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§１ 等 速 円 運 動
目 標 一 定 の 速 さ で 円 周 上 を 運 動 す る 物 体 の 問 題 に つ い て 学 ぶ 。
基 礎 と な る 事 項 ○ 加 速 度 （ 第 １ 章 §４ ）
学 習 半 径 r [m] の 円 周 上 を 、 一 定 の 速 さ v [m/s]で 運 動 す る 質 量 m [kg] の 小 物 体 が あ る と き 、 物 体 の こ の よ う な 運 動 を等 速 円 運 動と い う 。
等 速 円 運 動 を す る 物 体 は 曲 線 運 動 を し て い る か ら 加 速 度 運 動 を し て い る こ と に な り 、 そ の 加 速 度 は 、 第 １ 章 §４ の 例 題 １ で 示 し た よ う に
加 速 度 の 大 き さ v2/r [m/s2]
加 速 度 の 向 き 円 の 中 心 を 向 く 向 き で あ る 。
こ の 加 速 度 を 円 運 動 の向 心 加 速 度、 ま た は求 心 加 速 度と 呼 ぶ 。
運 動 の 第 ２ 法 則 に よ れ ば 、 加 速 度 は 力 が は た ら い た と き に 生 じ る も の で あ る 。 従 っ て 、 円 運 動 を 起 こ さ せ る に は 、 物 体 を 中 心 に 向 か っ て 引 く 力 が な け れ ば な ら な い 。 わ れ わ れ が 小 物 体 に 円 運 動 を さ せ る に は 、 軽 い 丈 夫 な 糸 に 小 物 体 を 結 び つ け 、 糸 が 切 れ な い よ う に 振 り ま わ さ な け れ ば な ら な い 。
第 ８ 章 円運動と単振動
図 ８ － １
第８章 円運動と単振動
3 上 述 の 円 運 動 で 、 小 物 体 に は た ら く 力 （ こ れ を向 心 力と 呼 ぶ ） を F [N] と す る と 、
F ＝m r
v2 (8･1･1)
と い う 関 係 が 成 立 す る 。 向 心 力 F と 向 心 加 速 度 v2/r は と も に 中 心 Cを 向 い て い る の で 式 （ 8･1･1） は ベ ク ト ル で 表 さ な く て も よ い 。 次 に 等 速 円 運 動 を す る 物 体 が 一 周 す る の に 要 す る 時 間 T [s] は 、 円 周 が 2πrで あ る か ら 、
T ＝ v
r π
2 [s] (8･1･2)
で あ り 、 １ 秒 間 に 円 の 周 囲 を ま わ る 回 数 f は 、 次 の 式 で 与 え ら れ る 。
f ＝ T1 ＝
r π 2
v [s- 1] ま た は [Hz] (8･1･3)
T を 円 運 動 の周 期、f を回 転 速 度ま た は回 転 数と 呼 ぶ 。f の 単 位 と し て は s－ 1(毎 秒 )、Hzの ほ か に min－ 1(毎 分 )、h－ 1(毎 時 )、rps（ 回 毎 秒 ）、rpm(回 毎 分 )、rph(回 毎 時 )な ど が 用 い ら れ る 。
物 体 が 円 周 上 の 点 Pを 通 過 し 、Δt秒 後 に 点 P′に 達 し た と す る 。 円 弧 PP′（ 記 号PP′） の 長 さ をΔs [m] と す る と 、
PP′≡Δs ＝vΔt (8･1･4) で あ り 、 ま た 、 ∠PCP′＝Δθと す る と 、 円 弧 の 長 さ と 中 心 角 は 比 例 す る か ら 、 比 例 定 数 を cと お く と 、
Δs ＝cΔθ (8･1･5)
こ こ で 、 比 例 定 数 cが 簡 単 に な る よ う に 、 角 度 の 新 し い 単 位 を 導 入 す る 。
図 ８ － ２
4
Δs ＝r の と き 、Δθ＝ 1 と 約 束 す る と 、 式 （ 8･1･5） か ら c ＝rと な る か ら 、 式 （ 8･1･5） は 、
Δs ＝rΔθ (8･1･5′)
と 書 き 直 す こ と が で き る 。
こ の よ う な 測 り 方 を弧 度 法と い い 、 単 位 をラ ジ ア ン（radian） と 呼 ぶ 。Δs を 全 円 周 の 長 さ に 等 し く と れ ば 、Δθ＝ 2πと な る か ら
360°＝ 2πラ ジ ア ン （rad） (8･1･6) と い う 関 係 が 成 立 す る 。
式 （ 8･1･4）、（ 8･1･5′） か らrΔθ＝vΔt が え ら れ る か ら 、
v＝r t θ Δ Δ
と な る 。 と こ ろ で 、vは 一 定 で あ る か ら 、Δθ/Δtの 値 もΔtの 値 に 無 関 係 に 一 定 で あ る 。
こ の 一 定 値 を
ω ＝ t θ Δ
Δ [rad/s] (8･1･7)
と お き 、ω*を角 速 度と い う 。ωを 用 い る と 、 動 点 の 速 さvは 、
v＝rω (8･1･8)
と 表 さ れ る 。 ま た 、 (8･1･1)、 (8･1･2)、 (8･1･3)を ω を 用 い て 書 き 直 す と 、
* ω： オ メ ガ と 読 む 。 ギ リ シ ャ 小 文 字 。 大 文 字 は Ω 。
第８章 円運動と単振動
5 F ＝m r ω2 [N] (8･1･1′) T ＝ 2πr /v＝ 2π/ω [s] (8･1･2′) f ＝ 1/T ＝ω/2π [Hz] ま た は [s- 1] (8･1･3′)
半 径 50cmの 円 周 上 を 1.5m/s で 等 速 円 運 動 を す る 物 体 の 加 速 度 の 大 き さ を 求 め よ 。
解 き 方 向 心 加 速 度a ＝ r v2 ＝
1.52
＝ 4.5
長 さ １m の 糸 に 質 量 50g の 小 物 体 を つ け 、 水 平 面 上 で １ 秒 間 に ３ 回 転 さ せ る 。 向 心 力 と 角 速 度 の 大 き さ お よ び 小 物 体 の 速 さ を 求 め よ 。
解 き 方 向 心 力 をF [N]、 角 速 度 をω [rad/s]、 速 さ をv [m/s]
と す る と 、
f ＝ω /2π＝ 3 ∴ω＝ 6π[rad/s]＝ 18.8rad/s v＝rω＝ 1×ω＝ 18.8m/s
F＝m r
v2 ＝ 5.0×10- 2kg×(18.8m/s)2/ 1 m≒ 17.7N
（ 1N＝ 1kg･m/s2に 注 意 ）
ⓐ
ⓑ 例 題 1
例 題 2
6
§２ 慣 性 力
１ ． 慣 性 力 と は
目 標 慣 性 力 と は ど の よ う な も の か を 学 ぶ
基礎となる事項 ○慣性の法則（第３章§１）
学 習 加速度運動をしている物体に観測者（われわれのこと）が
乗っていると、実際には、はたらいていないのに、あたかも力がはたら いているかのように感じることがある。電車が発進するとき、乗客が電 車の進行方向と逆方向に倒れそうになり、停車するときは、電車の進行 方向に押されるように感じる。電車がカーブを曲がるときも、カーブの 外側の方によろめいたりする。これらの原因となる力は慣性力と呼ばれ、
われわれの体のもつ慣性に由来している。
そ れ で は 慣 性 力 の 大 き さ を 数 量 的 に 求 め て み よ う 。 図 ８ － ３ ⒜ は 発 進 中 の 電 車 の 中 の 乗 客 を 表 し て い る 。 電 車 の 加 速 度 は 図 の 右 向 き に a [m/s2] と し 、 人 の 質 量 を m [kg] と す る 。 図 で は 人 の 質 量 は 黒 丸 の 点 に 集 め て 描 い て あ る 。 こ こ で 少 々 困 っ た こ と が 起 こ っ た 。 い ま ま で は 物 体 に 大 き さ を 考 え な か っ た 。 す な わ ち 、 大 き さ の な い も の ま た は 大 き さ は あ っ て も 、 そ れ を 考 え る 必 要 の な い 場 合 だ け を 取 り 扱 っ て き た の で あ る 。 大 き さ を も つ 物 体 の 取 り 扱 い 図 ８ － ３
R R
第８章 円運動と単振動
7 は 少 々 め ん ど う に な る の で 、 こ の 場 合 は 簡 略 化 し て 、 人 の 質 量 を 全 部 一 点 に 集 め 、 大 き さ を 無 視 す る 。 こ の 一 点 を 人 の重 心と い う 。 黒 丸 で 表 し た 点 が そ れ で あ る 。 重 心 に は た ら く 力 は 、 重 力 mg [N]、
床 の 垂 直 抗 力 R [N]、 吊 革 の 張 力S [N] で あ る 。
さ て 、 こ れ か ら 先 は 見 る 人 の 立 場 の 違 い に よ り 言 い 方 が 変 わ る 。 図 ８ － ３ ⒝ は 電 車 の 外 に 立 っ て い る 人 （ 甲 と 呼 ぶ ） の 立 場 で 描 い た も の で あ る 。 甲 の 立 場 で 言 え ば 次 の よ う に な る 。
S、R、mgの ３ つ の 力 の 合 力 は 水 平 で 右 向 き 、 だ か ら 人 は 右 向 き に 加 速 度 運 動 を す る 。 運 動 方 程 式 で 書 く と 、
甲 の 立 場 の 運 動 方 程 式
水 平 方 向 Ssinθ＝ma
鉛 直 方 向 Scosθ＋R －mg＝ 0 (8･2･1) こ れ に 対 し 、 図 ８ － ３ ⒞ は 電 車 の 中 に 坐 っ て い る 人 （ 乙 と 呼 ぶ ） の 立 場 で 描 い た も の で あ る 。 乙 か ら 見 る と 黒 丸 の 点 は 静 止 し て い る 。
S、R、mgの ３ つ の 力 の 合 力 が ゼ ロ に な る こ と は あ り 得 な い 。 水 平 方 向 も 力 が つ り あ う た め に は 、 図 の よ う な 未 知 の 力Kが は た ら い て い な け れ ば な ら な い 。
乙 の 立 場 で 書 い た つ り あ い の 方 程 式 は 次 の よ う に な る 。 水 平 方 向 Ssinθ－K ＝ 0
鉛 直 方 向 Scosθ＋R －mg＝ 0 (8･2･2) 式 （ 8･2･1）、（ 8･2･2） は 同 じ 現 象 を 違 っ た 立 場 で 表 し た だ け の も の で あ る か ら 、 両 者 は 一 致 す る は ず で あ る 。 よ っ て 次 の 関 係 式 を う る 。
K ＝ma (8･2･3)
力Kを慣 性 力と い う 。 大 き さ は maに 等 し く 、 向 き は aと 逆 で あ る 。
