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공학석사 학위 논문
3축 매니퓰레이터의 반력 추정을 통한 센서리스 힘 제어에 관한 연구
A study on sensorless force control through reaction force estimation of a
three-axis manipulator.
울산대학교 대학원 건설기계공학과
박 서 준
3축 매니퓰레이터의 반력 추정을 통한 센서리스 힘 제어에 관한 연구
지 도 교 수 안 경 관
이 논문을 공학석사 학위 논문으로 제출함
2022년 2월
울산대학교 대학원 건설기계공학과
박 서 준
국문 요약
매니퓰레이터는 산업현장에서 근골격계질환 예방, 위험 지역 작업, 작업의 정밀성, 반복성 등 여러 이유로 인간을 도와 많은 작업에 사용되고 있으며 최근에는 작업환경 무인화에 대한 수 요가 증가하면서 이에 관한 연구도 진행되고 있다.
매니퓰레이터는 작업의 목적과 환경에 따라 여러 가지 형태로 제작이 될 수 있고 센서가 부착 될 수 있다. 공작물의 가공을 위해 일정한 힘을 가해줘야 하는 경우 목표치에 알맞은 힘을 공 작물에 지속해서 가할 수 있도록 매니퓰레이터를 제어해야 하며 이는 공작물에 가해지는 힘을 잘 측정해야 제어성능이 보장된다는 것을 뜻한다. 작업부인 엔드-이펙터에 힘 센서를 장착하 게 된다면 어태치먼트와의 호환성, 충격, 진동으로 인한 파손, 배선 문제 등이 생길 수 있고, 조인트마다 토크 센서를 장착하는 것은 가격에 있어 단점을 가진다.
따라서 본 논문에서는 조인트 변위 센서만을 이용해서 작업부에 가해지는 반력을 추정하기 위 한 기법에 관해 연구하고 각 조인트에 필요한 토크를 계산하고 제어하기 위한 제어기를 적절 하게 선택해서 측정값 대비 추정 값을 이용한 제어의 성능을 비교하고 활용 가능성에 대해 검 토해보고자 한다.
목차 1. 서론
1.1 연구 배경 및 선행 연구 1.2 본문의 구성
2. 시스템 모델링
2.1 매니퓰레이터 정기구학, 역기구학 2.1.1 정기구학
2.1.2 역기구학 2.2 경로설정
2.3 매니퓰레이터 모델링 3. 반력 추정기법
3.1 관측기 설계 3.2 관측기 게인 설정 3.3 추정값 보정/필터링 4. 매니퓰레이터 힘 제어기 설계
4.1 위치/힘 제어기 4.2 임피던스 제어 소개 4.3 임피던스 제어기 설계 4.4 안정도 분석
4.5 위치 제어기 설계 5. 결과 정리
6. 참고자료 7. 영문요약
1.서론
1.1 연구 배경 및 선행 연구
매니퓰레이터는 인간처럼 관절, 즉 조인트가 존재하고 끝단을 통해 일정 작업이 가능한 장비 를 뜻한다. 최근에 제조업, 물류업 등의 산업현장에서 많이 도입되고 있고, 인간을 도와 작업 을 하면서 근로자의 근골격계질환 예방, 위험 지역에서의 산업재해 감소, 반복 작업의 효율성 및 정확성에서 큰 도움이 되고 있다.
많은 공정에서 인간 작업보다 매니퓰레이터가 작업 하는 것은 인간의 편의와 더불어 인간 보다 지치지 않고 정확하게 일할 수 있기 때문이다. 이는 하드웨어 성능과 소프트웨어 성능 모두 필요하다. 작업 목표치를 달성할 수 있게 해주는 컨트롤러와 구동부 그리고 센서가 이에 해당한다. 인간의 경우 손으로 작업을 하고, 원하는 작업을 어깨, 팔꿈치, 손목의 운동으로 달성한다. 마찬가지로 매니퓰레이터가 끝단에서 원하는 작업을 하기 위해선 인간의 관절에 해당하는 조인트가 특정 각도, 토크를 가져야 한다. 인간은 관절의 각도와 부담되는 반력을 느낄 수 있지만 매니퓰레이터는 목적에 맞는 센서를 탑재해야 관절의 각도, 토크를 알 수 있다.
<로드셀, 토크 센서>
작업부인 엔드-이펙터에 힘 센서를 장착하게 된다면 어태치먼트와의 호환성, 충격, 진동으로 인한 파손, 배선 문제 등이 생길 수 있고, 조인트마다 토크 센서를 장착하는 것은 가격에 있 어 단점을 가진다. 물론 고 정밀도가 요구되는 산업 또는 특수 목적의 로봇의 액추에이터는 가격에 비중을 두지 않고 고성능의 센서를 통한 제어성능을 보장하는 것이 좋다. 하지만 앞으 로의 서비스 로봇의 상용화에 있어 높은 제어성능은 다소 우선순위가 떨어지고 센서의 선택으 로 인한 가격의 상승은 넘어야 할 과제일 것이다.
매니퓰레이터 제어는 몇 가지가 선행되어야 한다. 작업 경로가 직교 공간(Cartesian Space) 혹은 조인트 공간(Joint Space)에서 정의가 되어야 한다. 이는 V.Kumar[1]가 기하학적 풀이 법을 제안했고, Lucas와 Jonatas는[2] 기하학적 풀이법의 단점인 해의 다양성을 GA(Genetic Alorithm)와 ANN(Artificial Neural Network)을 이용했다.
또한, 매니퓰레이터 힘제어는 모션제어를 통해 힘 제어를 달성하는 Indirect Force Control 과 직접적인 힘 피드백을 통해 원하는 값으로 접촉력을 제어할 수 있는 Direct Force Control로 구분할 수 있다. Indirect Force Control에는 컴플라이언스 제어와 임피던스 제어 등이 속하고, Direct Force Control은 여러 제어법을 고려해 볼 수 있다. [6][7][8]
본 논문에서 사용하는 관측기를 통한 상태변수 추정에 관해서 많은 연구가 있었다. Jianyong Yao는 유압 로터리 액추에이터 시스템에서 각 변위를 센서를 이용해 유압 액추에이터의 압력 과 모델링 되지 않은 외란을 확장 상태 관측기(Extended State Observer)를 통해 추정하는 연구를 통해 추정된 신호를 제어에 사용했다. [13]
또한, G. Sebastian가 앞서 말한 확장 상태 관측기를 이용해 엔드 이펙터의 접촉력을 추정했 다. [4] 확장 상태 관측기를 통한 외력 추정은 특성상 게인 설정에 시스템 주파수를 고려하거 나 안정도 분석에 있어 난이도가 있고 관측기 실제 측정 힘과 비교해보면 그 추정에 시간차가 생기는 결과가 있었다. 따라서 추정 값을 통한 제어를 한다면 다소 시간 지연이 생길 것으로 예상이 된다.
따라서 차수가 감소된 관측기를 통해 추정속도에 이점을 가지고 제어에 시간 지연이 적은 관 측기를 사용해 제어성능을 보장하고자 한다.
1.2 본문의 구성
다음과 같은 내용으로 본 논문을 정리할 수 있다.
1. 매니퓰레이터의 작업 경로는 작업물의 직교(Cartesian) 좌표를 이용해 역기구학을 통해 구 해 냈고, 기하학적 방법을 사용한다.
2. 매니퓰레이터 동역학은 라그랑지안 방법을 사용해서 구했고, 파라미터 불확실성이 존재할 수 있다.
3. 관측기를 사용해 상태변수를 추정하고, 반력 또한 추정한 상태변수와 관측기 게인과의 조 합을 통해 추정하고 관측기가 수렴함을 증명한다.
4. 매니퓰레이터 동역학을 통해 임피던스 제어기와 임피던스 제어기를 통해 도출 한 위치 지 령 값을 제어할 위치 제어기를 설계하고, 안정성을 검증한다.
5. 추정치를 고주파 필터링이 된 값과 필터링 되지 않은 값을 각각 제어기에 적용해 보고 응 답을 비교해 성능 차이를 비교하고 개선 방안에 대해 검토한다.
2. 시스템 모델링
2.1 매니퓰레이터 정기구학, 역기구학 2.1.1 정기구학
정기구학(Forward Kinematics)은 각 관절의 각도를 통해 원점 기준 매니퓰레이터의 끝단의 직교좌표를 얻을 수 있는 변환 방식이다. Homogeneous Transform을 이용하여 정기구학의 해를 구하게 된다.
직교 좌표 공간상의 한 점의 위치 P는 로 나타낼 수 있고, 는 크기 계수를 뜻한다. 엔드-이펙터의 위치를 라고 하고 원점을 라고 하면 와 사이는 다음과 같은 관계가 있다.
(1)
은 조인트 간의 변환 행렬을 뜻한다.
××
× ×
변환 행렬 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
∆
∆
∆
은 Z축 회전 기준으로
cos sin sin cos
본 논문의 매니퓰레이터는 Z축 회전 조인트 3개를 가진 평면 로봇이므로 엔드 이펙터의 좌표 는 다음과 같다.
cos sin cos sin cos sin
×
cos sin cos sin cos sin
×
cos sin cos sin cos sin
×
(2)
는 각각 링크의 길이를 의미한다.
2.1.2 역기구학
역기구학은 정기구학과 반대로 엔드 이펙터의 위치가 주어졌을 때 관절 각도를 구하는 방법이 다. 본 논문에서는 기하학적인 방법을 사용했다. 하지만 기하학적인 방법은 엔드 이펙터의 위 치에 대해 다수의 해가 나온다는 단점이 있다 따라서 관절을 각도를 제한하고 Matlab의 Robotics Tool box를 통해 역기구학을 이용한 엔드 이펙터 경로에 대해 검증하는 식으로 경 로를 설정 했다.
위의 정기구학 절에서 엔드 이펙터의 직교 좌표를 관절 각도를 통해 나타냈다.
(3)
<매니퓰레이터 간략도>
각 조인트 각도는 위의 그림과 같고 ′′을 (3)에 대입하면 를 제거할 수 있고, 우변이 아 직은 알 수 없는 에 관한 식으로 남는다. 는 링크 3가 지면과 이루는 각으로 알고 있는 각이다. 남아 있는 좌변을 ′ cos′ sin로 치환하고 양변을 제곱한 후
두 식을 더하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
′ ′ ′′ (4) 이는 다음과 같은 형태의 식이다.
(5)
를 다음과 같이 정의한다.
cos
sin
atan
(5)를 다음과 같이 쓰면
coscos sinsin
→cos
(6)
cos
± (7) cos
′′′′
(8) atan
′′′
′′
′
(9)
′
′
(10)
atan
′
′
(11) (12)
<매니퓰레이터 자세 결정 인자>
± 은 Elbow-up&down을 의미한다.
(시그마)에 양의 값을 주면 매니퓰레이터가 Elbow-up 상태로 목표 위치에 도달하려 할 것이 고, 음의 값을 주면 down 형태로 목표에 도달하려 한다.
2.2 경로설정
<매니퓰레이터가 벽을 긁는 경로>
이번에 사용될 경로는 위 그림과 같이 매니퓰레이터가 수직 방향으로 일정한 힘을 유지하면서 아래 방향으로 긁으면서 내려오는 경로로 설정했다.
이 경우 수직력을 유지하는 것뿐만 아니라 마찰력이 발생하므로 제어에 있어서 큰 영향을 미 치는 요소가 될 수 있다.
특정 위치에 도달하기 위해 3자유도가 존재하므로 거의 위치 대부분에 도달할 수 있다.
하지만 특이점과 다중 해를 피하기 위해서 조인트 각도를 제한하였으므로 도달 가능성에 대해 시뮬레이션을 통해 검증한 후 적용할 필요가 있다.
경로 검증은 Matlab의 Robotics Tool Box를 통해 검증했다.
매니퓰레이터 자세 중 ELBOW UP 자세를 통해 작업을 수행하게 되며, 환경의 위치 X = 0.99m에 대해 그 뒤의 위치에 도달하도록 초기 설정 값을 잡는다. Y 경로는 1.8m~1.2m까지 긁어내는 경로를 가진다.
<초기 위치>
항목 초기 위치 경로
환경 위치 0.99m X
X direction 0.95m 0.95 ->
Y direction 1.8m 1.8m -> 1.2m
<나중 위치>
이와 같이 제한된 조인트 조건에서 벽을 긁으면서 내려오는 동작이 가능한지 시뮬레이션을 통 해 검증했고 정해진 궤적을 필요에 따라 기구학을 이용해서 좌표계를 변환시켜 사용한다.
<좌표계 변환>
2.3 매니퓰레이터 모델링
매니퓰레이터의 동역학 방정식은 오일러-라그랑지안 방정식을 통해 도출한다. 라그랑지안 방 정식은 운동에너지와 포텐셜 에너지의 차이를 나타낸다. 오일러-라그랑지안 방정식은 시스템 의 일과 에너지에 근거해서 나타낸 방정식으로 라그랑지안 방정식 L로부터 구한다. 일반적인 식은 아래와 같은 미분 방정식의 형태로 표현된다.
(13)
여기서 : 라그랑지안 함수 = 운동에너지 - 포텐셜 에너지 →
,
은 각각 조인트의 각 변위와 각 속도, 는 번째 링크를 움직이기 위한 조인트 토크를 뜻한다. 오일러-라그랑지안 방정식을 풀어내면 다음과 같은 일반적인 동역학 식으로 정리할 수 있다.
(14)
M은 관성 행렬 C는 원심력과 코리올리스 힘 그리고 G는 중력을 뜻한다. 오일러-라그랑지안 방정식으로 본 논문의 매니퓰레이터의 M, C, G를 구하면 다음과 같다.
(15)
∆
(16)
∆
관성 모멘트 행렬은 시불변인 파트와 시변 파트가 동시에 존재 한다는 것을 알 수 있다.
관성 행렬을 보면 로 대칭인 것을 알 수 있다.
(17)
(18)
여기서 는 링크의 질량, 무게 중심까지의 길이 링크의 무게 중심이 중앙에 있다 고 가정하고 계산했다.
<매니퓰레이터 파라미터>
3. 반력 추정기법 3.1 관측기 설계
위의 매니퓰레이터 동역학 식에서 외부 힘에 대한 항을 추가한다.
(19)
는 환경과의 접촉 시 발생하는 반력이며 X 방향과 Y 방향의 힘으로 구성된다.
(20)
는 자코비안으로 토크와 힘은 다음과 같은 관계를 가진다.
(21)
(22)
편의상 상태변수 으로 나타내면 식 ()을 다음과 같이 적을 수 있다.
(23)
(24)
위의 동역학식을 묘사해서 환경과 접촉력이 고려되지 않은 관측기를 설계한다. 조인트 각도만 측정할 수 있다 가정한다.
(25)
(26)
(27)
는 양 한정 게인 행렬이고, (23),(24),(25),(26)을 이용해 추정 오차 방정식을 얻을 수 있다.
(28)
(29)
식을 미분하고 대입하는 식으로 차수를 낮추는 방법을 통해 다음과 같은 장점을 갖는다.
현재 확실하게 측정 가능한 위치 정보를 활용하기 위해 간단한 식 변환을 통해 위치만의 함수 로 변형시킬 수 있다.
(28)과 (29)를 미분하고, (28)에 (29)를 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
(30)
()을 다음과 같이 2차 미분방정식의 형태로 정리할 수 있다.
(31)
(32)
각 계수가 비선형성을 띠고 있지만, 모두 물리적으로 유계 되어있고, 수렴하는 값이므로 정상 상태에 언젠가 도달한다고 할 수 있다.
따라서 위의 방정식에서 오차가 정상상태에 도달한다면 ()은 다음과 같이 반력을 추정할 수 있다.
(33)
3.2 관측기 게인 설정
위 절에서 알 수 있듯이 반력은 오차가 빠르게 수렴할수록 추정 값이 확실해진다.
이는 관측기 게인 과 를 튜닝해서 조절할 수 있다. 오차의 방정식을 라플라스 변환을 통 해 전달함수로 표현하면 피드백된 폐루프 함수의 방정식 형태를 띠므로 다음과 같이 표현할 수 있다.
(34)
()을 다음과 같이 정리하고 관성 행렬 이 물리적으로 0이 아니고 유계라고 가정하면 다음과 같이 표현할 수 있다. 은 행렬이지만 편의상 역행렬이 아닌 나눗셈으로 표현하였다.
(35)
일반적인 2차 폐루프 전달함수의 형태로 변형할 수 있다. 행렬이 비선형성으로써 남아 있지만 관측기 게인 과 를 충분히 크게 선정한다면 비선형성의 영향은 매우 적어진다고 할 수 있다.
≪ (36)
일반적인 폐루프 전달함수와 마찬가지로 이 비선형 행렬보다 충분히 크다면 오차 시스템의 감쇠력으로 작용해 추정 시 과도응답을 줄여줄 것이고, 가 충분히 크다면 시스템의 응답성 을 증가시키므로 빠르게 오차가 수렴하는 데 영향을 끼친다.
이는 다음과 같은 결과로 확인할 수 있다. 관측기 게인을 변화하면서 결과를 측정하면 는 추정 정확도 및 수렴 속도에 영향을 줬고, 은 과도응답을 줄여주는 것을 확인할 수 있다.
아래의 그래프는 K2 게인 값을 어떤 임의의 값으로 고정하고 K1 게인을 몇 개의 값으로 변화 시키며 힘을 추종한 결과이다.
<K1 게인 영향 분석을 위한 그래프>
관측기 게인을 변화하면서 결과를 측정하면 은 과도응답을 줄여주는 것을 확인할 수 있다.
감쇠와 비슷한 역할을 하는 게인을 높게 설정하면 과도응답 및 오실레이션을 감소시키는 것은 추종에 좋은 영향을 주나 너무 높은 값은 실제 환경에서 작용하는 힘과 추정 값이 정상 상태 오차가 생기게 하는 결과를 확인할 수 있었다.
<K1 게인 영향 분석을 위한 그래프 2>
추종 값이 반력 값에 도달하는 개인 중 결과 값이 가장 좋은 과 과도하게 높게 설정 해 정상상태 오차가 생긴 과 접촉면에서의 반력을 비교했다.
추정 메커니즘 상 위치 추정 오차와 게인과의 곱을 통해서 반력을 추정해 내므로 초기 값 문 제가 존재하고 정상상태에서 추정이 잘 이루어지는데 목표를 뒀고 수렴에 목표를 뒀기 때문에 수렴전의 거동은 잘 알지 못하고, 그동안의 오실레이션 문제가 있는 것을 확인할 수 있다.
그래프()와 반대로 게인을 고정하고 게인을 변화시키면서 얻은 결과다,
<K2 게인 영향 분석을 위한 그래프>
관측기 게인을 변화하면서 결과를 측정하면 는 추정 정확도 및 수렴 속도에 영향을 줬다, 하지만 게인 값을 높이면 정상상태 전까지 오실레이션의 크기가 커지기 때문에 과도하게 높게 설정하는 것은 오히려 추종 성능에 악영향을 끼치게 된다. 이는 추정 값 결과만을 판단하는 이번 절보다 실제 추정 값을 피드백 받아 제어하는 다음 절에서 더 크게 나타난다.
3.3 추정 값 보정, 필터링
선정한 궤도의 특성상 환경과 수직 방향의 작용력과 수평 방향의 마찰력 두 가지의 힘이 결합 되어 추정이 된다. 이는 과하게 추정됐다고 판단 된 마찰력에 대해서 별도의 보정을 해주지 않으면 다소 추정 능력에 악영향을 끼치게 된다. 따라서 사전의 물리적인 지식을 통해 선정한 유계값 이상의 오차를 보정해 주는 과정을 거쳐 추정 정확도를 높여준다.
오차는 다음과 같은 메커니즘으로 보정된다.
<마찰력 보상 메커니즘>
(37)
마찰은 작업 속도가 느리고, 미끄럼이 없다고 가정했을 때 수직 하중과 마찰계수의 곱인 정적 마찰로만 정의했다.
로 가정하고 포화함수 값을 다음과 같이 정해놓고 실시한다.
ifif
maxmax(38)
일반적으로 마찰력이 작용면에 가해지는 하중에 비례해서 정해진다는 것을 이용해 접촉 표면 에 따라 일반적으로 정해진 마찰계수를 곱해서 벽을 긁도록 정해진 경로에서 유계값 이상의 오 추정 된 값을 수직력에 보정 해줘서 정확도를 높일 수 있다.
다음과 같이 간단한 식으로 수직력과 마찰력을 보정해 준다.
(39)
보정 전과 후를 비교하면 추정된 수직 방향의 작용력이 실제 측정되는 작용력과의 오차가 작 아진 결과를 확인할 수 있다.
<마찰력 보상 전후 힘 그래프>
Low Pass Filter
(40)
여기서 는 cut-off 주파수로써 초과 된 주파수를 가진 신호는 통과하지 못한다.
이식은 1차 LPF 회로에서 도출된 것이다.
<LPF RC 회로>
키르히호프 전압 법칙에 따라
(41)
라플라스 변환을 통해 주파수 영역으로 변환하면 다음과 같고, 이를 이용해 전달함수를 구하 면 다음과 같다.
(42)
╱
╱
(43)
4. 매니퓰레이터 힘 제어기 설계 4.1 위치/힘 제어
힘 제어를 이해하기 위해 산업용 로봇의 기본적인 제어 방식을 상기시켜보면. 산업용 로봇은 기본적으로 위치를 제어한다. 그런데, 위치가 아닌 힘(force)이 제어 대상이 될 경우, 힘 제어 (force control)라 한다.
하지만, 힘제어는 독립적인 것이 아닌 위치 제어 문제를 동반하게 된다. 이는 접촉력이 위치 에 민감하게 반응하기 때문이다. 목표 힘이 달성되기 위해 위치는 강성에 따라 달라질 수 있 기 때문이다. 이러한 성질로 인해 힘 제어는 순응 모드(compliance mode)라고도 부른다.
힘 제어의 순응 특성은 외부의 힘을 받아들여야 하는 경우에 유용하다. 일반적으로 위치 제어 독립적으로 사용할 경우 환경에 의해 외력이 가해지더라도 장애물 넘어 목표 위치에 도달하기 위해 외부 힘을 억지로 견디려 할 것이다. 위치 제어는 말 그대로 정해진 위치를 반복해서 움 직이는 방법으로, 접촉력이 얼마가 되었는지에 대해서는 전혀 관심이 없다. 이로 인해 기구가 손상되거나 위치 편차 등의 에러가 발생할 수 있다. 힘 제어 모드를 사용할 경우, 외력에 순 응하여 로봇이 움직일 것이기 때문에 기구 손상이나 위치 에러 등과 같은 문제를 피할 수 있 을 것이다.
4.2 임피던스 제어 소개
임피던스 제어란 힘과 위치에 대한 동적 제어와 관련이 있다.
임피던스 제어는 위치 기반의 힘제어 방법으로서 매니퓰레이터와 환경 사이의 접촉력을 제한 하는데 효과적이다. 작업 중 힘뿐만 아니라 위치에 대한 정확도가 요구되는 경우에 위치 기반 의 힘제어 기법은 더욱 효과적일 것이다. 임피던스 제어는 매니퓰레이터와 환경의 상호작용을 제어하기 위해 가상의 질량, 감쇠기, 스프링 시스템을 구축해 환경에 대한 반응성을 조절한다.
기계적인 임피던스는 모션 인풋에 대한 힘의 아웃풋인데 이는 전류 인풋에 대한 전압 아웃풋 의 비를 가지는 전기적 임피던스에서 비롯됐다.
<외부 힘에 대한 플랜트의 모션 반응 예시>
<위치 기반 임피던스 제어기>
하지만 일반적인 임피던스 제어는 환경, 외부입력에 대응하는 컴플라이언스에 효과적이나 힘 추종 능력은 보장되지 않으며, 환경의 강성과 이에 따른 기준 위치를 정하지 못하면 원하는 힘 추적 성능을 달성하기가 어렵다.
4.3 임피던스 제어기 설계
위치와 접촉력 2가지의 제어를 달성해야 하므로 기존의 임피던스 컨트롤러에서 개량된 제어기 를 사용할 필요가 있다.
제어기 설계 서술과정의 편의를 위해 기호를 먼저 설명하면 다음과 같다.
전통적인 임피던스 제어 방법은 적절한 임피던스 파라미터를 선택하여 위치와 힘 사이의 관계 를 조절한다. 로봇 시스템의 임피던스 관계는 다음을 만족시킨다.
(44)
는 각각 임피던스 제어를 위한 접촉부 가상의 질량, 감쇠기, 강성을 의미한다.
여기서 는 위치 제어를 위한 엔드 이펙터의 기준 위치 궤적, 환경 위치 및 강성, 감쇠비, 임피던스 파라미터 및 원하는 접촉력으로부터 결정된다.
일반적으로 접촉력은 환경 강성 및 감쇠에 의해 결정된다. 따라서 다음과 같이 환경 모델을 근사하기 위해 표현식이 사용된다.
(45)
힘을 직접 제어하면 쉽고 정확하게 제어할 수 있지만, 임피던스 힘제어는 힘을 간접적으로 제 어한다. 또한, 힘을 제어하기 위해서는 경로 를 정확하게 설정해야 한다. 주어진 경로는 원하는 힘 , 대상의 강성도 , 대상의 위치 , 그리고 임피던스 강성 K 등의 값들을 정확하게 알아야만 미리 계산할 수 있다. 이러한 문제점들을 해결하는 임피던스 방식이 필요 하다.
접촉부의 가상의 질량, 감쇠기, 강성
초기 강성, 환경의 강성
초기 기준 위치 궤적, 기준 위치 궤적
순응 위치 궤적
환경의 위치
실제 엔드-이펙터 위치
순응 위치 궤적과 실제 엔드 이펙터 위치간의 에러
외부 힘, 측정된 접촉력과 기준 힘
비례, 미분, 적분 게인
<매니퓰레이터와 환경 접촉 모델>
이번 연구의 목적은 3가지로 정리할 수 있다.
1. 힘 추정을 통해 센싱 값이 아닌 추정 값으로 제어
2. 환경 파라미터에 대해 적은 정보에도 원하는 수준의 제어 달성 3. 추정 값 응답 분석
목표 힘 달성을 위해 식에 목표 힘에 대한 정보를 추가하고 식을 다음과 같이 변경한다.
(46)
측정된 힘을 피드백 받아 목표 힘 달성을 위한 어드미턴스 필터로서 작용한다.
즉, 센싱 된 힘을 이용해 어드미턴스 필터를 통해 보정 위치 궤적으로 변경한 후 위치 제어에 사용한다.
원하는 기준 궤적이 일정한 값을 유지하는 경우(상수), 1차 및 2차 미분 값은 0과 같다.
(47)
환경의 변형을 나타내는 간단한 스프링 모델을 사용하여 (환경의 강성이 변형과 비례한다고 가정할 때) 상호 작용력은 다음과 같이 표현될 수 있다.
(48)
위 식에 힘 오차를 대입하면
(49)
는 환경에 의해 생성되는 반력에 대해 강성과 비례해 평형점이 되는 매니퓰레이터의 엔드이 펙터 위치다.
(50)
환경과의 접촉에서 실제 위치는 제한되므로 위치에 대한 오차가 생기게 된다. 따라서 순응 위 치 궤적은 실제 위치 궤적에서 다소 위치에 대한 오차가 더해진 값으로 설명할 수 있다.
(50)를 (47)에 대입하면(피드백) 힘/위치 오차 방정식을 얻는다.
(51)
목표 힘이 상수고 정상상태에 도달하면 정상상태 힘 오차는 다음과 같다.
(52)
위치 오류는 정상상태 힘 오류에 중요한 역할을 한다.
또한, 불확실한 환경 강성으로 위치 기반 임피던스 제어에서 작용력 수렴을 보장할 수 없다 따라서 강성은 고정 값을 사용하지 않고 목표 힘과 접촉력과의 에러를 피드백 받아 값이 정 해지는 적응형 강성을 사용한다. 일정 기준 궤적을 사용하지 않고 수정 기준 궤적을 사용한 다. 는 기준 궤적을 수정하는 데 사용된다.
(53)
보는 바와 같이 힘 추종을 효과적으로 하기 위해 힘 추종 에러를 이용한 PID 형태의 강성이 된다, (53)을 (47)의 강성에 적용하면 다음과 같은 식이 된다.
(54) 이고 초기 기준 위치는 상수이므로 1차 미분과 2차 미분 값은 다음과 같다. 는 0과 1 사이의 값으로 정해진다.
(55)
(53)과 (55)를 (47)에 대입하면
(56)
여기서 는 이 일반적이지만 이번 연구에서는 추정 값을 제어에 피드백해
사용하기 때문에 으로 정의한다.
