p 進モジュラー形式の COLEMAN 変形族とゼータ元

p

進モジュラー形式の

COLEMAN

変形族とゼータ元

落合理(大阪大学理学研究科)

Contents

1.

導入

—

主結果の説明

— 1

2.

言葉の説明

—

擬測度

,

指数写像

— 5

3.

証明や構成の大事な点

8

4. Coleman

変形の

2

変数岩澤理論への展望

9

References 11

1.

導入

—

主結果の説明

—

p

を奇素数として固定する

. Q

の代数閉包

Q

の複素埋め込み

ι

_∞

: Q , → C , p

進埋 め込み

ι

_p

: Q , → Q

p を固定する

.

Coleman

はその論文

[Col96], [Cole97a]

において

Coleman

変形と呼ばれる

Hecke

固 有カスプ形式の

p

進変形を構成した. Coleman変形は, ある意味ではそれ以前に知ら れていた肥田変形と呼ばれる肥田によるモジュラー形式の

p

進変形

(例えば, [Hid93]

を参照)の一般化と言える. 今回発表させていただいた仕事は,その

Coleman

変形の 円分変形において

Bloch-加藤の指数写像を p

進補間する

Coleman

写像の構成である.

この論説を通して次のことに触れたい

: (1)

言葉や状況設定の説明

.

(2) Coleman

写像に関する先行研究との関連

.

(3)

技術的なセールスポイントや注意点

. (4) Coleman

写像を構成する動機

.

証明は

,

込み入った不等式評価の積み重ねという感が強いので

,

本論文の単なる和訳 以上の意味のある説明は無理そうである

.

また

,

技術的な性格が強い仕事なので

,

こ の論説では証明の技術的な詳細については全く立ち入らず

,

本論文に書かないような 気持ち的なことや言葉の説明を補う論説とさせていただきたい

.

内容の詳細は本論文

[NOch16]

を参照されたい

.

先述のように

, Coleman

変形はそれ以前に存在した肥田変形の理論の一般化であ り

,

（粗くいうと）逆に

Coleman

変形でスロープを

0

に限定したものが肥田変形で ある.

f = ∑

_∞

n=0

a

_n

q

ⁿが

p

進モジュラー形式で,

f

が

p

における

Hecke

作用素の固有 ベクトルとなっているとする. このとき, ord_p

(a

_p

(f )) ∈ Q

≥0

∪ {∞}

を

f

のスロープ と呼び,

α(f) = ord

_p

(a

_p

(f ))

と記す.

f

が重さ

k

₀の通常の

(代数的な)Hecke

固有カス プ形式のときには

, 0 ≤ α(f ) ≤ k

₀

− 1

である

.

もともと

,

考えている

p

進モジュラー

1

形式に付随したフィルター

φ-加群の Newton polygon

の傾きに当たるので,スロープ という名前が付いている.

[Cole97b], [Cole97a]

によって

Coleman

変形族と呼ばれる

p

進モジュラー形式の変形 族を構成した

.

それを紹介するために

,

まず「重さ空間

(weight space)

」の中のアフィ ノイド空間を設定する

. p

と素な自然数

N

を固定する

.

以下で中心的な役割を演じるレ ベル

N

の重さ空間

W

N はリジッド解析空間であり

, W

N

( C

p

)

は

Hom (

( Z /N p Z )

^×

, C

^×_p

)

で添え字付けられる

C

pの中の

1

を中心とする半径

1

の開円盤

B (1, 1)

の

φ(N p)

個の コピーである

(

例えば

, [Cole97b, Sect. B1], [CM98, Sect. 1.4]

を参照のこと

).

また

, C

pの勝手な閉部分体

K

に対して

,

W

N

(K) = Hom

_cont

(lim ←−

_n

( Z /N p

ⁿ

Z )

^×

, K

^×

)

が成り立つ

.

定義

1.1. ω : µ

_p

( Z

p

) → Z

^×p を

Teichm¨ uller

指標

⟨⟨ ⟩⟩ : Z

^×p

→ 1 + p Z

pを, pro-p部分へ の射影

x 7→ x/ω(x)

とする. 勝手な整数

k

と勝手な

mod N

の

Dirichlet

指標

χ

に対し て, 指標

χ ⟨⟨ ⟩⟩

^k

∈ W

N

( C

p

)

あるいはその指標から定まる組

(χ, k)

を数論的点と呼ぶ.

重さ空間の中のアフィノイド部分空間

X

(k0,i)

[r]

を

X

(k0,i)

[r] := { ε

_N

ω

ⁱ

} × B [k

₀

, r] ⊆ W

N

で定まる中心が

k

0

∈ Z ,

半径

r ∈ p

^Zの

p

進閉円盤とする

.

アフィノイド空間

X

(k0,i)

[r]

上のリジッド解析函数の環を

A

_X(k0,i)[r]で記し

, A

_X(k0,i)[r]の中の

power bounded

な函 数たちのなす部分環を

A

_X⁰_(k

0,i)[r]で記す

. Coleman[Cole97b]

によって次の結果が知ら れている

:

定理

1.1 ([Cole97b]). f

を重さ

k

₀ レベル

Γ

₁

(N p),

スロープ

α < k

₀

− 1

の古典的な 意味での正規化された固有カスプ形式とする

. f

は

Neben

指標

ε = ε

_N

ω

^i−k0 を持ち

, p

の外では原始的であるとする

.

簡単のため

, f

のフーリエ係数はすべて

Z

pに入ると 仮定する

.

また

, i = 0

のときに限って

,

さらに

a

²

̸ = ε

_N

(p)p

^k0−1 を仮定する

(

ここで

, a

は

f

の

U

_p固有値とする

).

このとき

,

各自然数

n

で

,

半径

r

の

A

_X⁰_(k

0,i)[r]上で定義されて以下の条件たちをみた すリジッド解析函数

a

_nによる形式的な

q

展開

F =

∑

∞ n=1

a

_n

q

ⁿ

∈ A

_X⁰_(k

0,i)[r]

[[q]]

が存在して次をみたす

.

(1) k > α + 1

をみたす全ての整数

k ∈ X

(k0,i)

[r]

に対して

, k

での特殊化で得られ る形式的な

q

展開

F

k

=

∑

∞ n=1

a

n

(k)q

ⁿ

∈ Z

p

[[q]]

はレベル

N p,

重さ

k,

スロープ

α ∈ Q

≥0

,

指標

ε

_N

ω

^i−k を持つ古典的な意味での正規化されたある固有カスプ 形式

f

_kの

q

展開と一致する

.

2

(2)

重さ

k

₀での形式的な

q

展開

∑

∞ n=1

a

_n

(k

₀

)q

ⁿ

∈ Z

p

[[q]]

は

f

の

q

展開と一致する

. (3)

空間

X

(k0,i)

[r]

は

[Kis03, (5.2)]

の意味で

a

_p

-small

である

.

以下,

k

₀と十分小さな

r

を固定して,

X

(k0,i)

[r]

を省略して

X

と記す.

定理

1.2.

定理

1.1

の状況のもとで

, F

に付随する連続な

G

_Q,S作用を持つ階数

2

の自 由

A

_X⁰ 加群

T

が存在する

.

つまり

,

付随する表現を

ρ : G

_Q,S

−→ Aut

_A⁰

X

( T )

で記し

, k > α + 1

をみたす全ての整数

k ∈ X

の集合を

Z

で記すとき

,

任意の

k ∈ Z

で

ρ

の特殊化

ρ

_kは

f

_kに対する

Deligne-

志村の

p

進ガロワ表現

V

_fkと同型である

.

以下では,

V

_fkを短く

V

_kと略記する. また,

V = T ⊗

Zp

Q

pとおく. 定理

1.2

につい

ては

, Wiles

が

[Wil88]

において定義した意味での「擬表現」を構成すればガロワ表

現を構成できることが

[Wil88]

で示されており

,

よって知られた事実である

.

ただ

,

擬 表現の構成は完備局所環であることが大事である¹

.

アフィノイド代数は完備局所環 でないので

, Wiles

の議論をそのまま文字どおり真似するとまずいことに注意したい

.

Coleman

変形族に対する擬表現の構成は, 文献に構成が見当たらなかったので,我々

の論文

[NOch16]

の

Theorem 2.12, Corollary 2.13

でも定理

1.2

の証明を与えた.

以下が紹介したい論文

[NOch16]

の主定理である

(まだ,

定義されていない言葉も あるが次節で説明する

).

主定理

(Nuccio-Ochiai). X , V ∼ = A

_X^⊕2

, Z

を上の通り

, G

_cyc

= Gal( Q

p

(µ

_p∞

)/ Q

p

), Λ(G

_cyc

) = Z

p

[[G

_cyc

]]

とおく

.

このとき

,

次が成り立つ

.

(1)

階数

1

の自由

A

X 加群

D

が存在して, 勝手な

k ∈ Z

での

D

の特殊化が標準 的に

D

_k

:= D

_cris

(V

_fk

)

^φ=ap(fk)と同型になる

.

(2) Coleman

変形族

V

のスロープに等しいかスロープより大きな

h ∈ Z

≥0を固定

する

.

剰余ガロワ表現

ρ : G

_Q

−→ GL

₂

( F

p

)

の

G

_Qp(µp)への制限が既約である とする.

このとき, 一意的な

A

X

⊗ b Λ(G

_cyc

)

線型写像

EXP

_V

: D ⊗ b

_Zp

Λ(G

_cyc

) −→ lim ←−

_n

H

¹

(

Q

p

(µ

_pⁿ

), T ) ⊗ b

Λ(Gcyc)

H

h

(G

_cyc

)

が存在して

,

勝手な

k ∈ Z

と勝手な

1 ≤ j

なる数論的指標

χ

^j_cyc

ϕ : G

_cyc

−→Q

^×_p で, 次の図式が可換になる:

D ⊗ b

Zp

Λ(G

_cyc

) −−−−→

^EXPV

lim ←−

_n

H

¹

(

Q

p

(µ

_pⁿ

), T ) ⊗ b

Λ(Gcyc)

H

h

(G

_cyc

)

(k,χ^jcycϕ)

 

y   y

^(k,χjcycϕ)

D

_k

⊗ D

_dR

(χ

^j_cyc

ϕ) −−−→ H

¹

( Q

p

, V

_k

⊗ χ

^j_cyc

ϕ).

1実際, Wilesが元々考えていた肥田変形の場合は基礎環である肥田のHecke環は完備局所環であっ た.

3

ただし,

H

h

(G

_cyc

)

は

log

^h

-order

を持つ

G

_cyc上の擬測度のなす加群であり, 次 節において説明される. また,

E

_p

(f

_k

, j, ϕ) =

 

 

 



1 − p

^j−1

a

p

(f

k

) ϕ = 1, ( p

^j−1

a

p

(f

k

)

)

ordp(ϕ)

ϕ ̸ = 1.

とすると, 可換図式の底部の写像は,

( − 1)

^j

(j − 1)!E

_p

(f

_k

, j, ϕ)exp

^BK_V

k⊗χ^jcycϕ

で与えられる.

先行結果との関係を述べる

.

注意

1.1. (1)

肥田変形の場合には

,

今回の仕事の原型となる

2

変数

Coleman

写像

の理論

[Och03]

がある

.

肥田変形は重さ空間全体上の大域的な変形で

, Coleman

変形は重さ空間において局所的な変形である

.

また

,

肥田変形の構成は代数

的であり

, Coleman

変形は過収束

p

進モジュラー形式のなす

p

進

Banach

空

間での

p

進コンパクト作用素

U

_pの固有空間を張り合わせる解析的な構成で ある

.

このように

,

そもそも土台となる変形空間の構成が大きく違うが

,

本

主定理は

[Och03]

の主定理と見かけ上は酷似しており

,

その意味で

[Och03]

の

non-ordinary

な一般化であるとみなせる.

(2)

構成の技術的な側面でも, 今回の研究と先行研究

[Och03]

の手法は全く異な

る.

[Och03]

では, 一番本質的な部分で古典的な円単数の

Coleman

ベキ級数の

理論に帰着できた

.

このアイデアは

, Coleman

変形のような

non-ordinary

な ガロワ変形では全く意味をなさない

.

よって

,

我々の主定理を示す手法はむし

ろ

Perrin-Riou

の先行研究

[PR94]

と関係が深く

,

直接的なコサイクル計算に

基づいて構成している

.

(3) Perrin-Riou[PR94]

は

,

クリスタリンな

p

進ガロワ表現

V

に対して

,

円分塔

(cyclotomic tower)

で

Bloch-

加藤の指数写像

exp

^BK

V⊗χ^jcycϕ を補間する「

1

変数の

Coleman

写像」を構成した

.

本研究は

,

技術的には

, [PR94]

における

p

進ガロ ワ表現

V

を肥田変形や

Coleman

変形などのガロワ変形に置き換えた一般化 であるとも言える

.

そして

,

そのような変形への一般化が得られるためには

,

[PR94]

で曖昧にしても事足りた途中の函数方程式の解の分母の評価計算を全

て明示的にすることが本質的である

.

本研究では

,

そういった分母の評価と同

時に

, [PR94]

でわかりにくかった詳細を埋めて

,

洗練化した別構成を与える

ことにも努めた

.

(4)

さらに, 定式化の側面では,

[PR94]

の主定理を変形の状況にそのまま翻訳し ただけでは本質的にうまくいかないことにも注意したい.

[PR94]

の結果では,

D

_crys

(V )

全体上で定義された

exp

^BK

V⊗χ^jcycϕ を補間する. 今, もし

Coleman

変 形の中で

p

進ガロワ表現

V

f_k を変動させると

, D

crys

(V

f_k

)

全体上で定義された

exp

^BK

V_fk⊗χ^jcycϕの補間因子の分母は有界でない

.

また

, Coleman

変形に現れる

V

_fk

4

たちは必ずしもクリスタリンとは限らない. 本研究のアイデアは,

D

_crys

(V

_fk

)

全体を考えず, 部分空間

D

_cris

(V

_fk

)

^φ=ap(fk)に制限すると全てがうまく機能す るということである.

D

_cris

(V

_fk

)

^φ=ap(fk)の補間である階数

1

の自由

A

X 加群

D

は主定理の

(1)

で与えられているが, この

D

の構成は

Kisin [Kis03]

による

（

Coleman

写像とは全く無関係な動機で）構成したフィルター加群の変形空間

に依存している

.

この

D

上では分母は有界になるし

,

この定式化は

p

進

L

函数

と

Euler

系を結びつける将来的な応用とも相性の良い定式化である

. Kisin

に

よるフィルター加群の変形空間と

Coleman

写像の融合は

,

今までの

Coleman

写像の諸々の研究にはなかった新しいアイデアであるように思われる

. (5) [PR94]

の結果を

(Φ-Γ)

加群を用いた

“

別証明

”

が

Colmez, Cherbonnier, Berger

らによってなされている

([Colm98], [CC99], [Ber03]

を参照のこと

).

しかし

ながら

,

これは

, [PR94]

の

Coleman

写像の構成の完全な別証明というわけで

はなく

,

構成の一部分の別証明のように思われる

.

例えば

,

上述の主定理のよ うな擬測度

H

h

(G

cyc

)

を用いた

Coleman

写像を復元するには

,

現れる分母を評 価しなければならず,

[PR94]

のように具体的に計算して方程式を解く必要が ある.

(Φ-Γ)

加群で現れる

Robba

型の

p

周期環の構成だけでは

H

h

(G

_cyc

)

は復 元しなさそうである.

(6) Colmez, Cherbonnier, Berger

らの構成では

, Perrin-Riou

の結果のようなガ ロワ表現

V

に対するクリスタリンや

stable

の仮定は必要ない

.

また

,

クリス タリンや

semi-stable

でない悪い

V

_f を持つカスプ形式

f

でも

Beilinson–

加藤 元は全く同様に存在する

.

なので

,

例えば

, semi-stable

でない

bad reduction

を持つ楕円曲線の場合にも

, Colmez, Cherbonnier, Berger

らの結果の応用に よって

, Beilinson-

加藤の

Euler

系から

1

変数円分

p

進

L

函数が新しくできそ うに思える

.

しかしながら

,

上述のような理由で

,

この場合の

(Φ-Γ)

加群に よる

Colmez, Cherbonnier, Berger

らの構成を

, semi-stable

でない楕円曲線の

Beilinson–

加藤元に適用しても

, reduction

が悪い場合の

p

進

L

函数や岩澤主 予想ができるわけでもないようである.

H

h

(G

_cyc

)

に擬測度を持つようなよい

Coleman

写像を構成した本研究では, 古典的で地味な方法に基づいて分母を

正確に評価することが仕事の大きな部分を占める.

2.

言葉の説明

—

擬測度

,

指数写像

—

前節の仕事の紹介で, 定義を述べなかったり説明しなかった言葉がいくつかある.

定義や関連する事柄を簡単に説明しておきたい.

Bloch-

加藤の指数写像

: Fontaine

によって定義された

p

進周期の環

B

_cris

⊂ B

_st

⊂ B

_dR がある

. Q

pの絶対ガロワ群

G

_Qpの作用を持つ位相的

Q

p代数であり

, B

_dRは

de Rham

フィルトレーション

, B

cris

(resp. B

st

)

はフロベニウス作用素

(resp.

フロベニウス作 用素とモノドロミー作用素)などの付加構造を持つ. これらの環は

p

進

Hodge

理論の 比較定理などで大事な役割を演じる

(p

進周期環の定義については

[Fon94]

や同論文 の参考文献を参照のこと.

p

進

Hodge

理論についても同論文が収められた同じプロ シーディング

Ast´ erisque 223

内の他の論文を参照のこと

).

5

これらの環に対して, fundamental exact sequenceと呼ばれる以下の

G

_Qpの作用を 保つ完全列が

[BK90, Proposition 1.17]

などによって与えられた

.

(1) 0 −→ Q

p

−→

i

B

_cris

−−−−−−−−−→

^b

x7→

(

(1−φ)x,x

) B

_cris

⊕ B

_dR

/B

_dR⁺

−→ 0

[BK90, Remark 1.18]

において説明されたように

,

勝手な

p

進ガロワ表現

V

に対して

(1) ⊗ V

で得られる短完全列

:

(2) 0 −→ V −→ (B

_cris

⊗ V ) −→

^b⊗id

(

B

_cris

⊗ V ) ⊕ (B

_dR

/B

_dR⁺

⊗ V ) −→ 0

における全射

b ⊗ id

は連続な

Q

p線型切断を持つ. よって, ガロワコホモロジーをと ることで長完全列が得られる

.

定義

2.1. K

を

Q

pの有限次拡大

, V

を連続かつ

K

線型な

G

_Qp作用を持つ有限次元

K

ベクトル空間とする

. V

の

de Rham

フィルター加群

D

dR

(V ) = (B

dR

⊗

Qp

V )

^GQp を考 える

.

各自然数

n

に対して

,

上述のガロワコホモロジーの長完全列の連結写像として 得られる

K

線型写像

exp

^BK_V,Qp(µ

pn)

: D

_dR

(V ) ⊗ Q

p

(µ

_pⁿ

) −→ H

¹

( Q

p

(µ

_pⁿ

), V )

を

V

に対する

Q

p

(µ

pⁿ

)

上の

Bloch–

加藤の指数写像

(Bloch-Kato exponential map)

と 呼ぶ

.

G

を

G

m やアーベル多様体のような

Q

p上の可換

p

進

Lie

群

, V = T

_p

G ⊗

Zp

Q

pと すると

,

自然な

Kummer

写像により

, G( Q

p

(µ

_pⁿ

)) ⊗

_Z

Q

p

−→ H

¹

( Q

p

(µ

_pⁿ

), V )

がある

.

また

, D

_dR

(V ) ⊗ Q

p

(µ

_pⁿ

)

は

tan(G( Q

p

(µ

_pⁿ

)))

と同一視される

.

今

, [BK90, § 3]

などで 論じられているように次の可換図式がある

:

tan(G( Q

p

(µ

pⁿ

)))

exp^cl_G,Qp(

µpn)

−−−−−−−→ G( Q

p

(µ

pⁿ

)) ⊗

Z

Q

p

 

y   y

D

_dR

(V ) ⊗ Q

p

(µ

_pⁿ

) −−−−−−−→

exp^BK_V,Qp(µpn)

H

¹

( Q

p

(µ

_pⁿ

), V )

ただし

,

上の行の写像

exp

^cl_G,Q

p(µ_pn) は

p

進

Lie

群に対する古典的な指数写像であると

する

.

かくして

, Bloch–

加藤の指数写像は可換

p

進

Lie

群上の古典的な指数写像のガ

ロワ表現への一般化とみなすことができる

.

対数的分母を持つ擬測度の加群: ベキ級数環

Q

p

[[X]]

の中で次のような分母の増大度 が抑えられた良いクラスの元が大事な役割を演じる.

定義

2.2.

整数

h ≥ 0

に対して

,

次の加群

H

h

=

{ ∑

^∞

i=0

a

i

X

ⁱ

∈ Q

p

[[X]] inf {

ord

p

(a

i

) + hℓ(i) }

i∈Z≥0

> −∞ }

6

を考えて,

H

h の元を対数的次数

h

を持つベキ級数と呼ぶ. また,

h ≤ 0

のときは

H

h

= H

0と定める. ただし,

i ∈ Z

≥0に対して,

ℓ(i)

は

p

^j

> i

をみたす最小の整数

j

と して定まる. 同値な言い方として以下のようにも

ℓ(i)

を定義できる:

ℓ(0) = 0 and ℓ(i) =

⌊ ln(i) ln(p)

⌋

+ 1 if i ≥ 1.

H

hの元となるベキ級数の係数の分母の

p

進付値は対数的

p

進付値

hℓ(i)

より速く は増えないので

,

勝手な

h ∈ Z

で

, H

hのベキ級数は

C

pの中の開球

B(0, 1)

において 収束し

,

値を考えることができる

.

h = 0

のとき（つまり

ordinary

のとき）には特に馴染みがあるかもしれないが

, f (X) ∈ Q

p

[[X]]

に対して

(3)

 



ψ ◦ ϕ = 1,

ϕ ◦ ψ(f)(X) =

¹_p

∑

ζ^p=1

f (

ζ(1 + X) − 1 )

をみたす

ψ

作用素

ψ : Q

p

[[X]] −→ Q

p

[[X]]

が一意に定まる

.

H

₀⁺

∼ = Z

p

[[X]]

の

X

への

g ∈ G

_cycの作用を

g · X := (1 + X)

^χcyc(g)

− 1

で定めること による

G

_cyc作用を

Z

p線型に

Λ(G

_cyc

)

作用に伸ばすことで

,

Λ(G

_cyc

) · (1 + X) = Z

p

[[X]]

^ψ=0

なる

Z

p同型がある

.

よく知られているように

, Λ(G

_cyc

)

は

G

_cyc上の

Z

p値の測度たち のなす加群である

. Λ(G

_cyc

) = Λ(Γ

_cyc

) ⊗

_Zp

Z

p

[( Z /(p))

^×

]

にも注意する

.

混乱を避ける ために

X

と異なる不定元

Y

をとることで, 非標準同型

Λ(Γ

_cyc

) ∼ = Z

p

[[Y ]]

がある. 同 様に

, H

h

(G

cyc

) ∼ = ( H

h

)

^ψ=0

, H

⁺_h

(G

cyc

) ∼ = ( H

⁺_h

)

^ψ=0なる

G

cyc 上の適当な増大度の分母 を持つ

Q

p値の擬測度たちの加群が定まる

.

u

を

1 + p Z

pの生成元とする. 各

j ∈ Z

≥0で,

ω

^[j]_n

= ω

^[j]_n

(Y ) = (

u

^−j

(1 + Y ) )

pⁿ

− 1

とおく.

l ≤ l

^′なる

l, l

^′

∈ Z

に対して,

Ω

^[l,l_n ^′]

= Ω

^[l,l_n ^′]

(Y ) =

l^′

∏

j=l

ω

_n^[j]

.

と定義する. また, Γ_cycを副有限群

G

_cycの

p-Sylow

部分群とする. Γ_cycは

1 + p Z

pと 同型であり,

G

_cyc

/Γ

_cycは位数

p − 1

の巡回群である.

命題

2.1. h

を非負整数として,

l

^′

− l ≥ h

なる

l, l

^′

∈ Z

をとる. このとき,

H

⁺0

(Γ

_cyc

)

加群の同型

H

⁺_h

(Γ

_cyc

) ∼ = lim ←−

_n

H

_h⁺

(Γ

_cyc

)/Ω

^[l,l_n ^′]

H

_h⁺

(Γ

_cyc

)

がある

.

係数拡大

⊗

Zp

Z

p

[( Z /p Z )

^×

]

をとることで

, H

⁺0

(Γ

_cyc

)

加群の同型

H

⁺h

(G

_cyc

) ∼ = lim ←−

_n

H

⁺h

(G

_cyc

)/Ω

^[l,l_n ^′]

H

⁺h

(G

_cyc

)

7

も得られる.

この結果は

, [NOch16]

でも論じられるが

,

本質的には

Amice

と

V´ elu

による結果で ある

.

ちょっと

,

わかりにくいかもしれないが

, h = 0

のときのときの命題

2.1

は岩澤 代数の一致の定理を表している

. h = 0

のとき

, H

⁺0

(Γ

cyc

)

は岩澤代数にほかならず

,

無限個の点で値を決めるとそのベキ級数が特徴付けられてしまうことが, Weierstrass の準備定理を用いて示される.

h > 0

のときは, 無限個の点で値を決めてもそのベキ 級数は必ずしも特徴付けられないが,

h

に比べて十分大きな幅の区間の全ての数論的 な点で値が特徴付けられれば

,

そのベキ級数が特徴付けられるのである

.

その意味で

,

適切な比喩であるかはわからないが

, H

h

(Γ

_cyc

)

の元は正則関数と

C

^∞函数の中間くら いの函数であるようにも思われる

.

[NOch16]

で論じた上の命題に関する様々な結果によって

,

次もわかる

.

系

2.1. h

を非負整数として

, l

^′

− l ≥ h

なる

l, l

^′

∈ Z

をとる

. 1

の原始

p

ベキ乗根のノル ム系

{ ζ

_p^m

}

m∈Z≥1を固定する

. ζ

が１の原始

p

ベキ乗根をわたる

∏

_l^′

j=l

∏

ζ

( K ⊗

Qp

Q

p

[ζ])

の中で

, z = (x

^[j]_ζ

)

j,ζ

∈ Z

が次で特徴付けられる部分集合

Z

を考えよう

:

(i)

任意の

σ ∈ G

_cycで

(x

^[j]_ζ

)

^σ

= x

^[j]_ζσ が成り立つ.

(ii)

各元

z

に依存する整数

δ = δ(z)

が存在して

,

任意の整数

j ∈ [l, l

^′

]

と任意の

1

の原始

p

ベキ乗根

ζ

に対して

, p

^n(ζ)h+δ

x

^[j]_ζ

∈ O

K

⊗

Zp

Z

p

[ζ]

が成り立つ

.

ここ で,

n(ζ)

は

ζ

^pn(ζ)

= 1

をみたす最小の整数である.

(iii)

任意の整数

j, j

^′

∈ [l, l

^′

]

に対して,

p

^n(ζ)h+δ

x

^[j_ζ^′]

≡ p

^n(ζ)h+δ

x

^[j]_ζ

⊗ { ζ

_p^⊗m^(j′−j)

}

m∈Z≥1

mod p

^n(ζ)

O

_K

⊗

_Zp

Z

p

[ζ].

なる合同がある

.

このとき

, σ ∈ G

cycを

ζ

_p^σm に送る自然な単射

Z

p線型写像

H

h

(G

cyc

) −→ ∏

l^′ j=l

∏

ζ

K [ζ]

は

Z ⊂ ∏

l^′ j=l

∏

ζ

K [ζ]

の上への同型を引き起こす

.

この結果が

, [NOch16]

の主定理

(2)

の写像の構成の最後の張り合わせの議論で大事 な役割を演じる.

3.

証明や構成の大事な点

フィルター加群の変形族:

Kisin[Kis03]

は, 過収束モジュラー形式のガロワ表現に対 して, Fontaine-Mazur予想を示すために,

D := (

( A

X

⊗ b

Qp

B

_cris⁺

)

^φ=ap(F)

⊗

AX

V )

G_Qp

なる対象を導入した. [Kis03]では, 与えられた

Coleman

変形族上で

D

が階数

1

の自 由

A

X 加群であることは明示的に述べたり示したりはしていないが, [NOch16]にお いては若干の議論と合わせて

D

が階数

1

の自由

A

X 加群であることや

D

が

A

_X⁰ 上自 由なガロワ安定格子を持つことなどを示している

.

8

D

の構成の元になるこの

Kisin

の仕事は, Hodge-Tate表現の変形族に関する

Sen

に よる一連の先駆的な仕事

[Sen72], [Sen73], [Sen80]

に基づいている. (Φ,

Γ)

加群や

de Rham

フィルター加群の変形族に関しても, Berger–Colmez[BC08]や

Bellovin[Be15]

の仕事がある

.

(1 − φ) F e = F

の解と分母の計算

: F ∈ H

hが与えられたとき

,

次の方程式を考える

.

(E

_F^h_;λ

) (1 − λφ

_H

) F e = F

この方程式の解

F e ∈ H

hの存在や,解

F e

の係数である

p

進数たちの分母を議論したい.

以下では,

t ∈ R

に対して, 函数

⌈ t ⌉

を

t

以上の整数の中で最小のものとして定める.

定理

3.1. h = ⌈− ord

_p

(λ) ⌉

とする

. F ∈ H

h が与えられたとき

,

上述の方程式

(E

_F^h_;λ

)

の解に関して次が成り立つ.

(1)

次の

2

条件のどちらかが成立するとき

,

方程式

(E

_F^h_;λ

)

は

H

hの中に解

F e

を持つ

: (a)

閉区間

[0, h]

の勝手な整数に対して

λp

ⁱ

̸ = 1

が成り立つ.

(b)

ある整数

j ∈ [0, h]

があって,

λp

^j

= 1

かつ

∆

_j

(F ) = 0

となる.

(2)

上の記述

(1)

における

(a)

の場合には, 方程式

(E

_F^h_;λ

)

の解

F e

は一意である.

(3)

上の記述

(1)

における

(b)

の場合には, 方程式

(E

_F;λ^h

)

の解

F e

は

Q

p

· log

^j

(1 + X)

の元による和をのぞいて一意である

.

(4) [NOch16]

で論じる

H

h上の

Banach

ノルムに関する

H

hの整部分を

H

_h⁺と記 す

. F ∈ H

_h⁺と仮定する

.

このとき

, p

と

h

のみに依存する

[NOch16]

で計算さ れた定数

c(h) ∈ Z

≤0 によって次が成り立つ

:

(a)

上の記述

(1)

における

(a)

の場合には, 方程式

(E

_F;λ^h

)

の一意的な解

F e

は

p

^c(h)

H

⁺h に入る.

(b)

上の記述

(1)

における

(b)

の場合には, 方程式

(E

_F;λ^h

)

の解

F e

で

p

^c(h)

H

⁺h

に入るものがある. また,

p

^c(h)

H

⁺h に入るすべての解は, ある

a ∈ Z

p に よって

F e + a · p

^2h−p

log

^j

(1 + X)

と表される.

このような方程式を解くことが

, EXP

_V の構成に密接に関係する

.

そのあたりの関 係は技術的な領域に踏み込むので省略したい

.

興味のある方は

[NOch16]

の

§ 5

を参照 されたい

.

4. Coleman

変形の

2

変数岩澤理論への展望

主定理では

Bloch–

加藤の指数写像を補間したが

, Bloch–

加藤の指数写像の数論にお ける重要性は

, L

函数の特殊値との結びつきである

.

例えば

, V = Q

p

(1) = lim ←− µ

_p^m

⊗

_Zp

Q

pのとき

, Kummer

理論より

H

¹

( Q

p

(µ

_pⁿ

), Q

p

(1)) = lim ←−

_m

Q

p

(µ

_pⁿ

)

^×

/( Q

p

(µ

_pⁿ

)

^×

)

^pm

⊗

Zp

Q

p 9

となる. 円単数

∑

g∈Gal(Qp(µp)/Qp)

ω

^a

(g)(1 − ζ

_p^g

) ∈ H

¹

( Q

p

(µ

_p

), Q

p

(1))

の

log

での値をみると,

log



 ∑

g∈Gal(Qp(µp)/Qp)

ω

^a

(g)(1 − ζ

_p^g

)



 = − L(ω

^a

, 1)

となる. かくして, Dirichlet

L

函数の特殊値と円単数が指数写像を介して結びつく.

log

は指数写像の逆写像であるから, Bloch–加藤の指数写像

exp

^BKによって円単数の

Euler

系と

L-value

が結びついていると言える.

幾何的なガロワ表現に対しては

, exp

^BKの

Kummer

双対である

exp

^BK,∗を考えるこ とも多い

. f

が重さ

k

の楕円カスプ形式

, V

_fが

f

に付随した

p

進ガロワ表現であると き,

f

の複素周期

Ω

^±_f

∈ C

を選ぶごとに

exp

^BK,_V∗ ^∗

f(1−j),Qp

(z(j, Ω

^±_f

)) = L

(p)

(f, j) (2π √

− 1)

^j

Ω

_f

· δ

_f

をみたす

Beilinson–

加藤元

z(j, Ω

^±_f

) ∈ H

¹

( Q , V

_f^∗

(1 − j))

が加藤

[Ka04]

によって構成 された. ここで,

j

は

1 ≤ j ≤ k − 1

をみたす整数である. exp^BK,_V∗ ^∗

f(1−j),Qpの像は

1

次元

Q

pベクトル空間

Fil

⁰

D

_dR

(V

_f^∗

(1 − j))

であることに注意する

. δ

_f は

, f

から標準的に 定まる

Fil

⁰

D

_dR

(V

_f^∗

(1 − j ))

上の

Q

p基底である

.

Beilinson-加藤元の円分 Z

p拡大でのノルム系を考え, それに

Coleman

写像を施す

と, Manin, Amice–V´

elu

や

Vishik

らによって構成された

f

の

1

変数円分

p

進

L

函数 の

Beilinson-

加藤の

Euler

系を用いた別構成が得られる

.

一方で

, Beilinson–

加藤の

Euler

系は円分塔に伸びるので

,

円分塔上の

f

の

Selmer

群

Sel

_Af

( Q (µ

_p∞

))

の大きさが

Beilinson–

加藤の

Euler

系で抑えられる

.

このことから

, [Ka04]

の主結果として

,

「

f

が虚数乗法を持たない」などの適当な仮定のもとで

,

(4) (f

の

1

変数円分

p

進

L

函数

) ⊂ char

_Λ(Gcyc)

(Sel

_Af

( Q (µ

_p∞

)))

^∨

が得られた

.

つまり

,

モジュラー形式の岩澤主予想の等式の片方の包含関係が示さ れた

.

注意

1.1

でも述べたように

, [Och03]

では論文

[NOch16]

の主定理の

ordinary

な場合

（つまり

,

肥田変形の場合）の類似を得ていた

. Beilinson-

加藤元は

,

モジュラー曲線

Y

1

(N p

^r

)

のレベルの

p

ベキに関する射影系をなし

,

また肥田変形は

, Y

1

(N p

^r

)

のガロワ 表現のレベルの

p

ベキに関する射影極限である

.

よって

, Beilinson–

加藤元は肥田変 形

F

に延長される. [Och03]と

[Och06]

を

Beilinson–加藤元は肥田変形 F

への延長に 適用すると, Mazur, 北川, Greenberg-Stevensらが構成した

F

の

2

変数

p

進

L

函数の 別構成が得られる. 一方で, [Och05]の

Euler system bound

の理論によって, 円分塔 上の

F

の

Selmer

群

Sel

_AF

( Q (µ

_p∞

))

の大きさが肥田変形上の

Beilinson–

加藤の

Euler

10

系で抑えられる. これらの結果を総合して, (4)式の結果の

2

変数への一般化

(5) ( F

の

2

変数

p

進

L

函数

) ⊂ char

_H^n.o_F

(Sel

_AF

( Q (µ

p∞

)))

^∨

が得られた. ただし,

H

^n.o_F は肥田による

2

変数の

nearly ordinary

な

Hecke

環であり, これは

,

肥田変形に対する

2

変数岩澤主予想の等式の片方の包含関係を示した結果で ある

.

さて

, Coleman

変形は肥田変形の

non-ordinary

な一般化であるから

,

上で紹介した

[NOch16]

の主定理の応用として

, non-ordinary

な状況での

(5)

式の一般化をはじめと する「

Coleman

変形の

2

変数岩澤理論」の建設が期待される

.

実際

,

これが

[NOch16]

の主定理の動機であった

.

まず

, Coleman

変形に対する

2

変数の

Selmer

群の

Pontrjagin

双対はねじれ加群に ならない

.

よって

,

代数側でのこのような問題によって

(5)

の類似は期待できないこ とに注意する

.

一方の解析側では, Coleman変形上の

Beilinson-加藤の Euler

系がもしあったとす るならば, [NOch16]の主定理を施すことで, Coleman変形に対する

2

変数の

p

進

L

函 数が構成される.

Selme

群の

Pontrjagin

双対はねじれ加群でなくても, Coleman変形への

Euler

系の 延長がありさえすれば

, ordinary

のときとは違う形の岩澤主予想もおそらく定式化で きるだろう

.

大きな問題点は

, Coleman

変形は肥田変形のように単なる逆極限では得られない こと

, Coleman

変形の数論的な点上には

, “pointwise”

には

,

加藤によって

Beilinson-

加藤

Euler

系があるが

,

その

Euler

系の

Coleman

変形上への延長の存在は自明ではな

いことである

.

少なくとも

,

現時点では

Euler

系の延長に関する正しそうな証明は見 当たらない

.

ただ

, “pointwise”

には

Euler

系はあるので

,

「

Beilinson–

加藤の

Euler

系

の

Coleman

変形上への延長」は正当化できるかもしれない

.

この辺りの正確な結果

を確立し

, Coleman

変形の

2

変数岩澤理論を完成させるために次の一歩を進めたい

.

謝辞 今回声をかけていただいた尾崎学氏, 集会前と集会中にいろいろとお世話にな りました坂田裕氏に感謝申しあげます. また, 集会はどの講演も入念に準備されてい ていたのが印象的で

,

全体を通して非常に楽しませていただきました

.

ありがとうご ざいました

.

References

[Be15] Rebecca Bellovin.p-adic Hodge theory in rigid analytic families.. Algebra Number Theory 9, no. 2, pp. 371–433, 2015.

[Ber03] Laurent Berger. Bloch and Kato’s exponential map: three explicit formulas. Kazuya Kato’s fiftieth birthday. Doc. Math. Extra Vol., 99–129, 2003.

[BC08] Laurent Berger and Pierre Colmez. Familles de repr´esentations de de Rham et mon- odromie p-adique. Repr´esentations p-adiques de groupes p-adiques. I. Repr´esentations galoisiennes et (ϕ,Γ)-modules. Ast´erisque No. 319, pp. 303–337, 2008.

[BK90] Spencer Bloch and Kazuya Kato.L-functions and Tamagawa numbers of motives. InThe Grothendieck Festschrift, Vol. I, volume 86 ofProgr. Math., pages 333–400. Birkh¨auser Boston, Boston, MA, 1990.

11

[CC99] Fr´ed´eric Cherbonnier and Pierre Colmez. Th´eorie d’Iwasawa des repr´esentations p- adiques d’un corps local. J. Amer. Math. Soc., 12(1):241–268, 1999.

[CM98] Robert F. Coleman and B. Mazur. The eigencurve. InGalois representations in arithmetic algebraic geometry (Durham, 1996), volume 254 ofLondon Math. Soc. Lecture Note Ser., pages 1–113. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1998.

[Col96] Robert F Coleman. Classical and overconvergent modular forms. Invent. Math., 124(1- 3):215–241, 1996.

[Cole97a] Robert F. Coleman. On the coefficients of the characteristic series of the U-operator.

Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 94(21):11129–11132, 1997.

[Cole97b] Robert F. Coleman.p-adic Banach spaces and families of modular forms.Invent. Math., 127(3):417–479, 1997.

[Colm98] Pierre Colmez. Th´eorie d’Iwasawa des repr´esentations de de Rham d’un corps local.Ann.

of Math. (2), 148(2):485–571, 1998.

[Colm10] Pierre Colmez. Fonctions d’une variablep-adique.Ast´erisque, (330):13–59, 2010.

[Del68] Pierre Deligne. Formes modulaires et repr´esentations l-adiques. Number 355, pages 139–

172. Springer-Verlag, 1968.

[Fon94] Jean-Marc Fontaine. Le corps des p´eriodes p-adiques. Ast´erisque, (223):59–111, 1994.

With an appendix by Pierre Colmez, P´eriodesp-adiques (Bures-sur-Yvette, 1988).

[Hid93] Haruzo Hida.Elementary theory ofL-functions and Eisenstein series, volume 26 ofLon- don Mathematical Society Student Texts. Cambridge University Press, Cambridge, 1993.

[Ka04] Kazuya Kato.p-adic Hodge theory and values of zeta functions of modular forms. Coho- mologiesp-adiques et applications arithm´etiques. III. Ast´erisque No. 295, 2004. i [Kis03] Mark Kisin. Overconvergent modular forms and the Fontaine-Mazur conjecture.Invent.

Math., 153(2):373–454, 2003.

[NOch16] Filippo Nuccio, Tadashi Ochiai. Coleman map in Coleman families. arXiv:1606.04441 [math.NT]

[Och03] Tadashi Ochiai. A generalization of the Coleman map for Hida deformations. Amer. J.

Math., 125(4):849–892, 2003.

[Och05] Tadashi Ochiai. Euler system for Galois deformations. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 55(1):113–146, 2005.

[Och06] Tadashi Ochiai. On the two-variable Iwasawa main conjecture. Compos. Math., 142(5):1157–1200, 2006.

[PR94] Bernardette Perrin-Riou. Th´eorie d’Iwasawa des repr´esentations p-adiques sur un corps local. Invent. Math., 115(1):81–161, 1994. With an appendix by Jean-Marc Fontaine.

[Rib77] Kenneth A. Ribet. Galois representations attached to eigenforms with Nebentypus. In Modular functions of one variable, V (Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn, Bonn, 1976), pages 17–51. Lecture Notes in Math., Vol. 601. Springer, Berlin, 1977.

[Sen72] Shankar. Sen. Ramification inp-adic Lie extensions. Invent. math. 17, pp. 44–50, 1972.

[Sen73] Shankar. Sen. Lie algebras of Galois groups arising from Hodge-Tate modules. Ann. of Math. 97, pp. 160–170, 1973.

[Sen80] Shankar. Sen. Continuous cohomology and p-adic Galois representations. Invent. math.

62, pp. 89–116, 1980/81.

[Wil88] Andrew Wiles. On ordinary λ-adic representations associated to modular forms.Invent.

Math., 94(3):529–573, 1988.

12