수학 3-1
2012학년도 고등학교 반 배치고사 (1차)
수 학
<정 답>
1 ① 2 ④ 3 ④ 4 ② 5 ①
6 ① 7 ② 8 ④ 9 ② 10 ③
11 ④ 12 ③ 13 ③ 14 ③ 15 ②
16 ③ 17 ⑤ 18 ⑤ 19 ⑤ 20 ②
21 22 23 24 25
1. 준식
2. ∩ ∩∩∩
, 이므로
∩
모든 원소의 합은
3. 그림과 같이 , 과 평행한 직선 , , 를 그으면 평행선에 서 엇각의 크기가 같으므로 ∠ ° ° °이다.
°
°
°
°
°
°
°°
4. 평균이 이므로
분산이 이므로
변량 에 대하여
평균은
분산은
따라서 평균과 분산의 합은 이다.
5. 문제의 정의에 의해
,
변변 더하여 정리하면 이므로
따라서 , 일 때, 식 의 값은
6. 이므로
이를 주어진 방정식에 대입하여 정리하면
위 의 식에 을 곱하여 변끼리 빼면 , 따라서
7. 주어진 명제에 대한 증명은 다음과 같다.
은 의 배수이므로 는 자연수
이고
이므로
는 의 배수이다.
따라서 , , 이므로
8. ①의 경우 , ,
②의 경우 , ,
③의 경우 , ,
④의 경우 , ,
⑤의 경우 , ,
이므로 를 만족하는 경우는 ④번 그래프이다.
9. AC를 지름으로 하는 원 O와 선분 AB의 연장선이 만나는 점 중 A가 아닌 점을 D라 하자.
호 AC에 대한 중심각 ∠AOC °이므로
원주각 ∠ADC °이다. 따라서 ∆ADC는 직각삼각형이다.
AC ∠CAD °이므로 AD CD 이며, BD 이다. 따라서 ∆CBD는 직각이등변삼각형이다.
∴ ∠ACB ∠ACD ∠BCD ° ° °
10. 의 배수가 되기 위해서는 일의 자리가 이거나 이면 된다.
그런데 주사위에 적힌 숫자는 부터 까지만 있으므로 가 인 경우만 생각하면 된다. 이면, , 와 관계없이 의 배 수가 되므로 가 될 수 있는 경우는 가지, 가 될 수 있는 경 우는 가지로 총 가지이다.
수학 3-2 11.
지현 종민 창수 확률
경우1 검은색 구슬 검은색 구슬 흰색 구슬
×
×
경우2 흰색 구슬 검은색 구슬 흰색 구슬
×
×
따라서 구하고자 하는 확률은
12. ⋯ ⋯ 라 하면
, 이므로
에서
따라서 이므로
⋯ 이므로 총 개다.
13.
⋮
따라서 이다.
14. 회전시킨 도형을 직선 을 포함하여 절단시킨 단면은 다음과 같다.
OC OD 이고, ∠ODE °이므로 OE 이다.
또한, ∆ABE∆DOE이므로 BE 이다.
따라서 주어진 도형을 회전시킨 회전체의 부피는
× ×
×
×
15.
원의 중심 O에서 선분 AT에 내린 수선의 발을 H라 하자. 현 AT는 수직이등분 되므로 AT 일 때, TH, OT 이고, ∠OTH °이다.
∠OHT °이므로 ∠TOH °이며, ∠TOA °이다.
길이가 긴 쪽의 호 TA에 대한 중심각의 크기가 °이므로 원주각 ∠ABT °이다.
16. 외접원의 반지름의 길이를 , 내접원의 반지름의 길이를 라 하자. ∠B °이므로 AB , AC이고, 삼각형 ABC는 직각삼각형이므로 이다. 삼각형 ABC의 넓이를
라 하면
AB⋅AC
AB BC AC
, ∴
이다. 따라서 ,
이므로
이다.
17. 점 P에서 원 O에 접선을 그리고, 그 접점을 T라 하자.
PA⋅PB 이므로 PT 이다.
따라서 OP PT OT 이므로
OP 이다.
18.
AE BC이고 점 E는 변 BC의 중점이므로 AE BE CE 이다. 사각형 ABCD에서 대각선 AC를 그으면 삼각형 AEC 는 정삼각형이므로 ∠EAC °이다. 또한 삼각형 EAB는
EA EB인 이등변 삼각형이므로 ∠EAB ∠EBA °이 다. 따라서 삼각형 ABC는 ∠BAC °인 직각삼각형이다.
∠BDC °이므로 네 점 A, B, C, D는 BC를 지름으로 하 는 원 E 위에 있다. AE를 연장하여 원 E와 만나는 점을 A′
라 하면 할선의 성질에 의해 BF⋅FD AF⋅FA′이고,
AF FE 이므로 AF
× , FA′ AF .
∴ BF⋅FD
19. ㄱ. 삼각형 ABC는 원의 지름을 빗변으로 하는 삼각형이므 로 ∠ACB °이다. 따라서 삼각형 ABC에 대하여 삼각형의 넓이 구하는 방법을 적용하면
⋅AC⋅BC
⋅AB⋅CD
∴ AC⋅BC AB⋅CD
ㄴ. ㄱ에 의해 OC AB⋅CD이고, AB OC이므로
OC CD
ㄷ. 삼각형 OCD는 직각삼각형이고, ㄴ에 의해 OC CD이
수학 3-3 므로 sin∠COD OC
CD
이다.
따라서 ∠COD °이다.
∴ ∠CAB
∠COD °
20. ×
이면 × 홀수 ∴
이면 × 짝수 ×홀수 ∴
≥ 이면 × ×홀수 ∴ 따라서 이므로 부분집합의 개수는 개다.
21. 남학생 전체의 집합을 , 스마트폰을 사용하는 학생의 집합 을 , 전자사전을 사용하는 학생의 집합을 라 하자.
, ,
∩
, , ∩ ,
∩
∩
따라서 학년 남학생 전체의 수는 이다.
22. 의 한 근이 이므로
에서
에서 다른 한 근은 이다.
23. 찐 고구마의 양을 g, 닭 가슴살의 양을 g이라 하면
≤ ≥
연립부등식을 풀면 ≤ ≤ 이다.
따라서 이다.
24. AB, AD, ED의 길이를 각각 라고 하면, 세 부분의 넓이가 같으므로 DH HC
⋯①,
⋯②
②에서
를 ①식에 대입하면
×
, ,
이므로
(직사각형의 넓이)
따라서 전체 넓이는 최대 이다.
25. 변 AC와 선분 DE의 교점을 G라 하자. 삼각형 DFC와 CED에서 ∠DCF ∠CDE °, ∠FDC ∠ECD °, CD는 공통이므로 ∆DFC≡∆CED이다.
또한 ∠ADC °(호 ABC의 원주각)이고, ∠FDC °이
므로 ∠FDA °이다. 따라서 삼각형 ADF는 AF DF,
∠AFD °인 직각이등변삼각형이므로 AF DF CE이다.
∠GCE ∠GDF °, ∠DGF ∠CGE∵ 맞꼭지각
GC GD(∵ ∆GDC은 이등변삼각형)이므로
∆GCE≡∆DGF이다.
이제 CE 라 하면, AF DF , FG , GC 이므 로 AC AF FG GC 이다.
따라서
이고,
CF
이므로
CE⋅CF
×
이다.
따라서 , 이므로 이다.
