A Note on Noncommutative Iwasawa Theory

A Note on Noncommutative Iwasawa Theory

八森 祥隆(慶應大学理工学部)

1. 序

E を有限次代数体 k 上定義された楕円曲線とし, p を素数とする. 有限次拡大 F/k 上 の E の (p^∞-) Selmer 群とは次のようなものである:

Selp^∞(E/F) := ker H¹(F, E[p^∞])→Y

v

H¹(Fv, E(Fv))[p^∞]

!

ここで ∗[p^∞]は ∗ のp 巾 torsion元全体のなす部分群を表し, E[p^∞] :=E(k)[p^∞]とする. Selmer 群を考える意義は次の完全列による. III(E/F) は Tate-Shafarevich 群を表す:

0→E(F)⊗Qp/Zp →Selp^∞(E/F)→III(E/F)[p^∞]→0.

さて,K∞/kをk の有限個の素点のみが分岐する無限次Galois拡大でG:= Gal(K∞/k) が compact p進 Lie群であるものとする. K∞ 上の E の Selmer群を

Selp^∞(E/K∞) := lim−→^FSelp^∞(E/F)

により定義する. 但し F はk 上有限次Galoisな K∞/k の中間体全体を走るものとし,順 極限はH¹(F, E[p^∞])での制限写像から誘導されるものとする. Selp^∞(E/K∞) には G が 作用する. ここではその作用を左作用としておく. Selp^∞(E/K∞) の Pontrjagin dual

Sel_p^∞(E/K_∞)^∨ := Hom^Z_p(Sel_p^∞(E/K_∞),Q_p/Z_p)

は compact な Zp-加群となり, g ∈Gの作用を(gf)(s) =f(g⁻¹s)とすることでGが左か ら連続に作用する. このことから Sel_p^∞(E/K_∞)^∨ には完備群環

Λ(G) :=Zp[[G]] = lim←−^FZp[Gal(F/k)]

の左作用を定めることができる.

岩澤理論の主題の一つは,このようにして定義されるΛ(G)-加群としてのSelp^∞(E/K∞)^∨ の構造の研究である. G ∼= Z^d_p のような可換群の場合が古典的 (cf. [SS]等) であるが, G が非可換群となる場合への一般化が本稿で扱う非可換岩澤理論である. このときΛ(G)は 非可換環となり, その上の加群の構造が問題となる(概要は [H] 等参照).

本稿ではまず, Selp^∞(E/K∞)^∨ のΛ(G)-rankに関する結果について述べる(§2定理2.3).

次に Selp^∞(E/K∞)^∨ の“pseudo-null” 部分加群についての Ochi-Venjakob [OV1] の定理 (cf. §3 定理 3.2) の別証明を紹介する. この証明はオリジナルの議論を大幅に簡略化する ものである. なおこれらは落合理氏との共同研究である.

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2. Λ(G)-rank について

記号等は序で述べたとおりとする. まず Selp^∞(E/K∞)^∨ が有限生成左 Λ(G)-加群とな ることを示すことは難しくない. そこで, その加群としての大きさをみるのに Λ(G)-rank を考える. 話を簡単にするために G がpro-pでp-torsion 元を持たないと仮定する. 一般

のcompact p 進Lie群は有限指数の正規開部分群としてそのようなものを持つので,この

仮定は(必要なら)kを有限次拡大したもので取り直して考えることに対応する. Λ(G)は 次のような性質を持つ(cf. [DdMS] Cor. 7.25, 7.26): まず左右 Noether環である(これは 一般のGで正しい). また pro-p でp-torsion元を持たないことから0 以外のzero-divisor を持たない. これらのことから次のような斜体 Q(G) (”商斜体”) がΛ(G) 上の同型を除 いて唯一つ存在する: Λ(G) ⊂Q(G)かつ, 任意の x∈ Q(G) はあるr, s∈Λ(G), s 6= 0に よって x=s⁻¹r と表される(cf. [GW] Chap. 9). そこで左 Λ(G)-加群 M の rankを

rank_Λ(G)M := dim_Q(G)Q(G)⊗_Λ(G)M

で定義する. 但し dim_Q(G) は左 Q(G)-ベクトル空間としての次元を表す.

ここで次の予想がある. k_cyc でkの円分的Z_p-拡大を表す. S_p^ss をkのp上の素点でEが potentially supersingular reductionをもつもの全体の集合とし,s(E/k) :=P

v∈S_p^ss[k_v :Q_p] と定義する.

予想 2.1. K∞ が kcyc を含めば

rankΛ(G)Selp^∞(E/K∞)^∨ =s(E/k).

(2.1)

K∞ が kcyc を含まないときには G∼=Zp の場合でも上の等式が成り立たない場合があ ることを注意しておく. 一般には次の不等式が成り立つ. 予想はrankがその下限である ことを主張する.

命題 2.2. K_∞ が k_cyc を含み, E が p で good reductionをもつとすると rank_Λ(G)Selp^∞(E/K∞)^∨ ≥s(E/k)

これについてはよく知られている (cf. [OV2]等)ので, この節の最後で手短に説明する. 本稿で述べる結果は次である. Γ := Gal(k_cyc/k)(∼=Z_p) とする:

定理 2.3 ([HO]). E はp上の全ての素点でgood reductionを持つとする. またK∞ が次 の(i)–(iii)を満たすとする: (i) kcyc⊂K∞, (ii)G はuniformly powerful, (iii) Gは可解群. このときrankΛ(Γ)Selp^∞(E/kcyc)^∨ =s(E/k) ならば予想 2.1 は正しい.

uniformly powerful 群の定義と性質については [DdMS]§4.1 を参照. それは特に pro-p であり p-torsion元を持たない. 任意のcompact p 進 Lie 群は, 有限指数の開部分群とし て uniformly powerful なものを含む.

まずいくつかの注意を述べる. 定理2.3で大事な仮定は (iii) の可解性である. Gが非可 解群のとき予想 2.1を一般に示す手がかりは今のところほとんどない. 特に E が CMを 持たないときに K_∞ =k(E[p^∞])の場合の予想 2.1 を示すことは, 非可換岩澤理論の悲願 である (GがGL2(Zp)の開部分群になるのでこの場合を ”GL2-case” という).

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G∼=Zp⋊ Zp (これはuniformly powerfulで可解)の特別な場合の定理は[HV] Theorem 2.8で証明されている.

定理 2.3 の仮定の等式rankΛ(Γ)Selp^∞(E/kcyc)^∨ = s(E/k) (予想 2.1 の K∞ =kcyc の場 合)については, E が Q 上定義されていて k が Q上のAbel 拡大のとき正しいことが知 られている (Kato, Rubin, Rohrlich).

以下, 定理 2.3の証明を述べる. 命題 2.2 により, 逆向きの不等号を示せばよい. H :=

Gal(K∞/kcyc)とおく. MH で M の H-coinvariant を表す. 次の事実は岩澤理論のスタン ダードな議論により容易に示される([HV] §3.1 の議論等を参照).

rankΛ(Γ)Selp^∞(E/K∞)^∨_H = rankΛ(Γ)Selp^∞(E/kcyc)^∨. そこで次のことを示せば定理は証明される:

命題 2.4. 定理2.3 の (i)–(iii) を仮定し,H は上のとおりとする. 有限生成 Λ(G)-加群 M に対しrankΛ(G)M ≤rankΛ(Γ)MH が成り立つ.

これを証明するためにまず次を示す:

補題 2.5 ([BH]). 命題 2.4 と同じ仮定の下, もし M_H が Λ(Γ)-torsion なら M はΛ(G)- torsionである. ここで M が Λ(G)-torsion とは, “M の各元 m に対してΛ(G)の元λ6= 0 があって λm= 0となる” ことである. これはrankΛ(G)M = 0と同値である.

(証明)この補題自身は明示的には書かれていないのだが,証明は一つの事実を除き[BH]に 全て書いてある. dimG をGのp 進Lie群としての次元とする. Gは uniformly powerful であり G/H ∼= Zp であった. H 6= 1であるとする. Gの正規閉部分群 N で次の (a)–(c) を満たすものが存在する: (a) N ∼=Z^r_p (r > 0), (b) G/N は uniformly powerful かつ可解 であり, dimG/N <dimG, (c) N ⊂H.

この主張は後に示すが, (c) が [BH] に書かれていない唯一のことである. このような N の存在を仮定すると, [BH] の最後の Theorem の証明をそのままなぞって, M_N が Λ(G/N)-torsion ならば M がΛ(G)-torsion であることがわかる. 上に述べた主張から G/N もuniformly powerfulかつ可解で部分群 H/N による商がZpに同型である. それゆ え,H =N でなければ上の主張を G/N, H/N の組に対し適用できる. このように繰り返 し主張を用いれば, 増大する Gの部分群の有限の長さの列

N =N0 ⊂N1 ⊂N2 ⊂ · · · ⊂Nk=H

を作ることが出来る. 但し Ni は G の正規閉部分群でNi/Ni−1 ∼= Z^r_pⁱ (ri > 0), さら に G/Ni はuniformly powerful かつ可解となるものである. MNi−1 = (MNi)(Ni/Ni−1) が Λ(G/Ni−1)-torsion ならばMNi は Λ(G/Ni)-torsion であるから帰納的に補題は示される.

最後に主張を示しておく. Gがアーベルなら,N =Hととれる. そこでGはアーベルで ないとする. 帰納的にD⁽⁰⁾(G) := G,D⁽ⁿ⁺¹⁾(G) := [D⁽ⁿ⁾(G), D⁽ⁿ⁾(G)]とおく. Gがアーベ ルでなく可解であることから, ある m ≥1 が存在してD^(m+1)(G) = 0 かつ D^(m)(G)6= 0 となる. そこで

N :={g ∈G|あるk に対しg^pk ∈D^(m)(G)}

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とおくと, [BH]§4の最初のProposition の証明で示されているように, N は (i)と (ii)を 満たす. (iii) は次のように示される: D^(m)(G) ⊂D⁽¹⁾(G)⊂ H に注意する. 勝手な N の 元 g について, g^pk はD^(m)(G) の元であり, Hの元である. つまり g のG/H での像は p-torsion である. しかし G/H は p-torsionを持たないので, g ∈H でなければならない. よってN ⊂H. (証明終)

そこで命題 2.4 の証明に戻る. r = rankΛ(G)M > rankΛ(Γ)MH =s と仮定する. s 個の MH の元 x1, x2,· · · , xs でMH ⊗Λ(Γ)Q(Γ) の基底となるものをとり, そのM への持ち上 げ y1, y2,· · · , ys をとる. すると

Λ(G)^s→M →C →0

なる完全列を得る. 但し写像は(0,0,· · ·,0,1,0,· · ·,0) (1 は i番目のみ)をyiに送るもの とする. このことからrankΛ(G)C≥r−s >0 であってかつrankΛ(Γ)CH = 0 であることを みることは容易であろう. しかしこれは補題 2.5 に矛盾するので命題 2.4が示された.

最後に命題 2.2 について説明しておく. Sをkの素点の有限集合で, 無限素点, p 上の 素点, K∞/k で分岐する素点及びE/k が bad reduction をもつ素点を全て含むものとし, kS で k 上の S の外不分岐最大拡大を表す(K∞ ⊂ kS に注意). また k の素点 v に対し Jv(E/K∞) := lim−→^F

L

u|vH¹(Fu, E(kv))[p^∞] とおく. 但し F は K∞/k の Q上有限次な中 間体全体を走るものとする. すると完全列

0→Selp^∞(E/K∞)→H¹(kS/K∞, E[p^∞])→^ϕ M

v∈S

Jv(E/K∞) (2.2)

が存在する. 次のことが分かれば命題は示される:

(1) rankΛ(G)H¹(kS/K∞, E[p^∞])^∨−rankΛ(G)H²(kS/K∞, E[p^∞])^∨ = [k:Q].

(2) v|pかつE が vで good ordinaryのときrankΛ(G)Jv(E/K∞)^∨ = [kv :Qp], その他のと き = 0.

但し ∗^∨ はPontrjagin dual を表す. (1) については [HV] Proposition 7.4 参照. (2) に ついてはまず, Jv(E/K∞)^∨ ∼= Λ(G) ˆ⊗Λ(Gv)(H¹(K∞,w, E(kv))[p^∞])^∨ である. 但し w は v 上の素点で Gv = Gal(K∞,w/kv) とする. K∞ ⊃ kcyc より, 各 v でdimGv ≥ 1 で あり, p 上の素点では K∞/k は deeply ramified であることに注意する. v ∤ pのとき, rankΛ(Gv)(H¹(K∞,w, E(kv))[p^∞])^∨ = 0 である (cf. [OV2] Theorem 4.1). v|p のときには, H¹(K_∞,w, E(k_v))[p^∞] ∼= H¹(K_∞,w,E˜_v[p^∞]) である([CG] Proposition 4.3, 4.8). 但し E˜_v は E の modv 還元の曲線を表す. ゆえに v ∈ S_p^ss のときH¹(K∞,w, E(kv))[p^∞] = 0 であ り,Eがv|pでgood ordinary reductionをもつときは, [HV] Proposition 7.4の証明と全く 同様の方法で

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X

i=0

(−1)ⁱrankΛ(Gv)Hⁱ(K∞,w,E˜v[p^∞])^∨ =−[kv :Qp]

を示すことが出来る. しかしdimG_v ≥1よりi= 0,2でrank_Λ(Gv)Hⁱ(K_∞,w,E˜_v[p^∞])^∨ = 0 であることが分かるので, 上の等式を得る.

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3. pseudu-null 部分加群の非存在について.

一般の環 R 上の加群の理論において, “pseudo-null” というある“小さい”加群のクラ スが定義される([CSS] Definition 2.5). そしてよい条件の環R について R 上の加群のup to pseudo-null での構造定理が得られている([CSS] Corollary 3.5).

R が可換な整閉整域の場合, R-加群 M が pseudo-nullであることは, M の零化イデア ルAnnR(M) の高さが 2 以上であることと同値である ([CSS] Example 2.3). この同値条 件が古典的な pseudo-null 加群の定義である. 零化イデアルが大きいということは加群と しては小さいということである.

岩澤理論においては, しばしばΛ(G)-加群の部分加群でpseudo-nullであるものが存在 するかどうかが問題になる. 例えばpseudo-null 部分加群の非存在は, 加群が(0 でない限 りは)ある程度 “大きい”ことを保証する.

本節では G はpro-pとは限らないが,p-torsionは持たないと仮定する. このとき Λ(G) は大域次元が dimG+ 1 で, かつ Auslander 条件というよい性質を満たす環 (Auslander regular 環) であることが知られている (cf. [V] Theorem 3.26). このとき, Λ(G)-加群 M が pseudo-null 加群であることは下の簡明な定義 3.1と同値である(cf. [CSS] Lemma 2.4, [V] Proposition 3.5). ここではそれを定義として採用することにする.

左,または右Λ(G)加群 M と整数 i≥0に対して, Eⁱ(M) := Extⁱ_Λ(G)(M,Λ(G))と書く ことにする. M が左Λ(G)加群ならEⁱ(M) は右Λ(G)加群, M が右加群なら左加群の構 造が入る.

定義 3.1. Λ(G)-加群M がE⁰(M) = E¹(M) = 0 を満たすとき, M は pseudo-null である という.

条件E⁰(M) = Hom_Λ(G)(M,Λ(G)) = 0 は M が Λ(G)-torsion, 即ち“M の各元m に対 してあるzero-divisorでないλ ∈ Λ(G) があって λm = 0 となる” ことと同値である. 定 義からpseudo-null 加群はΛ(G)-torsion加群である.

pseudo-null 加群について次のことが成り立つ (cf. [V]): 勝手なΛ(G)-加群M に対し

て, その pseudo-null 部分加群で最大のもの M^′ が存在する. 即ち任意の部分加群 M^′′

で pseudo-null なものは M^′ に含まれる. また, pseudo-null 加群の部分加群, 商加群は

pseudo-null である. pseudo-null は加群の拡大に関して閉じている. これと全く同様のこ

とが Λ(G)-torsion についても成り立つことはよく知られているであろう.

さて,kの素点vに対しE˜v でE の modv 還元の曲線を表す. K∞のv 上の素点 wを一 つ固定し, Gv = Gal(K∞,w/kv)⊂G, K∞,w の剰余体を κ∞,w とする. 次の Ochi-Venjakob による結果は非可換岩澤理論の初期における基本的結果の一つである. 以下簡単のため p は奇素数 とする:

定理 3.2 (cf. [OV1] Theorem 5.5, [HV] Theorem 2.6, [O-y]). E は p 上にある全ての素 点で good reduction を持つとする. 次の (i)–(v) を仮定するとき, Selp^∞(E/K∞)^∨ は 0 でないpseudo-null Λ(G)-部分加群を持たない: (i) E のbad prime v に対し dim(G_v) ≥ 2, (ii) p 上の全ての素点は K∞/k で deeply ramified, (iii) v|p なるk 上の素点で good

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ordinary reduction をもつものに対し, dim(Gv) > 2 であるか, 又は dim(Gv) = 2 かつ

♯E˜v(κ∞,w)[p^∞]<∞, (iv) Weak Leopoldt予想, (v)完全列(2.2)における写像ϕ の全射性. S を前節の最後でとったものと同じk の素点の有限集合とする. Weak Leopoldt予想と はH²(kS/K∞, E[p^∞]) = 0 が成り立つことをいう. 条件 (iv), (v) については一般に正し いと信じられている. 例えば予想 2.1 が正しければ (iv), (v) が正しい, というタイプの主 張が色々な場合で色々な人により証明されている (一例として [HV] Theorem 7.2).

G が可換な場合 (G∼=Z^d_p) では, 以前からpseudo-null部分加群についての様々な結果 が知られている(例えば[I], [Gr1], [Gr2] [Gr3], [Gr4], [P], [HM], [M], [O-t] 等)

以下, 定理 3.2 の原論文とは異なる別証明 (cf. [HO]) を与える. Sとして, ちょうど無 限素点, p 上の素点,K_∞/k で分岐する素点とE/k が bad reduction をもつ素点の全ての みからなるものをとる. 完全列(2.2) のPontrjagin dual をとると,条件 (v)により

0→M

v∈S

J_v(E/K_∞)^∨ →H¹(k_S/K_∞, E[p^∞])^∨ →Sel_p^∞(E/K_∞)^∨ →0

が完全となる. 次の定理は Ochi-Venjakob によるもので, オリジナルの証明でも使われて いる.

定理 3.3. (1) ([OV1] Theorem 4.6). 条件 (iv) の下で H¹(kS/K∞, E[p^∞])^∨ は非自明な pseudo-null 部分加群を持たない.

(2) ([OV1] Lemma 5.4, [HV] Proposition 2.3). 条件(i)–(iii) の下でL

v∈SJv(E/K∞)^∨ は reflexive である.

Λ(G)-加群 M が reflexive とは, 自然な写像 M → E⁰E⁰(M) が同型となることである. また, 次の結果も Ochi-Venjakob による.

命題 3.4 (cf. [OV1] Lemma 3.1, Proposition 3.3). 有限生成左 Λ(G)-加群 M に対し W = E⁰E⁰(M) とおくと, W はreflexive 加群である. 自然な写像 M → W のkernel は M の最大 Λ(G)-torsion 部分加群でありcokernel は pseudo-null 加群である.

次のことを示せば定理は証明される:

命題 3.5. 0 → U → V → M → 0 を Λ(G)-加群の完全列で, U は reflexive でありV は

非自明な pseudo-null Λ(G)-部分加群を持たないと仮定する. このとき, M は 非自明な

pseudo-null Λ(G)-部分加群を持たない.

(証明) N を M の pseudo-null 部分加群とせよ. V^′ を V での N の逆像とする. このと き0 → U → V^′ → N → 0 が完全である. U はreflexive なので Λ(G)-torsion free であ り,N が pseudo-null であることから,V^′ の最大 Λ(G)-torsion部分加群は pseudo-nullで なければならない. しかし V がpseudo-null 部分加群を持たないので, それは 0 である. 命題 3.4 により, reflexive な W と単射 V^′ → W で cokernel が pseudo-null になるもの が存在する. 故に合成による単射 U →W の cokernel N^′ も再び pseudo-null となる. こ れが同型であることを示せば N = 0 でなければならないことになり, 命題の主張が示さ れる. そこで完全列0 → U → W → N^′ → 0 から長完全列0 → E⁰(N^′) → E⁰(W) →

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E⁰(U) →E¹(N^′) を考える. N^′ が pseudo-null であることから E⁰(W) →E⁰(U) は同型, よって E⁰E⁰(U)→E⁰E⁰(W) も同型となる. ところが U, V は共にreflexiveだったので, この写像はもとの U →W に他ならず, 示したい同型がいえた. (証終)

この議論により [OV1] の Theorem 5.2 の証明の後半 (Lemma 5.6 以降) が簡易化され る. Selp^∞(E/K∞)^∨ がpseudo-null 加群を持たないことと同値ではあるが, [OV1]をはじめ として定理 3.2 で挙げた文献では全て,任意のi≥2で EⁱEⁱ(Selp^∞(E/K∞)^∨) = 0 である ことを示すことで定理を証明している. ここで紹介した証明は [Gr3] p.123のLemma (上 の命題の G=Zpの場合) の証明を新しいpseudo-nullの定義に当てはまるようにmodify したものである([O-t] Lemma 8.7も参照).

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e-mail: yhachi@math.keio.ac.jp

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