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フ ラ ク タ ル 上 の 確 率 過 程 に お け る く り こ み 群 の 視 点

服 部 哲 弥 名 古 屋 大 学 大 学 院 多 元 数 理 科 学 研 究 科 ０ ．序 ．

講 演 者 は フ ラ ク タ ル の 上 の い く つ か の 確 率 過 程 と そ の 周 辺 の 研 究 に 関 わって き た ．

• Sierpi´nski gasketお よ びabc-gasket上 の 漸 近 一 次 元 拡 散 の 構 成 お よ び ，Sierpi´nski gasketとSierpi´nski carpetに お け る 非 等 方 拡 散 の 等 方 性 の 回 復[17, 26, 27, 24, 25]．

• d次 元Sierpi´nski gasket上 のself-avoiding walkの 漸 近 的 性 質 と self-avoiding process の 構 成[11, 12, 13, 16, 31]．

• Rお よ びSierpi´nski gasket上 のBrown運 動 とself-avoiding process を 連 続 的 に 内 挿 す るself-repelling processの 構 成[30]．

こ れ ら の 確 率 過 程 は 著 し く 異 な る 性 質 を 持 つ が ，そ の 発 見 は 一 つ の 視 点 を 手 が か り に し て な さ れ た ．一 見 著 し く 異 な る 発 見 を 一 つ の 視 点 か ら 導 け る な ら ば ，そ こ に 一 つ の 数 学 的 手 段 が あ る こ と を 期 待 さ せ る ．こ の 視 点 を ，仮 に く り こ み 群 力 学 系 の 軌 道 解 析 と い う こ と に す る ．く り

こ み 群 は 統 計 力 学 お よ び 場 の 量 子 論 の 理 論 物 理 学 の 分 野 で 極 め て 多 く の 研 究 が な さ れ た 概 念 と 計 算 手 法 を 総 称 す る 用 語 で あ る ．し か し ，く り こ み 群 な る 解 析 手 段 の ，満 足 な 数 学 的 定 義 は ま だ な い ，と い う の が 講 演 者 の 認 識 で あ る[15]．逆 に 言 え ば ，こ こ に ，こ れ ま で 気 づ か れ な かった 何 か が あ る か も し れ な い ．

こ の 講 演 で は ，く り こ み 群 と は ，無 限 自 由 度 系 の 解 析 の 一 手 段 で あって 以 下 の 性 質 を 持 つ も の ，と(不 十 分 な が ら) し て お く[28]．

(i)距 離 空 間 に 値 を 取 る 確 率 過 程(path上 の 測 度)の 距 離 空 間 の ス ケ ー ル 変 換 に 対 応 す る 変 化(測 度 空 間 の 上 の 力 学 系)を「 適 切 な 」パ ラ メ ー タ 空 間 上 の 力 学 系 と し て 表 現 す る こ と ．

(ii) 元 の 問 題 か ら 決 ま る 初 期 条 件(canonical surface)か ら の 軌 道 が 大 局 的 に「 素 直 」な こ と ．

(iii) 軌 道 の 固 定 点 へ の 収 束 ま た は 固 定 点 近 傍 の 線 型 化 が 確 率 過 程 の 漸 近 的 性 質 を 与 え る こ と ．

（ 第 １ 点 に つ い て ，対 象 が 広 げ ら れ る こ と を こ の 文 書 の 最 後 に 触 れ る ．）

以 下 で は ，最 初 に 列 挙 し た 研 究 か ら い く つ か 概 要 を 説

明 し ，そ れ ら を 導 く 際 の 手 が か り と なった く り こ み 群 と い う 視 点 に つ い て 説 明 し た い ．

１ ．R上 のself-repelling process．

原 点 か ら 出 発 し て Z上 を 動 く1次 元simple random walk Xn, n ∈ Z₊, は 連 続 極 限(ス ケ ー リ ン グ 極 限) lim

↓0 X[t/²] が 存 在 し て ，原 点 か ら 出 発 す る ブ ラ ウ ン 運 動 に な る ．

Simple random walk は マ ル コ フ 性 を 持 つ ，即 ち ，過 去 に 通っ た か ど う か に 関 係 な く，次 の 時 刻 に は ，今 い る 場 所 の 両 隣 の 整 数 点 に 等 確 率 で 移 る ．こ の 点 で の 反 対 の 極 端 と し て ， 過 去 に 通った 点 は 通 ら な い ，と い う 条 件 を 付 け 加 え たpath

，ま た は ，そ の 上 にsupportさ れ た 測 度 ，をself-avoiding walk と い う．原 点 か ら 出 発 す る Z上 の self-avoiding walk は ，左 ま た は 右 に まっす ぐ 進 む も の し か な い ．そ の ス ケ ー リ ン グ 極 限 self-avoiding process は 等 速 度 直 線 運 動 で あ る ．

Walk や そ の ス ケ ー リ ン グ 極 限 と し て の process の sample pathの 重 要 な 性 質 に ，「path の ギ ザ ギ ザ の 度 合 い 」が あ る ． 何 ら か の 意 味 で walk Xn に つ い て|Xn| ≈ n^γ, n → ∞ (ま た は 連 続 極 限 X(t) に つ い て|X(t)| ≈ t^γ, t ↓ 0) と 書 け る と き の γ が そ れ を 表 す．1/γ はwalk (path) dimensionと 呼 ば れ る ．Walk の mean square displacement E[|X_n|² ]≈n^2γ，連 続 極 限lim

↓0 ^γX[t/]

が 自 明 で な い 連 続 確 率 過 程 に な る た め の 指 数 γ，path の ハ ウ ス ド ル フ 次 元 や H¨older連 続 性 のmodulus，な ど を 与 え る ．

Simple random walk (ブ ラ ウ ン 運 動)で はγ = 1/2で あ り，等 速 度 直 線 運 動 で はγ = 1 で あ る ．両 者 を 内 挿 す るwalk (process) の 族 は 研 究 さ れ て き た（ 例 え ば ，[9, 22, 23]）が ，こ れ ま で γ を 連 続 的 に つ な ぐ も の は 見 つ かって い な かった ．我々は ， こ の 問 に 肯 定 的 に 答 え る こ と が で き た ．

定 理 １ ．C をw(0) = 0, lim

t→∞w(t) = 1を 満 た す 連 続 関 数[0,∞)→ R の 集 合 と す る ．C上 の 確 率 測 度 の 族P_u,u ∈[0,1],で あって 以 下 を 満 た す も の が 存 在 す る ．

(i) P₁ は 原 点 か ら 出 発 し て 1 で 吸 収 し た1次 元 ブ ラ ウ ン 運 動 で ， +1 を −1 よ り 先 にhitす る と い う 条 件 を つ け た も の ．

(ii) P₀ は 原 点 か ら 出 発 し て 1 で 止 ま る 等 速 直 線 運 動 に 集 中 し た 分 布 ．

(iii) u∈[0,1]に 対 し てP_u は 弱 収 束 の 意 味 でuに つ い て 連 続 ． (iv)u∈[0,1] に 対 し て 連 続 な γ =γu <1が 存 在 し て ，各 u 毎

に 以 下 が 成 り 立 つ ．

(a) 任 意 の 正 数 M と γ よ り 小 さ い 任 意 の 正 数 γ に 対 し

て 確 率 1で b=b(w),H =H(w) が 存 在 し て ，

|w(t+h)−w(t)|b|h|^γ, t∈[0, M], |h|H.

(b) 任 意 の 正 数 pに 対 し て 正 数 C1, C2 が 存 在 し て

C1 lim

t↓0 t^−pγE_u[|X(t)|^p ]lim

t↓0 t^−pγE_u[|X(t)|^p ]C2. (c) 正 数C3, C4 が 存 在 し て ，確 率 1 で

C3 lim

t↓0 t^−γ(log log(1/t))^γ−1X(t)C4.

✸

定 理 １ は ，具 体 的 な walkの 族 の 連 続 極 限 を 取って 連 続 確 率 過 程 を 構 成 し て 証 明 し た ．連 続 極 限 に よ る 確 率 過 程 の 構 成 は ，直 感 的 に は ，あ る ス ケ ー ル の 構 造(ギ ザ ギ ザ)ま で を 考 慮 に 入 れ た 後 ，次 の 細 か さ の 構 造 を 追 加 し て い く，と い う こ と で あ る ．あ る 歩 幅 の path に 対 し て ，そ の 一 歩 一 歩 を 一 段 細 か い 歩 幅 の path で 置 き 換 え る こ と を く り か え す こ と で ，連 続 か つ γ = 1な る 確 率 過 程 を 得 る ．

あ る 点 に 達 す る ま で に 要 す る 歩 数 は 歩 幅 を 狭 く す る と 増 え る の で ，時 間 を 歩 数 で 計 る と 極 限 でpathが 自 明 に な る (動 か な い)．そ こ で ，一 歩 の 時 間 を 小 さ く し な が ら 極 限 を と る ．し か し ，一 歩 の 時 間 を 急 速 に 短 く す る と 一 気 に 遠

く ま で 行って し まって ，極 限 でpathの 連 続 性 が 失 わ れ る(連 続 関 数 上 の 確 率 測 度 と し て 弱 収 束 し な く な る)．歩 幅 を 狭 く す る と 同 時 に 一 歩 の 時 間 を 適 切 に 短 く し な が ら 極 限 を 取 ら な い と い け な い ．こ の た め ，pathの 歩 数 の 分 布 がpath の 細 か さ を 増 や す と き ど う 変 化 す る か（ 漸 近 的 な 振 る 舞 い ）が 問 題 の か な め で あ る ．

話 を 具 体 的 に す る た め に ，以 下 の 条 件 を 満 た す w∈C の 集 合（ 歩 幅 2⁻ⁿ のpaths）を Wn と お く．

(i)−1をhitせ ず1をhitし た ら 止 ま る ．

(ii) 整 数 時 刻i∈Z₊で は ，止 ま る ま で は|w(i+ 1)−w(i)|= 2⁻ⁿ を 満 た す2⁻ⁿZ上 のpath (w|^Z₊ : Z+→2⁻ⁿZ) で あ る ． (iii) 非 整 数 時 刻 で はw(i)と w(i+ 1)の 線 型 内 挿(等 速 度 運 動)

に なって い る ．

歩 幅 の 変 化 と 歩 数 分 布 の 変 化 の 対 応 を み る た め に ， Wn

と Wn+1 を 次 の よ う に 対 応 さ せ る ．w ∈ Wn の 各 一 歩 w(t), t ∈ [i, i+ 1], に 対 し て ，W1 のpathを 一 つ とって 空 間 的 に 2⁻ⁿ 倍 し ，0 , 2⁻ⁿ が そ れ ぞ れ w(i), w(i+ 1) に 移 る 線 型 写 像 で 移 し たpath vi を 考 え る ．各 i ∈ Z+ に 対 し てw(t), t ∈ [i, i+ 1], を vi で 置 き 換 え る と Wn+1 のpathを 得 る ．こ の 対 応 は 一 対 一 な の で ，path w の 総 歩 数 を L(w) と お く と ，そ の 母 関 数

Φ_1,n(z) =

w∈Wn

z^L(w) はrecursion

Φ_1,n+1(z) = Φ_1,n(Φ_1,1(z))), n∈Z₊, (1)

を 満 た す．

Φ_1,1 は W1 の 数 え 上 げ に よって

Φ_1,1(z) = z²

1−2z² (2)

と な る ．(1) と(2) が 全 て の pathを 平 等 に 取 り 入 れ た 場 合 の 歩 数 の 母 関 数 を 定 め る ．

Path を self-avoiding な も の だ け に 制 限 す る と ，R上 で は 0 か ら 1へ の 等 速 度 運 動 だ け だ か ら ，対 応 す る 母 関 数 Φ_0,n は (2) の 代 わ り に

Φ_0,1(z) =z² (3)

を 満 た す． Φ_0,n も (1) と 同 じ 形 のrecursion

Φ_0,n+1(z) = Φ_0,n(Φ_0,1(z))), n∈Z+, (4)

を 満 た す こ と は 容 易 に 分 か る ．

漸 化 式 (1), (4) は ，pathを 歩 幅 2⁻ⁿ 単 位 で み た Wn と2⁻ⁿ⁻¹ 単 位 で 見 た Wn+1 の 関 係 ，即 ち ，長 さ を 半 分 に す る ス ケ ー ル 変 換 に 対 す るpath集 合 の 変 化 ，を 歩 数 の 母 関 数 の 変 数 の 上 の 写 像 Φ_u,1 で 表 現 し て い る ．す ぐ 説 明 す る よ う に ，

Φ_u,1 の 固 定 点 (Φ_u,1(xu,c) =xu,c >0 な る xu,c）と そ こ で の 微 分 λ= Φ_u,1(xu,c) がpath の 漸 近 的 性 質 と 連 続 極 限 の と り か た を 決 め る ．そ の 意 味 で(4)や(1)が こ の 問 題 に お け るく り こ み 群で あ る ．

こ の 時 点 で は Φ_u,n と 確 率 過 程 の 対 応 を ま だ 説 明 し て い な い が ，ひ と ま ずΦ_1,n がrandom walkとBrown運 動 に 対 応 し ， Φ_0,n が self-avoiding walkと 等 速 度 運 動 に 対 応 す る こ と を 認 め て も ら う．そ う す る と 両 者 を 内 挿 す る ，即 ち ，定 理 １ を 得 る ，た め に は ，く り こ み 群(1), (4) を 一 般 化 し た

Φ_u,n+1(z) = Φ_u,n(Φ_u,1(z))), n∈Z+, (5)

を 0 u 1に 対 し て 要 請 し た 上 で (3) と (2) を 内 挿 す れ ば よ さ そ う に み え る ．そ れ を 実 現 す る の は や さ し い ．

Φ_u,1(z) = z²

1−2u²z² , 0u1. (6) そ し て ，実 際 に こ れ が 定 理 １ のpath measureの 族 を 与 え る ． こ う し て ，こ れ ま で 研 究 が 複 数 あった に も か か わ ら ず 誰 も 見 つ け る こ と の で き な かった 確 率 過 程 の 族 を ，(3) と (2) を 内 挿 す る (6) を 見 つ け る だ け で 発 見 す る こ と が で き た ．く り こ み 群(5)を 第 一 原 理 と し て 守った こ と が 成 功 の 本 質 で あ る ．

く り こ み 群 か ら 得 ら れ た Φ_u,n を 確 率 過 程 の 言 葉 に 翻 訳 す る 作 業 が 残って い る ．こ の た め に 次 の 事 実 に 注 意 し て お く[30], [32, §4,§B]．

命 題 ２ ．ck 0,k = 2,3,4,· · ·, に 対 し て

Φ₁(z) =

∞

k=2

ckz^k (7)

の 収 束 半 径 は 正 で ， c2 > 0 以 外 に も 正 の も の が あ る と す る ．Φ₁ の 正 の 固 定 点 を xc

Φ₁(xc) =xc >0

と し ，λ = Φ₁(xc) と お く．こ の と き(5) で 定 義 さ れ たΦ_n に つ

い て _∞

0 e^−sξpn(dξ) = 1 xc

Φ_n(e^−λ−nsxc)

で 定 ま る R+上 の ボ レ ル 確 率 測 度 pn は ，n → ∞ で R+上 の ボ レ ル 確 率 測 度p^∗ に 弱 収 束 す る ．p^∗ は(ル ベ ー グ 測 度 に 対 し て)密 度 ρ を 持 つ ．ρ のsupport は R+ に 一 致 し ，遠 方 で 指

数 関 数 的 にdecayす る ． ✸

命 題 ２ の 仮 定 が 成 り 立 ち ，さ ら に ， w ∈ W1 に 対 し て 非 負 実 数d(w)が 存 在 し て(7) のck がck=

w∈W1;L(w)=k

d(w)と 書 け る と き ，

P₁[w] =d(w)x^L(w)−1_c , w ∈W1, (8)

で C上 の 確 率 測 度 を 定 義 す る と ，(5) と 整 合 す る よ う にWn

上 にsupportさ れ たP_n が 帰 納 的 に 定 義 で き る ．命 題 ２ に よっ て ， P_n[dw] の 下 で のw(λⁿt) の 分 布 は n → ∞ の と き C上 の 確 率 測 度 に 弱 収 束 し ，極 限 測 度 の pathの 性 質 を 決 め るγ は

γ = log 2

logλ (9)

で 与 え ら れ る[30]．例 え ば ，u = 1の 場 合 は(2) か らxc =x1,c = 1/2，λ=λ1 = 4， γ =γ1 = 1/2 と な り，simple random walk と そ の 極 限 のBrown運 動 に 対 応 し て い る ．

命 題 ２ の 仮 定 に パ ラ メ ー タ u に 関 す る 連 続 性 や 一 様 性 の 仮 定 を 追 加 す る と γ = γu の 連 続 性 等 が 保 証 さ れ る ．こ れ ら を 経 由 し て (5) と (6) か ら 定 理 １ を 得 る ．

２ ．Sierpi´nski gasket上 の self-avoiding walk．

前 節 で は ，く り こ み 群 の 固 定 点 に 対 応 す る walk を 考 察 し た の で ，く り こ み 群 力 学 系 の 解 析 と し て は 自 明(0次 元 空 間 上 の く り こ み 群)で あった ．大 局 的 な 軌 道 解 析 を 要 す る 場 合 と し てSierpi´nski gasket上 のself-avoiding walk の 漸 近 的 性 質 の 話 に 転 じ る ．

O = (0,0), a = (¹₂,^√₂³), b = (1,0), と お き ，三 角 形 Oab の 辺 と 頂 点 上 の 点 の 集 合 をF0 と お く．F0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ · · · を 帰 納

的 に ，

Fn+1 =Fn∪(Fn+ 2ⁿa)∪(Fn+ 2ⁿb), n= 0,1,2,· · ·,

で 定 義 す る ．Fn た ち を 有 限pre-Sierpi´nski gasketと 呼 び ，F =

∞

n=0

Fn を(無 限)pre-Sierpi´nski gasket と い う．ま た ，

∞

n=0

2⁻ⁿFn の 閉 包F˜ を 有 限Sierpi´nski gasketと い う．

Self-repelling process の 構 成(定 理 １)は 有 限Sierpi´nski gasket の 上 で も ，Rの と き と ほ ぼ 同 様 に 可 能 で あ る[30]．と こ ろ で ，そ の 両 極 端 ，Brown運 動 とself-avoiding processは ど ち ら も Sierpi´nski gasketと R で は 著 し く 異 な る ．中 で も self-avoiding process は R 以 外 で は 自 明 で な い ．

Self-avoiding walk お よ び self-avoiding processは ，フ ラ ク タ ル 上 に 限 ら ず，random walkやBrown運 動 に 比 べ て 難 し い ．Self- avoiding walkは 過 去 に 通った 点 は 通 ら な い と い う 制 約 条 件 の た め ，マ ル コ フ 性 を 欠 く か ら で あ る ．無 限 に 細 か い 構 造 を 持 つ self-avoiding processは 存 在 す る か ど う か 自 体 が ，特 に 低 次 元 空 間 で 殆 ど 知 ら れ て い な い が ，Sierpi´nski gasketお よ び3次 元Sierpi´nski gasketで は 存 在 す る ．

定 理 ３ ．C を w(0) = 0, lim

t→∞w(t) =a を 満 た すF˜上 の 連 続 関 数 の 集 合 と す る ．こ の と き C上 の ボ レ ル 測 度 P で 以 下 を 満 た す も の が 存 在 す る ．

(i)a をhit す る 前 は P-確 率1 で self-avoiding (t = t な ら ば w(t)=w(t))．

(ii) P-確 率1で {w(t)|0t <∞}のHausdorff次 元 は1 よ り 大 ．

✸

一 般 に 高 次 元Sierpi´nski gasket上 のself-avoiding walkの く り こ み 群 は 高 次 元 空 間 上 の 力 学 系 に な る が ，定 理 ３ のHausdorff 次 元 は ，く り こ み 群 の あ る 不 変 領 域 の 中 の 唯 一 の 固 定 点 に お け る ヤ コ ビ 行 列 の 最 大 固 有 値 λ か ら(9) に よって 得 ら れ る γ を 用 い て ，1/γ に な る ．Hausdorff次 元 が1よ り 大 き い と い う こ と は 無 限 に 細 か い ぎ ざ ぎ ざ が あ る こ と を 意 味 す る が ，く り こ み 群 で は こ の よ う に ，ぎ ざ ぎ ざ の 様 子 が ヤ コ ビ 行 列 の 最 大 固 有 値 と し て 自 然 に と ら え ら れ る ．

定 理 １ に お け る (5) と 同 様 ，定 理 ３ の 証 明 も ，対 応 す る self-avoiding walkの く り こ み 群 に 基 づ い て ，命 題 ２(の 高 次 元 拡 張)を 経 由 し て 行 う[12, 16]．

Walk の 連 続 極 限 と し て 連 続 確 率 過 程 を 構 成 す る こ と は ， walk の 歩 数 が 大 き い と き の 漸 近 的 性 質 に 対 応 す る ．

定 理 ４ ．無 限pre-Sierpi´nski gasket F を 構 成 す る 単 位 正 三 角 形 の 頂 点 た ち の 集 合 を G と お き ，原 点 か ら 出 発 す る self- avoiding walk w : Z₊ →G で ，各 時 刻 毎 に 前 の 時 刻 の 隣 の 点

に 移 る も の の 集 合 をW⁽⁰⁾ と す る ．正 整 数k に 対 し て ，W⁽⁰⁾ の 要 素 w で 総 歩 数 L(w) =k の も の の 上 の 一 様 分 布 を Pk と 書 く．こ の と き

k→∞lim(logk)⁻¹log E_Pk[|w(k)|^sγ ] =s, s∈R．

こ こ で γ は 定 理 ３ の 説 明 で 言 及 し た γ で あ る ． ✸ 定 理 ４ はmean square displacementの 指 数 がγで あ る こ と を 意 味 し ，Sierpi´nski gasketで 成 り 立 つ[11, 13]他 に3次 元Sierpi´nski gasketで も 成 り 立 ち[16]，ま た ，4次 元Sierpi´nski gasket上 の restricted modelで も 成 り 立 つ[31]．

定 理 ３ は く り こ み 群 の(適 切 な)固 定 点 が 見 つ か れ ば 証 明 可 能 だ が ，定 理 ４ は く り こ み 群 の 大 局 的 な 軌 道 解 析 が 本 質 的 で あ る ．こ の こ と を 説 明 す る た め に ，Sierpi´nski gasket 上 のself-avoiding walk の く り こ み 群 を 簡 単 に 紹 介 す る ．

1つ の 三 角 形 の 通 り 方 は1歩 で 通 り 抜 け る か 折 れ 曲 がって2 歩 で 通 る か2通 り で あ る ．Fnの Oか ら 2ⁿaま で のself-avoiding walk の う ち で2ⁿb を 通 る も の と 通 ら な い も の の 集 合 を そ れ ぞ れ Wn,1, Wn,2 と す る ．Path w に 対 し て ，単 位 三 角 形 の う ち 1歩 で 通 り 抜 け る も の の 個 数 を s1(w), 2歩 で 通 り 抜 け る

も の の 個 数 を s2(w)と し ，そ の 結 合 母 関 数 を

&

Φ_n = (Φ_n,1,Φ_n,2); Φ_n,i(x, y) =

w∈Wn,i

x^s1(w)y^s2(w), i = 1,2,

と お く．Fn の 各 単 位 三 角 形 を F1 と 合 同 な 図 形 で 置 き 換 え れ ば2⁻¹Fn+1 が 得 ら れ る こ と か ら ，(5) を 多 次 元 に し た

&

Φ_n(&z) =&Φ_n−1(Φ&₁(&z)), &z= (x, y), (10)

を 得 る ．こ れ が こ の 問 題 のく り こ み 群で あ る ．&Φ₁ は 具 体 的 に 数 え る と ，

&

Φ₁(x, y) = ((x+y)²+x²(x+ 2y),(x+ 2y)xy). (11)

総 歩 数L(w)を 固 定 し た と き の 振 る 舞 い はL=s1+ 2s2の 母 関 数 の 振 る 舞 い か らTauber型 の 定 理 を 経 由 し て 得 ら れ る か ら ，y =x² と し た Φ_n,i(x, x²) =

w∈Wn,i

x^L(w) を 調 べ た い ．（ こ の 場 合 の {(x, y)∈R+2 |y =x²} ⊂ R+2 の よ う な ，調 べ た い 部 分 集 合 をcanonical surfaceと い う．）

他 方 Φ&₁ の ，第 １ 象 限 に お け る 原 点 以 外 の 固 定 点 は(11) か ら &xc = (1

2(√

5−1),0) な の で ，canonical surface の 上 に は な い ．従って ，self-avoiding walkの 漸 近 的 性 質 を 調 べ る た め に は ，(10)で 定 ま る 力 学 系 の 軌 道 の う ち で ，canonical surface か ら 固 定 点&xc に 向 か う も の(critical surface)を 探 す 必 要 が あ

る ．こ の 意 味 で 固 定 点 だ け で は な く 大 局 的 な 軌 道 解 析 が 必 要 で あ る ．

d次 元Sierpi´nski gasketの 場 合 ，対 応 す る く り こ み 群 の 固 定 点 はR+[d/2]上 の く り こ み 群 の 固 定 点 と し て 与 え ら れ る ． Self-avoiding walkの 漸 近 的 性 質 が 次 元d に よって 著 し く 異 な る と 考 え ら れ て い る こ と か ら 考 え れ ば く り こ み 群 が d に よって 大 き く 変 わ る こ と は 不 思 議 な こ と で は な い け れ ど も ，self-avoiding walk は ，random walkと 異 な り，Sierpi´nski gasket に お け る 結 果 の 高 次 元Sierpi´nski gasketへ の 一 般 化 が 極 め て 困 難 で あ る こ と を 示 唆 す る ．

く り こ み 群 の 軌 道 の 振 舞 い か ら self-avoiding walk の 振 舞 を 得 る の は 短 い 話 で は な い が ，最 近 ，d次 元gasket上 のself- avoiding walkが 定 理 ４ の 漸 近 的 性 質 を 持 つ た め の 十 分 条 件 を く り こ み 群 の 言 葉（ あ る 不 変 部 分 空 間 に お け る 固 定 点 の 存 在 とcanonical surfaceか ら の 軌 道 の 収 束 ，お よ び 若 干 の 技 術 的 条 件 ）で 記 述 す る こ と が で き た[31]．Self-avoiding walk の 漸 近 的 性 質 の 問 題 を ，く り こ み 群 の 大 局 的 軌 道 解 析 の 問 題 と ，walkの 漸 近 的 性 質 へ の 翻 訳 の ２ つ の 問 題 に 分 離 し ，後 者 に つ い て は 解 決 し た こ と に な る ．裏 返 せ ば ，高 次 元Sierpi´nski gasket上 のself-avoiding walkの 性 質 が 空 間 次 元dに

強 く 依 る こ と は ，く り こ み 群 がdに よって 大 き く 変 わ る こ と を 示 す．こ の 意 味 で く り こ み 群 の 軌 道 解 析 が self-avoiding walk の 次 元 依 存 性 の 本 質 で あ る こ と が 分 かった ．

３ ．Sierpi´nski gasket，Sierpi´nski carpet上 の 非 等 方 拡 散 の 等 方 性 の 回 復 ．

マ ル コ フ 性 を 持 た な い 確 率 過 程 に お け る く り こ み 群 の 役 割 を 強 調 し た が ，フ ラ ク タ ル 上 で は 拡 散 過 程 に お い て も ，く り こ み 群 の 大 局 的 軌 道 の 解 析 が 重 要 な 現 象 が あ る ． 漸 近 一 次 元 拡 散 の 存 在 ，お よ び ，そ れ と 表 裏 一 体 の 関 係 に あ る 非 等 方 拡 散 の 等 方 性 の 回 復 と い う 現 象 の 発 見 に つ い て 説 明 す る ．

フ ラ ク タ ル 上 の 拡 散 過 程 の 研 究 で は こ れ ま で 対 応 す る く り こ み 群 の 固 定 点 に 対 応 す るrandom walkの 連 続 極 限 と し て 得 ら れ る も の が 主 に 考 察 さ れ て き た ．こ の 場 合 ，元 の フ ラ ク タ ル の 部 分 図 形 だ け に し か 遷 移 し な い（ 例 え ば 左 右 方 向 へ の 遷 移 の み が 許 さ れ る ）random walkに 対 応 す る 固 定 点 で は ，元 の フ ラ ク タ ル 上 の 拡 散 と は 言 え な い ．こ の た め ，固 定 点 に 対 応 す るrandom walkが 十 分 い ろ ん な 方 向 へ の 遷 移 を 可 能 に す る 条 件（ 非 退 化 固 定 点 で あ る こ と ） が 必 要 で あ る ．よ く 用 い ら れ るnested fractalと い う フ ラ ク

タ ル の 族 は ，random walk に 対 応 す る く り こ み 群 に 非 退 化 固 定 点 が 存 在 す る た め の 十 分 条 件 を 満 た す 族 と し て 定 義 さ れ た ．

と こ ろ で ，退 化 固 定 点 が 不 安 定 な 固 定 点 な ら ば そ れ に 基 づ い て フ ラ ク タ ル 全 体 に 広 が る 拡 散 が 構 成 で き る ．払 う べ き 費 用 は 自 己 相 似 で な い と い う こ と だ け で あ る ．こ の 拡 散 を 漸 近 一 次 元 拡 散 と 呼 ぶ[17]．

各 頂 点 で ，水 平(x軸 に 平 行 な)方 向 に 比 べ て 各 斜 め 方 向 へ の 遷 移 確 率 がr倍 で あ る よ う なpre-gasket F 上 のrandom walk を 考 え る ．例 え ば 水 平 方 向 の 辺 が1本 ，斜 め 方 向 の 辺 が3本 集 まって い る 頂 点 で は 水 平 方 向 へ の 遷 移 が 確 率1/(1 + 3r)，

そ の 他 の 方 向 へ は 確 率r/(1 + 3r)で 起 こ る ．こ れ ら に 基 づ い てF1 で2a を 最 初 に hit す る 確 率 と 2b を 最 初 にhit す る 確 率 を 計 算 し ，そ の 比 を と る こ と で ，相 対 確 率rn のrecursion と し て ，

rn+1 =f(rn), f(r) = 4r+ 6r²

3 + 6r+r² , (12) を 得 る ．f の 非 負 固 定 点 f(r) =r 0 は 0 と 1 で あ る ．r = 0 は 直 線 に 沿って のsimple random walkに 対 応 し ，r = 1は 等 方 的 なrandom walkに 対 応 す る ．ま た ，(12)か ら r0 >0 な ら ば

n→∞lim rn= 1と な る こ と ，即 ち 大 き な 距 離 で 眺 め る と 等 方 性 が

回 復 す る こ と が 分 か る ．他 方 ，連 続 極 限 を 取 る と き は ，細 か い 構 造 を 見 る の で ，上 記 を 逆 に 解 い て 得 ら れ る く り こ み 群 の 無 限 逆 軌 道 が 必 要 で あ る が ，n→ −∞で rn =O((3/4)⁻ⁿ) の よ う に 固 定 点 に 近 づ く 逆 軌 道 が 存 在 す る ．（(12) は (5) や (10) の よ う な 母 関 数 に 対 す るrecursion で は な い ．母 関 数 に 対 す るrecursionを 書 く た め に は ，多 次 元 空 間 の 上 の 写 像 を 考 え な い と い け な い[27]の で ，簡 単 の た め にrecursionが1次 元 に な る 相 対 遷 移 確 率 に つ い て 説 明 し た[17]．）

等 方 性 の 回 復 現 象 は 一 様 な 空 間R^dに は な い ，新 し い 現 象 で あ る[24]．ま た ，Sierpi´nski gasket だ け で な く， Sierpi´nski carpet と 呼 ば れ る フ ラ ク タ ル で も lim

n→∞rn が 初 期 値 r > 0 に よ ら な い 正 定 数 で 上 下 か らbound で き る こ と が 分 かって い る[25]．（Sierpi´nski carpet で は 対 応 す る く り こ み 群 が 無 限 次 元 に な る の で 問 題 は 難 し く な る が ，非 退 化 固 定 点 の 付 近 で 重 要 に な る 部 分 空 間 に く り こ み 群 のrecursionを 射 影 し て 得 ら れ る 不 等 式 を 立 て る こ と で 結 果 を 得 る こ と が で き る ．）

こ の よ う に 問 題 を く り こ み 群 力 学 系 の 軌 道 解 析 と し て formulateす る こ と で ，系 固 有 の 特 徴 的 な 現 象 を 見 抜 く こ と が で き る ．し か も ，単 にSierpi´nski gasket に 固 有 の 方 法 で は な く，普 遍 性 が あ る ．

４ ．4次 元hierarchical Ising modelの 臨 界 軌 道 の 存 在 ． く り こ み 群 の 軌 道 解 析 が 有 効 な の は フ ラ ク タ ル 上 の 確 率 過 程 だ け で は な い ．元々，く り こ み 群 の 描 像 は ，ス ピ ン 系 の 統 計 力 学 か ら 始 まった が ，そ の 分 野 で も く り こ み 群 に 基 づ く 数 学 的 な 解 析 が 行 わ れ て き た ．こ の 分 野 に 関 し て 次 の 研 究 に 関 わった ．

• 4次 元hierarchical Ising modelに お け るGauss測 度 に 収 束 す る block spin変 換 軌 道 の 存 在[29]．

フ ラ ク タ ル 上 の 確 率 過 程 と ス ピ ン 系 の 統 計 力 学 の よ う に 全 く 異 質 な 問 題 で あって も ，く り こ み 群 の 大 局 的 な 軌 道 解 析 が 本 質 的 で あ る と い う 一 貫 し た 視 点 が あ る こ と を 紹 介 し た い ．

集 合 Λをindexと す る 変 数(ス ピ ン 変 数)を ϕ={ϕ_i |i∈Λ} ∈ R^Λ の よ う に 書 く． R^Λ上 の 測 度

ρ(ϕ)dϕ=e^{−β2(ϕ,Cϕ)}e^−V(ϕ)dϕ

を 考 え る ． C は Λ×Λ の 行 列 で ，

(ϕ, Cϕ) =

i∈Λ

j∈Λ

Cijϕiϕj. β >0は 実 パ ラ メ ー タ．

Z^d上 の 強 磁 性 ス ピ ン 系 の 平 衡 系 統 計 力 学 と 呼 ば れ る モ デ ル で はΛ ⊂ Z^d で あ る ．最 も 素 朴 な モ デ ル の 場 合 は ， Cij = 1 (|i−j|= 1), = 0 (|i−j| = 1)，か つ ，e^−V(ϕ) =

i∈Λ

h(ϕi)と と る ．無 限 体 積 極 限Λ→Z^dに お け る ，大 き な ス ケ ー ル の 振 る 舞 い（ 例 え ば ，iと j が 大 き く 離 れ て い る と き のE[ϕiϕj ] の 振 る 舞 い ，な ど の 意 味 ）に 興 味 が あ る ．

h が ， ±1 の 付 近 に 最 大 値 を 持 つ 場 合 を 考 え る ．こ の 測 度 の 下 で の「 典 型 的 な 」sample ϕ は ，(ϕ, Cϕ) に よって iと j が 近 い と き は ϕi と ϕj が 近 い 値 を 持 ち ，遠 く な れ ば 相 関 は 小 さ い ，と 考 え ら れ る ．β が 大 き い と き は 遠 く ま で 値 が 近 い 可 能 性 が 大 き い が ，β が 0に 近 い と 各 ϕi は 殆 ど 独 立 で あ る ．そ こ で 途 中 の あ る 値 βc で ，「ϕi の 値 は 遠 く ま で 近 い が ， 全 体 と し て は 異 な る 値 が 混 在 す る 」の が 典 型 的 なsampleと な り う る ．こ の よ う な ϕ: Λ→R (configuration)と し て ，「+の 海 の 中 に 大 き な −符 号 の 陸 が い く つ か あ り，そ の そ れ ぞ れ の 中 に か な り 大 き な+符 号 の 海 が あって ，そ れ が 小 さ な ス ケ ー ル ま で 繰 り 返 さ れ る 」と い う フ ラ ク タ ル 的 な 構 造 が 考 え ら れ て き た ． βc の 近 く で は ，あ ら ゆ る ス ケ ー ル の 構 造 を 持 つ configuration が 典 型 的 だ ろ う．こ こ に く り こ み 群 解 析 の 可 能 性 が あ る ．

ス ピ ン 系 の く り こ み 群 解 析 で 標 準 的 に 行 わ れ る ス ケ ー ル 変 換 はblock spin変 換 で あ る ．こ れ は ，正 定 数 a（ 波 動 関 数 の く り こ み ）とΛ ⊂Λ で ラ ベ ル さ れ たΛ の ブ ロック 分 割

Λ =

i∈Λ

B_i

が 与 え ら れ た と き ，R^Λ ×R^Λ 行 列B = (Bii)を

(Bϕ)_i =a

i∈^B_i

ϕi (13)

で 定 義 す れ ば ，

(Rρ)(ϕ) =e^{−12(ϕ,(RC)ϕ)}e^−(RV)(ϕ)=

δ(ϕ−Bϕ)ρ(ϕ)dϕ (14)

で R^Λ 上 の 確 率 測 度 か ら R^Λ 上 の 確 率 測 度 へ の 写 像 R を 考 え る こ と で あ る ．

Z^d上 の ス ピ ン 系 で は ，元 のe^−V がsingle site measureの 直 積 で も ，e^−RV は そ う で は な く な る（ フ ラ ク タ ル と し て み た と き にinfinitely ramifiedで あ る こ と に 対 応 す る ）．一 般 に Z^d 上 の ス ピ ン 系 の く り こ み 群 は 非 常 に 難 し い ．

(14)で 直 積 測 度 が 直 積 測 度 に 写 る モ デ ル と し てhierarchical model が 知 ら れ て い る[1, 3, 4]．L を 自 然 数 ， Λ_L = {0,1}^L = {i= (iL,· · ·, i2, i1)|ik = 0,1, k= 1,2,· · ·, L} と し ，

(ϕ, Cϕ) = (ϕ, CLϕ) =−

L

n=1

c

4

_n

iL,...,in+1

in,...,i1

ϕiL,...,i1

₂

,

か つ ， e^−V(ϕ) =

i∈ΛL

h(ϕi) と とった と き ，hierarchical model と い う．

Hierarchical modelに つ い て ，block spin変 換(13) と し て ，

ϕ_τ =

√c 2

i1=0,1

ϕτ i1, τ = (τL−1, ..., τ1),

を 選 び ，RC =CL−1 と お く と ， Rh(x)∝exp(β

2x²)

R

h(√x

c+y)h(√x

c−y)dy, x∈R, (15) を 得 る ．こ こ でe^−(RV)(ϕ) =

i∈Λ

(Rh)(ϕ_i) と お い た ．こ の よ う に ，hierarchical modelで は ，く り こ み 群 はR上 の 測 度 の 集 合 の 上 の 力 学 系 にreduceす る ．

Hierarchical model の く り こ み 群(15)は Gauss測 度 hG(x) ∝ exp(−1

4x²) を 固 定 点 に 持 つ ．こ の と き の Z^dの 場 合 と の 対 応 か ら ，ϕ のnormalization を β =c⁻¹ −2⁻¹ で 定 め る とc= 2^1−2/d に よって hierarchical modelに お け る d が 決 ま る ．

く り こ み 群 の 軌 道hN =R^Nh0,N = 0,1,2,· · ·,の 解 析 に 関 し て は ，特 にGauss固 定 点 hG の 近 傍 で 詳 細 に 調 べ ら れ て き た [3, 4]．他 方 ，hG か ら 離 れ た 領 域 は ，d= 3 に お け る 非Gauss 固 定 点 の 存 在 証 明 が あ る[18, 19]が ，他 に は ほ と ん ど 分 かっ て い な い ．d4で は hG か ら 離 れ た 点 か ら 出 発 し て も 単 位 分 布 以 外 に 収 束 す る 軌 道 はhG に 収 束 す る と 予 想 さ れ て き

た(triviality)．こ の 問 題 に 関 し て ，次 の 結 果 を 得 た[29]．

定 理 ５ ．s0を パ ラ メ ー タ と す る R上 の 測 度 の 族

hI,s(x) = 1

2(δ(x−s) +δ(x+s)), (16) をsingle site measure h と す る hirarchical model (hierarchical Ising model) に つ い て ，d4 な ら ば あ る sc >0が 存 在 し て ，(15) の く り こ み 群 軌 道R^N(hI,sc) はN → ∞の と きGauss固 定 点 hG

に 弱 収 束 す る ． ✸

Hierarchical Ising measure は Gauss measure と は 大 き く 異 な る ．Hierarchical model に お い て ，ガ ウ ス 固 定 点 近 傍 の 外 側 か ら の 大 局 的 な 軌 道 の 厳 密 な 追 跡 に 成 功 し た の は 初 め て で あ る ．

参 考 文 献

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