学 の 文 化 的 視 野 の 覚 醒 ； 数 学 的 活 動 の 新 た な パ ー ス ペ ク テ ィ ブ ， 日 本 科 学 教 育 学 会 年 会 論 文 集 ， pp.497‑498．  

【 ３ 】 岡 崎 誠(1993)． 物 理 数 学 O n e P o i n t４   べ ん り な 変 分 原 理 ， 共 立 出 版 ， pp.1‑ 6，

pp.26‑28．  

【 ４ 】 小 畑 裕 (2002)． 落 下 運 動 を 分 析 し 理 解 を 深 め て い く ｢ ２ 乗 に 比 例 す る 関 数 ｣ の 導 入 ， 教 育 科 学 ／ 数 学 教 育   2002 年 1 月 号 (No.530)， 明 治 図 書 ， pp.68‑73．  

【 ５ 】 恩 田 洋 一(1998)． １ 次 文 献 を 利 用 し た 数 学 史 教 育 に 関 す る 一 考 察 〜 ｢ 数 学 基 礎 ｣ に 関 連 し て 〜 ， 平 成 10 年 度 筑 波 大 学 大 学 院 教 育 研 究 科 修 士 論 文  

【 ６ 】 後 藤 憲 一 ほ か 4 名 (1994)．高 等 学 校   物 理 ， 数 研 出 版 株 式 会 社 ，pp.8‑9，pp.13‑16．  

【 ７ 】ス チ ュ ア ー ト ・ ホ リ ン グ デ ー ル(1993)．数 学 を 築 い た 天 才 た ち(上・下)( 岡 部 恒 治 監 訳)， 講 談 社 ， 上 pp.229‑232， pp.248‑255， pp.311‑312， 下 pp.84‑86．  

【 ８ 】 文 部 省 (1999)． 高 等 学 校 学 習 指 導 要 領 解 説   数 学 編   理 数 編 ， pp.31‑33．  

【 ９ 】C.I.Gerhardt(1855)．Leibnizens mathematische Schriften，H.W. Schmidt，

pp.305‑306．  

【 10】 Constantinos Tzanakis and Abraham Arcavi(2000).Integrating history of  mathematics in the classroom: an analytic survey． I n  John Fauvel and Jan van Maanen(eds.)，History in Mathematics Education，Kluwer Academic Publishers，

pp.202‑207．  

【11】David.Eugene.Smith(1959)．A source book in mathematics，Dover Publications，

pp.644‑655．  

【 12】 Jahnke,Hans N(1994).The Historical Dimension of Mathematical Understanding        :Objectifying the   Subjective,  Proceedings of the Eighteen International 

Conference for the Psychology of Mathematics Education, vol.1, pp.139‑ 156.  

【 13】 Lucia Grugnetti and Leo Rogers(2000).Philosophical, multicultural and   interdisciplinary issues． In John Fauvel and Jan van Maanen(eds.)， History  in Mathematics Education，Kluwer Academic Publishers， pp.55‑57．  

【 上 記 以 外 の 授 業 資 料 作 成 に お け る 参 考 文 献 】  

【 １ 】 伊 東 俊 太 郎 ・ 原 亨 吉 ・ 村 田 全(1975)． 数 学 史 ， 筑 摩 書 房 ， pp.334‑336， p356．  

【 ２ 】 エ ル ン ス ト ・ マ ッ ハ (1976)．力 学 の 批 判 的 発 達 史 (伏 見 譲 訳 )， 講 談 社 ，pp.343‑357，

pp.391‑400．  

【 ３ 】 エ ル ン ス ト ・ マ ッ ハ (1976)．力 学 史 ： 古 典 力 学 の 発 展 と 批 判 (岩 野 秀 明 訳 )， 公 論社 ， pp.321‑327．  

【 ４ 】Г .И .グ レ イ ゼ ル (1997)．数 学 史 (Ⅲ )(保坂秀正・山崎昇訳)，大 竹 出 版 ，pp.134‑139．  

【 ５ 】 ゴ ッ ト フ リ ー ト ・ ヴ ィ ル ヘ ル ム ・ ラ イ プ ニ ッ ツ (1989)． ラ イ プ ニ ッ ツ 著 作 集 ３   数 学 ・ 自 然 学 (原 亨 吉 [ほ か ]訳 )， 工 作 舎 ， pp.100‑111．  

【 ６ 】 小 堀 憲(1956)． 数 学 史 ， 朝 倉 書 店 ， pp.99‑101．  

【 ７ 】数 学 セ ミ ナ ー 編 集 部 編(1999)．数 学 100の 問 題 ： 数 学 史 を 彩 る 発 見 と 挑 戦 の ド ラ マ ， 日 本 評 論 社 ， pp.168‑175．  

【 ８ 】ボ イ ヤ ー(1984)．数 学 の 歴 史 ４(加 賀 美 鐵雄・浦 野 由 有 訳)，朝 倉 書 店 ，p19，pp.41‑47，

p.146．  

 

【 参 考 Ｕ Ｒ Ｌ 】

・http://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/analysis/jinmei.htm

・http://www1.sphere.ne.jp/mote/suugaku/asobou2.htm

・http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/toukou/nissi3.html

・http://www25.tok2.com/home/toretate/d000103.html

・http://www.fes-total.com/websemi/bldg1/fukui/henbun.html

・http://www.geocities.co.jp/Technopolis/8930/qed_00.htm

・http://www.junko-k.com/collo/collo56.htm

・http://www.math.h.kyoto-u.ac.jp/~takasaki/soliton-lab/chron/has-hist/index.html

・http://www.mcc.pref.miyagi.jp/people/ikuro/koramu/henbun.htm