New approach to dimension formula using Jacobi forms
立命館大・理工 青木 宏樹 (Aoki Hiroki)
This is a brief introduction of my papers [Ao1, Ao2]. In [Ao1], we give a new elementary proof of Igusa’s theorem on the structure of Siegel modular forms of genus 2. In [Ao2], we give generators of the graded ring of Hermitian modular forms of degree 2 associated with Gaussian integers, including non-symmetric forms. In both papers, the key points are the estimation of the dimension of Jacobi forms appearing in the Fourier-Jacobi development of modular forms. If you want to know more details, see [Ao1, Ao2].
1 概説
Mk を重み k の保型形式全体のなす C-ベクトル空間とする. 特に, 保 型形式F ∈Mk は次の条件を満たすとする.
条件１ F (ω, z, τ) =±F (τ, z, ω)という変換規則を持つ. ここで,ω, τ ∈C であるが,zは多変数でも良い.（注：この条件はもう少し緩くできる）
条件２ F (ω, z, τ) =∑∞
m=0φm(z, τ) exp(2πimω) なるフーリエ-ヤコビ展 開により, ヤコビ形式への射影P1(m) :Mk ∋F 7→ φm ∈ Jk,m が定 まる.
以下 exp(2πi∗)をe(∗) と書くことにし, 特にp:=e(ω), q:=e(τ)と略記 する. 条件１は, 展開
F (ω, z, τ) =
∑∞ m=0
∑∞ n=0
gm,n(z)pmqn (1)
を用いると, gm,n(z) = ±gm,n(z) と書ける.
Mk のなかで, 特に F =∑∞
m=rφm(z, τ)pm という形の展開を持つもの 全体を Mk(r) と表すことにする. Mk =Mk(0) ⊃ Mk(1) ⊃ Mk(2). . . で あり, また,∩∞
r=0Mk(r) = {0} である. このとき,条件２は, 完全列 0−→Mk(r+ 1)−→Mk(r)P−→1(r)Jk,r
を導く. ここで,条件１を用いて,写像P1(m)の行き先を限定する. Jk,mの なかで,特にφ=∑∞
n=rgn(z)qn という形の展開を持つもの全体をJk,m(r) と表すことにする.
場合ａ F(ω, z, τ) = F(τ, z, ω) のとき
展開(1) において, gm,n(z) =gn,m(z) が成り立つ. よって, 完全列 0−→Mk(r+ 1)−→Mk(r)P−→1(r)Jk,r(r)
が得られ, これよりdimMk(r)≤dimMk(r+ 1) + dimJk,r(r). よって,次 の評価が得られる.
dimMk≤
∑∞ r=0
dimJk,r(r) (2)
場合ｂ F(ω, z, τ) = −F(τ, z, ω) のとき
展開 (1) において, gm,n(z) = −gn,m(z)が成り立つ. 特に, m = n なら gm,n(z) = 0 である. よって, 完全列
0−→Mk(r+ 1)−→Mk(r)P−→1(r)Jk,r(r+ 1)
が得られ, これより dimMk(r) ≤ dimMk(r+ 1) + dimJk,r(r+ 1). よっ て, 次の評価が得られる.
dimMk≤
∑∞ r=0
dimJk,r(r+ 1) (3)
(2)(3)により, dimMk はヤコビ形式の次元の無限和で上から押えられ
る. なお, ヤコビ形式の次元はEichler-Zagier [EZ]の方法で比較的容易に 上から押えることができる. 但し, この無限和は発散するかもしれず, 必 ずしも有効な評価であるとは限らない. しかし, これから述べる２例では この無限和は収束し,まさにMk の実際の次元と一致することが, 生成元 の具体的構成を行なうことにより確かめられる.
• 種数２のジーゲル保型形式の場合(Igusa’s theorem) (c.f. [Ao1])
• ガウス数体に関する種数２のエルミート保型形式の場合(c.f. [Ao2])
2 準備
個々の例を述べる前に, Eichler-Zagier [EZ] による弱ヤコビ形式の次元 の評価法をまとめておく. 保型形式のフーリエ-ヤコビ展開の係数として現 れるものは,尖点条件によりヤコビ形式となるが,今回の話においては,そ れよりも条件がやや弱い弱ヤコビ形式の範囲で調べるだけで十分である.
2.1 楕円モジュラ形式
H := {z ∈C|Im (z)>0} を複素上半平面, k ∈ Z とする. 正則関数 f : H→ C が次の条件を満たしているとき, f は重み k の楕円モジュラ 形式であるという.
(E1) f(τ) = (cτ +d)−kf(aτ+b
cτ+d
) ((a bc d)∈SL(2,Z))
(EF) フーリエ展開 f(τ) =∑
n∈Z
a(n)qn において, n <0では a(n) = 0.
重み k の楕円モジュラ形式全体のなす C-ベクトル空間を Mk と書くこ とにする. 特に, 条件(EF)において n < 0 のかわりに n < r としたも のをMk(r) と書くことにする. 楕円モジュラ形式全体のなす次数付き環 M∗ :=⊕
k∈ZMk の構造は既によく知られている. M∗ は C上代数的独立 な二つの元
e4(τ) =1 + 240q+O(q2)∈M4, e6(τ) =1−504q+O(q2)∈M6 によって生成され, Mk の次元は
∑
k∈Z
(dim Mk)xk= 1
(1−x4)(1−x6)
によって与えられる. また,
∆(τ) :=e4(τ)3−e6(τ)2 1728
= −1 6912πidet
(
4e4(τ) 6e6(τ)
d
dτe4(τ) dτde6(τ) )
=q
∏∞ n=1
(1−qn)24∈M12(1)
は,定数倍を除いて M12(1) の唯一の元であり, H上零点を持たない. よっ て, 同型
Mk(r)∋f(τ)7→∼ f(τ) ∆(τ)∈Mk+12(r+ 1) により
dim Mk(r) = dim Mk−12r
が得られる.
2.2 ２変数ヤコビ形式
k ∈Z, m ∈N0 :={0,1,2,· · · } とする. 正則関数 ψ : C×H→C が次 の条件を満たしているとき,ψ は重みk 指数 m の弱ヤコビ形式であると いう.
(J1) ψ(z, τ) = (cτ +d)−ke(−cτ+dmcz2)ψ( z
cτ+d,aτcτ+d+b)
((a bc d)∈SL(2,Z)) (J2) ψ(z, τ) = qmx2ζ2mxψ(z+xτ +y, τ) (x, y ∈Z),
ただしζ :=e(z)とする. (JF) フーリエ展開 ψ(z, τ) = ∑
n,t∈Z
a(n, t)qnζt において, n <0 では a(n, t) = 0.
重み k 指数 m の弱ヤコビ形式全体のなす C-ベクトル空間を Jk,m と書 くことにする. 特に, 条件(JF)において n < 0 のかわりに n < r とし たものを Jk,m(r) と書くことにする. Jk,m(r) の元のうち, テーラー展開 ψ(z, τ) = ∑∞
l=0fl(τ)zl において, l < s では fl = 0 となるもの全体のな すC-ベクトル空間をJk,m(r, s)と書くことにし,写像 P2(s)を ψ 7→fs と 定義する. なお, ψ がヤコビ形式であるとは, 条件(JF)において n < 0 のかわりに 4nm−t2 <0としたものである.
Eichler-Zagier [EZ]とまったく同様にして次の補題が示せる.（r = 0の ときがEichler-Zagier [EZ] の定理3.1 および定理 3.4 である. ）
補題 1. 重み k が偶数のとき, Jk,m(r,2m+ 1) ={0}. 重み k が奇数のと き, Jk,m(r,2m−2) = {0}.
証明 ψ(z, τ)∈Jk,m が 0でないとし,変数 τ を固定してψ を z の関 数と考えることにする. このとき, ψ の零点を通らない, 原点を内部に含 む積分路z →z+ 1→z+τ+ 1 →z+τ →z がとれる. この積分路の内側 の零点の個数は変換規則(J2)より容易に計算でき, 重複度を込めてちょ うど2m 個と求まる. よって ψ の z = 0 での零点の位数はたかだか 2m なのでJk,m(r,2m+ 1) ={0}. 重みk が奇数の時には,変換規則(J1)(J2) により ψ(1
2, τ)
= ψ(τ
2, τ)
= ψ(1+τ
2 , τ)
= 0となる. よって ψ の z = 0 での零点の位数はたかだか 2m−3なので Jk,m(r,2m−2) ={0}.
弱ヤコビ形式の次元は楕円モジュラ形式の次元を用いて上から押える ことができる. 写像P2(s) は完全列
0−→Jk,m(r, s+ 1) −→Jk,m(r, s)P−→2(s)Mk+s(r)
を導くので, dim Jk,m(r, s)≤dim Jk,m(r, s+ 1) + dim Mk+s(r). よって,定 理 1 より
dim Jk,m(r, s)≤
{∑2m
t=sdim Mk+t(r) (k :偶数)
∑2m−3
t=s dim Mk+t(r) (k :奇数) となる.
最後に, Eichler-Zagier の本の中から, 今後使ういくつかの(弱)ヤコビ 形式をあげておく.
ψ−2,1(z, τ) =−4π2z2+O(z4)∈J−2,1(0,2), ψ0,1(z, τ) =12 +O(z2)∈J0,1(0,0),
これらは, 重み −2,0, 指数 1 で定数倍を除いて唯一の弱ヤコビ形式であ る. また,
e4,1(z, τ) =e4(τ) +O(z2)∈J4,1(0,0), e6,1(z, τ) =e6(τ) +O(z2)∈J6,1(0,0),
は, 重み4,6,指数 1で定数倍を除いて唯一のヤコビ形式である.
3 種数２のジーゲル保型形式の場合
種数２のジーゲル上半空間は H2 :=
{
Z =tZ = (
ω z z τ
)
∈M(2,C)Im (Z)>0 }
によって定義される. シンプレクティック群 Sp(2,R) :=
{ M =
( A B
C D
)
∈M(4,R)tM J M =J, J = (
0 E2
−E2 0 )}
は
H2 ∋Z 7→M⟨Z⟩:= (AZ +B)(CZ+D)−1 ∈H2
によって H2 に推移的に作用し, det(CZ+D) はこの作用の保型因子に なっている.
Sp(2,Z) := Sp(2,R)∩M(4,Z)
はSp(2,Z)の粗な部分群である. 重みk∈Zに対し,正則関数F :H2 →C へのSp(2,R) の作用を
(F|kM)(Z) := det(CZ+D)−kF(M⟨Z⟩).
で定める. F が重み k のジーゲル保型形式であるとは, 任意の M ∈ Sp(2,Z) に対し, F|kM = F が成り立っていることである. この節では, 重みk のジーゲル保型形式全体をMk と書くことにする.
ジーゲル保型形式全体のなす次数付き環M∗ :=⊕
k∈ZMkの構造は1950 年代に, Igusa [Ig1, Ig2] により決定された.
定理 2. 種数２のジーゲル保型形式全体のなす次数付き環は, 重みが 4, 6, 10, 12, 35 の５つの元で生成される. 前者４つは代数的独立であり, 重み 35 の元の自乗は前者４つの元であらわされる.
この定理は, 今回の枠組を用いると, 非常に簡単に証明できる. ちょう ど, 重み偶数の場合が第１節の場合ａにあたり, 重み奇数の場合が第１節 の場合ｂにあたる. いずれにせよ, Jk,m にあたるものは, まさに第２節で
定義した弱ヤコビ形式になっている. したがって, 第１節, 第２節の評価 がそのまま使える.
場合ａ 重み偶数の場合 第１節,第２節より
dimMk≤
∑∞ r=0
dimJk,r(r)
≤
∑∞ r=0
∑2r t=0
dim Mk+t(r)
=
∑∞ r=0
∑r t=0
dim Mk−10t−12(r−t)
=
∑∞ r=0
∑∞ t=0
dim Mk−10t−12r よって
∑
k:偶数
(dimMk)xk
≤∑
k∈Z
∑∞ r=0
∑∞ t=0
(dim Mk−10t−12r)xk
≤∑
k∈Z
∑∞ r=0
∑∞ t=0
(dim Mk)xk+10t+12r
= (∑
k∈Z
(dim Mk)xk
) ( ∞
∑
r=0
x12r
) ( ∞
∑
t=0
x10t )
= 1
(1−x4)(1−x6)(1−x10)(1−x12)
となる. ただし, ここで記号「≤」は, 各辺を x についての形式的巾級数 と見て各項の係数ごとに「≤」が成り立っているという意味で用いた.
場合ｂ 重み奇数の場合 重み偶数の場合と同様にして
∑
k:奇数
(dimMk)xk ≤ x35
(1−x4)(1−x6)(1−x10)(1−x12)
となる.
結局,両方の場合をまとめると
∑
k∈Z
(dimMk)xk ≤ 1 +x35
(1−x4)(1−x6)(1−x10)(1−x12)
となり, この評価はまさに dimMk の次元になっている. この評価から Igusa’s theoremを導くには,実際に生成元を構成し,その代数的独立性を 調べねばならない. Igusa [Ig1, Ig2] では, 生成元はテータ級数を用いて構 成されている. しかし, 代数的独立性を見る場合には, 重み偶数の４つの 元については Saito-Kurokawa Lift を用いて構成すると証明が容易であ る. Eichler-Zagier [EZ] 定理6.2 に従って
E4(Z) :=Lift (e4,1(z, τ)) =e4(τ) +O(p)∈M4(0), E6(Z) :=Lift (e6,1(z, τ)) =e6(τ) +O(p)∈M6(0),
∆10(Z) :=Lift (∆(τ)ψ−2,1(z, τ)) = ∆(τ)φ−2,1(z, τ)p+O(p2)∈M10(1),
∆12(Z) :=Lift (∆(τ)ψ0,1(z, τ)) = ∆(τ)φ0,1(z, τ)p+O(p2)∈M12(1) と生成元を定める. もし, これらの元が代数的独立でなかったとすると, 各係数が 0でない関係式
∑
4bi+6ci+10di+12ei=k
aiE4biE6ci∆d10i∆e12i = 0
があることになる. ここでs := min{di+ei}およびt:= min{di |di+ei = s} と定めて psz2t の係数を見る. この係数は ei =s−t かつdi =t であ る項からしか発生せず,
∑
4bi+6ci+10t+12(s−t)=k
aieb4iec6i(−4π2∆)t(12∆)s−t = 0 が得られる. 即ち ∑
4bi+6ci+10t+12(s−t)=kaieb4iec6i = 0 となるが, これは e4 と e6 が代数的独立であることと矛盾する. よって E4, E6,∆10,∆12 は代 数的独立である.
重み 35 の生成元の構成法については, Igusa [Ig2] にあるテータ級数 を用いる方法のほか, Borchardsの無限積による方法 (Gritsenko [Gr])や Rankin-Cohen作用素を用いる方法 (Ibukiyama [Ib1, Ib3]) が知られてい る. 後の応用のため, Ibukiyama [Ib3] の結果を引用しておく.
定理 3. M∗ の重み 35 の生成元は, 重み偶数の生成元から次のようにし て構成できる.
∆35:= det
4E4 6E6 10∆10 12∆12
∂E4
∂ω
∂E6
∂ω
∂∆10
∂ω
∂∆12
∂ω
∂E4
∂z
∂E6
∂z
∂∆10
∂z
∂∆12
∂z
∂E4
∂τ
∂E6
∂τ
∂∆10
∂τ
∂∆12
∂τ
∈M35(2)
4 種数２のエルミート保型形式の場合
種数２のエルミート上半空間は H2 :=
{
Z ∈M(2,C) Z −tZ 2i >0
}
によって定義される. 群 Ω :=
{ M =
( A B
C D
)
∈M(4,C)tM J M =J }
は
H2 ∋Z 7→M⟨Z⟩:= (AZ +B)(CZ+D)−1 ∈ H2
によって H2 に推移的に作用し, det(CZ +D) はこの作用の保型因子に なっている. ガウス数体 K := Q(i) とその整数環 OK = Z[i] を考え, Γ := Ω∩M(4,OK) を Ω の粗な部分群とする. 重み k ∈ Z に対し, 正則 関数F :H2 →C へのΩ の作用を
(F|kM)(Z) := det(CZ+D)−kF(M⟨Z⟩)
で定める. F が重み k のエルミート保型形式であるとは, 任意のM ∈Γ に対し, F|kM =F が成り立っていることである. この節では, 重み k の エルミート保型形式全体をMk と書くことにする. iE4 ∈Γ であるから重 み k が奇数の時,Mk ={0} である. 重みk が偶数の時には
M+k :=
{
F :H2 →C:正則|(detM)k2(F|kM) =F (∀M ∈Γ) }
, M−k :=
{
F :H2 →C:正則|(detM)k2+1(F|kM) =F (∀M ∈Γ) }
と定義する. また, 条件F(Z) = F(tZ) が満たされているとき, F は対称 形式であると言う. 保型形式のなす空間の中で対称形式全体のなす部分
空間を, Msk のように右上にs をつけてあらわすことにする. 対称なエル ミート保型形式全体のなす次数付き環 Ms∗ :=⊕
k∈ZMsk の構造は1960年 代に, Freitag [Fr] により決定された.
定理 4. 種数２の対称なエルミート保型形式全体のなす次数付き環は, 重 みが 4, 8, 10, 12, 12, 16 の６つの元で生成される. 前者５つは代数的独 立であり, 重み 16 の元の自乗は前者５つの元であらわされる.
また,次数付き環Ms+∗ :=⊕
k∈ZMs+k の構造は1990年代に, Hermann [He]
により決定された.
定理 5. 次数付き環 Ms+∗ は, 重みが 4, 6, 8, 10, 12 の代数的独立な５つ の元で生成される.
一方,今回の方針を使うと, (非対称な部分も含む)エルミート保型形式 全体のなす次数付き環M∗ :=⊕
k∈ZMk の構造が決定できる.
定理 6. 種数２のエルミート保型形式全体のなす次数付き環は, 重みが 4, 8, 10, 12, 12, 16, 34 の７つの元で生成される. 前者６つは対称形式であ り, 重み34 の元の自乗は前者６つの元であらわされる.
Γ の元(あるいは部分集合)を
R:=
1 0 a b+ic 0 1 b−ic d
0 0 1 0
0 0 0 1
a, b, c, d∈Z
,
S :=
1 a+ib 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 −a+ib 1
a, b∈Z
,
T :=
T
[(
a b c d
)]
:=
1 0 0 0 0 a 0 b 0 0 1 0 0 c 0 d
( a b c d
)
∈SL(2,Z)
,
X :=
−i 0 0 0
0 1 0 0
0 0 −i 0
0 0 0 1
, Y :=
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0
と定義する.
補題 7. 群 Γ は, R, S, T, X および Y で生成される. よって det(Γ) = {±1} である.
証明 Γ がこれらの元と J とで生成されることは良く知られている. そして実際,
J =T [(
0 1
−1 0 )]
·Y ·T [(
0 1
−1 0 )]
·Y
である. 補題7 より
Mk=
M+k (k ≡0 (mod 4)) M−k (k ≡2 (mod 4)) {0} (k ≡1,3 (mod 4))
, Msk =
Ms+k (k ≡0 (mod 4)) Msk− (k ≡2 (mod 4)) {0} (k ≡1,3 (mod 4)) であることが分かったので, 以下 Mk の次元を調べるかわりに, M−k およ び M−k の次元を調べることにする. また,H2 の座標を
H2 ∋Z = (
ω z1+iz2 z1−iz2 τ
)
と定める. 偶数k および非負整数 r∈ N0 に対し, 補題7に従って変換規 則を具体的に書くと, 以下のようになる.
M+k(r) = {(M0)(M1)(M2)(M3)(M4a)(M5)} Ms+k (r) = {(M0)(M1)(M2)(M3)(M4a)(M5)(Ms)}
M−k(r) = {(M0)(M1)(M2)(M3)(M4b)(M5)} Msk−(r) = {(M0)(M1)(M2)(M3)(M4b)(M5)(Ms)} ただし
(M0) F :H2 →C は正則関数で,フーリエ-ヤコビ展開 F(ω, z1, z2, τ) =
∑∞ m=r
φm(z1, z2, τ)pm を持つ.
(M1) F (ω, z1, z2, τ) = F (ω+a, z1+b, z2+c, τ +d) (a, b, c, d∈Z) (M2) F (ω, z1, z2, τ)
=F (ω+ 2az1+ 2bz2 + (a2+b2)τ , z1+aτ , z2+bτ , τ) (a, b∈Z) (M3) F (ω, z1, z2, τ)
= (cτ +d)−kF (
ω−c(zcτ21+z+d22),cτz+d1 ,cτ+dz2 ,aτcτ+d+b )
((a bc d)∈SL(2,Z)) (M4a) F (ω, z1, z2, τ) = F(ω, z2,−z1, τ)
(M4b) F(ω, z1, z2, τ) =−F (ω, z2,−z1, τ) (M5) F (ω, z1, z2, τ) = F (τ, z1,−z2, ω) (Ms) F (ω, z1, z2, τ) = F (ω, z1,−z2, τ) である. 特に,展開
F(ω, z1, z2, τ) =
∑∞ m,n=0
∑∞ l1,l2=0
c(m, n, l1, l2)pmqnzl11z2l2,
において, 係数間には次の関係が成り立っていることを注意しておく. (M4a) ⇒ c(m, n, l1, l2) = (−1)l2c(m, n, l2, l1)
⇒ c(m, n, l, l) = 0 (l:奇数)
(M4b) ⇒ c(m, n, l1, l2) = (−1)l2+1c(m, n, l2, l1)
⇒ c(m, n, l, l) = 0 (l:偶数)
(M5) ⇒ c(m, n, l1, l2) = (−1)l2c(n, m, l1, l2)
⇒ c(m, m, l1, l2) = 0 (l2 :奇数) (Ms) ⇒ c(m, n, l1, l2) = (−1)l2c(m, n, l1, l2)
⇒ c(m, n, l1, l2) = 0 (l2 :奇数)
次に, ３変数の(弱)ヤコビ形式を定義する. 重み k ∈ Z, 指数m ∈ N0
およびr, s∈N0 に対し
J+k,m(r, s) :={(J0)(J1)(J2)(J3)(J4a)} Js+k,m(r, s) :={(J0)(J1)(J2)(J3)(J4a)(Js)} J−k,m(r, s) :={(J0)(J1)(J2)(J3)(J4b)} Jsk,m− (r, s) :={(J0)(J1)(J2)(J3)(J4b)(Js)}
とおく. ただし
(J0) φ:C2×H→C は正則関数で, 展開 φ(z1, z2, τ) =
∑∞ n=r
∑∞ l1=0
∑∞ l2=s
c(n, l1, l2)qnz1l1z2l2 を持つ. (J1) φ(z1, z2, τ) =φ(z1, z2, τ) (b, c, d∈Z)
(J2) φ(z1, z2, τ)
=e(2az1 + 2bz2+ (a2+b2)τ)φ(z1 +aτ , z2+bτ , τ) (a, b∈Z) (J3) φ(z1, z2, τ)
= (cτ +d)−ke(−c(zcτ21+z+d22))φ( z
1
cτ+d,cτz+d2 ,aτ+bcτ+d)
((a bc d)∈SL(2,Z)) (J4a) φ(z1, z2, τ) =φ(z2,−z1, τ)
(J4b) φ(z1, z2, τ) = −φ(z2,−z1, τ) (Js) φ(z1, z2, τ) =φ(z1,−z2, τ)
以上に対し当初の方針を適用するのだが,第１節の条件１の部分が少し異 なっているので,そこを注意して調べる必要がある. そのために
eJ+k,m(r, s) :={
φ∈J+k,m(r, s)|c(r, l1, l2) = 0 (l2 :奇数)} eJ−k,m(r, s) :={
φ∈J−k,m(r, s)|c(r, l1, l2) = 0 (l2 :奇数)} とおくと, 条件(M5)により, 完全列
0 −→ M+k(r+ 1) −→ M+k(r) −→ eJ+k,r(r,0) 0 −→ Ms+k (r+ 1) −→ Ms+k (r) −→ Js+k,r(r,0) 0 −→ M−k(r+ 1) −→ M−k(r) −→ eJ−k,r(r,0) 0 −→ Msk−(r+ 1) −→ Msk−(r) −→ Jsk,r−(r,0) が得られる.
次に, ３変数のヤコビ形式と２変数のヤコビ形式との関係を調べる. ３ 変数ヤコビ形式の, 変数z2 に関するテーラー展開
eJ+k,m(r, s)∋φ(z1, z2, τ) =
∑∞ l2=s
ψl2(z1, τ)z2l2
は, 写像eJ+k,m(r, s)∋ φ7→ ψs ∈ Jk+s,m(r,0). を導く. これにより, 次の完 全列が得られる.
0 → eJ+k,r(r, s+ 1) → eJ+k,r(r, s) → Jk+s,r(r, s) (s:偶数) 0 → eJ+k,r(r, s+ 1) → eJ+k,r(r, s) → Jk+s,r(r+ 1, s+ 1) (s:奇数) 0 → Js+k,r(r, s+ 1) → Js+k,r(r, s) → Jk+s,r(r, s) (s:偶数) 0 → Js+k,r(r, s+ 1) → Js+k,r(r, s) → 0 (s:奇数) 0 → eJ−k,r(r, s+ 1) → eJ−k,r(r, s) → Jk+s,r(r, s+ 1) (s:偶数) 0 → eJ−k,r(r, s+ 1) → eJ−k,r(r, s) → Jk+s,r(r+ 1, s) (s:奇数) 0 → Jsk,r−(r, s+ 1) → Jsk,r−(r, s) → Jk+s,r(r, s+ 1) (s:偶数) 0 → Jsk,r−(r, s+ 1) → Jsk,r−(r, s) → 0 (s:奇数) 以上の結果と第２節の結果により,エルミート保型形式の次元の上限を 計算することができる. 実際に計算した結果は,次のようになる.
補題 8. 次の表の左側に示されたエルミート保型形式の次元は右側の式を x で形式的巾級数に展開した時の xk の係数で上から押えられる.
Ms+k · · · 1
(1−x4)(1−x6)(1−x8)(1−x10)(1−x12) M+k · · · 1 +x44
(1−x4)(1−x6)(1−x8)(1−x10)(1−x12) Msk− · · · x10
(1−x4)(1−x6)(1−x8)(1−x10)(1−x12) M−k · · · x10+x34
(1−x4)(1−x6)(1−x8)(1−x10)(1−x12) Msk · · · 1 +x16
(1−x4)(1−x8)(1−x10)(1−x12)(1−x12) Mk · · · (1 +x16)(1 +x34)
(1−x4)(1−x8)(1−x10)(1−x12)(1−x12)
さて, 次元の評価が求まったので, 生成元を構成する. 対称形式につい ては, ジーゲル保型形式の場合と同様に, Maass Lift を用いる. ３変数ヤ コビ形式を
φ4,1 :=e4,1(z1, τ)ψ0,1(z2, τ)−e6,1(z1, τ)ψ−2,1(z2, τ)
=12e4(τ) +· · · ∈Js+4,1(0,0)
φ6,1 :=e6,1(z1, τ)ψ0,1(z2, τ)−e4(τ)e4,1(z1, τ)ψ−2,1(z2, τ)
=12e6(τ) +· · · ∈Js+6,1(0,0) φ8,1 :=∆(τ)ψ−2,1(z1, τ)ψ−2,1(z2, τ)
=16π4∆(τ)z21z22+· · · ∈Js+8,1(1,2)
φ10,1 :=∆(τ){ψ0,1(z1, τ)ψ−2,1(z2, τ) +ψ−2,1(z1, τ)ψ0,1(z2, τ)}
=−48π2∆(τ)(z12+z22) +· · · ∈Js+10,1(1,2) φ12,1 :=∆(τ)ψ0,1(z1, τ)ψ0,1(z2, τ)
=144∆(τ) +· · · ∈Js+12,1(1,0)
および
φ−10,1 :=∆(τ){ψ0,1(z1, τ)ψ−2,1(z2, τ)−ψ−2,1(z1, τ)ψ0,1(z2, τ)}
=−48π2∆(τ)(z12−z22) +· · · ∈Js10,1− (1,2) で定め,そこからの持ち上げを
G4 :=Lift (φ4,1)∈Ms+4 (0), G6 :=Lift (φ6,1)∈Ms+6 (0), G8 :=Lift (φ8,1)∈Ms+8 (1), G10 :=Lift (φ10,1)∈Ms+10(1), G12:=Lift (φ12,1)∈Ms+12(1), H10 :=Lift(
φ−10,1)
∈Ms10−(1).
とする. G4, G6, G8, G10, G12 が代数的に独立なことは,ジーゲル保型形式 の場合と同様に示せ, H102 = G210 −4G8G12 であることも容易に示せる. Hermannの定理（定理5）で述べたMs+∗ の生成元は G4, G6, G8, G10, G12
である. Freitagの定理（定理4）で述べたMs+∗ の生成元はG4, G8, H10, G12, G26, G6G10 であり, その間の代数的関係は (G6G10)2 = (G6)2(H102 + 4G8G12)である.
非対称なエルミート保型形式の構成は, Ibukiyama [Ib3] の結果の応用 である. 定理3にならって,重みkj の保型形式Fj (j = 1,2,3,4,5)に対し
[F1, F2, F3, F4, F5] := det
k1F1 k2F2 k3F3 k4F4 k5F5
∂F1
∂ω
∂F2
∂ω
∂F3
∂ω
∂F4
∂ω
∂F5
∂ω
∂F1
∂z1
∂F2
∂z1
∂F3
∂z1
∂F4
∂z1
∂F5
∂z1
∂F1
∂z2
∂F2
∂z2
∂F3
∂z2
∂F4
∂z2
∂F5
∂z2
∂F1
∂τ
∂F2
∂τ
∂F3
∂τ
∂F4
∂τ
∂F5
∂τ
と定義すると, 計算により
H44+ :=[G4, G6, G8, G10, G12]∈M+44
H44− :=[G4, G6, G8, H10, G12]∈M−44
H54:=[G4, G6, G8, G210, G12]∈M+54
は 0 でない歪対称な保型形式であることが分かる.
2G10H44+ =H54= 2H10H44− であるので,
H34:= H54
2G10H10 = H44+
H10 = H44− G10
とおくと, H542 ∈Ms+108 は Hermann の定理の中で唯一の表示 H542 =G210(G210−4G8G12)· · · ∈C[G4, G6, G8, G10, G12]
を持つことから, H34 は正則であることが分かる. この H34 が対称でない 保型形式の生成元である.
参考文献
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