GL(n)のΓ因子について（Part I）

GL(n) ^の Γ ^{因子について（} Part I ^）

北里大学一般教育部   宮崎 直 平成 28 年 9 月 20 日

1 Introduction

この講演を通して，次の記号を用いる：

G=G_n := GL(n,R) 一般線型群 (general linear group), g=g_n := Lie(G)(

= M_n(R))

Gに付随するLie代数,

K =K_n:= O(n) Gの極大コンパクト部分群.

まず，簡約Lie群の表現論における基本的な概念を紹介する（詳しくは[Kn2], [Wa]を参照）．

(π, H_π)をGのHilbert表現（表現空間がC上のHilbert空間である表現）とし，

H_π^∞ :={v ∈H_π |G∋g 7→π(g)v ∈H_πはC^∞級}

とおく。このとき，H_π上のGの作用から，H_π^∞上のgの作用が次のように誘導される：

π(X)v := d

dtπ(exp(tX))v t=0

(X ∈g, v ∈H_π^∞).

H_π の元vに対して，{π(k)v | k ∈ K}が生成するH_π の部分空間が有限次元であるとき，v は K-finiteであるという．

H_π,K :={v ∈H_π^∞|vはK-finite}

とおくと，H_π,KはH_πの稠密な部分空間である．(π, H_π,K)はg-加群かつK-加群であり，(g, K)- 加群と呼ばれるものになる．また，コンパクト群の表現については，

• コンパクト群のHilbert表現はユニタリ化可能であり，完全可約である，

• コンパクト群の既約表現は有限次元である，

などが成り立ち，自然な射Hom_K(V_τ, H_π,K)⊗V_τ ∋T ⊗v 7→T(v)∈H_π,K から H_π,K ≃ ⊕

(τ,Vτ)∈Kb

Hom_K(V_τ, H_π,K)⊗V_τ.

という同型が得られる．ここで，Kb はKの既約表現の同型類全体のなす集合である．Kの既約 表現(τ, V_τ)がHom_K(V_τ, H_π,K)̸={0}を満たすとき，τをπのK-タイプという．

すべてのKの既約表現(τ, V_τ)に対してHom_K(V_τ, H_π,K)が有限次元であるとき，GのHilbert 表現πはadmissibleであるという．本講演では，主にGの既約admissible表現を扱う．

命題1

注意1 Π≃ Π_∞⊗⊗_′

pΠpをGL(n,AQ)のcuspidal保型表現とするとき，あるt ∈ Rが存在して Π⊗ |det|⁻_AQ^t は既約ユニタリ表現となるから，無限素点における局所成分Π_∞⊗ |det|^−tも 既約ユニタリ表現である．よって，命題1より，Π_∞は既約admissible表現だとわかる．

命題2

GのadmissibleなHilbert表現(π, H_π)に対して，πがGの既約表現であるための必要十分条

件はπが既約(g, K)-加群であることである．

今日の講演の内容は以下のとおりである：

• G_nの既約admissible表現の(g, K)-加群としての同型類を分類し，L因子を定義する．

また，G_nのcohomological表現について知られている事実を紹介する．

• G₃上のWhittaker関数の明示式と，それを用いた局所ゼータ積分の計算を紹介する．

2 一般主系列表現

ν ∈C,δ ∈ {0,1}, l∈Z>0に対して，次のようにχ_(ν,δ)とD_{(ν, l)}を定義する：

• χ_(ν,δ): G₁ =R^× →C^×をχ_(ν,δ)(t) = sgn(t)^δ|t|^ν.

• (D_{(ν, l)}, V_{D(ν, l)})を以下を満たすG₂ = GL(2,R)の既約Hilbert表現とする：

D_{(ν, l)}(t1₂) = t^2ν (t ∈R+), D_{(ν, l)}|SL(2,R) =D⁺_l ⊕D⁻_l .

ここで，D_l⁺はSL(2,R)の最低ウェイトl + 1の正則離散系列表現(holomorphic discrete series representation)とし，D⁻_l はその反傾表現とする．このような表現D_{(ν, l)}は，同型を 除いて唯1つに定まる．

注意2 SL(2,R)の最低ウェイトl+ 1の正則離散系列表現D_l⁺は，上半平面{z ∈C|Im(z)>0} 上のウェイトl+ 1の正則保型形式に対応する表現である．

n₁+n₂+· · ·+n_r =nを満たすn₁, n₂,· · · , n_r∈ {1,2}に対して，P =P_{n1,n2,···,nr} を

p=







p1 ∗ · · · ∗ p2 . .. ...

. .. ∗

p_r





 (p_j ∈G_nj, j = 1,2,· · · , r) (2.1)

という形の元全体のなすG=G_nの部分群とする．このようなP をGの標準放物型部分群とい う．δ_P:P →R+をP のmodulus，すなわち，P 上の左不変測度d_Lhに対して

∫

P

f(hp)d_Lh=δ_P(p)

∫

P

f(h)d_Lh で定まるP 上の関数とする．

例1 p∈P に対して，p₁, p₂, · · · p_rを(2.1)のようにとる．

(1) P =P_1,1,···,1 ⊂G_nであるとき，δ_P(p) =

∏n j=1

|p_j|^n+1−2jとなる．

(2) P =P_2,1 ⊂G₃であるとき，δ_P(p) = |detp₁|

|p2|² となる．

j = 1,2,· · · , rに対して，

n_j = 1ならばσ_j =χ_(νj,δj), n_j = 2ならばσ_j =D_{(νj, lj)}

という形のG_njの既約Hilbert表現(σ_j, V_σj)をとり，これらの既約Hilbert表現からP =P_{n1,n2,···,nr} の既約Hilbert表現(σ, V_σ)を

σ(p) = σ1(p1)⊗σ2(p2)⊗ · · · ⊗σr(pr) (p∈P), Vσ =Vσ1 ⊗Vσ2 ⊗ · · · ⊗Vσr

で定義し，V_σ上の内積を(·,·)_σと書く．ここでp∈P に対して，p₁, p₂, · · · p_rは(2.1)のように とる．このP の表現(σ, V_σ)からGの表現(π_σ, H_πσ)を次のように定義する：

• 表現空間：H_π⁰

σ :={f: G→V_σ 連続|f(pg) =δ_P(p)¹²σ(p)f(g) (p∈P, g ∈G)} を内積 (f₁, f₂)_πσ =

∫

K

(f₁(k), f₂(k))_σdk (f₁, f₂ ∈H_π⁰_σ) によって完備化して得られるHilbert空間をH_πσ とする．

• 作用：右移動(π_σ(g)f)(h) = f(hg) (g, h∈G, f ∈H_π⁰_σ)からH_πσ上の作用π_σを誘導する．

このGの表現π_σをInd^G_P(σ₁, σ₂,· · · , σ_r)という記号で表し，一般主系列表現(generalized principal series representation)という．

定理1([Kn1, Theorem 1])

(1) Re(ν₁)⩾Re(ν₂)⩾· · ·⩾Re(ν_r)を満たすとき，π_σは唯1つの既約な商表現をもつ．こ の既約な商表現をJ(σ₁, σ₂,· · · , σ_r)という記号で表し，Langlands商という．

(2) 任意のGの既約admissible表現πに対して，πと(g, K)-加群として同型となるような Langlands商J(σ₁, σ₂,· · · , σ_r)が存在する．

(3) 2つのLanglands商J(σ₁, σ₂,· · · , σ_r)とJ(σ₁^′, σ₂^′,· · · , σ_r^′′)が(g, K)-加群として同型とな るための必要十分条件は，r =r^′かつσ^′₁ =σ_s(1), σ₂^′ =σ_s(2), · · · σ^′_r =σ_s(r)となる置換 s ∈S_rが存在することである．

注意3 定理1 (1) の条件は[Kn1, Theorem 1]と異なるが，この部分は[Kn1, Theorem 1]の誤 植であることを都築正男氏（上智大学）に指摘していただいた．このことは一般の場合の Langlands分類[Kn2, Theorem 14.92]と比較することでわかる．

注意4 ほとんどのν₁, ν₂, · · · ν_rに対して，一般主系列表現Ind^G_P(σ₁, σ₂,· · · , σ_r) は既約である．

一般主系列表現が可約になる条件については[SV]を参照．

3 ^局所 Langlands ^対応

RのWeil群W_R := C^× ⊔(C^×κ) (κ² = −1, κzκ = −z (z ∈ C^×)) の表現について考える．

ν∈C, δ∈ {0,1},l ∈Z_⩾0に対して，W_Rの表現ϕ^δ_νとϕ_{ν, l}を次のように定義する：

• 1次元表現ϕ^δ_ν: W_R→C^×をϕ^δ_ν(z) = |z|^2ν (z ∈C^×), ϕ^δ_ν(κ) = (−1)^δで定める．

• 2次元表現ϕ_{ν, l}:W_R→GL(2,C)を

ϕ_{ν, l}(z) =|z|^2ν−l (

z^l 0 0 z^l

)

(z ∈C^×), ϕ_{ν, l}(z) = (

0 (−1)^l

1 0

)

で定める．l >0ならばϕ_{ν, l}は既約であり，ϕ_ν,0 ≃ϕ⁰_ν ⊕ϕ¹_νとなる．

命題3

W_Rの既約表現の同型類は{ϕ^δ_ν |ν ∈C, δ ∈ {0,1}} ∪ {ϕ_{ν, l} |ν ∈C, l∈Z>0}で尽くされる．

ν ∈C,δ ∈ {0,1}, l∈Z>0に対して，

ϕ[χ_(ν,δ)] =ϕ^δ_ν, ϕ[D_{(ν, l)}] =ϕ_{ν, l}

と定義する．G_nの既約許容表現πに対して，(g, K)-加群として同型なLanglands商J(σ₁, σ₂,· · · , σ_r) をとり，W_Rのn次元表現ϕ[π]を

ϕ[π] =ϕ[σ1]⊕ϕ[σ2]⊕ · · · ⊕ϕ[σr]

と定義する．このϕ[π]をπのLanglandsパラメーターという．定理1と命題3より，Langlands パラメーターはwell-definedであり，次の局所Langlands対応が得られる．

定理2([Kn1, Theorem 2])

G_nの既約admissible表現の(g, K)-加群としての同型類全体の集合からW_Rの完全可約なn 次元表現の同型類全体の集合への全単射がπ7→ϕ[π]で与えられる．

次に，L因子とϵ因子を定義する．ψ_R: R→C^×を標準指標，すなわち，

ψ_R(t) = exp(2π√

−1t) (t∈R)

とする．ν∈C,δ ∈ {0,1},l ∈Z>0に対して，Weil群W_Rの既約表現ϕ^δ_ν, ϕ_{ν, l}のL因子とϵ因子を L(s, ϕ^δ_ν) := Γ_R(s+ν+δ), ϵ(s, ϕ^δ_ν, ψ_R) := (√

−1)^δ, L(s, ϕ_{ν, l}) := Γ_C(s+ν+l/2), ϵ(s, ϕ_{ν, l}, ψ_R) := (√

−1)^l+1

と定義する．ここで，Γ_R(s) :=π^−s/2Γ(s/2), Γ_C(s) := 2(2π)^−sΓ(s)とする．Weil群W_Rの完全可 約な表現ϕの既約分解をϕ =⊕r

j=1ϕ_j とするとき，ϕのL因子とϵ因子を L(s, ϕ) :=

∏r j=1

L(s, ϕ_j), ϵ(s, ϕ, ψ_R) :=

∏r j=1

ϵ(s, ϕ_j, ψ_R)

と定義する．πとπ^′ をそれぞれG_nとG_n′ の既約admissible表現とするとき，L因子L(s, π), L(s, π×π^′)とϵ因子ϵ(s, π, ψ_R), ϵ(s, π×π^′, ψ_R)をLanglandsパラメーターを用いて

L(s, π) :=L(s, ϕ[π]), ϵ(s, π, ψ_R) :=ϵ(s, ϕ[π], ψ_R),

L(s, π×π^′) :=L(s, ϕ[π]⊗ϕ[π^′]), ϵ(s, π×π^′, ψ_R) :=ϵ(s, ϕ[π]⊗ϕ[π^′], ψ_R) と定義する．ここで，ϕ[π]⊗ϕ[π^′]を書き下すには，次の補題を用いればよい．

補題1

ν, ν^′ ∈C, δ, δ^′ ∈ {0,1}, l, l^′ ∈Z>0に対して，

ϕ^δ_ν ⊗ϕ^δ_ν^′′ ≃ϕ^|_ν+ν^δ−δ′^′|, ϕ_{ν, l}⊗ϕ^δ_ν^′′ ≃ϕ_ν+ν′, l, ϕ_{ν, l}⊗ϕ_ν′, l^′ ≃ϕ_ν+ν′, l+l^′⊕ϕ_ν+ν′,|l−l^′|

が成立する．

例2 π = Ind^G_P³

2,1(D_{(ν1, l)}, χ_(ν2,δ)), π^′ =D_(ν′, l^′)に対して，そのLanglandsパラメーターは ϕ[π] =ϕ_{ν1, l} ⊕ϕ^δ_ν

2, ϕ[π^′] =ϕ_ν′, l^′

であるから，補題1より，ϕ[π]⊗ϕ[π^′] =ϕ_ν1+ν′, l+l^′⊕ϕ_ν1+ν′,|l−l^′|⊕ϕ_ν2+ν′, l^′となる．よって，

L(s, π×π^′) = Γ_C (

s+ν₁+ν^′+l+l^′ 2

) Γ_C

(

s+ν₁+ν^′+ |l−l^′| 2

) Γ_C

(

s+ν₂+ν^′+l^′ 2

) , ϵ(s, π×π^′, ψ_R) = (√

−1)^{l+2l′+3+|l−l′|} となることがわかる．

4 cohomological 表現

最高ウェイト理論により，Gnの代数的既約有限次元表現の同型類全体の集合と

{µ= (µ₁, µ₂,· · · , µ_n)∈Zⁿ|µ₁ ⩾µ₂ ⩾· · ·⩾µ_n} (4.1) の間に1対1対応が与えられる．以下，集合(4.1)の元µに対応するG_nの代数的既約有限次元表 現を(ρ_µ, F_µ)と表記する．また，(ρ_µ, F_µ)の反傾表現を(ρe_µ,Fe_µ)と表記する．

H^q(g_n,SO(n)R+;H_π,K⊗Fe_µ)̸={0}となるq∈Z_⩾0が存在するとき，Gの既約許容表現(π, H_π) はµに関してcohomologicalであるという．

定理3(Clozel [Cl])

Π ≃ Π_∞ ⊗⊗_′

pΠ_p をGL(n,AQ)のcuspidal保型表現とし，Π_∞はµ = (µ₁, µ₂,· · · , µ_n)に 関してcohomologicalであるとする．このとき，あるw ∈ Zが存在して，µ_j +µ_n+1−j = w (j = 1,2,· · · , n)となる．さらに次のように，Π_∞は一般主系列表現と同型になる：

• n = 2rのとき，Π_∞ ≃Ind^G_Pⁿ

2,···,2(D_{(w/2, l1)},· · · , D_{(w/2, lr)}),

• n = 2r+ 1のとき，Π_∞≃Ind^G_P2,···ⁿ

,2,1(D_{(w/2, l1)},· · · , D_{(w/2, lr)}, χ_(w/2,δ)) (∃δ ∈ {0,1}).

ここで，l =µ −µ +n+ 1−2j (j = 1,2,· · · , r)とする．

定理4(Borel–Wallach [BW])

µ= (µ₁, µ₂,· · ·, µ_n)∈Zⁿとw∈Zがµ₁ ⩾µ₂ ⩾· · ·⩾µ_nとµ_j+µ_n+1−j =w (j = 1,2,· · · , n) を満たすとし，l_j =µ_j −µ_n+1−j +n+ 1−2j (j ∈Z, 1⩽2j ⩽n)とおく．

(1) n = 2rのとき，π = Ind^G_P2,ⁿ_···,2(D_{(w/2, l1)},· · · , D_{(w/2, lr)})とおくと，(π, Hπ)は既約であり，

次の同型が成り立つ：

H^q(g_n,SO(n)R+;H_π,K⊗Fe_µ)≃C²⊗

q∧−r²

C^r−1.

(2) n = 2r+ 1のとき，δ∈ {0,1}に対して，π = Ind^G_P2,ⁿ_···,2,1(D_{(w/2, l1)},· · · , D_{(w/2, lr)}, χ_(w/2,δ)) とおくと，(π, H_π)は既約であり，次の同型が成り立つ：

H^q(g_n,SO(n)R+;H_π,K⊗Fe_µ)≃

q−r(r+1)∧ C^r.

5 Whittaker 関数

GのIwasawa分解G=N AKを次のようにとる：

N =N_n:=











 x=









1 x_1,2 · · · x_1,n 1 . .. ...

. .. x_n−1,n 1









x_i,j ∈R (1⩽i < j ⩽n)











 ,

A=A_n :=









 y=







y₁y₂· · ·y_n

y₂· · ·y_n . ..

yn







y_i ∈R+ (1⩽i⩽n)









 ,

K =K_n:= O(n).

非自明なユニタリ指標ψ: R→C^×に対して，ψ_N: N →C^×を

ψ_N(x) =ψ(x_1,2+x_2,3+· · ·+x_n−1,n) (x= (x_i,j)∈N) と定義し，

C^∞(N\G;ψ) := {f ∈C^∞(G)|f(xg) = ψN(x)f(g) (x∈N, g∈G)}

とおく．Gはこの空間に右移動で作用するとし，K-finiteな元全体のなすC^∞(N\G;ψ)の部分空 間をC^∞(N\G;ψ)_Kで表す．

Gの既約admissible表現(π, Hπ)に対して，

Iπ,ψ :={Φ∈Hom_g,K(H_π,K, C^∞(N\G;ψ)_K)|Φ(v)は緩増加 (v ∈H_π,K)} とおく．このとき，次の命題が成立する．

命題4(Shalika, Wallach)

任意のGの既約admissible表現πに対して，dimIπ,ψ ⩽1が成立する．

Iπ,ψ ̸={0}であるとき，πはgenericであるといい，

W(π, ψ) := {Φ(v)|Φ∈ Iπ,ψ, v ∈H_π,K}

をπのWhittaker模型という．また，W(π, ψ)の元をπのWhittaker関数という．

命題5([Ja, Lemma 2.5])

Gの既約admissible表現(π, H_π)がgenericであるための必要十分条件は，πが既約な一般主 系列表現Ind^G_P(σ₁, σ₂,· · · , σ_r)と(g, K)-加群として同型となることである

注意6 Π ≃ Π_∞⊗⊗_′

pΠ_pをGL(n,A_Q)のcuspidal保型表現とするとき，Πはgenericであるか ら，その無限素点における局所成分Π_∞もgenericである．

(τ, V_τ)をπのK-タイプとし，φ: V_τ → W(π, ψ)をK-準同型とする．g ∈ GをIwasawa分解 G=N AKに沿ってg =xyk (x∈N,y ∈A,k ∈K)と分解したとき，

φ(v)(g) =ψ(x)φ(τ(k)v)(y) (v ∈V_τ)

となるから，φはφ(v)|A(v ∈Vτ)で特徴づけられることがわかる．現在までに，次のような場合 にはφ(v)|A (v ∈V_τ)の明示式が与えられている：

n = 2：任意のG₂のgenericな既約admissible表現πに対して，すべてのK₂-タイプにおける 明示式が与えられている．(wellknown)

n = 3：任意のG₃のgenericな既約admissible表現πに対して，極小K₃-タイプにおける明示 式が与えられている(石井，織田，眞鍋，宮崎 [HIM1, Theorem 3.1])．

一般のn：G_nの既約な主系列表現π = Ind^G_Pⁿ

1,···,1(χ_(ν1,δ1), χ_(ν2,δ2),· · ·χ_(νn,δn))に対して，極小K_n- タイプにおける明示式が与えられている(Stade,石井,織田 [IO])．

6 Whittaker ^{関数の明示式}

本節では，G₂とG₃のgenericな既約admissible表現のWhittaker関数の明示式の一部を紹介 する．まず，K₂の既約表現を構成する．λ∈Z>0に対して，V_λ⁽²⁾ :=Cv_λ⊕Cv_−λ とおき，

τ_λ⁽²⁾ ((

cosθ sinθ

−sinθ cosθ ))

v_q=e^√−1qθv_q, τ_λ⁽²⁾

((−1 0 0 1

))

v_q=v_−q (q∈ {±λ})

として，K₂のV_λ⁽²⁾上の作用を定める．このとき，(τ_λ⁽²⁾, V_λ⁽²⁾)はK₂の既約表現であり，K₂の既 約表現の同型類全体の集合Kc₂は{1,det} ∪ {(τ_λ⁽²⁾, V_λ⁽²⁾)|λ∈Z>0} で尽くされる．

補題2

ν ∈Cとl∈Z>0に対して，K2の表現としてD_(ν,l)|K ≃⊕_∞

τ⁽²⁾ と既約分解される．

定理5

ε ∈ {±1}とする．任意のφ∈HomK(V_l+1⁽²⁾,W(D(ν,l), ψ^ε_R))に対して，ある定数Cが存在して，

φ(v_ε(l+1))(y) =Cy^ν+

l+1 2

1 y₂^2νexp(−2πy₁) =Cy^1/2₁ y^2ν₂ 4π√

−1

∫ _α+^√_−1∞

α−√

−1∞

Γ_C (

s+ν+ l 2

)

y⁻₁^sds, φ(v_−ε(l+1))(y) = 0

となる．ここで，y = diag(y1y2, y2)∈A2とし，αは十分大きい実数とする．

次に，K₃の既約表現を構成する．λ= (λ₁, λ₂)∈ Z⩾0× {0,1} に対して．Pλをz₁, z₂, z₃のλ₁ 次同次多項式のなすC上のベクトル空間とし，K₃のPλ上の作用T_λを

(Tλ(k)f)(z1, z2, z3) = (detk)^λ2f((z1, z2, z3)k) (k∈K3, f ∈ Pλ)

で定める．ここで，τ_λ⁽³⁾ をV_λ⁽³⁾ = Pλ/(z²₁ +z₂² +z₃²)Pλ−(2,0) 上のTλ の商表現とする．ただし，

λ−(2,0)̸∈Λ₃の場合はPλ−(2,0) ={0}とする．このとき，(τ_λ⁽³⁾, V_λ⁽³⁾)はK₃の既約表現であり，

K₃の既約表現の同型類全体の集合Kc₃は{(τ_λ⁽³⁾, V_λ⁽³⁾)|λ∈Z_⩾0 × {0,1}}で尽くされる．

補題3

ν₁, ν₂ ∈C,l∈Z>0,δ ∈ {0,1}に対して，π = Ind^G_P³

2,1(D_(ν1,l), χ_(ν2,δ))とおく．このGのHilbert 表現(π, H_π)に対して，

Hom_K3(V_λ⁽³⁾, H_π,K3)̸={0} ⇐⇒ λ₁ ⩾l+ 1 かつλ₁+λ₂ ≡l+ 1 +δ mod 2 が成立する．さらに，dim Hom_K3(V_(l+1,δ)⁽³⁾ , H_π,K3) = 1となる．

λ= (λ₁, λ₂)∈Z⩾0× {0,1}とする．m₁ +m₂+m₃ =λ₁を満たすm = (m₁, m₂, m₃)∈(Z⩾0)³に 対して，単項式z₁^m1z₂^m2z₃^m3の自然な射Pλ →V_λ⁽³⁾による像をu^λ_mと書くことにする．このとき，

{u^λ_m |m = (m₁, m₂, m₃)∈(Z⩾0)³, m₁+m₂+m₃ =λ₁} はV_λ⁽³⁾を生成する．（λ₁ ⩾2ならば線形独立ではないので基底ではない．）

定理6(宮崎[HIM1, Theorem 3.1 (ii)])

ε ∈ {±1}とする．ν₁, ν₂ ∈ C, l ∈ Z>0, δ ∈ {0,1}とし，π = Ind^G_P³

2,1(D_(ν1,l), χ_(ν2,δ)) は既約で あると仮定する．任意のφ ∈ Hom_K(V_(l+1,δ)⁽³⁾ ,W(π, ψ_R^ε))に対して，ある定数Cが存在して，

m1+m2+m3 =l+ 1を満たす任意のm= (m1, m2, m3)∈(Z⩾0)³に対して，

φ(u^(l+1,δ)_m )(y) =C(ε√

−1)^m1−m3y₁y₂(y₂y₃)^2ν1+ν2

× 1

(2π√

−1)²

∫ α2+√

−1∞ α2−√

−1∞

∫ α1+√

−1∞ α1−√

−1∞

Γ_C (

s1 +ν1+ l 2

) Γ_C

(

s2−ν1+ l 2

)

× Γ_R(s₁+ν₂+m₁)Γ_R(s₂ −ν₂+m₃)

Γ_R(s₁+s₂+m₁ +m₃) y⁻₁^s1y₂^−s2ds₁ds₂

となる．ここで，y = diag(y₁y₂y₂, y₂y₃, y₃)∈A₃とし，α₁, α₂は十分大きい実数とする．

7 ^{局所ゼータ積分}

ε∈ {±1}とする．πとπ^′をそれぞれG_n+1とG_nのgenericな既約admissible表現とする．

W ∈ W(π, ψ_R^ε)とW^′ ∈ W(π, ψ_R^−ε)に対して，局所ゼータ積分Z(s, W, W^′)を

Z(s, W, W^′) =

∫

Nn\Gn

W (

h 1

)

W^′(h)|det(h)|^s−12dh˙

で定義する．ここで，dh˙ はN_n\G_n上の右G_n-不変測度とする．このとき，次の定理が成り立つ．

定理7(Jacquet–Shalika [JS])

πとπ^′をそれぞれG_n+1とG_nのgenericな既約admissible表現とする．任意のW ∈ W(π, ψ^ε_R) とW^′ ∈ W(π^′, ψ⁻_R^ε)に対して，Z(s, W, W^′)

L(s, π×π^′) は整関数であり，局所関数等式 Z(1−s,fW ,Wf^′)

L(1−s,πe×eπ^′) =ϵ(s, π×π^′, ψ_R)Z(s, W, W^′) L(s, π×π^′)

を満たす．ここで，eπとπe^′はそれぞれπとπ^′の反傾表現とし，fW とWf^′は次のようにとる：

Wf(g) = W







 1 1 ···



^tg⁻¹



, Wf^′(h) = W^′







 1 1 ···



^th⁻¹



 (g ∈G_n+1, h∈G_n).

定理8(Jacquet [Ja])

πとπ^′をそれぞれG_n+1とG_nのgenericな既約admissible表現とするとき，

∑m j=1

Z(s, W_j, W_j^′) = L(s, π×π^′).

を満たす(W_j, W_j^′)∈ W(π, ψ^ε_R)× W(π, ψ⁻_R^ε) (1⩽j ⩽m)が存在する．

さらに，Whittaker関数の明示式を用いた計算により，次の2つの定理が証明される．

定理9(Stade [St])

πとπ^′をそれぞれGn+1とGnの既約な不分岐主系列表現 π= Ind^G_Pⁿ⁺¹

1,···,1(χ_(ν1,0), χ_(ν2,0),· · ·χ_(νn+1,0)), π^′ = Ind^G_Pⁿ

1,···,1(χ_(ν′

1,0), χ_(ν′

2,0),· · ·χ_(ν′ n,0))

とし，K_n+1-不変なW₀ ∈ W(π, ψ^ε_R)とK_n+1-不変なW₀^′ ∈ W(π^′, ψ_R^−ε)をとる．このとき，適 当な正規化の下で，Z(s, W₀, W₀^′) = L(s, π×π^′) が成立する．

定理10(平野–石井–宮崎 [HIM2])

πとπ^′をそれぞれG₃とG₂のgenericな既約admissible表現とするとき，

Z(s, W, W^′) =L(s, π×π^′) を満たすW ∈ W(π, ψ^ε)とW^′ ∈ W(π^′, ψ^−ε)が存在する．

参考文献

[BW] Borel,A., Wallach, N. Continuous cohomology, discete subgroups, and representations of reductive groups, Annals of Mathematics studies 94, Princeton University Press (1980) [Cl] Laurent Clozel. Motifs et formes automorphes: applications du principe de fonctorialit´e.

In Automorphic forms, Shimura varieties, and L-functions, Vol. I (Ann Arbor, MI, 1988), volume 10 of Perspect. Math., pages 77–159. Academic Press, Boston, MA, 1990.

[HIM1] Miki Hirano, Taku Ishii, and Tadashi Miyazaki. The Archimedean Whittaker functions onGL(3). In Geometry and analysis of automorphic forms of several variables, volume 7 of Ser. Number Theory Appl., pages 77–109. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2012.

[HIM2] Miki Hirano, Taku Ishii, and Tadashi Miyazaki. The archimedean zeta integrals for GL(3)×GL(2). Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., 92(2):27–32, 2016.

[IO] Taku Ishii and Takayuki Oda. Calculus of principal series Whittaker functions onSL(n,R).

J. Funct. Anal., 266(3):1286–1372, 2014.

[Ja] Herv´e Jacquet. Archimedean Rankin-Selberg integrals. In Automorphic forms and L- functions II. Local aspects, volume 489 of Contemp. Math., pages 57–172. Amer. Math.

Soc., Providence, RI, 2009.

[JS] Herv´e Jacquet and Joseph Shalika. Rankin-Selberg convolutions: Archimedean theory. In Festschrift in honor of I. I. Piatetski-Shapiro on the occasion of his sixtieth birthday, Part I (Ramat Aviv, 1989), volume 2 of Israel Math. Conf. Proc., pages 125–207. Weizmann, Jerusalem, 1990.

[Kn1] A. W. Knapp. Local Langlands correspondence: the Archimedean case. In Motives (Seattle, WA, 1991), volume 55 of Proc. Sympos. Pure Math., pages 393–410. Amer. Math.

Soc., Providence, RI, 1994.

[Kn2] Anthony W. Knapp. Representation theory of semisimple groups. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2001. An overview based on examples, Reprint of the 1986 original.

[SV] Birgit Speh and David A. Vogan, Jr. Reducibility of generalized principal series represen- tations. Acta Math., 145(3-4):227–299, 1980.

[St] Eric Stade. Mellin transforms of GL(n,R) Whittaker functions.Amer. J. Math., 123(1):121–

161, 2001.

[Wa] Nolan R. Wallach. Real reductive groups. I, volume 132 ofPure and Applied Mathematics.

Academic Press Inc., Boston, MA, 1988.