2019학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 문제 및 정답

2019학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 문제 및 정답

1 12

5 지선다형

1.

P_의 값은? [2점]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

2. lim

 → 

ln  

의 값은? [2점]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

3.

함수 ^{    }에 대하여 ^{′}의 값은? [2점]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

4.

두 사건 , 에 대하여

P_{  }



, ^P∩_{  }





일 때, ^P



^∪



_{의 값은? (단,} ^은 의 여사건이다.) [3점]

① _^ ② _^ ③ _^ ④ _^ ⑤ _^

2019학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 문제지 제 2 교시

1

이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다.

2

5.

쌍곡선 _

^

^

 

^

 의 두 초점 사이의 거리가 일 때,

^의 값은? (단, ^는 상수이다.) [3점]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

6.

^{함수  tan  sin에 대하여}

lim

 → 

      

의 값은? [3점]

① ^{ } ② ^{ } ③ ^{ } ④ ^{ } ⑤ ^{ }

7.

부등식 _

^

 ≥ ^{  }을 만족시키는 모든 자연수 ^의 개수는?

[3점]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

3

3 12

8.

^{곡선   sin 과 축 및 두 직선} _{  }^_ ^, _{  }^_ ^로

둘러싸인 부분의 넓이는? [3점]

① ^{  } ② _{  }^ ③ ^{  } ④ _{  }^ ⑤ ^{  }

9.

^{곡선    위의 점  }에서의 접선의 기울기가 ^일 때,

 의 값은? [3점]

① ^{ ln  } ② ^{ ln } ③ ^{ ln }

④ ^{ ln } ⑤ ^{ ln }

10.

어느 지구대에서는 학생들의 안전한 통학을 위한 귀가도우미 프로그램에 참여하기로 하였다. 이 지구대의 경찰관은

모두 명이고, 각 경찰관은 두 개의 근무조 A, B 중 한 조에 속해 있다. 이 지구대의 근무조 A는 명, 근무조 B는 명의 경찰관으로 구성되어 있다. 이 지구대의 경찰관 명 중에서 임의로 명을 동시에 귀가도우미로 선택할 때, 근무조 A와 근무조 B에서 적어도 명씩 선택될 확률은? [3점]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





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4

11. 

_^{}



^{  }의 값은? [3점]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





12.

^{  에서  ln까지의 곡선} _{  }^ 

^{ }의

길이는? [3점]

① _^ ② _^ ③ _^ ④ _^ ⑤ _^

5

5 12

13.

좌표평면 위를 움직이는 점 ^P의 시각       에서의

위치 ^{P }가

   cos, ^{   sin}

이다. 시각         에서의 점 P의 속도  와 가속도 가  ⋅  을 만족시킬 때, 의 값은? [3점]

① _^_ ② _^ ③ _^ ④ _^_ ⑤ _^_

14.

^{직선   가 두 곡선  log}, ^{  log}_^{  }와 만나는 점을 각각 ^A, ^B라 하자. ^{AB  }가 되도록 하는 모든 실수 ^의 값의 곱은? (단, ^{    }) [4점]

① _^ ② ^ ③ _^ ④ ^ ⑤ _^

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6

15.

함수   cos



^



_{에 대하여}

lim

 → 



^{ }





  





^{ }

일 때, ^의 값은? (단, ^는 상수이다.) [4점]

① ^ ② _^ ③ ^ ④ _^ ⑤ ^

16.

그림과 같이 반지름의 길이가 ^이고 중심각의 크기가 _



 인

부채꼴 ^OAB가 있다. 호 ^AB 위의 점 ^P에서 선분 ^OA에 내린 수선의 발을 ^H라 하고, 호 ^BP 위에 점 ^Q를

∠POH ∠PHQ가 되도록 잡는다. ∠POH 일 때, 삼각형 OHQ의 넓이를 라 하자.

lim

 →  



의 값은?

(단, _{    }



 ) [4점]

① _^{ }_^

② _^{ }_^

③ _^{ }_^

④ _^{ }_^

⑤ _^{ }_^

7

7 12

17.

그림과 같이 한 초점이 ^{F }인 타원 _

^

^

 ^

^

 과 두 점 ^{A }, ^{B }가 있다. 점 ^B를 중심으로 하고 점 F를 지나는 원이 ^축과 만나는 점 중에서 ^좌표가 양수인 점을 ^C라 할 때, 직선 ^CF와 직선 ^CA가 이루는 예각의 크기를 ^라 하자. ^tan∠CFB_{  }



 일 때, ^tan의 값은?

(단, ^, ^, ^는 양수이다.) [4점]

① _^ ② _^ ③ _^ ④ _^ ⑤ _^

18.

좌표평면 위에 두 점 ^{A }, ^{B  }가 있다. 한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 ^, ^이라 하자. 점 ^C



^cos

 sin





^{에 대하여 삼각형 ABC의}

넓이가 보다 작을 확률은? [4점]

① _^ ② _^ ③ _^ ④ _^ ⑤ _^

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8

19.

^{이 아닌 실수 }에 대하여 좌표평면 위의 두 포물선

^ 와



^{  }





^{ }에 동시에 접하는 직선의 개수를

라 하자.

lim

 →  

  를 만족시키는 실수 ^의 값은?

[4점]

① _{ }_^

② _{ }^_^

③ _{ }_^

④ _^_^

⑤ __^

20.

^{자연수 에 대하여}        을 만족시키는 음이 아닌 정수 ^, ^, ^, ^의 모든 순서쌍     의 개수를 ^이라 하자. 다음은 _{  }



^{ }의 값을 구하는 과정이다.

음이 아닌 정수 , , , 가        을 만족시키려면 음이 아닌 정수 에 대하여

    이어야 한다.

    인 경우는 (1) 음이 아닌 정수 ^_, ^_에 대하여

  _, ^{  }인 경우이거나 (2) 음이 아닌 정수 ^, ^에 대하여 ^{  } , ^{  } 인 경우이다.

(1) ^{  }, ^{  }인 경우:

       을 만족시키는 음이 아닌 정수

, ^, ^, ^의 모든 순서쌍      의 개수는

가 이다.

(2) ^{  }_^{ }, ^{  }_^{ }인 경우:

       을 만족시키는 음이 아닌 정수

, ^, ^, ^의 모든 순서쌍      의 개수는

나 이다.

(1), (2)에 의하여        을 만족시키는

음이 아닌 정수 ^, ^, ^, ^의 모든 순서쌍     의 개수 ^은

_ 가  나

이다. 자연수 ^에 대하여

  





나 _{  }C_ 이므로

  





_ 다

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 ^{ }이라 하고,

(다)에 알맞은 수를 ^라 할 때,   의 값은? [4점]

①^ ②^ ③^ ④^ ⑤ ^

9

9 12

21.

^{열린 구간}



^{ }

  





^{에서 정의된 함수}

 







 

sin^



^{ }

    





cos



^

 ≤   





가 있다. 실수 ^에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 실수

의 개수를 라 하자.

(가) _{ }^_{   }^_

(나) 함수



^   는 ^{  }에서 미분가능하지 않다.

함수 ^에 대하여 합성함수 ^{ ∘}가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 최고차항의 계수가 ^인 사차함수 ^가 있다. ^



^

^



^{ ,   ,    라}

할 때,      의 값은? [4점]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

단답형

22.

^{두 벡터    , }    에 대하여 벡터 ^{  } 의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

23.

^cos  

 일 때, ^sec의 값을 구하시오. [3점]

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10

24.

^{자연수 }을 홀수인 자연수로 분할할 때, 자연수 ^이 두 개 이상 포함되도록 분할하는 방법의 수를 구하시오. [3점]

25.

함수 ^{    sin}의 역함수를 ^라 할 때, 곡선 ^{  }는 점 ^{ }을 지난다.

lim

 →   

  

의 값을 구하시오. [3점]

26.

^{좌표평면에서 점  가 곡선} _{  }

^ 

 (^{  })의

변곡점일 때, _



 의 값을 구하시오. (단, ^, ^는 상수이다.) [4점]

11

11 12

27.

^{세 문자 , , } 중에서 중복을 허락하여 ^개를 택해

일렬로 나열할 때, 문자 ^가 두 번 이상 나오는 경우의 수를 구하시오. [4점]

28.

^{자연수   ≥ 에 대하여 집합 를}

     ≤  ≤  ≤ , 와 는 자연수

라 하자. 집합 에서 임의로 선택된 한 개의 원소 ^{ }에 대하여 ^가 ^의 배수일 때, ^{  }일 확률이 _^ 이 되도록 하는 모든 자연수 ^의 값의 합을 구하시오. [4점]

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12

29.

^{좌표평면 위에 AB  인 두 점 A, B를 각각 중심으로}

하고 반지름의 길이가 ^인 두 원을 각각 _, _라 하자.

원 _ 위의 점 ^C와 원 _ 위의 점 ^D가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) ^cos∠CAB_{  }^

(나) AB⋅CD  이고



^CD



 이다.

선분 ^CD를 지름으로 하는 원 위의 점 ^P에 대하여

PA⋅PB의 최댓값이 ^{ }^ 이다. ^{ }의 값을 구하시오.

(단, ^, ^는 유리수이다.) [4점]

30.

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 ^에 대하여 곡선 ^{  } 위의 점 ^{  }에서의 접선의 ^절편을 ^라 하자. 모든 실수 ^에 대하여

  ^     

이고,



_^    ln

,      ln

일 때,

   



_{ }^{ }의 값을 구하시오. [4점]

1 12

5 지선다형

1.

^{×}



의 값은? [2점]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

2. lim

 → ∞^ 

^  

의 값은? [2점]

① _^ ② ^ ③ _^ ④ ^ ⑤ _^

3.

두 집합

  ,    

에 대하여 ⊂일 때, 상수 ^의 값은? [2점]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

4.

^{그림은 두 함수  →,  →}를 나타낸 것이다.

 ∘ 의 값은? [3점]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

2019학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 문제지 제 2 교시

1

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2

5.

^{실수 에 대한 두 조건 , 가 다음과 같다.}

    ,

  ^    ≤ 

명제  → 가 참이 되도록 하는 실수 의 최댓값은? [3점]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

6.

^{함수      이   에서 극소일 때, 상수 의}

값은? [3점]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

7.

^수열



^



에 대하여

  





_ , _{  }



^{  }

일 때, _{  }



^



^{  }



의 값은? [3점]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

3

3 12

8.

함수 ^{ }



^   의 그래프를 ^축의 방향으로 ^만큼

평행이동하였더니 함수 ^{ }^ 의 그래프와 일치하였다.

상수 ^의 값은? [3점]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

9.

^함수 _{  }^{  }_{  } 의 그래프의 점근선은 두 직선 ^{  }, ^{  } 이다. ^{ }의 값은? (단, ^, ^는 상수이다.) [3점]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

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4

10.

^{함수   }의 그래프가 그림과 같다.

lim

 →  

 

lim

 →  

의 값은? [3점]

① ^{ } ② ^{ } ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

11.

급수 _{  }



^∞



^





^이 수렴하도록 하는 모든 정수 ^의 개수는?

[3점]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

12.

^{두 사건 , 에 대하여}

P_{  }



 , ^P∩_{  }





일 때, ^P



∩^



_{의 값은? (단,} ^은 의 여사건이다.) [3점]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





5

5 12

13.

좌표평면 위의 두 점



^{ log}



,



^{  log}



을 지나는

직선의 기울기는? [3점]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

14.

어느 인공지능 시스템에 고양이 사진 ^장과 강아지 사진

장을 입력한 후, 이 인공지능 시스템이 각각의 사진을 인식하는 실험을 실시하여 다음 결과를 얻었다.

입력 인식 고양이 사진 강아지 사진 합계

고양이 사진 ^{  }

강아지 사진 ^{  }

합계 ^{  }

(단위: 장)

이 실험에서 입력된 ^장의 사진 중에서 임의로 선택한 ^장이 인공지능 시스템에 의해 고양이 사진으로 인식된 사진일 때, 이 사진이 고양이 사진일 확률은? [4점]

① _



 ② _



 ③ _



 ④ _



 ⑤ _





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6

15.

^등비수열



^



에 대하여

_ 



^ _



, _{  }



^{  }

일 때, ^ _ _의 값은? [4점]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

16.

수직선 위를 움직이는 점 ^P의 시각 ^{  ≥ }에서의 위치 ^가

  ^ ^  (^, ^는 상수)

이다. 시각   에서 점 P가 운동 방향을 바꾸고,

시각 ^{  }에서 점 ^P의 가속도는 ^이다. ^{ }의 값은? [4점]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

7

7 12

17.

^{함수    가 모든 실수 에 대하여}

  ′^ ^ 

를 만족시킨다. ^의 값은? (단, ^, ^는 상수이다.) [4점]

① ^ ② ^ ③ ^ ④ ^ ⑤ ^

18.

^{그림과 같이 A}B_ , ^AD_ 인 직사각형 ^AB_C_D_이 있다. 선분 ^AD_ 위의 ^BC_ B_E_, ^CB_ C_F_인

두 점 ^E_, ^F_에 대하여 중심이 ^B_인 부채꼴 ^B_^E_^C_과 중심이 ^C인 부채꼴 ^CF_B_을 각각 직사각형 ^AB_C_D_ 내부에 그리고, 선분 ^B_^E_과 선분 ^C_^F_의 교점을 ^G_이라 하자.

두 선분 ^GF_, ^GB_과 호 ^FB_로 둘러싸인 부분과 두 선분 ^G_^E_, ^G_^C_과 호 ^E_^C_로 둘러싸인 부분인

모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 _이라 하자.

그림 _에서 선분 ^BG_ 위의 점 ^A, 선분 ^CG_ 위의 점 ^D와 선분 ^BC_ 위의 두 점 ^B, ^C를 꼭짓점으로 하고

A_B_  A_D_   인 직사각형 ^AB_C_D_를 그리고, 그림 _을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형 ^AB_C_D_ 내부에 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을

_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 ^번째 얻은 그림 _에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 _이라 할 때,

lim

 → ∞

_의 값은? [4점]

① _^^   _

② _^^   _

③ _^^   _

④ _^^   _

⑤ _^^   _

이 문제지에 관한 저작권은 한국교육과정평가원에 있습니다.

8

19.

한 개의 주사위를 세 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로

, , 라 하자. 세 수 , , 가      ≤ 를 만족시킬 확률은? [4점]

① _^ ② _^ ③ _^ ④ _^ ⑤ _^

20.

^{자연수 에 대하여}        을 만족시키는 음이 아닌 정수 ^, ^, ^, ^의 모든 순서쌍     의 개수를 ^이라 하자. 다음은 _{  }



^{ }의 값을 구하는 과정이다.

음이 아닌 정수 ^, ^, ^, ^가        을 만족시키려면 음이 아닌 정수 ^에 대하여

    이어야 한다.

    인 경우는 (1) 음이 아닌 정수 ^_, ^_에 대하여

  _, ^{  }인 경우이거나 (2) 음이 아닌 정수 ^, ^에 대하여 ^{  } , ^{  } 인 경우이다.

(1) ^{  }, ^{  }인 경우:

       을 만족시키는 음이 아닌 정수

, ^, ^, ^의 모든 순서쌍     의 개수는

가 이다.

(2) ^{  } , ^{  } 인 경우:

       을 만족시키는 음이 아닌 정수

, ^, ^, ^의 모든 순서쌍     의 개수는

나 이다.

(1), (2)에 의하여        을 만족시키는

음이 아닌 정수 ^, ^, ^, ^의 모든 순서쌍     의 개수 ^은

_ 가  나

이다. 자연수 ^에 대하여

  





나 _{  }C_ 이므로

  





_ 다

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 ^{ }이라 하고,

(다)에 알맞은 수를 ^라 할 때,   의 값은? [4점]

①^ ②^ ③^ ④^ ⑤ ^

9

9 12

21.

^{상수 , }에 대하여 삼차함수 ^{    }가 다음

조건을 만족시킨다.

(가)      (나)       

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기>

ㄱ. 방정식 ′  은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

ㄴ.      일 때, ^{′ ≥ }이다.

ㄷ. 방정식 ^{  ′  }의 서로 다른 실근의 개수가

가 되도록 하는 모든 실수 ^의 개수는 ^이다.

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형

22.

P_의 값을 구하시오. [3점]

23.

함수 ^{    }에 대하여 ^{′}의 값을 구하시오.

[3점]

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10

24.

^등차수열



^



에 대하여

_ , ^ 

일 때, ^의 값을 구하시오. [3점]

25.

^{자연수 }을 홀수인 자연수로 분할할 때, 자연수 ^이 두 개 이상 포함되도록 분할하는 방법의 수를 구하시오. [3점]

26.

^다항식     ^의 전개식에서 ^의 계수를 구하시오. [4점]

11

11 12

27.

다음 조건을 만족시키는 전체집합 의 두 부분집합 , 에

대하여  의 최댓값을 구하시오. [4점]

(가) ^  

(나) ∩



^∪



≠∅

(다) ^  

28.

^{이차함수 }가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 _{}^ 는 ^{  }, ^{  }에서 불연속이다.

(나)

lim

 →   

  

의 값을 구하시오. [4점]

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12

29.

^함수

 











     

 ^ 

  ≥ 

이 실수 전체의 집합에서 연속이고 역함수를 갖는다. 함수

  의 그래프와 역함수 ^{   }의 그래프의 교점의 개수가 ^이고, 그 교점의 ^좌표가 각각 ^{ }, ^, ^일 때,

   의 값을 구하시오. (단, ^, ^, ^는 상수이다.) [4점]

30.

^{사차함수 }가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) ^ 이하의 모든 자연수 ^에 대하여

  





   이다.

(나) ^{  }, ^일 때, 함수 ^에서 ^의 값이 ^에서

 까지 변할 때의 평균변화율은 양수가 아니다.

 × 



^





의 값을 구하시오. [4점]

2019학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가

수학 영역 정답표 ( 가형 ) 과목

문항번호 정 답 배 점 문항

번호 정 답 배 점 문항

번호 정 답 배 점 문항

번호 정 답 배 점

1 ④ 2 9 ① 3 17 ① 4 25 17 3

2 ④ 2 10 ⑤ 3 18 ④ 4 26 96 4

3 ③ 2 11 ② 3 19 ③ 4 27 33 4

4 ② 3 12 ⑤ 3 20 ③ 4 28 48 4

5 ③ 3 13 ② 3 21 ④ 4 29 31 4

6 ① 3 14 ② 4 22 14 3 30 16 4

7 ④ 3 15 ⑤ 4 23 49 3

8 ③ 3 16 ① 4 24 3 3

2019학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가

수학 영역 정답표 ( 나형 ) 과목

문항번호 정 답 배 점 문항

번호 정 답 배 점 문항

번호 정 답 배 점 문항

번호 정 답 배 점

1 ④ 2 9 ④ 3 17 ① 4 25 3 3

2 ③ 2 10 ⑤ 3 18 ② 4 26 25 4

3 ③ 2 11 ⑤ 3 19 ④ 4 27 13 4

4 ⑤ 3 12 ② 3 20 ③ 4 28 24 4

5 ④ 3 13 ① 3 21 ③ 4 29 20 4

6 ② 3 14 ⑤ 4 22 56 3 30 65 4

7 ④ 3 15 ③ 4 23 15 3

8 ② 3 16 ① 4 24 35 3