Rational normal curves totally tangent to Hermitian varieties

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Rational normal curves totally tangent to Hermitian varieties

島田伊知朗（広島大・理）

pを素数とし，qをpのべき，kを有限体Fq²の代数閉包とする．射影空間 PⁿのFq² 上定義された超曲面は，q+ 1次Fermat多様体

XI : x^q+1₀ +· · ·+x^q+1_n = 0

とFq² 上射影同値であるとき，Hermite多様体と呼ばれる．XI とk上射影同値である超曲面をk-Hermite多様体と呼ぶ．k-Hermite多様体X の射影的自己同型群Aut(X)はPⁿのk上の自己同型群PGLn+1(k)の部分群として PGUn+1(Fq²)と共役である．

B. Segreによる研究[3]を出発点として，k-Hermite多様体の幾何学的性質

は深く研究されてきた．たとえば[1]を参照されたい．我々は論文[4]においてB. Segreの結果([3, n. 81])の高次元化である次の定理を示した．

XをPⁿ内のk-Hermite多様体とする．射影空間Pⁿのrational normal curve ΓはXとq+ 1個の相異なる点でn重に接するとき，Xにtotally tangentであるという．

Rational normal curveΓの相異なるq+ 1個の点の集合SがBaer subsetであるとは，Fq 上定義された射影直線P¹へのk上定義された同型

t : Γ →∼ P¹⊗k

が存在して，S=t⁻¹(P¹(Fq))となることである．

主定理. n̸≡0 ( mod p)でありかつ2n≤qとする．XをPⁿ内のk-Hermite 多様体とする．

(1)Xにtotally tangentであるrational normal curvesの集合R_Xは空でなく，

Xの射影的自己同型群Aut(X)∼= PGUn+1(Fq²)が推移的に作用する．各元のstabilizer subgroupはPGL₂(Fq)と同型である．特にR_Xは

|PGU_n+1(Fq²)|/|PGL₂(Fq)| 1

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個の元からなる．

(2)Γ∈R_Xなら，Γ∩XはΓのBaer subsetである．

(3)XがHermite多様体なら，各Γ∈R_XはFq²上定義されており，Γ∩X

の各点はFq²-有理点である．

例．標数5におけるFermat6次曲線B⊂P²で分岐する2重被覆W →P² を考える．W はArtin不変量1の超特異K3曲面となる．Bに6点で接する 2次曲線が3,150本存在する．これらの2次曲線の引き戻しはW 上の6,300 本の(−2)-曲線を与える．このように構成された(−2)-曲線はW の様々な射影モデルの構成[5]において使われた．

証明において重要な役割を果たすのはLang [2]による次の定理である．正則行列A= (aij)∈GLn+1(k)に対し，超曲面

X_A:=



 Xn i,j=0

a_ijx_ix^q_j = 0





を考える．

定理． Pⁿの超曲面X がk-Hermite多様体となるための必要十分条件は，

正則行列A∈GL_n+1(k)が存在してX=X_Aとなることである．

Pをk-Hermite多様体のなす集合とする．Pⁿの自己同型群PGLn+1(k)は Pに自然に作用し，k-Hermite多様体の定義によりこの作用はtransitiveである．X ∈ Pのstabilizer subgroupがAut(X)に他ならない．

集合Vを V :=

(

(Γ, P₀, P₁, P_∞)

¯¯¯¯

¯

ΓはPⁿ のrational normal curveであり，

P0, P1, P_∞はその上の相異なる3点 )

により定義する．PGLn+1(k)はVにsimply transitiveに作用する．

I ⊂ P × Vを I:=

(

(X,Γ, P0, P1, P_∞)

¯¯¯¯

¯

Γ∈RXであり，P0, P1, P_∞はX∩Γの相異なる3点

)

により定義する．射影I → Vは全単射である．実際，

(Γ⁽⁰⁾, P₀⁽⁰⁾, P₁⁽⁰⁾, P_∞⁽⁰⁾) ∈ V

を，Γ⁽⁰⁾をγ⁽⁰⁾:t7→[1 :t:· · ·:tⁿ]の像とし，

P₀⁽⁰⁾:=γ⁽⁰⁾(0), P₁⁽⁰⁾:=γ⁽⁰⁾(1), P_∞⁽⁰⁾:=γ⁽⁰⁾(∞),

2

(3)

により定める．このときA= (a_ij)∈GL_n+1(k)に対し，

(X_A,Γ⁽⁰⁾, P₀⁽⁰⁾, P₁⁽⁰⁾, P_∞⁽⁰⁾) ∈ I

となるための必要十分条件は，多項式 f(t) =

Xn i,j=0

aijt^i+jq

を(n+ 1)q次式と見たとき，f(t) = 0がt = 0,1,∞においてn重根を持つことである．この条件を満たすA=A0がup to multiplicative constantsで uniqueに存在する．（ここにおいて条件「n̸≡0 (modp)でありかつ2n≤q」

を用いる．）さらにA0の具体的な形をみることにより，XA₀∩Γ⁽⁰⁾はΓ⁽⁰⁾の P₀⁽⁰⁾, P₁⁽⁰⁾, P_∞⁽⁰⁾を含むuniqueなBaer subset（すなわちγ0(Fq∪ {∞})）となることがわかる．

この全単射により，PGL_n+1(k)はIにsimply transitiveに作用することがわかる．従って射影π_P :I → PのX ∈ P上のファイバーπ_P⁻¹(X)上にAut(X) がsimply transitiveに作用する．Γ∈R_Xとし，Aut(X)のR_Xへの作用のΓ のstabilizer subgroupをStabとする．するとStabは3点P0, P1, P_∞を忘れる射影π⁻_P¹(X)→RXのΓ上のファイバーにsimply transitiveに作用する．したがってStabはPGL2(Fq)と同一視され，RXはAut(X)/PGL2(Fq)と同一視される．

参考文献

[1] J. W. P. Hirschfeld and J. A. Thas.General Galois geometries. Oxford Math- ematical Monographs. The Clarendon Press Oxford University Press, New York, 1991. Oxford Science Publications.

[2] Serge Lang. Algebraic groups over ﬁnite ﬁelds. Amer. J. Math., 78:555–563, 1956.

[3] Beniamino Segre. Forme e geometrie hermitiane, con particolare riguardo al caso ﬁnito.Ann. Mat. Pura Appl. (4), 70:1–201, 1965.

[4] Ichiro Shimada. A note on rational normal curves totally tangent to a Hermi- tian variety, 2012. preprint, arXiv:1203.4047, to appear in Des. Codes Cryp- togr.

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[5] Ichiro Shimada. Projective models of the supersingularK3surface with Artin invariant1in characteristic5, 2012. preprint, arXiv:1201.4533.

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