中心を通る直線がある場合もあります）。時々、中心を通る直線が存在します。
各辺を延長すると外周に垂直な円弧になります。場合によっては中心を通る直線になることもあります。それぞれの辺を伸ばすと垂直な円弧になります。 （場合によっては平面を通る直線の場合もあります。） ユークリッド平面と同様に「点」「線」「円」という概念があります。 」と書かれていますが、これらはユークリッド平面のものとは著しく異なります。
以下のように色で区別します。ユークリッド平面上の物：点、直線、円など。 まずすべての出発点として、外周である円を与えます。これを理想的な円と呼びましょう。さて、何を点と呼び、何を直線と呼ぶのでしょうか?理想的な円の内側の点だけが双曲面上の点になります。理想円に垂直な円は双曲面上の直線です。ただし、理想円の中心を通る直線も認められます。双曲面上の円は、その全体が理想円の内側にある円です。点 A を中心とする円は、A を通過するすべての直線に垂直です。2 つの点の場合、それらを通過する直線は 1 本だけです。どうすればそのような直線を見つけることができるでしょうか? 。
いきなり 2 点を扱う代わりに、まず点 A を通る直線について考えてみましょう。これらの直線 (ユークリッド幾何学の円) について何がわかっているでしょうか? A を通る直線が通過しなければならない点がもう 1 つあります。それは、理想円に対する点 A の反転です。理想円の半径をrとすると、右図のように回転Aを描くことができます。 Aを通る直線はAとA*を通る円なので、中心は長方形AA*の二等分線上にあります！ 。
1 A の逆 A* をとり、AA* の垂直二等分線を描きます。 .2 B の逆数 B* を取り、BB* の垂直二等分線を描きます。 .3 垂直二等分線の交点を中心として A を通る円を描くと、これが求めている直線になります。これらはもはや「曲がった三角形」ではなく、双曲面上の三角形です。 Claudio Rocchini、Double Tiling Hyperbolic Order-3/ CC-BY 2.5 / https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Order-3_heptakis_heptagonal_tiling.png から改変。 (注: 双曲面での角度はユークリッド面での角度と同じです。) これは、指定された直線と点 A に対して、A を通過し ` に平行な直線が複数あることを意味します。ありません。 . 平行線に関する性質の違いで明暗を分けます（？）。ユークリッド平面では、2 本の平行線の同角と錯視角は等しい。これは双曲面の場合には必ずしも当てはまりません。これは、直線 ` と点 A が与えられた場合、A を通り、 に平行な直線が複数あるためです。平行線の公理の歴史。
なぜなら、想像力は人間の直感や常識などによって制限されないからです。平行移動、回転、直線を中心とした折りを組み合わせた変形。実はこれらはすべて「直線を中心とした折り目」だけで表現できます。 。
1 ABの垂直二等分線を中心に折ります。
隣接する三角形は、共通の辺を延長した直線を中心に反転して重なるように描画されます。したがって、すべての三角形は合同です。双曲面上の「一定の長さの線分」は、ユークリッド面の目にはその位置に応じて長さが変化して見える。具体的にはどのように変化するのでしょうか？理想円が原点 O を中心とする単位円である座標系において、O を一端、P(0, −d) (d > 0) を他端とする線分を定義します。 。
これを、原点Oを中心とした単位円を理想円とする座標系において、x軸に垂直な直線に関して反転すると、右図の`に関して反転すると、OはA に移動します。 。