概均質ベクトル空間のゼータ関数と Koecher-Maass 級数

概均質ベクトル空間のゼータ関数と Koecher-Maass 級数

佐藤 文広（立教大学理学部）

Abstract

このノートでは,概均質ベクトル空間に付随する保型形式付きゼータ関数の一般論 の概略を説明した後, Siegel保型形式（とくにテータ級数）に付随するKoecher-Maass 級数が概均質ベクトル空間の理論の立場からどのように理解できるかを解説する.

I. 概均質ベクトル空間に付随する保型形式付きゼータ関数

このノートでは概均質ベクトル空間について第一歩から説明は出来ないので,定義や基本 的性質については[S1, §1], [SK], およびまもなく出版予定の [K] を参照されたい. とくに, [K] は初歩からのもっとも詳しい入門書である.

また, 第 I 節で紹介する保型形式付きゼータ関数の理論は,詳しくは [S4], [S5] に述べ られている.

I.1 概均質ベクトル空間

(G, ρ,V)を有理数体 Q上定義された概均質ベクトル空間とし,S でその特異集合を表す.

定義により, V_C−S_C は単一の G_C-軌道になっている.

S₁, . . . ,S_n を S に含まれる Q-既約な超曲面とし,S₁, . . . ,S_n を定義する Q-上の既約 多項式を, それぞれ, P₁, . . . , P_n とする. このとき, 多項式 P_i は 0 でない有理数倍を除い て一意的であり, 各 i= 1, . . . , n に対して,G の Q-有理指標 χ_i で

P_i(ρ(g)x) = χ_i(g)P_i(x) (g ∈G, x∈V)

を満たすものが存在する. これらの P1, . . . , Pn を Q 上の 基本相対不変式 という. 指標 χ₁, . . . , χ_n で生成される G の Q-有理指標の群 X(G)_Q の部分群を X_ρ(G)_Q で 表す. この部分群は階数 n の自由アーベル群である.

x∈V に対し

G_x ={g ∈G|ρ(g)x=x} とおく.

以下, 次を仮定しよう：

(A-1) 任意のx∈V_Q\S_Q に対し, isotropy 部分群G_x はreductive であり, そ の単位元連結成分 (G_x)^◦ の Q-有理指標の群 X((G_x)^◦)_Q は自明である：

X((G_x)^◦)_Q ={1}.

また, 群 Gの次のような分解が一つ指定されているとする：

(A-2) G =LU, ここで L は連結な reductive Q-部分群, U は連結正規Q-部 分群で X(U) = {1}を満たす.

G₀ を

∩n i=1

kerχ_i の Zariski 位相に関する単位元連結成分とする. L₀ =L∩G₀ とおく. このとき L₀ は連結で, G₀ =L₀U と半直積に分解される.

T を L の中心 Z(L) の単位元連結成分の最大 Q-split トーラスとする. このとき, dimT = rankX(G)_Q = rankX_ρ(G)_Q であり, L は T と L₀ の almost direct product で ある.

I.2 積分公式

G⁺, G⁺₀, T⁺, L⁺₀, U⁺を,それぞれ,実Lie群G_R,G_0,R,T_R,L_0,R,U_Rの単位元連結成分（Lie 群としての）とする. このとき,

G⁺=T⁺L⁺₀U⁺, G⁺₀ =L⁺₀U⁺ であり,g ∈G⁺ は

g =thu (t∈T⁺, g∈L⁺₀, u∈U⁺) と一意的に分解される.

仮定 (A-1), (A-2) により, 群 L⁺₀, U⁺ は unimodular である. dt, dh, du を, それ ぞれ T⁺, L⁺₀, U⁺ 上の（両側不変）Haar 測度とする. d_rg を G⁺ 上の右不変測度とし,

∆ :G⁺ −→R^×+ を d_rg の module とする. このとき,

drg =dr(thu) = ∆(t)dt dh du

という関係が成り立つように,これらの測度を正規化することができる. 仮定 (A-1) から, Ω(x) =

∏n i=1

|P_i(x)|^−δidx, dx= the Lebesgue measure onV_R

が∆を乗法子とするV_R\S_R上のG⁺-相対不変測度を与えるようなδ= (δ₁, . . . , δ_n)∈Qⁿ が存在することが分かる.

V_R\S_R の連結成分への分解を

V_R\S_R=V₁∪ · · · ∪V_ν

とする. 各連結成分 V_i は単一の G⁺-軌道である. x∈V_i に対し, G⁺_x =G_x∩G⁺ とおく. (A-1) により,群G⁺_x はunimodular Lie 群である. G⁺_x 上の（両側不変）Haar測度dµ_x を

∫

G⁺

F(g)drg =

∫

Vi

Ω(ρ( ˙g)x)

∫

G⁺x

F( ˙gh)dµx(h) (F ∈L¹(G⁺, drg)) (1) が成り立つように正規化しておく.

I.3 ^{ゼータ積分}

ϕ:L⁺₀ −→W を有限次元複素ベクトル空間 W に値をとる L⁺₀ 上の関数で, L_0,Q∩L⁺₀ の ある数論的部分群による右乗法で不変なものとする. （後に, ϕ は L⁺₀ 上の保型形式であ ると仮定するが, 当面は何でもよい. ）

標準全射 p:G₀ −→L₀ =G₀/U を考える. 写像 pは実解析的な全射準同型 p:G⁺₀ −→L⁺₀ =G⁺₀/U⁺

を引き起こす. G0,Q∩G⁺₀ の数論的部分群 Γ に対し ΓL =p(Γ)⊂ L⁺₀ とおく. このとき, Γ_L は L_0,Q∩L⁺₀ の数論的部分群である(cf. [Bo, Theorem 6]).

L を V_Q の格子とし,G_0,Q∩G⁺₀ の数論的部分群 Γで L は Γ-不変,ϕ はΓ_L-不変とな るものを固定する. さて, ゼータ積分 Zϕ(f, L;s) (f ∈ S(V_R)) を

Z_ϕ(f, L;s) =Z_ϕ(f, L;s₁, . . . , s_n) (2)

=

∫

T⁺

∏n i=1

χi(t)^si∆(t)dt

∫

G⁺₀/Γ

ϕ(h) ∑

x∈L−S

f(ρ(thu)x)dh du と定義する.

以下では,

(A-3) 任意の f ∈ S(V_R) に対し, 積分 Zϕ(L, f;s) はRe(s1), . . . ,Re(sn) が十 分大きいとき絶対収束する

と仮定する.

注意. ゼータ関数の収束判定については, [S6]を参照せよ.

I.4 Γ

_L

- 不変関数 ϕ の周期

x∈V_Q\S_Q に対しΓx = Γ∩G⁺_x とおく. 条件 (A-1) により, Γx に関する基本領域の体積 µ(x) =

∫

G⁺x/Γx

dµ_x

は有限である(dµ_x の定義は, (1) を見よ). また,

L⁺_(x) = p(G⁺_x) (⊂L⁺₀), Γ_(x) = p(Γ_x) (⊂L⁺_(x)), U_x⁺ = G⁺_x ∩U⁺, Γ_U,x = Γ_x∩U⁺

とおく. ここで, G⁺_x ⊂ G⁺₀ であることに注意する. L⁺_(x), U_x 上の Haar測度 dν_x, dτ_x を, それぞれ, ∫

L⁺_(x)/Γ_(x)

dνx = 1,

∫

Ux⁺/ΓU,x

dτx=µ(x)

が成り立つように正規化する. このとき, G⁺_x 上の測度として dµ_x =dν_xdτ_x が成り立つ. V_R\S_Rの各連結成分 Vi から代表点 xi をとり, 等質空間Xi =L⁺₀/L⁺_(x

i) を考える. す

べての x∈V_i に対し, x=ρ(t_xh_xu_x)x_i となるようなt_x ∈T⁺, h_x ∈L⁺₀, u_x ∈U⁺ を選ん でおく. このとき, V_i から X_i への写像¯: V_i −→ X_i が x7−→ x¯=h_x·L⁺_(x

i) ∈ X_i によっ

て定義される. X_i の点 x¯は h_x の選び方によらずに定まり, 写像¯はL⁺₀-同変な実解析的 写像となっている.

x∈V_Q∩V_i,y ∈V_i に対して, M⁽ⁱ⁾x ϕ(¯y) =

∫

L⁺_(x)/Γ(x)

ϕ(h_yh⁻_x¹η)dν_x(η) (3)

とおき, この積分をϕ の xにおける 周期 という. 我々はM⁽ⁱ⁾x ϕを X_i 上の関数とみなす. 補題 Re(s₁), . . . ,Re(s_n) が十分大きいとき,

Z_ϕ(f, L;s) =

∑ν i=1

∑

x∈Γ\L∩Vi

µ(x)

∏n j=1

|P_j(x)|^sj

∫

Vi

∏n j=1

|P_j(y)|^sjf(y)M⁽ⁱ⁾x ϕ(¯y)Ω(y)

が成り立つ.

I.5 保型形式付きゼータ関数

K を L⁺₀ の極大コンパクト群, π を有限次元 Hilbert空間 W_π 上のK の unitary 表現と する. Z(L⁺₀) で L⁺₀ 上の両側不変微分作用素のなす多元環を表す. χ:Z(L⁺₀)−→C を無 限小指標とする. このとき, 関数 ϕ:L⁺₀ −→W_π が以下の条件を満たすならば, Γ_L に関す

るタイプ (χ, π) の保型形式といわれる：

Dϕ=χ(D)ϕ (D∈ Z(L⁺₀)),

ϕ(khγ) = π(k)ϕ(h) (k ∈K, h∈L⁺₀, γ ∈Γ_L), ϕ は緩増加.

A(L⁺₀/Γ_L;π, χ)で Γ_L に関するタイプ(π, χ)の保型形式の空間を表す. 保型形式空間 A(L⁺₀/Γ_L;π, χ) の次元は有限であることが知られている.

任意の両側不変微分作用素 D ∈ Z(L⁺₀) から, 等質空間 X_i = L⁺₀/L⁺_(x

i) 上の L⁺₀-不変 微分作用素が誘導される. これを D¯ と表す. 関数 ψ :X_i −→W_π が条件

Dψ¯ = χ(D)ψ (D∈ Z(L⁺₀)), ψ(kx) =¯ π(k)ψ(¯x) (k∈K,x¯∈X_i)

を満たすとき, タイプ (π, χ) の球関数であるという. X_i 上のタイプ(π, χ)の球関数の空 間をE(Xi;π, χ) と表す.

補題 ϕ を A(L⁺₀/Γ_L;π, χ) に属す保型形式とする. 積分 (3) が絶対収束しているならば, x における周期M^(i)x ϕ は E(X_i;π, χ) に属す球関数である.

ゼータ関数を定義するための最後の仮定は次のとおりである: (A-4) 球関数の空間E(X_i;π, χ) (1 ≤i≤ν) は有限次元である. m_i = dimE(X_i;π, χ) (1 ≤i ≤ ν) とおき, E(X_i;π, χ) の基底 {

ψ₁⁽ⁱ⁾, . . . , ψm⁽ⁱ⁾i

} を固定

しておく. 上の補題によりM⁽ⁱ⁾x ϕ は ψ⁽ⁱ⁾₁ , . . . , ψm⁽ⁱ⁾i の線形結合で表される: M⁽ⁱ⁾x ϕ =

mi

∑

l=1

c⁽ⁱ⁾_l (ϕ;x)ψ_l⁽ⁱ⁾. (4)

このとき, 係数c⁽ⁱ⁾_l (ϕ;x)は xの関数として, 有理点集合 V_Q∩Vi 上の Γ-不変な関数とみ なすことができる.

さて,保型形式 ϕに付随するゼータ関数ζ⁽ⁱ⁾_l (ϕ, L;s) とϕ のタイプに依存する局所ゼー タ関数 Φ⁽ⁱ⁾_l (f;π, χ, s) を

ζ_l⁽ⁱ⁾(ϕ, L;s) = ∑

x∈Γ\L∩Vi

µ(x)c⁽ⁱ⁾_l (ϕ;x)

∏n

j=1|Pj(x)|^sj, Φ⁽ⁱ⁾_l (f;π, χ, s) =

∫

Vi

∏n j=1

|P_j(y)|^sjψ_l⁽ⁱ⁾(¯y)f(y)Ω(y)

(1≤i≤ν,1≤l ≤mi)

によって定義する. ゼータ関数 ζ⁽ⁱ⁾_l (ϕ, f0;s) は Γ の取り方には依存しない. 補題 I.4 と等 式 (4) から, 容易に次の積分表示が得られる：

命題 概均質ベクトル空間 (G, ρ,V) は条件 (A-1) – (A-4) を満足しているとする. この とき, Re(s₁), . . . ,Re(s_n) が十分大きいならば, 等式

Z_ϕ(f, L;s) =

∑ν i=1

mi

∑

l=1

ζ⁽ⁱ⁾_l (ϕ, L;s) Φ⁽ⁱ⁾_l (f;π, χ, s)

が成立する.

注意. 係数 c⁽ⁱ⁾_l (ϕ;x) は, X_i の点 {y¯_t} を適当に選べば, ⟨M⁽ⁱ⁾x ϕ(¯y_t), e_s⟩ の形の x の関数 の有限線形結合として表される. ここで, {e_s} は W_π の正規直交基底, ⟨, ⟩は W_π 上の内 積とした. すなわち, 上で導入したゼータ関数の係数は, 大雑把には保型形式 ϕ の周期で あると言ってよい.

さて, 本質的な条件である (A-4) が成立する最も簡単な場合は a)量指標ケース – ϕ は L⁺₀ の quasi-character

である. このケースは [S4, §2.1] で論じてある.

条件 (A-4) はさらに次の2 つの場合に成り立つことが知られている：

b)対称空間ケース – X_i (1≤ i ≤ ν) が reductive 対称空間となる場合 (Oshima, ないし は van den Ban の結果による) ([S4] 参照);

c)コンパクトケース – L⁺₀ がコンパクト Lie 群の場合(Peter-Weyl の定理による) ([S5]

参照).

第 II 節では, この 2 つのケースを Koecher-Maass 級数と関係する具体例を通じて説明 する.

さて,上の命題に与えられたような積分表示が得られたとすると,次になすべきことは 以下の問題を順次解いていくことである：

1. Zϕ(f, L;s)の満たす関数等式を証明する;

2. 球関数の空間E(X_i;π, χ) を記述する（例えば, 基底を具体的に構成したい）; 3. 球関数付きの局所ゼータ関数 Φ⁽ⁱ⁾_l (f;π, χ, s)の満たす関数等式を示す;

4. b-関数の対応物を見いだす.

第 1 の問題はPoissonの和公式（と微分作用素を用いた特異集合の寄与の消去のテク

ニック）を用いて解決される. この部分は, 保型形式のつかない古典的ゼータ関数の場合 と何ら変わるところはないので, 説明は省略し, 第 II 節では第 2,第 3 の問題を中心に解 説する. b-関数の一般化の問題については, 説明する余裕があまりないので[S4], [S5] を参 照して下さい.

II. 概均質ベクトル空間のゼータ関数としての Koecher- Maass ^級数

II.1 Koecher-Maass 級数に関連する概均質ベクトル空間

SO(m)を二次形式v²₁+· · ·+v_m² の特殊直交群とする. この節で考察する概均質ベクトル 空間は (G, ρ,V) = (SO(m)×GL(n), ρ,M(m, n))である. ここで, 表現 ρは

ρ(k, g)x=kxg⁻¹ (k ∈SO(m), g ∈GL(n), x∈M(m, n)) によって与えられるものである. この空間の特異集合 S は

S ={

x∈V det(^txx) = 0}

であり, P(x) = det(^txx) が基本相対不変式である. (G, ρ,V)は自然に Q 上定義された概 均質ベクトル空間の構造を持つ. このとき, V_R\S_R ={x∈M(m, n;R)| rankx=n} で あり, ただ一つの開 G⁺-軌道になっている. したがって, ν= 1 である. この開軌道の代表 点として x₀ =

( I_n 0^(m−n,n)

)

をとる.

II.2 対称空間ケース : テータ級数の量指標付き Koecher-Maass 級数 ([S4, § 6.1])

前節の記号で L = GL(n), U = SO(m) となっている場合を考える. このとき, L⁺₀ = SL(n) :=SL(n)_R,L⁺_(x

0)=SO(n) :=SO(n)_Rであり,対応する等質空間X1 =SL(n)/SO(n) は対称空間の構造を持つ. 対称空間 X₁ をサイズ n, 行列式 1の実正定値対称行列の空間 と同一視する.

a をサイズn, トレース0の実対角行列のなすベクトル空間とする. その複素化 a_C は Lie 環 Lie(L⁺₀)_C =sl(n,C)のCartan部分代数である. Λ_i ∈a^∗_C (1≤i≤n−1)を

Λ_i







 a₁

. ..

0 0

^an







=a₁+· · ·+a_i

によって定義する. このとき, {Λ₁, . . . ,Λ_n−1} は a^∗_C の基底をなす (基本ウェイト). U(a) で a_C の不変包絡環を, U(a)^W でそのWeyl群不変式のなす部分環を表す. U(a)^W と不変 微分作用素環D(X1) との間には標準的同型

γ :D(X₁)−→U(a)^W

が存在することが知られている (たとえば, [H2, Chap. II,§4, §5]を見よ). 任意の λ∈a^∗_C は U(a)^W から C への多元環準同型に自然に延長される. この延長も λ で表そう. この

λ を上の γ と合成することにより, X₁ 上の L⁺₀-不変微分作用素環 D(X₁) の無限小指標 χ_λ =λ◦γ が得られる. Z(L⁺₀)∼= Z(X₁) = D(X₁)であるから, χ_λ はZ(L⁺₀) の指標とも みなすことができる.

さて, タイプ (π, χ_λ) の球関数の空間は, Helgason による Riemann 対称空間上の不 変微分作用素の K-有限な同時固有関数の積分表示 ([H1, Corollary 7.4]) により決定する ことができる. π を K = SO(n) の既約 unitary 表現とし, W_π をその表現空間とする. λ=∑n−1

i=1 λ_iΛ_i ∈a^∗_C (λ_i ∈C) に対して, Ψ_λ(¯y) =

∫

SO(n) n−1

∏

i=1

d_i(^tkyk)¯ ^−(λi+1)/2π(k)dk, y¯=

tyy

(det ^tyy)^1/n, (5) とおく. ここで, d_i(A) は行列A の i次首座小行列式を表している. また,

M =









 ε1

. ..

ε_n





ε_i =±1, ε₁· · ·ε_n = 1







とする. このとき, 球関数の空間は

E(X₁;π, χ_λ) = {

Ψ_λ(¯y)v v ∈W_π^M}

(6) によって与えられるのである.

注意. E(X₁;π, χ_λ) に属す球関数の構成は一般の reductive 対称空間に拡張されており ([O] 参照),この節のゼータ関数についての議論も完全に一般化できる.

数論的部分群として Γ =SL(n)_Z をとる. 保型形式ϕ ∈ A(L⁺₀/Γ;π, χ)は（定義より）

緩増加であり, X1 が Riemann対称空間であることから,条件 (A-3) が満たされることが 証明できる. また, (6)により,各 x∈V_Q\S_Q に対して

Mxϕ(y) :=

∫

SO(n)

ϕ(h_ykh⁻_x¹)dk = Ψ_λ(¯y)v(ϕ, x) を満足する v(ϕ, x)∈W_π^M が一意的に存在することが従う.

以上のことから, Γ-不変な V_Q の格子 L, および f ∈ S(V_R) に対してゼータ関数, 局 所ゼータ関数は次で与えられることが分かる：

ζ(ϕ, L;s) = ∑

x∈L/Γ rankx=n

v(ϕ;x) (det^txx)^s,

Φ(f;π, λ, s) =

∫

V_R\S_R

(det^txx)^s−m2Ψ_λ(¯x)f(x)dx.

特に,π が自明な1 次元表現π₀ で ϕ が SO(n)-不変のとき, Ψ_λ(¯y) はSL(n) の帯球関 数 ω_λ(¯y) と一致する. 任意の保型形式 ϕ ∈ A(L⁺₀/Γ;π₀, χ) は X₁ 上のΓ-不変関数とみな すことができ, ゼータ関数の係数はv(ϕ, x) =ϕ(¯x⁻¹) とϕ そのものを用いて表される. し たがって,

T¯= (detT^−1/n)·T ∈X₁, A(T) =♯{

x∈L ^txx=T}

, ϵ(T) = ♯(SO(T)_Z) という記号を導入すると,

ζ(ϕ, L;s) = ∑

T∈Sym_n(R)/Γ T >0

A(T)ϕ( ¯T⁻¹) ϵ(T)(detT)^s

となる.

この式は, ζ(ϕ, L;s) がテータ級数 θ(L, Z) = ∑

x∈L

exp(2πitr(^txx·Z)) (Z ∈H_n)

に付随する（Maass の意味での）量指標ϕ(Tˇ ) =ϕ(T⁻¹) 付きのKoecher-Maass 級数に他 ならないことを示している.

積分表示 (5) を用いると, 球関数付きの局所ゼータ関数Φ(f;π, λ, s)は

ξ^(∞)(f;s, λ, π) =

∫

V_R\S_R n−1∏

i=1

d_i(¯x)^−(λi+1)/2(det^txx)^s−m2 (∫

SO(n)

f(xk⁻¹)π(k)dk )

dx

の形に書き換えられる. これは,GL(n)の上三角行列のなす Borel部分群を B(n) とした とき, (SO(m)×B(n), ρ,M(m, n))で与えられる概均質ベクトル空間の局所ゼータ関数に 一致している. よって,我々が知りたい Φ(f;π, λ, s) の関数等式は, ξ^(∞)(f;s, λ, π) の関数 等式という通常の概均質ベクトル空間の理論の枠内で示される関数等式に帰着した. この 関数等式の explicit な公式は [S, pp.155–156] ですでに計算されている. その結果を用い ると, ζ(ϕ, L;s)と ζ( ˇϕ, L^∗;s)（ϕ(h) =ˇ ϕ(^th⁻¹), L^∗ =L の双対格子）とを結びつける次の 関数等式が得られる. .

定理 (i) ゼータ関数 ζ(ϕ, L;s) は s の有理型関数として C 全体に解析接続される.

(ii) Γ-因子付きゼータ関数を

ζ(ϕ, L;ˆ s) = v(L)^1/2π^−ns

∏n i=1

Γ (

s+ 1 2n

n−1

∑

j=1

jλ_j− 1 2

n−1

∑

j=i

λ_j− n−1 4

)

·ζ(ϕ, L;s),

ζ( ˇˆ ϕ, L^∗;s) = v(L^∗)^1/2π^−ns

∏n i=1

Γ (

s+ 1 2n

n−1

∑

j=1

jλn−j− 1 2

n−1

∑

j=i

λn−j −n−1 4

)

·ζ( ˇϕ, L^∗;s)

により定義すると, 関数等式

ζ( ˇˆϕ, L^∗;s) = ˆζ(ϕ, L;m 2 −s) が成り立つ.

ここで, ˇϕ∈ A(L⁺₀/Γ;π, χ_ˇλ) (ˇλ =∑_n−1

i=1 λ_n−iΛ_i) であることに注意しておく.

注意. Siegel 保型形式の空間がテータ級数で張られるか否かを問題にする, いわゆる,

“basis problem”への解答が肯定的であるようなケースでは,上の定理は一般のSiegel保型

形式に対する量指標付きKoecher-Maass 級数の関数等式を与えていることになる(“basis problem” については [B¨o]参照).

II.3 ^{コンパクトケース} : ベクトル値テータ級数の Koecher-Maass ^級数 ([S2], [B¨ o-Sch])

次に,前項とは L と U の役割を入れ替えて L=GL(1)×SO(m), U=SL(n)となる場 合を調べよう. この場合には,L⁺₀ =SO(m) :=SO(m)_R, L⁺_(x

0) =SO(n)×SO(m−n) で あり, 対応する等質空間 X₁ はコンパクト対称空間 SO(m)/SO(n)×SO(m−n) である

（X1 が対称空間になることは, コンパクトケースの一般論としては必要ないことだが, 以 下に見るように, 球関数空間の重複度 1定理が成り立つなど,事態をかなり簡単にする）.

L⁺₀ =SO(m) 上の保型形式の空間としては,

A(SO(m), π) = {ϕ:SO(m)→W_π | ϕ(kk^′) =π(k)ϕ(k^′) (k, k^′ ∈SO(m))}

= {ϕ_w(k) :=π(k)w| w∈W_π}

を考えることになる. Z(L⁺₀) の無限小指標 χ は, 表現 π によって自動的に定まってしま うので,記号からは省略している.

SO(n)×SO(m−n) が対称部分群なので, SO(n)×SO(m−n) で固定されるW_π の ベクトルのなす部分空間 Wπ^{SO(n)×SO(m−n)} は高々1次元である. dimWπ^{SO(n)×SO(m−n)} = 1 のとき,表現 π は クラス 1であるといわれる. π がクラス 1でなければ,E(X₁, π) = {0} であり, Zϕ(f, L;s) は恒等的に消えてしまうので, 以下, π はクラス 1 であると仮定する. Wπ^{SO(n)×SO(m−n)} の元 w₀ で ∥w₀∥ = 1 となるものを固定する. このとき, X₁ 上の球関数 の空間は 1 次元であり,

E(X₁, π) =Cψ₀, ψ₀( ˙k) = π(k)w₀ で与えられる.

prをW_πからWπ^{SO(n)×SO(m−n)}への直交射影とすると,保型形式ϕ=ϕ_w ∈ A(SO(m), π) の周期は, 次のように容易に計算できる:

M_xϕ(¯y) =

∫

SO(n)×SO(m−n)

ϕ(k_yhk_x⁻¹)dh =

∫

SO(n)×SO(m−n)

π(k_yhk_x⁻¹)w dh

= π(k_y)◦pr◦π(k_x)⁻¹w=⟨π(k_x⁻¹)w, w₀⟩ ·π(k_y)w₀

= ⟨w, ψ₀( ˙k_x)⟩ ·ψ₀( ˙k_y).

これより, 保型形式付きゼータ関数,球関数付き局所ゼータ関数として ζ(ϕ_w, L;s) = ∑

x∈L/Γ rankx=n

⟨w, ψ₀( ˙k_x)⟩ (det^txx)^s , Φ(f;π, s) =

∫

V_R\S_R

(det^txx)^s−m2ψ₀( ˙k_x)f(x)dx が得られる.

さて, ゼータ関数をさらに具体的に書き換えていくためにψ₀ を M(m, n) 上の多項式 写像と関係づけよう. まずC(X₁) で X₁ =SO(m)/SO(n)×SO(m−n) 上のSO(m)-有 限な関数の空間を表し,C(X₁)_π をそのπ-isotypic 成分とする. このとき, C(X₁)_π は π を 重複度 1で含み, 写像

W_π ∋w7−→ ⟨w, π(k)w₀⟩ ∈C(X₁)_π (7) がSO(m)-同型を与えることが知られている. ここで,コンパクト群SO(m)の既約unitary 表現と reductive代数群 SO(m)の既約有理表現の間には 1対 1対応があること(unitary trick) を思い出しておこう.

補題

R= {

Q∈C[M(m, n)]

Q(xg) =Q(x) (∀g ∈SL(n)), det( ∂

∂^tx · ∂

∂x)Q= 0 }

とおく. R を SO(m)-加群とみなし, SO(m) の既約表現π に対し, Rπ でそのπ-isotypic 成分を表す. このとき,

(i) SL(n)-不変式環 C[M(m, n)]^SL(n) は SO(m)-加群として次のように分解する：

C[M(m, n)]^SL(n)=

⊕∞ d=0

(det^txx)^d· R, R= ⊕

π:class1

Rπ.

(ii) Rπ は既約 SO(m)-加群であり,

Rπ ∋Q7−→Q(kx₀)∈C(X₁)_π は SO(m)-同型である.

上の補題 (ii) の SO(m)-同型と (7) を合成すると

W_π ∋w7−→Q_w ∈ Rπ, Q_w(kx₀) =⟨w, π(k)w₀⟩ (8)

なるSO(m)-同型が得られる. Rπ に属す0 と異なる多項式 Q の次数を d(π) で表す. こ のとき,d(π) は Q の選び方によらず,

⟨w, π(kx)w0⟩= Q_w(x) (det^txx)^d(π)/2n

が成り立つ. よって,{w₁, . . . , w_degπ} を W_π の正規直交基底とするとき,

π(k_x)w₀ = (det^txx)^−d(π)/2n

deg∑π i=1

Q_wi(x)w_i が得られる. したがって, ゼータ関数, 局所ゼータ関数の表示として

ζ(ϕ_w, L;s) = ∑

x∈L/Γ rankx=n

Q_w(x) (det^txx)^s+d(π)/2n,

Φ(f;π, s) =

deg∑π i=1

Φ(f;Q_wi, s)w_i, Φ(f;Q_wi, s) =

∫

V_R\S_R

(det^txx)^s−(mn+d(π))/2n

Q_wi(x)f(x)dx を得る.

Φ(f;π, s)の多項式Q∈ Rπ を用いた表示を利用すると,関数等式を証明することがで きる. Q(∂) を Q(∂_x) exp(tr^tyx) = Q(y) exp(tr^tyx) を満たす定数係数偏微分作用素とす る. 容易に分かるように

Q(y) ˆf(y) = (−2πi)^−d(π)(Q(∂_x)f)ˆ(y) が成り立つ. さらに,上の補題により, s の多項式 b_π(s) で

Q(∂_x)(det^txx)^s =b_π(s)Q(x)(det^txx)^s−d(π)/2n

を満たすものが存在することが分かる. これらの等式と, (det^txx)^s の Fourier 変換の公 式, すなわち (SO(m)×GL(n), ρ,M(m, n))の通常の局所関数等式を組み合わせると, 球 関数付き局所ゼータ関数 Φ(f;π, s)の満たす関数等式が得られる. その計算における最大 のポイントは一般化された b-関数 b_π(s) の計算である. 我々がいま扱っている場合には, X₁ がコンパクト対称空間（より一般に球等質空間）であることが鍵となって, 概均質ベ クトル空間 (BSO(m)×GL(n),M(m, n)) に対する通常の b-関数の計算に帰着させられ る. ただし,BSO(m) は SO(m)の Borel 部分群である.

関数等式の計算結果を以下に述べる. 簡単のため, m >2n と仮定しよう. この仮定の 下でSO(m) のクラス 1既約 unitary 表現の同値類は

Λ ={λ= (λ₁, . . . , λ_n)| λ₁ ≥ · · · ≥λ_n≥0, λ₁ ≡ · · · ≡λ_n mod 2} によってパラメトライズできる.

定理 λ∈Λ を表現 π に対応するパラメータとする. このとき,

(i) 任意の w∈W_π に対し, ゼータ関数ζ(ϕ_w, L;s) は s の有理型関数として C 全体に 解析接続され, さらに

ζ(ϕ_w, L;s)·

∏n i=1

(

s+λ_i−i−1 2

) (

s−λ_i+m−i+ 1 2

)

は整関数である. (ii) v(L) =∫

V_R/L dx とし,

ζ(ϕˆ _w, L;s) =v(L)^1/2π^−ns

∏n i=1

Γ (

s+λ_i −i+ 1 2

)

·ζ(ϕ_w, L;s)

とおく. このとき, 次の関数等式が成り立つ：

ζ(ϕˆ _w, L^∗;m/2−s) = e^π

√−1

2 (λ1+···+λn)ζ(ϕˆ _w, L;s).

ϕ_w の周期を M(m, n) 上の多項式関数と結びつける方法は, 上で説明したものに限ら れない. 上の定理におけると同様に,λ∈Λ を π に対応するパラメータとする. このとき, λ は GL(n) の既約多項式表現も定めることができる. この表現をρと記す. V_ρ を ρ の表 現空間とし, 次のV_ρ-値多重調和関数の空間を考えよう：

Hλ ={

Q:M(m, n)→V_ρ Q(xg) = ρ(^tg)Q(x) (∀g ∈GL(n)), ∆_ijQ= 0 (i, j = 1, . . . , n)} . ここで, ∆ij =∑m

l=1

∂²

∂xli∂xlj とした. Vρ 上に

(ρ(g)v, ρ(^tg⁻¹)v^′) = (v, v^′) (g ∈GL(m), v, v^′ ∈V_ρ) を満たす内積(∗,∗) をとる. m >2n であるから,写像

Hλ⊗Vρ ∋Q⊗v

7−→[SO(m)/SO(m−n)∋k˙ 7→(Q(kx₀), v)∈C]∈C(SO(m)/SO(m−n))_π は SO(m)-同型を引き起こす ([Ge] 参照). λ₁ ≡ · · · ≡λ_nmod 2 との仮定により, V_ρ は 0 でない SO(n)-不変ベクトル v₀ を含む. v₀ は定数倍を除いて一意的に定まる. このとき, 上のSO(m)-同型の制限として次のSO(m)-同型が定まる：

H⁰λ :=Hλ⊗v₀ −→C(SO(m)/SO(n)×SO(m−n))_π. 以上をまとめると SO(m)-同型

Hλ ∋Q7−→w∈W_π, (Q(kx₀), v₀) =⟨w, π(k)w₀⟩

が得られた. これより,

(Q(x), ρ(T^1/2)⁻¹v₀) =⟨w, π(k_x)w₀⟩, T =^txx となる. よって, Q∈ Hλ を w∈W_π に対応する多項式とすると,

ζ(ϕ_w, L;s) = ∑

T∈Sym_n(R)/Γ T >0

(A(T), ρ(T^1/2)⁻¹v₀)

ϵ(T)(detT)^s , A(T) = ∑

x∈L

txx=T

Q(x)

というゼータ関数の表示を得る. これは, [B¨o-Sch] において調べられた V_ρ-値テータ級数 Θ(Q, L, Z) = ∑

x∈L

Q(x) exp(2πitr(^txx·Z)) (Z ∈Hn) に付随する Koecher-Maass 級数に他ならない.

注意. この節で扱った 2つの例から想像がつくように, 概均質ベクトル空間 (SO(m)×GL(n), ρ,M(m, n))

に付随する保型形式付きゼータ関数とは, 直交群の保型形式からテータリフティングで得

られる Siegel 保型形式の（量指標付き）Koecher-Maass 級数に他ならない. 他の概均質

ベクトル空間のゼータ関数については, このような保型形式との関係はほとんど見いださ れていないが,存在するという信念を持つべきであろう.

一方, 以上のゼータ関数はすべて GL(m) の Langlands Eisenstein 級数として解釈さ れることに注意しておく. Koecher-Maass 級数と Eisenstein級数という 2 通りの解釈が 存在するということに,どのような意味があるかということについては私は今のところ語 るべきことを持たない.

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