(arXiv:1403.3179) Diederich{Fornaess 指数の局所的な表示公式 Levi 平坦面の囲む領域における

Levi 平坦面の囲む領域における

Diederich–Fornaess 指数の局所的な表示公式 (arXiv:1403.3179)

足立真訓

名大・多元数理

2014年3月16日

日本数学会2014年度年会函数論分科会

背景: Levi 問題

複素多様体内の領域の正則凸性⇐=境界の微分幾何的条件？

(Grauert) 強擬凸性(Levi形式が正定値)が十分. 擬凸性(Levi形式が半正定値)が必要だが, 十分でない. 特に, Levi平坦(Levi形式がゼロ)の時.

例: 正則円板束

Σ: 種数≥2の閉リーマン面, ρ:π₁(Σ)→Aut(D): 表現. Xρ:=D×CP¹/∼. ただし, (z, ζ)∼(γz, ρ(γ)ζ) for γ ∈π1(Σ).

Xρ⊃ Dρ:=D×D/∼^は Levi 平坦境界の領域. Imageρ⊂U(1)で稠密=⇒ O(Dρ) =C.

ρ=Id=⇒ Dρは正則凸, さらに 武内1擬凸.

武内1擬凸性

∂Ω :C²のとき, 境界距離δについてΩが武内1擬凸

:⇐⇒ ∃ δ: ΩのC^{2級境界距離}, ω: X のHermite計量, ε >0, i∂∂(−logδ)> εω >0 near∂Ω.

着目点：Brunella の定理 (2008)

X: 複素多様体, Ω⋐X: 領域, ∂Ω :C^2,α Levi 平坦. Levi 葉層が近傍上の正則葉層に拡張するとき,

∂Ωの法束N^1,0(:=T^1,0X|∂Ω/T^1,0∂Ω)が正

=⇒ Ωは1擬凸, とくに正則凸. (実はさらに武内1擬凸) 観察

∂Ω :C³のとき, 逆にΩが武内1擬凸 =⇒ N^1,0が正.

(∵)「i∂∂(−logδ)> εω」−→^境界へ「i∂_b∂_b(−logh_δ)> εω|T^1,0∂Ω」 (∂_b, ∂_bはT^1,0∂Ω方向(葉方向)の正則, 反正則微分作用素を表す.)

Brunella の対応「武内1擬凸 ⇐⇒ N^1,0 >0」を定量化して理解したい. 問題

Levi 平坦面の補集合上の武内1擬凸な境界距離δについて, δの局所 Diederich–Fornaess指数と, 法束のh_δの曲率の関係？

局所 Diederich–Fornaess指数

X: 複素多様体, Ω⋐X: 領域, ∂Ω: C², δ: 境界距離.

p ∈∂Ωに対し, 局所Diederich–Fornaess指数を次で定める. ε_DF(δ,p) := sup{0, ε∈(0,1)| ∃U ∋p,i∂∂(−δ^ε)>0onΩ∩U}. また, ε_DF(δ) := inf_p∈Mε_DF(δ,p), ε_DF(Ω) := sup_δε_DF(δ).

(大沢–Sibony, 1998)δが武内1擬凸な境界距離 ⇐⇒ ε_DF(δ)>0.

主結果

X: 複素多様体, Ω⋐X: 領域, ∂Ω: C³級 Levi 平坦.

δ: 武内1擬凸な境界距離, h=h_δ: 法束N^1,0に誘導される計量.

=⇒εDF(δ,p) = sup{ε∈(0,1)|iΘh(p)− ε

1−εiAh(p)>0}, p∈∂Ω.

ただし, iΘ_h:=i∂_b∂_b(−logh), iA_h:=i∂_blogh∧∂_blogh.

とくに dimX = 2のとき, ε_DF(δ,p) = (

1 +_i^iA_Θ^h(p)

h(p)

)₋1

.

cf. 先行結果・最近の結果との比較

Herbig–McNeal (2012): X =Cⁿの一般領域, ユークリッド距離. Biard (2013): C²級擬凸領域, 下からの評価.

Fu–Shaw (preprint): C²級擬凸領域, 下からの評価.

例 (正則円板束)

Σ: 種数≥2の閉リーマン面, ρ:π₁(Σ)→Aut(D): 表現. DId:=D×D/∼, ただし (z, ζ)∼(γz, γζ) for γ ∈π₁(Σ).

δ(z, ζ) = 1− ζ−z

1−zζ ².

hδ(z,e^iθ) = 2 1− |z|²

|e^iθ−z|². iΘ≡iA, ε_DF(δ,p)≡1/2 (=ε_DF(DId)).

(cf. Fu–Shaw (preprint), A.–Brinkschulte (preprint)).

問題

T(Σ)∋[ρ]7−→ε_DF(Dρ)∈(0,1/2]はどのような函数か？

ご清聴ありがとうございました. 詳細は, arXiv:1403.3179, 1月の函数論 シンポジウムの予稿をご覧下さい.

まとめ

1 武内1擬凸な補集合を持つLevi 平坦面を詳しく知りたい.

2 Levi 平坦面の補集合の武内1擬凸性は, 法束の正値性と対応する.

3 Diederich–Fornaess 指数は, 武内1擬凸性を測る.

4 Diederich–Fornaess 指数は, 法束の2種類の曲率の比で決まる.

5 この指数の Teichm¨uller 空間上の汎関数としての性質を知りたい.