Levi 平坦実超曲面の幾何への関数論的アプローチ

Levi 平坦実超曲面の幾何への関数論的アプローチ

足立真訓

(名大・多元数理)

^∗

概 要

複素多様体内の特殊な実超曲面である

Levi

平坦面は

,

多変数関数論・葉層構 造論・微分幾何学のいずれからもアプローチ可能な研究対象である

. 20

年来

,

未解決の予想「複素射影平面CP^{2内に滑らかな}

Levi

平坦面は存在しない」

を

1

つの動機とし

,

発表者は

Levi

平坦面の幾何学を多変数関数論の手法で研 究してきた

.

本発表では

, Judith Brinkschulte

氏（ライプツィヒ大）との共 同研究を含め

, [1], [2], [3], [4]

で得られた結果を報告する

.

第

1

節で

, Levi

平 坦面の定義・典型例と本研究の背景を紹介する

.

第

2

節で

, Levi

平坦面の正 則法束の幾何に関する局所的な公式を報告する

.

第

3

節で

, Levi

平坦面のあ る種の曲率に関わる大域的な評価を報告する

.

1. Levi 平坦面とは

1.1. Levi

平坦面の定義

本稿を通し,

X

を

n( ≥ 2)

次元複素多様体とし,その複素構造を

J

_Xで表す.

X

内の実超 曲面

M

を考える. 特に断らない限り,

M

は

C

^∞級,コンパクト,境界なしで,相対コンパ クト領域

Ω ⋐ X

の境界として向き付けられていると仮定する.

M

の定義関数

r

とは,

M

の近傍で定義された実数値関数

r

で, 0を正則値に持ち,

M = r

⁻¹

(0)

と表すものをい う. 今,

M = ∂ Ω

なので, Ωの側で

r < 0

と仮定する.

M

の定義関数

r

を

1

つ固定しておこう.

M

の接束

T M

内の

J

X 不変な最大の部分 束

T M ∩ J

_X

T M

を

M

の

Levi

分布と呼ぶ. 同一視

T X ≃ T

^1,0

X

の元で, Levi 分布は

T

^1,0

M := Ker∂r ⊂ T

^1,0

X

に対応し, これを

M

の正則接束と呼ぶ. 実

(1, 1)

形式

i∂∂r

が

T

^1,0

M

上定める二次形式を

M

の

(r

に関する)

Levi

形式と呼ぶ.

M

の

Levi

形式の符号は

r

の取り方によらず定まる. Levi 形式が

M

上常に半正定値 のとき,

M

は

(Ω

から見て)擬凸であるという. 特に, 常に正定値のときには,

M

の

Levi

分布は

M

上の接触構造を定め,

M

は強擬凸であるという. これに対し, Levi 形式が

M

上常に消えることは,

M

の

Levi

分布が

M

上の非特異葉層構造

F

を定めることと同値 であり, このとき

M

を

Levi

平坦面と呼ぶ.

F

の葉は

X

の複素超曲面からなる.

F

を

Levi

葉層と呼ぶ. Levi 葉層

F

を尊重するとき,

M

の正則接束を

T

^1,0

F , M

の

Levi

分 布を

τ F

と表すことにする.

1.2. Levi

平坦面の典型例

非コンパクトな

Levi

平坦面の最も基本的な例は, 直積

M = C

ⁿ⁻¹

× R ⊂ X = C

ⁿであ り, Levi 葉層

F

は

⊔

t∈R

C

ⁿ⁻¹

× { t }

で与えられる.

コンパクトな

Levi

平坦面の基本的な例は, 直積の商, いわゆる懸垂により作ること ができる. 具体的な構成を

1

つ見ておこう. Σを種数

2

以上の閉

Riemann

面とする.

D = { z ∈ C | | z | < 1 }

で単位円板,

S

¹で単位円周,

CP

¹で

Riemann

球面を表す. Fuchs 群模型

Σ = D /π

₁

(Σ)

を固定し, 非自明な擬等角変形

ρ : π

₁

(Σ) → Aut( D )

を選ぶ. Σ上の

第61回幾何学シンポジウム(2014年8月,於 名城大学)の予稿. 本研究発表は科研費(課題番号: 26800057) の助成を受けたものである.

∗e-mail:m08002z@math.nagoya-u.ac.jp

web: http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~m08002z/

平坦

CP

¹束

Σ ×

ρ

CP

¹

:= D × CP

¹

/ ∼

ρ に埋め込まれた平坦

S

¹束

Σ ×

ρ

S

¹

:= D × S

¹

/ ∼

ρ

は

Levi

平坦面である. ここで,

∼

ρは, (z, ζ

) ∼

ρ

(γz, ρ(γ)ζ) (γ ∈ π

₁

(Σ))

による同値関 係である. 被覆

D × CP

¹の直積葉層

⊔

t∈CP¹

D × { t }

が平坦

CP

¹束の非特異正則葉層を 定め, 平坦

S

¹束は, その不変実超曲面となっていることに注意されたい.

1.3.

複素射影空間内の滑らかな

Levi

平坦面の非存在予想

Levi

平坦面は,先の例で見たように,正則葉層の不変実超曲面として現われることが多 い. この観点からの

Levi

平坦面に関わる主要な問題として, 複素射影空間

CP

ⁿ内の滑 らかな

Levi

平坦面の非存在予想が知られる. この予想は, Camacho–Lins Neto–Sad [7]

による

Poincar´ e–Bendixson

の定理の複素化の研究から見出された.

RP

²内のフローの

極小不変集合は特異点かリミットサイクルであるが,

CP

²の正則葉層の極小不変集合は 葉層の特異集合のみであると予想されている. Cerveau [8]は, 特異集合以外の極小不変 集合の可能性を

2

つの場合に絞り込んだが, その片方が

Levi

平坦面なのである.

CP

ⁿ

(n ≥ 3)

内の

Levi

平坦面の非存在については,実解析的な場合を

Lins Neto [12]

が, 滑らかな場合を

Siu [14]

が証明している. 残る

CP

² 内の

Levi

平坦面の非存在につ いては,証明を主張する論文・プレプリントが複数存在するが, そのいずれにも深刻な ギャップが後に見つかり, 現在も

open

であると見なされている.

2. Levi 平坦面の正則法束の幾何

さて,「Levi 平坦面の幾何学」として, 発表者が研究を行なっているのは,正確には,

Levi

平坦面の正則法束の幾何学である.

M

を

Levi

平坦面とするとき,次の平坦な

CR C -直線束を, M

の正則法束

N

^1,0と呼ぶ:

N

^1,0

= C ⊗ T M/τ F ≃ (T

^1,0

X | M )/T

^1,0

F

N

^1,0は,

X

内の実超曲面

M

の法束

(T X | M )/T M

とは直接関係しないことに注意された い. 定義中の同型が示すように,

N

^1,0は

Levi

葉層

F

の

M

内での横断構造と,

F

の葉の 複素多様体

X

内での正則横断構造を同時に記述し,それらを関係づけている. 以下に見 るように,

N

^1,0が

Levi

平坦面への

3

つのアプローチを橋渡しするのである.

2.1. Brunella

の対応とその定量化

Brunella [6]

は,正則法束

N

^1,0に着目し, 次の

2

つの正値性の間の対応を見出した.

定理

2.1 (Brunella [6], cf.

足立

[1], [3]). M

が

Levi

平坦面のとき,以下は同値.

• M

の正則法束

N

^1,0 の

Hermite

計量¹

h

² が存在し,

F

に沿う曲率形式

iΘ

_h

= i∂

_F

∂

_F

( − log h)

の定める二次形式が

T

^1,0

F

上, 正定値となること.

• M

の定義関数

r

であって,

X

の適当な

Hermite

計量

ω

に対し,

i∂∂ ( − log | r | ) ≥ ω

が

Ω

上, あるコンパクト集合を除いて成立すること.

ただし,

∂

_F

, ∂

_Fは

F

の葉に沿う正則・反正則微分作用素を表す.

このように, Levi 葉層

F

の力学系的複雑さを横断測度

(脚注 1

参照)により測る

iΘ

_h の正値性と,多変数関数論の研究対象である補集合上の特別な強多重劣調和ポテンシャ

1{U_α,(z_α, t_α)}をFの foliated atlasとするとき, h² ={h²_α}と与えられ,|_∂t^∂_α|² =h²_αと測る. 2乗を つけているのは,µ=h_αdt_αがFの横断測度(Lebesgue測度に対し絶対連続. ホロノミー不変とは限 らない)を定めるからであり,葉層構造論の文脈では{h_α}の方が考えやすいためである.

ル

− log | r |

の存在が, 正則法束

N

^1,0を通してつながるのである. この特別なポテンシャ ルを定める定義関数

r

の性質の良さは, 大沢–Sibony の定理

[13]

に基づき, 定義関数

r

の

Diederich–Fornaess

指数

(以下, DF

指数と略記) で測ることができる.

定義

2.2 (DF

指数).

M

の定義関数

r

について, 各点

p ∈ M

における

r

の局所

DF

指 数

η(r, p)

を, 点

p

のある近傍

U

に対し, Ω

∩ U

上,

i∂∂ ( −| r |

^η

) > 0

となる

η ∈ (0, 1)

の上 限値として定める. そのような

η

が存在しない場合は,

η(r, p) := 0

と定める. また,

η

の

DF

指数

η(r)

を

p ∈ M

に対する

η(r, p)

の下限値により定める.

発表者は

Brunella

の対応を定量化し, 次の公式を得た.

定理

2.3 (足立 [1]). M

が

Levi

平坦面のとき, 定理

2.1

における正則法束の

Hermite

計 量

h

²と

M

の定義関数

r

を考える. このとき,

p ∈ M

における

r

の局所

DF

指数は

η(r, p) = sup { η ∈ (0, 1) | iΘ

_h

(p) − η

1 − η iA

_h

(p) > 0 }

と

M

上で計算することができる.

iA

_h

:= i∂

_F

log h ∧ ∂

_F

log h

は

Frankel [10]

で導入さ れた

T

^1,0

F

上の二次形式であり,

F

の無限小ホロノミーの大きさを測っている.

証明は, 直接計算による. ただし, Levi 平坦面

M

を局所的に

C

ⁿ内の実超曲面として 表す局所座標系を十分に正規化されたように選び,その上で計算を行なう必要がある.

2.2. Levi

平坦面の随伴公式

前小節の議論は, ambientの複素多様体の幾何学とは関係していない. K¨

ahler

曲面内の

Levi

平坦面については, いわゆる随伴公式を通して,

X

の幾何を

Levi

平坦面の正則法 束の幾何に関係付けることができる.

複素曲面

X (n = 2)

内の

Levi

平坦面

M

の随伴公式とは,同型

( ∧

²

(T

^1,0

X)

^∗

| M ) ⊗ N

^1,0

≃ (T

^1,0

F )

^∗

を指す

(cf. [9]). X

の

K¨ ahler

計量

ω

は,標準束

∧

²

(T

^1,0

X)

^∗に

Hermite

計量

(det ω)

⁻¹を 誘導し, また,

F

に沿う

Hermite

計量も制限

ω | T

^1,0

F

により誘導する. したがって, 随 伴公式により, 正則法束

N

^1,0の

Hermite

計量

h

²_ωが定まる. なお, この時,

h

²_ωに対応す る

M

の定義関数は,

ω

による

M

までの符号付測地距離である.

正則法束の

Hermite

計量

h

²_ω は

X

の幾何を反映するはずだが, 実際,その曲率・無限 小ホロノミーの大きさを外在的な曲率量で計算することができる.

定理

2.4 (足立–Brinkschulte [4]). K¨ ahler

曲面

(X, ω)

内の

Levi

平坦面

M

を考える.

ξ

で直交補束

τ F

^⊥

⊂ T M

の向き付けに整合した単位切断を,

ν F

で

{ ξ, J

_X

ξ }

が定める

T X

の部分束を表す. このとき,

T

^1,0

F

上の二次形式として, 以下が成り立つ²

:

4iA

_hω

= (H

_X

(τ F , ν F ) − Ric

_M

(ξ, ξ)) ω | T

^1,0

F , 4iΘ

_hω

= (

H

_X

(τ F , ν F ) − 2G

_F/M

)

ω | T

^1,0

F .

ここで

H

_X は正則双断面曲率,

G

_F/Mは

F

の葉の

M

内での

Gauss–Kronecker

曲率

,

つまり型作用素の行列式を表す. RicM

(ξ, ξ)

を

M

の総実

Ricci

曲率と呼ぶ.

証明は, Gaussの公式を用いた直接計算によりなされる. なお, K¨

ahler

多様体内の複 素部分多様体は極小であることから,

G

_F/M

≤ 0

に注意されたい. Brunella 型の対応を 経由すると, 後者の公式は, 武内型の定理

(cf. [15])

を導く.

2印刷版は誤っています. Lipschitz–Killing曲率よりも, Gauss–Kronecker曲率と呼ぶべきのようです.

3. Levi 平坦面の幾何に関する 2 つの大域評価

前節で述べた局所的な公式を,多変数関数論による大域的な考察と組み合わせること で, Levi 平坦面の幾何に関して, 非自明な大域評価を得ることができる.

3.1. DF

指数

η(r)

に関わる大域評価

まず

Levi

平坦面を含む,一般の擬凸実超曲面

M

に対する主張として述べよう.

定理

3.1 (足立–Brinkschulte [3], Fu–Shaw [11]).

自然数

0 ≤ ℓ ≤ n − 1

に対し,

M

の

Levi

形式が至る所

ℓ

次元以上退化する時,

M

のどんな定義関数

r

に対しても

η(r) ≤ 1 − ℓ/n.

我々の証明は,領域Ω上の

top form

に対する

∂-方程式の重み付き L

²可解性

(Donnelly–

Fefferman

型定理)に基づく.

L

²可解となる重みが

DF

指数により統制されるが, DF

指数が境界の

Levi

形式の退化次数と比して大きすぎると, Ω上の

bump form

が

Ω

に 台を持つカレントとして

exact

になり, 矛盾が生ずる. なお, Siqi Fu氏, Mei-Chi Shaw 氏による証明は,

M

の

Levi

分布の接触近似列の曲率積分のオーダー評価を用いる.

定理

3.1

は, Levi平坦面に関しては, 次の一般的な曲率制約を含意する.

系

3.2 (cf.

足立

[2]). M

を

Levi

平坦面とする. このとき,

M

のどんな定義関数

r

に対 しても

η(r) ≤ 1/n

である. 従って,

M

の正則法束

N

^1,0のどんな

Hermite

計量

h

²に対 しても,

M

上の不等式

iA

h

< (n − 1)iΘ

hは成立し得ない.

最終段は, 定理

2.3

により, この不等式が

η(r) > 1/n

と同値であることに基づく.

3.2.

総実

Ricci

曲率

Ric

_M

(ξ, ξ)

に関わる大域評価

CP

²内の

Levi

平坦面の非存在予想への部分的結果として, 次の

Bejancu–Deshmukh

の 曲率制約が知られている.

定理

3.3 (Bejancu–Deshmukh [5]). Fubini–Study

計量を与えた

CP

ⁿ

(n ≥ 2)

内の

Levi

平坦面

M

を考える. このとき,

M

上の不等式

Ric

_M

(ξ, ξ) ≥ 0

は成立しない.

彼らの証明のポイントは, いわゆる

Bochner

テクニックであり,コンパクトリーマン 多様体

M

上のベクトル場

X

とその双対

1

形式

α

に対する次の積分公式を用いる:

∫

M

{

Ric

_M

(X, X ) − 1

2 | dα |

²

+ |∇ X |

²

− (δα)

²

}

dVol = 0.

発表者らは, Bejancu–Deshmukh の定理の別証明を与え, その評価を改善した.

定理

3.4 (足立–Brinkschulte [4]).

ある負定数

C

_CP²

< 0

が存在し, Fubini–Study計量を 与えた

CP

² 内のどんな

Levi

平坦面

M

に対しても,

M

上の不等式

Ric

M

(ξ, ξ) ≥ C

_CP² は成立しない.

証明は,

M

の囲む領域

Ω上の L

²正則

2

形式の空間の無限次元性

(武内の定理 [15]

に基 づく補間定理)に着目して行なわれる. 総実

Ricci

曲率に関する不等式が成立してしま うと, 無限次元であるべき空間が有限次元となってしまうのである. 議論は以下のよう に進む: 総実

Ricci

曲率に関する不等式を仮定すると,定理

2.4

から, Fubini–Study 距離 が定める

M

の定義関数について,

M

の近傍でのある不等式が得られる. Stokes の定理 を巧妙に適用すると,この不等式から

Ω

上, コンパクト集合を除いて成立する

Bochner–

小平–中野–Kohn–Morrey–H¨

ormander

型の

L

²評価式が得られ,

L

²正則

2

形式の空間の 有限次元性を示すことができる.

参考文献

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