PDF Sophia University Private Home Page Service

注意これは講義ノートではありません。計算の要点を抜粋しただけのものです。統計力学II (後期) 2006/12/8, 0915-1045@3-371

注意  これは講義ノートではありません。計算の要点を抜粋しただけのものです。

９-A 調和振動子の状態密度

調和ポテンシャルに閉じ込められた粒子ε =_hω

(

nx +ny +nz

)

(但し、エネルギーの原点を零点エネルギーが零になるようずらした) ε

~

0 の範囲の状態数は右図より三角柱の体積N

( )

ε =Vpyramid = ₆¹

(

ε _hω

)

³

なので、∴D

( )

ε ≈∂N ∂ε =¹₂ε²

( )

_hω ³

９-B 調和ポテンシャル中のボース粒子（次頁上図）

粒子数を積分で近似した式は、

N′ ⁼

∫

^∞

( ) ( )

⁼

( ) ∫∞ − − = ( ) ∫0∞ − − 2 0 3

2

0 B 3

2 1 1 2 1

1

µ µ β

β ε

β β ω

ε ε ε ω

ε

ε _x

e x d x e

d d f

D h h

βµ +

≡e−^x

X とおくと X <1なので、

( ) ∫

^{∞ ⋅}

(

^{+ + + +}

)

= 0

3 2 2

3 1

2

1 L

h x dx X X X X β ω

これを二回部分積分すれば、

( )

^⎜⎜_⎝^{⎛ − − − ⎟⎟}_⎠^⎞

−

= L

h ³

3 3 2 3

3 1 2 3

1 ^{βµ βµ βµ}

ω β

e e

e

( )

(

C

)

³

3 ω β

ζ

≤ h

低温にして行き、限界点µ =0（その温度をβ =β_Cとする）でも級数が収束してしまう。よって、

βC以下の温度で、N′<Nとなる。すなわち、ボースアインシュタイン凝縮が起こる。

・これがいわゆる 「アルカリ原子のレーザー冷却によるBEC」

・前回No.8の三次元の箱の中のボース粒子は、いわゆる「液体ヘリウムのBEC」 ９-C 二次元の薄板に閉じ込められたボース粒子

状態密度は、

( ) ( )

π ^{π ε ε π ε}

π

π k m ^d

d k d

k d k k d k k

d ⎟ = ⋅ ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

= _{2 2}

2

2 1

2 2 2

2

2 h

r

π ^dε m 2 h2

= より、D

( )

ε dε =S⋅Adε   但し、

2πh2

A= m , S =板の面積

これを使うと、

N

( )

∫

∫

∫

^{∞ −} ₋ ^{= ∞ −} ₋ ^{= ∞ −} ₋

= 0 ^{βε βµ} 1 0 ^{βε βµ} 1 β 0 ^βµ 1 ε

β β

ε

ex

x d A

e d A e

A d ⁼

∫

^∞

(

^{+ + +}

)

0

3

2 X L

X X x A d β

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − − −

−

= L

3 2 1

2 ^{2 3}

3

βµ βµ βµ

β

e e

e A

となるが、右辺は低温でも、µ →0とするといくらでも大きくなれる。

よって、この場合は、ボースアインシュタイン凝縮は起こらない。

注）実際、µ =0とすると右辺は、

4 L 4 4 4 4 4

4 3

4 4 4 4 4 4

4 2

1 4 4 3 4 4 2 1 3 2 1

+ + + + + + + + + + + + + + + +

= 16

1 15

1 14

1 13

1 12

1 11

1 10

1 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1

+L + + + + + + + + + + + + + + +

> 16

1 16

1 16

1 16

1 16

1 16

1 16

1 16

1 8 1 8 1 8 1 8 1 4 1 4 1 2 1 1 1

+L +

+ +

+

= 2

1 2

1 2 1 2

1 1 = 発散

９-D レポート ━ Excel でBECを起こそう。

nx

nz

ny

ω ε _h

問題：二次元調和 ポテンシャルでは どうなるだろうか？

注意これは講義ノートではありません。計算の要点を抜粋しただけのものです。統計力学II (後期) 2006/12/8, 0915-1045@3-371

三次元の箱に入れられたボース粒子： ^{′ =}

∫

0^∞ ₍ ⁻ε₎₋1 ε

µ ε

β d

e A

N

( )

=

∑

− −

≈

10 , 99 . 9

02 . 0 , 01 . 0 ,

0 1

Lε βε µ

ε e

1. まずk_BT =1, µ =−1としてExcelで和を計算してみる。

2. N′ A=1となるように µの値を調節して、その値µ

(

k_BT =1

)

をメモ。

3. 温度をk_BT =0.9くらいに下げて、N′ A=1となるようにµの値を調節してメモ。

4. どんどん温度を下げて行くと、µをいくら変えてもN′ A=1に出来なくなる。それがBEC温度。

９-E 古典的調和振動子との比較［復習］

( )

∑

^∞

=

+

= − 0

2 1

n

e n

Z ^βhω

(

²

)

sinh 2

1 1

2 1

ω β

ω β ω

β

h h

h ⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= ⁻ − ₋

e e

( )

(

^{log2sinh 2}

)

log _B

BT Z k T β_hω

k

F =− = ∴S =−∂F ∂T, E =F +TS, C=∂E ∂T, etc.

＊粒子がお互いに触れ合うかどうかが、古典統計か、量子統計かのわかれめ。

９-F 光子の状態密度S =1, m = 0, 群速度dω dk=c, µ =0

一辺Lの金属箱（空洞、導波管、あるいは“溶鉱炉”）の中に定在波が立っているとする。

（箱の表面は「節」、つまり表面では電場＝０）。すると、

電場は、^Er

( )

^rr,^t =^Er₀sin^kr⋅^rr⋅sinω^t

  となる。    但し、k_α =

(

π L

)

n_α

(

α =x^,y^,z^; n_a =^1,2,3_L

)

∴ _x^{2 2}_{y z}² n_x² n²_y n_z² c L

k k k c k

c = + + = + +

= π

ε _{h h h}  

ε より小さなエネルギーの状態数は、 n_x² n²_y n_z²

c L + +

> π

ε _h ^を満たす

(

nx,ny,nz

)

の数で、

( )

_{

{

3 3

8 1

3 3

4 8

2 1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

⋅

= π

ε π π ε ε π

3 h 2

1hr c L

n c

L

向 球 方

波 偏

N   となる。

９-G 光子の偏波モード数による縮退

前項で、同じ

(

nx,ny,nz

)

であっても、振動電場ベクトルの方向で二重に縮退している。

∴独立な電場Er₀

の方向は、進行方向kr

に対して直交する二つ ⇒ 二つの自由度

∴

( )

=

∂

=∂ ε ^Nε

D ²

3ε π π_⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ h c

L   ──単位エネルギー幅あたりの状態密度

注）光子をスピンを持った粒子と見ると、偏波方向による自由度は、スピン自由度に対応している。S

=1なので、本来、自由度は3であるはずなのであるが、m=0なので、質量の粗密波である縦波が存 在せず、自由度2となる。たとえば、(0,0,1)の波は下図の二つある。

９-H 単位振動数幅あたりの状態密度

光は振動数で扱うことが多いので、状態密度も「単位周波数幅」あたりで言うと、

( ) ( )

π _{ν ν}

ν ν ν

ν d

c d V

D = 8 ₃ ⋅ ²

∂

=∂N

となる。       

同じ関数名

D

を使って書くことが多いので注意が必要。

z

y

x x z

y

1/8

球の体積

古典

量子

注意これは講義ノートではありません。計算の要点を抜粋しただけのものです。統計力学II (後期) 2006/12/8, 0915-1045@3-371

１０-A 波の状態密度

三次元の箱に閉じ込められた波を考える。境界条件は、両端節とすると振幅は、

( )

r t E k r t Er r, = r₀sin r⋅r⋅sinω

      但し、 = n

(

= x,y,z; n_a =1,2,3_L

)

k πL α

α α

∴ _x^{2 2}_{y z}² n_x² n²_y n_z² c L

k k k c k

c = + + = + +

= π

ε _{h h h}

ε より小さなエネルギーの状態数は、 n²_x n²_y n_z²

c L + +

> π

ε _h を満たす

(

nx,ny,nz

)

の数 この不等式が球を表すことと、nrの成分は全て正であることから、

 

( ) ( )

{ ³

( )

³

8 1

6 3

4 8

1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

⋅

= π

ε π π

ε ε π

3 h 2

1hr c

L

n c

L

モード数

モード数

球

N ,

( )

ε ε

∂

= ∂N D

１０-B モード数

同じ

(

nx,ny,nz

)

に縮退している状態の数のこと。

・スピン縮退＝2S+1 (質量ゼロの粒子を除く)

・光子＝横波（水平偏波・垂直偏波）の二つ    

【余談】日本の地上波

TV

は水平偏波、欧州は垂直偏波が多い

・単原子物質の格子振動＝縦波１つと横波２つ（水平偏波・垂直偏波）の三つ

・化合物の格子振動＝構成元素数×3 １０-C 光子集団のエネルギー分布

箱に閉じ込められた光子(溶鉱炉など)の振動数の分布

まずモード数は、2つなので

( )

²

( )

^{3 2}

3 ε

π ε π

π π

ε h ch

V c

D L ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

( ) ∫

∫

^∞ ₋ ^{= ∞} ₋

= 0

3

0 ε ε1 ε ε 1 ε

βε

βε d

A e e d

E D

( ) ( ) ( ) ∫

∫

^∞

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∞

≡

= −

= −

0

3 0 3

3 3

,

1 8

1

8 dv

T u

e h c v V

h e d

h ch

V

h h

4 48 4

47

6 ν

ν π ν

π

ν β ν

β

プランクの熱輻射式

(

^T

)

u ν, のグラフを右下図に示す

山の頂上の位置を求めるために微分すると、 ^{∝3 2}

(

⁻¹

)

^{− 3 =0}

∂

∂ ν _{β ν} ν β _{β ν}

ν

h

h he

u e

  となり、

1 _{β ν} β3hν e ^h =

− ⁻ という超越方程式になる。

(指数関数や三角関数などを含んだ方程式) これでは、解の個数さえわからない。

こういう場合、グラフに書いて考える。

ν βh

x= と置いて、 x e₋^x

=

− 3

1 となるので、

グラフにすると、交点

x=0及び約2.82が解とわかる。

L 82 . 2

B

=

=

∴ k T

hν hν β

これが「ウィーンの偏移則」

（Wilhelm Wien, 1911ノーベル賞）

0 2 4 6 8 10

0 0.5 1 1.5

T=1

T=0.707

T=0.5

ピーク位置∝T 面積∝T

⁴

エネルギー∝ν

光子の数∝

u

x f (x)

3 1−x e⁻x

1

3

注意これは講義ノートではありません。計算の要点を抜粋しただけのものです。統計力学II (後期) 2006/12/8, 0915-1045@3-371

１０-D なぜ、緑の星はないのか。

温度を上げると、最も多い光子の振動数は、赤、橙、黄、緑、青、藍、紫、と

増えて行くはず。しかし、現実には緑の星は無い。⇒ 高温ではいろいろな色が混って白色になる １０-E 光子集団の全エネルギー

( )

∫

∫

∫

^∞ ₋ ^{= ∞} ₋ ^{−− = ∞ − + − + −}

= 0

2 3

0 3 3 0 3

3

3 8 1

1 8

1

8π ν ν π ν ν π ν _{β ν β ν β ν} ν

ν β

ν β ν

β h e e e d

c d V e

e h c

d V e

h c

E V _h ^{h h h}

h

h L

( )

∫

^{∞ − + − +}

= 0

2 3

3

8π ν ^βh^{ν β}h^ν L

e e

c h V

ステファンボルツマンの法則

3 3

4 4 B 5

15 8

h c

T π k

=     ：意味＝温度を上げると光子のエネルギーも上がる₍青 が増える)し、光子数も増えるので、全エネルギーは、温度の4乗となる。

１０-F 固体の格子振動

【フォノン】振動している状態を粒子（フォノン）が居る と見なす。そうすると統計力学で簡単に扱える。

【準粒子】フォノンのような粒子を準粒子と呼ぶ。固体 の中には他にも様様な準粒子が居る。

【光との違い】 格子振動には、最大波数（最小波長）

が存在する。これをデバイ波数と呼ぶ。

飛び飛びに存在している格子点を振動させると、細 かい振動は、振動していないのと同じ(右図)。

よって、エネルギーを求める積分を行う際に、積分範 囲が∞でなく、上限が付く。

⇔ 光子は、いくらでも細かく振動できる（＝大きな波 数を持てる）のでそういうことはない。

１０-G デバイ近似(Debye) 1) 波の速さを一定とするω _=ck

⇔ 実際は振動数によって異なる。一次元鎖ではω ∝sinka

2) 最大波数を全自由度₍＝粒子数×モード数₎から決定する：

∫

0 ^D

( )

=

ε D ε dε 3N  一つの粒子の自由度は、xyzの各方向に振動できるので3つである。

( )

³_{3 3}²₃

2 π

ε ε π

⎟h

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

c

D V より、 N

c

V 3 3

2 3

3 3 3 D

3 =

π ε π

h   但し、ε_D ≡デバイエネルギー これから、デバイ振動数ω_D=ε_{D h}、デバイ波数k_D =ω_D cなどが求まる。

１０-H デバイ近似による固体の比熱

∫ ( )

₋

∂

= ∂

∂

= ∂ ^D

0 1

ε ν βε ε ε e d

D T

T

C E _h ⁼ _∂^∂

∫

0^D ₋

3

1

ε ε β

ε ε e

d A T

→0

T では、 ≈∂∂

∫

^{D − =} _∂^∂

∫

0^{D −} 3 4

0

3 x x

x d e x A T T

d e T A

C ^ε ε ^βε ε   但し、x_D= βε_D なので、積分範囲を∞にしてよくて、C ≈T³×const.  ─_Debye比熱

フェルミオン      フォトン(ボソン)       マグノン(ボソン)

金属の比熱＝自由電子の比熱＋格子振動の比熱 ＋ スピンの比熱 ＋･････

γT aT³

0 2 4 6 8 10

ゆっくりした振動と同じ