概要
• Joao Luis Sobrinho, "Network Routing with Path Vector Protocols: Theory and Applications", in Proc. of SIGCOMM 2003, p49-60
• パスベクタ型ルーティングプロトコルの収束特性を 調べた
• プロトコルが収束するか
• どのような経路に収束するか
• optimal or local-optimal ( 最適 / 局所最適 )
• 代数学の枠組を使った
代数的構造
algebra 【名】代数学 { だいすうがく } 、代数 { だいすう } 代数学 代数系を研究する学問
代数的構造 集合に定まっている算法 ( 演算 ) や作用に よって決まる構造のこと。これを持つ集合を代数系 と呼ぶ。つまり、代数系とは集合 A とそこでの算法 の族 R の組 ( A, R ) のことを指す。具体的なさまざま な代数系から原理的な性質を抽出して抽象化・公理 化したものが、代数的構造。
出典：フリー百科事典『ウィキペディア (Wikipedia) 』
結論
• パスベクタ型プロトコルでは：
• 経路メトリック ( コスト ) が正の実数である時かつそ の時に限り、どんなネットワークでも収束する ( 単 調性 )
• 経路選択がノードごとに変わらない時かつその時に
限り、最適な経路が選択される ( それ以外は局所最適
経路 ) ( 等張性 )
応用
• shortest, widest, most-reliable, widest-shortest ルーティングは全て収束する
• IGRP の合成メトリックは単調であるが等張でない ため、最適経路に収束しない
• BGP peer relationship/policy-based routing の収束 の保証
• BGP peer relationship を考慮した上での backup path 計算方法とその変形で単調でない例
• QoS BGP は最適ではなく、局所最適でしかない
ALGEBRA
( W, , L, Σ , φ, ⊕, f )
W コスト値、メトリック値の集合 (weight) L リンクラベルの集合
Σ signature ( 経路の ID 、例 : BGP コミュニティ ) φ 経路が無いことを示す特殊な signature
weight の関係を示す関係記号
⊕ L と Σ を足す演算子、評価後の値は範囲 Σ f signature を weight に変換する関数
∀ 「あらゆる」、 Any の A をさかさまに、 \forall
ALGEBRA Properties: 極大性 (Maximality)
Maximality ∀ α∈ Σ −{φ} f (α) ≺ f (φ)
経路 signature の中で φ を除いた、あらゆる α に ついて、その weight は無経路 φ の weight より小 さい ( α は経路の signature )
つまり、無経路のコスト ( weight ) は ∞
ALGEBRA Properties: 吸収性 (Absorption)
Absorption ∀ l ∈ L l ⊕ φ = φ
リンクラベル L の中で、あらゆる l について、 l と無経路 φ の加算は無経路 φ となる ( l はリンク ラベル、つまりリンクのこと )
つまり、無経路がリンク上を伝搬しても無経路
のまま
ALGEBRA Properties: 単調性 (Monotonicity)
Monotonicity ∀ l ∈ L ∀ α ∈ Σ f (α) f (l ⊕ α)
Strict monotonicity ∀ l ∈ L ∀ α ∈ Σ −{ φ } f ( α ) ≺ f ( l ⊕ α ) 5
3
1
−3
α
l
5
5
0
0
ALGEBRA Properties: 等張性 (Isotonicity)
Isotonicity
∀ l∈L ∀ α,β ∈ Σ f ( α ) f ( β )
⇒ f ( l ⊕ α ) f ( l ⊕ β )
v における d への経路の優先順位が u でひっくり返るかどうか
ひっくり返らなければ等張
optimal v.s. local-optimal
d
v 2
d ’s op t
u v
2 d
’s op t
v 1 v 2
u
Proposition 1.
PROPOSITION 1 If the algebra is isotone as well as monotone, then there is an optimal path from node u to node d such that all of its subpaths with destination at d are optimal paths on their own.
背理法。
u
からd
へのパスに対して、u 1 u 2 ...u k ...d
はoptimal
だがu k ...d
はoptimal
でないノードu k
が存在すると仮定する。このoptimal
でな いu k ...d
をP
とし、u k
からd
へのoptimal
パスをu k u k+1 ◦ Q
とす る。明らかにu k 6= d
。monotonicity
からu i (1 ≤ i < k)
はQ
のノードに 成り得ない。ここからu 1 u 2 ...u k u k+1 ◦ Q
というパスが作り出せること がわかる。このようにu k u k+1 ◦ Q
をu k−1 u k u k+1 ◦ Q
のように伸ばし て行くとき、isotonicity
からこれは常にu k −1 u k ◦ P
よりweight
が少な い。これはu 1
まで伸ばせるので、f (s(u i ...u k u k+1 ◦ Q)) f (s(u i ...u k ◦ P )) (1 ≤ i < k)
が言える。これ は、u 1 ...u k ◦ P
がu 1
にとってoptimal
だったことと矛盾する。Proposition 1.
u 1
Q ′′ P ′′
Q ′ P ′
u i ?
u k
P
u k +1
u i ? Q
d
Proposition 2.
PROPOSITION 2 Given a monotonic algebra, every local-optimal-paths in-tree is an optimal-paths in-tree if and only if the algebra is isotone.
d
を根とする、optimal-paths in-tree
ではないlocal-optimal-paths in-tree T d
を想定する。すると、T d
に沿うパスがoptimal
でないか、もしくはノー ド自身がT d
に含まれないようなノードu
が存在するはずである。u = u n , u 1 = d
としたとき、部分パスが全てoptimal path
となるようなu...d
のoptimal path
をu n u n−1 ...u 1
で表す(
このようなパスの存在はProposition 1.
による)
。木T d
内のノードu k
の、木に沿うd
へのパスをP k
と表す。P i
がoptimal
でなかったりu i
がT d
に含まれないような最 小のインデックスi
を、optimal path u n ...u 1
から考える。P i−1
とu i−1 ...u 1
はどちらもoptimal path
である(
同一？)
。P i−1
はu i
のneighbor
からd
へのin-tree
に含まれる。monotonicity
から、P i −1
はu i
を含まない。f (s(u i−1 ...u i )) = f (s(P i−1 ))
であることとisotonicity
か ら、f (s(u i u i−1 ...u 1 )) = f (s(u i u i−1 ◦ P i−1 ))
。(
続く)
Proposition 2.
(
続き) f (s(u i u i−1 ◦ P i−1 )) 6= φ
なので、u i
はT d
に含まれなくてはならな い。このときf (s(u i u i−1 ◦ P i−1 )) ≺ f (s(P i ))
となるが、u i
のneighbor
からの木に含まれるoptimal path f (s(u i u i−1 ◦ P i−1 ))
が、local-optimal
であるのに選択されていないという矛盾が生じる。結果、T d
は
optimal-paths in-tree
である。Proposition 2.
algebra
がisotone
でなかったら、という場合を考える。そのとき、f (s(P )) f (s(Q))
だがf (l ⊕ s(P )) ≻ f (l ⊕ s(Q))
となる。パスQ
が 不利なのでパスP
が木(in-tree)
に含まれるが、これをu
まで伸ばす(uv
のリンクで延長する)
と、f (s(uv ◦ P )) = f (l ⊕ α) ≻ f (l ⊕ β) = f (s(uv ◦ Q))
となりoptimal
で ない。Convergence
ルーティングプロトコルが収束すれば、それはそれぞれの終点を根とする
in-tree
の集合となる。この証明は省略されているが、[7]
に似たような方法で証明できる。
monotonicity
が無かったら、パスベクタは収束しないことの例(Figure 3)
。また、
monotonicity
があってもstrict
でなければ、収束しない可能性がある。振動
(oscillate
、オシレート)
。strict monotone
はOK
、monotone
のみでは危険。ではmonotone
だけな場合 には何が収束の条件となるのか。→Freeness (
自由性)
Freeness
∀ cycle u n ...u 1 u0 ∀ w∈W −{f (φ)} ∃ 0<i≤n ∀ α∈Σ f (α) = w ⇒ f (l(u i , u i−1 ) ⊕ α) 6= w.
「
Freeness/Free
なネットワーク」とは、閉路(cycle)
の中を複数の(
同一weight
の)
パスが拡張/
延長されて行く場合に、少なくとも一つのパスについてweight
が増加されることを言う。strict monotonicity
は明らかにfreeness
をProposition 3.
PROPOSITION 3 If the algebra is monotone and the network is free, then, whatever the relative preference given to paths with the same weight, the path vector protocol converges.
８章で証明
Proposition 4.
同一
weight
の経路の相対的優先度が決まっているとき、monotone
でfree
なネットワークはこれを受け入れるのか、どれほど制約があるのか。
PROPOSITION 4 If the algebra is monotone and nodes prefer paths with minimum number of links among those with the same weight, then, whatever the network, the path vector protocol converges.
minimum number of link
ということをweight
として取り入れた新しい代数 系が構築できる。この新しい代数系はstrict monotone
であるため、全て のネットワークはfree
となり、パスベクタは収束する。Proposition 5.
PROPOSITION 5 The algebra is monotone if and only if there are relative path preferences for paths with the same weight that guarantee convergence of the path vector protocol in every network.
パスベクタは代数系が
monotone
な場合に限り、local-optimal-paths in-tree
に収束し、さらに代数系がmonotone
かつisotone
な場合に限り、optimal-path in-tree
に収束する。Checking convergence
いくつかの場合では、ラベルやシグネチャの特性を生かして収束の特性を調べ ることができるが、基本的には、しかし、総当たり
/
数え挙げをする必要がある。応用
• shortest, widest, most-reliable, widest-shortest ルーティングは全て収束する
• IGRP の合成メトリックは単調であるが等張でない ため、最適経路に収束しない
• BGP peer relationship/policy-based routing の収束 の保証
• BGP peer relationship を考慮した上での backup path 計算方法とその変形で単調でない例
• QoS BGP は最適ではなく、局所最適でしかない
Customer-provider and peer-peer relationship
BGP
のCommercial relationship
。BGP
での組織同士の関係は、「transit
を売 る」「transit
を買う」「対等にpeering
」のいづれか。peering relationship
があ るのに、買ってるtransit
にトラフィックを転送したくない、自分にtransit
を 売っている組織(
つまりいくらか上流)
宛てのトラフィックを転送(transit)
して あげてしまうのは、組織のポリシとミスマッチ。それらのポリシを、代数系の演算として表現。すると、「収束するのかどうか」
「収束させるためにはどうすればよいか」などが議論できる。
Customer-provider and peer-peer relationship
signature
⊕ ǫ c r p
c c c φ φ
label r r r φ φ
p p p p p
f (ǫ) = 0 f (c) = 1
f (r) = f (p) = 2
f (φ) = +∞
まとめ
• パスベクタ型プロトコルでは：
• 経路メトリック ( コスト ) が正の実数である時かつそ の時に限り、どんなネットワークでも収束する ( 単 調性 )
• 経路選択がノードごとに変わらない時かつその時に
限り、最適な経路が選択される ( それ以外は局所最適
経路 ) ( 等張性 )
おわり
以上
slide title
• 背景は frames 。アニメーションは Wipe 。
方程式は以下出示される。
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• 背景は frames 。アニメーションは Wipe 。
• Black-Scholes 方程式は以下出示される。
∂u
∂t + 1
2 σ 2 S 2 ∂ 2 u
∂S 2 + rS ∂u
∂S − ru = 0
