PDF 2008年度大学入試センター試験 解説〈数学ⅱb〉

第１問

〔１〕

3^{1 + log10 x}- 5^y= 1 ……(＊)

log10xの真数条件より   x > 0 ……ア 次に(＊) より 5^y= 3^{1 + log10x}- 1 = 3•3^{log10 x}- 1 ……イ

z = 3^{log10 x} とおくと, 5^y= 3z - 1 > 0 であるから

……ウ，エ となる．

さらに,

- log₁₀ x

……オ，カ ここで,z > 0であるから,相加平均≥相乗平均より

が成り立つ．等号が成立するのは,

かつ z > 0 すなわち z = 1 のとき ……キ

で,このときKは最小値  をとる． ……ク，ケ

このとき, 3^log10x= 1 より log10x = 0

すなわち, x = 1 であり ……コ

より

y = log52 ……サ，シ

である．

〔２〕

(1) q= pのとき  よってQの座標は

……ス，セ である．

p p

2 6 2

6 =

(

3 1

)

ª

cos , sin

º

,

p q p p p

2 - 3 = 2 - 3 = 6

5 3^{1 1} 1 3 1 2

0

1

y = ^{+ log}10 - = - =

=

- = 2 1

3 5 3 z= z1

z z z

+ 1 ∑ z =

2 1

2

≥

z z z

= - z

+ ^- = + -

3 1

3

1 1

3 K 1

y

= 5 +

3 3

z> 1 3

C2

y 2

2 x

2 O

1 Q

p 6

3

(2) 3点O, P, Qがこの順に一直線上にあると きのqの値で最小のものをq0とすると,q= q0

となるのは右図のような場合である．

よって,

ここで, a > 0より 3a + 1 0 よって,

……ソ，タ，チ また,qが の範囲を動くとき,

線分OQは,半径2,中心角

の扇形(右図の網目部分) を描く．

したがって,その面積Sは,

……ツ，テ，ト (3) GOPQに余弦定理を用いると,

PQ²= OP²+ OQ²- 2OP•OQ cos– POQ

……ナ〜ノ である．

(4)

ここで,sinkxの最小の正の周期は であるから,これが4pとなる

のは, のときである．すなわち, となればよいので,

……ハ，ヒ a= 1

6

a+ 3 1 =

3

1 k= 1 2

2

k k

¥ = 2p 1 2p

f x a

x

( )= - +

5 4 3 1

sin

ª

3

º

= - +

5 4 3 1

sin

ª

^a3 q

º

= + - ∑ ∑ - -

= - - +

1 2 2 1 2

2 3

5 4

2

3 1

3

2 2 cos

cos

ª º

ª º

p q

q

p q

a a

q p p

1 2 2

3 2 3

3

6 2

1

3 1

2 0

= ∑ ∑ = ∑

+ =

S +

a a

p p q q

2 2 3 3

0 0

-

ª

-

º

=

q a p

0 3

6 +2

£ £

a a

q p

0 3 p

2 3 1

3

6 2

= ⁽ + ⁾ = +

a q p

0

3 1

3 2

+ =

aq p q

0

0

2 3

= -

y

O x Q P

2 1

点Pはここから  スタート  点Qはここから 

スタート 

C1

C2

q 3

0

aq0

y

O 1 2

Q q

3

0

x

y

O x 1

2 Q

P 2 1

第２問

C1：y = x² ……①

mC2：y = - x²+ 3ax - 2a² (a > 0) ……②

(1) C1とC2の共有点Pのx座標は,①,②より

x²= - x²+ 3ax - 2a²

9x²- 24ax + 16a²= 0 (3x - 4a)²= 0

よって  ……ア，イ，ウ，エ

また, より 

よって,点PにおけるC1の接線の方程式は,

……オ，カ，キ，ク

(2) C1とx軸および直線x = 2で囲まれた図形の面積をS1,

C2とx軸で囲まれた図形の面積をS2とする．

このとき,

……ケ，コ である．

また, C2とx軸との交点のx座標は - x²+ 3ax - 2a²= 0 の解である．よって,

x²- 3ax + 2a²= 0 (x - a)(x - 2a) = 0

x = a, 2a ……サ，シス

である．

S1 x dx x

0 2

2 3

0

1 2

8

1 24

1

=

Ú ª º

=

[ ]

⁼ 3 y= 1 ax- a

3

2 9

2

y- 2 a = a x- a 9

1 3

4 3

2

ª º

f' 4 a = a 3

1

ª º

3 f'⁽x⁾= 1 x

4

P

ª

⁴

º

3 2 9 a, a2

1 8

4 3

2 9

2

y=

ª º

a = a2

4 x= 3 a

1 8

1 8

C1上の点(t, f(t)) における 接線の方程式は

y - f(t) = f’(t)(x - t)

O 2 x

y C₁

S₁

O

2a

a x

y

C₂ S₂

さらに

である． ……セ，ソ

(＊) の(別解)

……セ，ソ

(3) S(a) は次の3つに場合分けできる．(Rは図の太線で囲まれた

部分である．)

⁄ 0 < 2a £2,すなわち 0 < a £1のとき ……タ

¤ a £2 < 2a,すなわち 1 < a £2のとき ……チ

……ツ〜ニ

a a a

= - 5 ³ + ² - +

6 4 6 3

S a S x ax a dx

S x a

x a x

a a a

a a

a

a

( )= - (- + - )

= + - +

= + - + - - +

Ú

1 2

2 2

1

3 2 2

2

2 3

3 3

3 2

3 3

2 2

1 3

8

3 6 4

3 3

2 2

“ ‘

”ª º ª º’

S a^{( )}= S₁ -S₂ = - 1 a³+ 6

1 3 a³

1

= 6

S x ax a dx

x a x a dx

a a

a a

a a 2

2

2 2

2

3

3 2

2 1

6 2

= ⁽- + - ⁾

= - ⁽ - ⁾⁽ - ⁾

= ⁽ - ⁾

Ú Ú

a³ 1

= 6

S x ax a dx x a

x a x

a a a a

a a

a a a

a a

a a 2

2

2 2 3

2 2

2

3 3 3 3

3 3

3 3 3

3 2

3 3

2 2

8

3 6 4

3 3

2 2

4 7

3

3 2

= ⁽- + - ⁾ = - + -

= - + - - - + -

= - -

Ú “ ‘

ª º ª º

S

^……(＊)

の利用

a b

a b b a

Ú

^{(x- )(x- )dx= -} ₆^{1 ( - )3}

O a 2a 2 x

y

C₁

4 3 a 接している 

C₂

O a 2 2a x

y

C₁

4

3 a C₂

‹ 2 < aのとき

ここで,¤ のとき

よって,増減表は以下のようになる．

これと⁄,¤,‹ を合わせてS(a) のグラフを描くと右の ようになる．

よって, S(a) は

のとき 最小値 ……ヌ〜ヒ

をとる．

3 a= 6 25

5

S

ª º

⁶

ª º ª º

5

5 6

6

5 4 6

5 6 6

5 3 3

25

3 2

= - + - ∑ +

= a S'(a) S (a)

1 2

0

- +

→  → 

0 6

5

S a a a

a a

a a

'^{( )}= - + -

= - ⁽ - + ⁾

= - ⁽ - ⁾⁽ - ⁾ 5

2 8 6

1

2 5 16 12

1

2 5 6 2

2

2

S a^{( )}=S₁ = 1 3

O 2 a 2a x

y

43 a C₁

a S (a)

1 2

O

最小値  1

3 1 63 25

6 5

第３問

(1) an= 7 + (n - 1)•(- 4) = - 4n + 11 ……アイ，ウエ

= - 2n²+ 9n ……オカ，キ

(2) bn= pn²- qn - r より, bn + 1= p(n + 1)²- q(n + 1) - r よって,

bn + 1- 2bn = p(n + 1)²- q(n + 1) - r - 2(pn²- qn - r)

= - pn²+ (2p + q)n + p - q + r

bn + 1- 2bn= - 2n²+ 9n ……① より,係数を比較すると,

- p = - 2 n2p + q = 9

p - q + r = 0

これを解くと, p = 2,q = 5,r = 3 ……ク，ケ，コ よって, b1= p - q - r = 2 - 5 - 3 = - 6 ……サシ

c1= 1

cn + 1- 2cn= - 2n²+ 9n ……②

②- ①より (cn + 1- bn + 1) - 2(cn- bn) = 0 dn= cn- bn とおくと

dn + 1- 2dn= 0 ……ス

すなわち  dn + 1= 2dn

ここで   d1= c1- b1= 1 - (- 6) = 7 よって   dn= 7•2^{n - 1} J すなわち  cn- bn= 7•2^{n - 1}

したがって,bn= 2n²- 5n - 3 より

cn= 7•2^{n - 1}+ 2n²- 5n - 3 ……セ，ソ

a k

n n

n n

k k

n

k n

= =

Â

⁼

 ⁽

^{- +}

⁾

= ⁽ - + ⁾

= ⁽- + ⁾

1 1

4 11 7 4 11

2 4 18

2

{dn} は初項7,公比2の等比数列

( )^{= ∑}( ⁺ )

=

Â

1 k

n

等差数列 

項数  初項  2

末項 

さらに

……タ〜ノ

n n

= ∑7 2n + 2 ³ - 3

3 2

22 31

6 7

- n-

c k k

k k

n n n n

n

k k

n k

k n

k k

n

k n

k n

n

=

-

=

-

= = =

 Â

  Â

= ⁽ ∑ + - - ⁾

= ∑ + - ⁽ + ⁾

= ∑⁽ - ⁾

- + ∑ ( + )( + )- ( + + )

1

1 2

1

1 1

2

1 1

7 2 2 5 3

7 2 2 5 3

7 2 1

2 1 2 1

6 1 2 1

2 8 5 3

項別に

Â

計算

・第1項は(等比の和)

・第3項は(等差の和) を用いた

第４問

(1) 3 ……ア

であり,N a- b N²= N a N²- 2a•b+ N b N² より 3 = 2 - 2a•b+ 2

……イ，ウ である．

同様に N b- c N²= N b N²- 2b•c+ N c N² 2 = 2 - 2b•c+ 3

……エ，オ N c- a N²= N c N²- 2c•a+ N a N²

3 = 3 - 2c•a+ 2

c•a= 1 ……カ

である．

(2) とおくと

であるから, より

すなわち

c(1 - t)a+ tb- cC•a= 0 (1 - t)N a N²+ ta•b- c•a= 0 (1) の結果より,

よって,

したがって, ……キ〜コ

より,点Pは線分ABを2：1 = 1： に内分する． ……サ，シ

(注) として考えてもよい．

また,

= 0 ……ス

であり, CP

L

2

ª º

N N

∑ = + - ∑

= ∑ + - ∑

= ∑ + ∑ -

b a b c b

a b b b c

1 3

2 3 1

3

2 3 1

3 1 2

2

3 2 3 2 CP CA AB

L L L

= +t

1 2 2

= 3

AP AB

L L

1 3

2

= + 3 -

CP

L a b c

2

= 3 2 1 1 t

2 1 0

-

( t)+ t- = OP OC

L L

- ∑a= 0

( )

CP

L∑a= 0

OP OA OB

L L L

=⁽1-t⁾ +t =⁽1-t⁾a+tb AP^L =tAB^L

b c∑ = 3 2 a b∑ = 1 2

Na-bN² = NBA^{L 2}N =⁽ 3⁾² =

A

B

C O

2

2

2 3

3

3

A

B P

C O

a c b

よって, ……セソ，タ である．

より  は三角形OAB (③) ……チ

の各辺と垂直であり,直線CPは三角形OABを含む平面に垂直である．

三角形OABの面積をSとすると,

……ツテ，ト したがって,四面体OABCの体積をVとすると,

……ナ，ニヌ

である．

V = 1 ∑ ∑S = ∑ ∑ =

3

1 3

15 4

15 3

5 N^LCPN 12

高さ  底面積 

ª º

= ¹ _{a b} -

(

_{a b}∑

)

_{= ∑ - =}

2

1

2 2 2 1

2

15 4

2 2 2 2

S

CP

L

CP CP

L L

∑a= ∑b= 0 N^LCPN= 15

3 N N

N N N N N N

L 2

2 2 2

CP = + -

= + + + ∑ - ∑ - ∑

= ∑ + ∑ + + ∑ - ∑ - ∑

= 1 3

2 3 1

9

4 9

4 9

4 3

2 3 1

9 2 4

9 2 3 4 9

1 2

4 3

3 2

2 3 1 15

9

a b c2

a b c a b b c c a