2円孔を有する無限板の混合境界値問題

覆島大学還群議銭37号（圭§8§〉 ⁵ⁱ

2円孔を有する無限板の混合境界値問題

      （第3報）

杉  浦  勝

^男＊

（欝編年i得鱒欝受遺）

AMl墨xεdPr脅も1e盤｛o罫鐙瓦登盤癒tεP醸tεw重出     Two U嚢ε鐸毒C重郵。嚢皇継Ho夏2s

       P鍵t3

K農輩s蟹）S穫墓擁ギa＊

（翫 麗麗認鉛毒麓磁η，1露6｝

  丁臨欝欝εr塞圭ves謎鐙31y鞭31SO董癒0爵蟹t魏t鼓εS重resesl費a雛蕪醸母1＆tεw藏纏O

C量τC穫姦で難0茎es． 至難tO O麹εO董姦｛）菱εS＆麹e翌as重重C C麹C護墨我ギ｛灘S茎｛W量t薮＆簸0ぎ逡重簸a縫y玉aτ霧｛∋ぎぎ議｛簸鞭S蓋3S

島ee謡費S綴e益，a磁t舞e磯εr難O茎eis登罐重藤ぎCO鋤εcte6蝋麺r董騨S童ay、

  丁盤餓瞼茎ys圭S量誌as磁倉賞t盤eCO蜘澱a夏餓鑓嬉鐙嶺姦ec幡蜘xvaτ1識εtec麺重脚色   麗醗eぎIC譲res醸S董綴t藪estぎeSS醜重痴磁魏寂垂O籔霧t魏C童rc醗ずere鷺Cε0董t簸eclでC磁で 恥糠6aτ量es我re登1磁纐麦賊er溢s㊤費魏禦。搬ε麺。虚欝欝a撫εter＄

      i．緒     署

 多連結領域紅関する混合境雰魑問題として著者はさぎに2霧孔を奏する無酸極を敬う、とげ，い くつかの場合について論じてぎた繊2職。しかし，これらはいずれも，円我の一認が2懸あるいは i燧の欝体接触子によって猛塗られる場合であった。そこで本輻告は一つの円孔縁の一翻が灘体 支柱で露定され，縫の霧孔に母材と異なる耕料の欝擾が匠入される場合の2円孔を有する無駿板 内に生ずる応力分薦を璽らかにする。解糧にあたっては，蕨鞍と織様に一次変換嶋と複素慈内紛 関数を難いた。

       λ 基礎式および問題6〉呈示

 麟iに示すように嚢素平灘蓋2業κ＋な鷺こおいて，芋窪がそれ昆，鳥なる繕交わらない2露

孔五玉，五2の外藩頬域Sを占める均質等方弾性無想飯が，響孔島に無漿叛と異なる材料の半径 畠率εの中実円帳を漉入され，さらに門真乙2の一一蒲に鱗体支柱が接蒼され置建されているもの

覆島大学教奮学蕊 福島（〒§総護2）

欝寂C鍍董ty（鍾雛膿C盆t圭0鼓，欝娃璽｛騒S為重灘＆鷲琵重vers誌￥，欝慧蓑駿S鼓圭搬袋96蓉一i2

52 杉鱒：2聲轟を有する無醗疲の漫会規舞魑幾題

￥i

粋2 し2

ノ〆@ 転  、、

／       、

ゴ

廷2書

無病・グ

＼、／… ノー■

  、一i一一−

遍

ぎ

］ 馨i

とする． 瞬乙｝，乙2の中・む闘の羅茎離を認〈＞忍圭＋ノ〜2）とし，〜平懸の原点彰ま円五2の中・む幸こ．おく．

 梅鉢方が作駕しない場合，績域Sの応力成分戯，砺，夜．，変位成分麗詫，紛はSで琵別な2懸 の腹素関数の（2），群（〜）で次のように表すこと海§できる。

      飯＋侮置4縦φ賛）1       （葺

      侮＋詫雌算φ（露｝率の（2ト名の （著／一夢（乏／      （2》

      2μ（舞x幸ズ駕ア〉＃κ砂（〜〉一〜φ （宕）一ψ（著）      （3》

ただし，

      幽ザ鈴瞬，ψ（ホ∫難波

μ：せん鉄聾性係数，κ業3−4ン（平面ひずみ），κ＝穏一レ〉／軽率レ）（一般化平薩癒灘〉，レ1ポアソ ン髭である。

 ここで，新たに門島の内蕊領議をsぎ，外藻覆蟻をS牙とする。

 問題の解法を容易にするため蕪穀と麟檬に之平面の鎮域を次のような…次変換醸妙によ鯵

ζ平癒（ζ薫る＋ ξ2／に写像する。

       葺〜r常磁（ζ）π（4ζ＋δ〉ノ（ζ÷γ〉       〔4〉

ただし，

      α＃一4÷メ〜産γ，δm−4γ垂尾，γ＝（茎÷麟／（i㌦41       、42＃｛（だ一鼠〉2一搭｝1｛（だ＋畠12一醒1

し s

皿2S

ザ

織

x

も

Σ2 Σ

   Σ；一 Σ；ξ、

製

^{簸 碧}

⁝ ζ

幡 ガ蓼嚢 嚇 ζ平錘

爵2

篠島大学蓮耕叢彗37号（i繋§） 53

で与えられる働。この写繰によ弓，磨2に示すように，〜平癒における鍔島，鳥はζ平面の講心 密ヂ里｛iζi＝至〉，r譲錐πヂ業一鯵申鳥脅／（α＋1〜2／＞鰭に，穎蟻s芽，磁は霧飛の内記領域麗，

外藻籟域￡iに写縁される．また頷籔8はζ平癒4〉講心霧環鑛域Σに1媛蕩暮する。

 さて，関数φ（κ／，夢稔／は式（4｝の幾孫からζの襲数と考えられる。これらを新たに繊ζ），

夢（妙と書くことにする。すなわち

       の（2｝皿鋭麟ζ／トの（ζ）

       騨（の工翼譲ζ）1蕪蘇ζ〉

〜とζの闘には式（勢の震係があり，かつζ業紹瑠とおくと〜翠霞に導入された藏変麟線座標系

（澄，彦／における癒力成分晦，σ，，τ．写および変位の直角整標成分飯，紛と関数繊ζ），鞍ζ海開 にぽ次のような震源式が．成参立つ。

    σ身＋6，誕避φ（ζ）1    ．      ⑤

    σ声＋ズτ芦，講（ζ）＋醸ξ）一ξ｛砂（ζ）φ 〔ξ〉緬 （ξ）歎ξ／｝ノゆ（ζ1｝   （韓     2選麗 κ＋ゴ紛）4ζ畝ζ〉1κφ（ζ〉一の（ζ／÷ζ｛⑳（ζ〉φ （ζ）

       ＋6（ξ〉軟ξ〉1〆｛ζ醸ζ〉ll      （71

ここに，鹿島＃∂翻、／∂ズ，認3＝∂舞．！融である。 これらの諸式はζ平面圭1のノ薫で定義され，かつ本総 題の基礎式となる。

 い玄，縫数の稔／，彗「（麟を〜平獲の籟域＄で定義され，ただし，露賑の内編鎖載に特異点 をもってもよいものとする。そことぎ，の（ζ），歎ζ／はζ平嚢の頻域濫で定義され，かつ円ハ の内誌に特異点をもつことになる。類域Σ芽で定義されたの（ζ）を領域￡ぎに次のように紙張す

る。

     砂 （ζ繊ζドーσ（ζ／繊72／ζ1＋（鮮2／ζ㌔（ζゆ（72／ζ2／

     ・   ÷（劉2ノζ2雇（兜2／ζ癖（劉2〆ζ／，      〔ζ∈￡の（8》

この定義から夢（ζ／はζ平癒の全領域で定義されたの（ζ）で欧のように表される。

    畝ζ躍（ζ／唄721ζ2細評（〃ζ／の（ヂ21ζ1＋σ（72／ζ繊ζ／

       一議！／ζ／の （ζ／，       〔ζ∈Σぎ1（馨 したボって，式織，（7），総によ疹Sにおける応力と変位はφ（ζ／のみで次のように表される。

    ζ諒ζ恥ρ葺τ跨，卜ζ砂 （ζ厭ζ／一（〃ζ）砂〆（鮮2／ζ｝φ（野2／ζ／

     ＋｛ζ畝ζ）一（r2／ξ麟72！ξ）｝φ（ζH醸ζ／一砂（72！ζ〉｝ζ麟ζ1， （ζ∈Σ芽／

      （轡

    2麗麗娃妬トゆ〆（ζ／｛κの／ζ〉＋の（野2／ζ）1

     ゴζξ畝ζ珪ξ醸r2！ξ）ノ｛到2砂厨／ξ1卜麟ζ／！｛ζ甜∫（ζll簿（ζ／

     ゴζξ譲ζ）畝鍍ξ／｛！翻1（ヂ2燈錘！｛ζ翻（ζ瞬挙世（ζ）， （ζ∈顔 

麟

式／茎i）の夢（ζ／は式働で与えられる．

3．解 鈴誘導

 鵜体支柱は鑛が一一様で，κ軸に．鰐称に謡置されている。重た，露定縁の中心角は2磁であ甑接 触藤島（L垂、＋孤2／一とで醜体支柱と穴縁の聞には権輯すべ燐まないものとする。さらに，乙2の接触

5遵 杉澱12霞孔を喬する無羅鍍の混合箋饗難襲題

繊麗猛…暑五簿には魯力が｛乍署しないものとする。円嘉島の中には，半径畠＋εなる異質材料 の胃飯が漉入されてお移，その接触獲力βは次式で与えられる。

      か謡ε鱗／1ノ〜玉｛2μ μ（κ琶一瞬1，        （i2〉

ただし，幽，為は円叛の弾性係数である。

 霧張逓，基は式鶴によりζ平懸の門島の霧張／旗ノYi＋r跡，∫y （君霞＋理論に移される。た だし，門彊飛 王と飛』の中心角2醜重，2鋤2とするとのと伽爵嫡凱i，2）の関係は次式で与えられ

る。

晦一

m跡・1｛魯魚ジー蓋）・1盤の｝／｛（i争γ）（曇一γ〉

±（2γ一勢ジー勢〉争・⑰・砂一（髪γγ｝擁 _（捻〉

ただし，複号は上が爵mi，下が毒二2のとぎである。

 門鑑の霧翻．Σ∫または外藻Σぎょ鯵箋雰君珪二の点推究ε魏に近づいたとぎの瞬数

秒 iζ）φ〈ζ）の境界麟をそれぞれ1⑦ （麟ゆ（鑓＋，1躍（碁ψ（オ）勤と表すと，本問題の箋雰条件は式

（欝1．（簸1および式（麟を驚いて次のように青くことがでぎる。

 （麟 長上で罎十 鶴四巷，すなわち飛！上で

       κ1砂 ωφωr＋1〆（鈴の（躍祉§       （鱒  紛 諺■とでσβ＋ゴ砺π§，すなわち轟 上で

      1翻ωの（躍、臨のφ（躍一越      傷1

 （C〉欝島上で砺＋ゴ砺＃一か，すなわち君上で

       φ（σ／÷ψ（σ一主）一｛δ㎜2侮■（σ／｝｛譲6〉の ／σ 皇／

        ＋畝σ一i）歎が至1ドーβ，      （6業ε卿／ l紛  （麟 購定縁最、と逓2との闘に穣灘変位がないことから

       ゑ罫1幽⑳翅鱒       （驚

 式｛蔦）より躍（ζ／φ（ζ）は∫γを通じて解藪接続される。式｛慧）は躍（ζ拶（ζ疑こ関する蔓｛誌 娩rt懸題であむ．この解はσ（ζ麺／ζ／の特異性を考癒すると次式で与えられる。

疎ζ）φ（ζ｝二x（ζ）Σbπ（ζ房控         箆；一一￠庸

（i81

で

こ

こ

X（ζ／｛（ζザε一瞬）〈ζ÷プ〆吻）1 幽一ゴβ

   ×1（ζ一γε晦）（ζ＋ゼ嬢）1 離郷 （麟 島は未知定数で，β＃（麺κ）！2笈である，関数X（ζ）は点ζ齪解！醜生，一ヂビゴ鞭に分綾点をもつ多 懸翼数であ参，麗 に沿って勢藪を入れたζ単襲で1惣ζ2X（ζ）皿iなる分校をとるものとする．

      ζ一昨。。

 式（i8〉に含まれる未知定数翻は，式（i6》，（i71を満足するような淡足すればよい。そこで，ま ず式｛i8｝をΣ芽およびΣ牙で次のように級数展麗する。

福島大学攣科綴音37憂｝（鯵8§〉 55

        鍛1二竣灘ll織

ここに

       ぱ

      翻搾＝ΣP語控一食，濁．麗Σ9語防2鏑

      た三曹      爵；書

またP島，9碁まそれぞれX（紛を慶，為で展翻したときの係数で次式で与えられる。

       げ      ク

       P起工Σ飯．轟，母鳶業Σ4為一麟

       ∫＝｛｝       ∫認書

（2鋳

（2聾

（221

ここに

 拠瓢ε 2β晦

      ま       を   えなゑ

姻掬 m獅…（攣鎧 〉＋（i一δ曙評（誰誰

            総勢＋2（鍵一身偏｝i＋趣（募桑1

       を  ま

飯叫認llr縦搾魯＋伽一蓋瞬

       た   を  を ゑ

     δ曙」（謂皿ll三一｛2薯 （…レ2 ｝1

    （罵業主，2，……1

（231

ただし，γズ±ゆ∫皿（2ダー麟！2±認，姦は勲の式で砂2iを砂鷲でおきかえた式で与えられる，亀，薩 はそれぞれあ式で醜業を一纏玉，一α塊でおぎかえて得られる。

 の（ζ）を窮で展魏すると

       のゆ瓦（大汗．糞。．編翻   （ζ∈Σの幽

ただし

      ゆ

       護π業ΣP認離、島      （2§｝

       た霊群

       4η業72み無一2÷27跨舵一蓋＋γ2δ麗       （2§／

したがって式（勢よ触Σ芽における砂 （ζ1解（ζ擁ま次のように展擬される。

        の・（ζ魁ζμ，§β控（ζ岬，    （ζ∈鉛⑳

      劉 搾；一口σ

ここ．に

 灘       杉溝：2欝爽を有する無銀飯の髭合箋罫纏縫題

         βη訟N一 控郵一（驚＋1）Σ8譲㌶＋圭一身        鳶＝〔｝

      （鍛       ヲ（ノ皿玉番 （ヂ（夢y一至（嵐／

式（2灘と（27／を式．／i6魏こ代入し講べぎ覆を比較すれば次式鱗得られる。

       惣※暴◎判   働

ただし，議畷ノγであ参

        矯緯嬰窮1鰍麟㎜墨 ｝  （3暮）

ε土，ε2，ε3は定数で次のような麟をとる。

      α     αγ噺δ     γδ       ε玉㍉〜玉（γしi／・ε2茨玉／γ2一ぴε3満更（γ2−i／

さらに，条件式（i7》から次式を得る。

      ゆ      ぬ

      Σ］1綱場，  Σ／訪箆噂        

^（鋤

      貯耳 ・qj       潭不 o臣

ここに

      瓠1護。．，醗舗責諜÷。。，，）

      嘘一一   （321

      ・露一鳶羅議悪婆蕨農務÷蕊，，，

      ＋嘘諜撮響。葡  （33〉

上式中のδ董，趨は次式となる。

      舛撚舞1劃  欝勢       一 1葺1輩1 馨溌

また，のくζ／，夢嘱ζ／に．繋癒する変｛堂毒竃一権聾でなけれ濠まなちないことから

      κ擬一主千濁一圭二巷       （361 したがってポ（ζ／φ（ζ擁こ含まれる未知定数翻を漢足するための概要の式は（2勢，（3蝕，／3聯であ り，これらは翻に鬱する無醸連立方程式である。これらの方程式の解法は逐次近傷法によること

橿鳥大学遷麟艱苦37号（1盤§） 騨

解痩利である。そこで式／2鱗，／3碁，（3嚇を変形し逐次法の適駕しやすい形になおす。式1謄〉から          愛9赴轟雄．2＋痘一も［丁鷲一2晒控．玉飛躍一21，

         箆一群       ドγ

      （鯵誰，i，2，……）      （37）

ただし，

Tドー昆（γしi／ヂ2か＋（2÷θ 矯聾＋ε3λ（G鏑猛一跳／

  一！！Σ8諾｛i磯季（｛｝玉†鳶＋鼠＋ゼ、4賊｝

     島19

   の  ＋Σ82嫡λ雛繕／窃峠 三熱＋た㌦4繍／

   毒瓢｛｝

丁控42冠1隔（鰍i）（Gη一汁熱一ドノ4触．玉〉

  ÷λ2｛（i÷ε2麟（G離＋κ避㌦4η／毛4離｝

  十λ3ε3勉十i）IGη．｝十握陀千ドノ生瞬／

  一一Σλ2鳶｛韓一i／ε （i一δ。，諺露γλε涛一差    ゑゴむ

  ＋（レδσ，為一δ至，身1（館＋碁ン2λ2ε是一2｝（G控一蹴＋猛一戦㌦4粧鴨壕    （躍＃iT2宇……／

さらに。

   蕩｛雛一δ瞬厚手｝％⑫・バ弄糞（一跡傷℃ア鑑一鳶

      （解2争3，……）

ここに

       霧．二λ2誓G箆十κ鷲㌦4陸／

さらに，式（3難から

       め      ぼ

       Σ／訪一一Σ1f議一恵

       為；の         た1i

      ゆ

       Σだ｛爵、語 ｛身皆玉響一Σ∫艶々        た瓢警      赴＃脅

式｛3§｝カ■ら

      

      Σ9繊．ジーκ醒．至

      島器辞

した湊って，式馨7〉，《3舞，縫葺，縁3》から飯が淡定される。

（38》

｛39》

（麟

（鶴

（垂2）

（鋤

      謹．数髄計算

 上記の解法にしたがって，関数の（ζ｝に含蒙れる来知定数を求め弩孔縁に沿った癒力分葎を醗 らかにした。数麺誹算にあたっては，κπi．馨，R♂4鴬§．3，麟定縁の中心角2砂鷲総。とし，畠〆4業 9．i，§．3の場合に無して6蒐を求めた。武舞鴎に．奮重れる飯は島から飯尋とみ弓から参一3脅までの 6i｛蟹を採蕉1した。

 円孔縁の応力分布は式（51，（構から容易に求められる。

繋 杉濤：2霧乳を有する無鞭極の溌合箋雰簸開題

瞬定縁鎚／逓、＋髭、擁こおける応力絃次式で与えられる。

  σρ耳一一＿＿逸士i／ε一β｛     Σ4箆。⑪s｛βδ3

     忍垂（γ24／ん（c倉sη÷CGS灘22）（cむs写一。。s醇2玉1η一一・・

    争（糧一碧厚｝

    ザ       （κ十i／ゼβ｛晦下働2Tπ｝       G。

  rρ〆＋…一  ．一一一  一一     Σだ搾s童資｛βδ3

     烈γ2一獅24緬s撃＋cos伽2／｛cOs撃一cos晦／ 一・・

    ＋（多ri／麟      κ一！

  σサ＃皿■一一−  一一σ爵

     κ÷i

纒1

複号は上が益｝，下が最1の場合に慰する。4．は式／2嚇で与えられ，δ3は次式で与えられる。

       一lll輩：輩1  鰻

重た，式縁場中の撃の鐙のとる範馨妻ま乙豊玉のとぎ蓄ま一舐溢く解く砂質，五能のとぎはフτ一砂蟹＜㌘〈π 十伽怨であウ，鎚上の点を島〆浮，鐸上の点を麺轡とおくとθと解の襲係は次式となる。

      勲ゴ｛αδ』誤講1羅躍γ／   （働

緩3と麟曇こ鐡定縁逓墨，昂2上の癒力働および砺の分薦を示す。なお，応力はすべて基準応力 として式（i2〉で与えられ五至上の漢人による接触籠方書を驚いて無次禿化した．また，鐵申（命賑 は島上の癒内命を表し，（σ議2は昌2一との慈力砺を表す。繭の場合も疑様である。

 鑑〆4＃§、茎，彗．3のいずれの場も湾L漣こ近い蝿の縫定縁五条の応力砺は露定縁上いたるところ で疵縮となり，最2上では額張となる。

 τ鰐は翼建縁乙身上いたるところ負の麟となる。σρ，r碑とも私！4鴬§．iの場合は小さな値であ る湊昆縮＃§．3と門島が欝乙2に透づくと大きな纏となり，圧入による接触窪の影響がみられ

る。

 門島の農震縁麗（麗、＋麗、／一との応力は次式で与えられる。

        11』騨爺州 働

ただし，4．は式（2§／，蕊は式（働で与えられる。重た伽置く瞬i＜π一晩2であ疹，麗上の点を κ影燦の＜θ＜π一瞬とおくと写とθの関係は式（4醗で与えられる。醤5に嚢虫縁麗2上の擾1慈 力砺の分葎を示す。砺はθ二欝を中心としておおむね点薄秣性を示し，門島に近い灘で豊の値

となり，θカζ蟹｝。よ参ノ」、さ㌧運難できま負の嚢窪となる。

 霧島上の応力は次式で与えられる。

       1∫ピ潔癖 覇一難 畔  韓8〉

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覆島大学礫群鞭魯37号〔i鱈§〉

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         θ〆α｝、憾。鉱麟／む3  麺3 鳥の嚢定縁の薄力分籍σ戸

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    96       15ぎ         θ

為の藍…患縁の応力分講『砺

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㎜丁一一一丁㎜ 7㎜…㎜一一一一「㎜一㎜「

30   60   90   12（》  150。

      θ

 贋§ 島圭二の応力分布ση

i80。

ただし，§≦η≦2π，乙至上の点を昆ε葡とおくとθと写の関｛系隷次式となる。

      Ft＆R一至一廷皿至極並＿         （鰯

       （γ2÷i／c脅sθ一2γ

緩馨は弩Liとの周応力砺の分庵である。禽は島tすべての点で正であ参，畠繍＃§．董と田島

とん1が十分離れている場合は砺ゆ＃茎．毒となウ，これは一様内狂を受ける一門孔を有する無羅極 の場合の結果と同じである．畠！4二巷、3の場合は門真乙2の影響を受けθ＝§σで最大霧慈力となり

 §毒       影浦：2霧義を摩する無醸飯の混合箋雰纏懇題

8業鐙近警で最小値とな諺θ盤鰺びに透づにつれ鳥の影響がなくな彗σ婁！β業iに透づいてい

く。

 数値詩箋は棄詑大学大聖計算機センターACoSシ蓼一ズ7？翼狂ACシステム鱒§モデル豆に

よったことを記し謝意を表する。

1ほ）

（2〉

一3）

（む 嬉）

      文     獣

形溝，機論，垂3−372（羅S2−8），285i．

S盤蜘ra．K．，Sc量．盆e夢．ぎ癒琶s蕪撚恥量v3春囎縫），83、

S蚊墓量雛疑｛，K．，Sc圭．裟e至誠ぎt邊｛騒s振瓢3t｝簸董マ．，3茎（蟹｝8i∫｝，§｛》．

V（搬Ko嚢網簸懇s，W．St謹登殿蕪，欝．．Pr継走s透εr Ko纏。τ醗e難離叛廻灘霧，（欝5§），S騨盆暮er Vε薮a慧・

野渡蟹纏｛盤￠盤s盤翠至難，馨．至．，S｛｝盤ε 駐a誘｛〕PrG董錘e盤。｛t蝕ε1縫at塾e盤a騒。爆丁塾eory o量荘重as額。疑ぎ，嚢難e6、

（茎§｛｝3），きご｛｝or｛嚢翼〉農．