ABSTRACT For the geotechnical analysis in the construction and design of the coastal structures, one of the most important factors is an existence of wave

工學碩士 學位論文. 波ㆍ構造物ㆍ地盤의 非線形 動的應答解析을 위한 直接數値解析技法의 開發 Development of a Direct Numerical Simulation Method on the Nonlinear Dynamic Responses among Wave, Structure and Seabed. 指導敎授. 金 度 三. 2005年 2月. 韓國海洋大學校 大學院 土木環境工學科. 金 昌 勳.

Development of a Direct Numerical Simulation Method on the Nonlinear Dynamic Responses among Wave, Structure and Seabed. by. Chang Hoon Kim. Department of Civil & Environment System Engineering Graduate School Korea Maritime University. ABSTRACT For the geotechnical analysis in the construction and design of the coastal structures, one of the most important factors is an existence of wave. It is expected that the soil behaviours in the seabed subjected to cyclic wave loads are much different from that on the ground subjected to dynamic forces such as earthquake. In the past few decades, considerable effects have been devoted to analysis the phenomenon of waveㆍstructureㆍseabed interaction. However, most of the researches for waveㆍstructureㆍseabed interaction have been focused on the assumption of rigid seabed. The wave-induced pore pressure in the seabed are key factor in studying the stability of the seabed in the vicinity of coastal structure, like a toe scouring. Since analytical model for waveㆍ seabed interaction gives a closed from solution, the fundamental characteristics can be analyzed easily and efficiently compared with numerical methods. But, analytical model is difficult to be applied to the cases with varying water depth or structure located on the seafloor, because this approach is limited to. - i -.

the simple geometrical case of the seabed. The most of the coastal structure behave dynamically with foundation soil and pore fluid in soil under wave loadings, particularly caisson type and submerged breakwater. Recently, Boundary Element Method(BEM)-Finite Element Method(FEM), Volume Of Fluid(VOF)-Finite Element Method(FEM) models for the nonlinear dynamic interaction among wave, structure and seabed is presented.. But, BEM-FEM. and VOF-FEM models are linked through applying hybrid numerical technique because of the assumptions that wave fields and seabed regime are uncouplied. Therefore, it is necessary to develope numerical model for simulating properly the dynamic responses among waveㆍstructureㆍseabed under wave loadings. In this paper, Direct Numerical Simulation(DNS) is newly proposed to study the nonlinear dynamic interaction among waveㆍ structureㆍseabed. This numerical model is based on the Porous Body Model in which the Darcy and Forchheimer friction are included. The transition from the fluid to the porous medium is achieved through a continuous of dynamic pressure and flow flux at the interfacial seabed surface. These equation can simulate the nonlinear laminar and transitional to full turbulent flow regimes through adjusting the resistance coefficient values. A newly proposed numerical model favorably well matchs with experimental results presented by Kioka et al.(1994) for waveㆍpermeable submerged breakwater, Yamamoto et al.(1978) for waveㆍcoarse sand, Mizutani et al.(1998) for waveㆍpermeable submerged breakwaterㆍcaorse sand and Mostafa et al.(1999) for waveㆍcomposite breakwaterㆍcaorse sand, respectively. Moreover, For the sake of discussing applicability of newly proposed numerical model, variations of the wave fields and pore pressure caused by coupling of waveㆍstructureㆍseabed, particularly submerged and composite breakwater, are discussed in detail.. - ii -.

波ㆍ構造物ㆍ地盤의 非線形 動的應答解析을 위한 直接數値解析技法의 開發 金 昌 勳. 韓國海洋大學校 大學院 土木環境工學科. 요 약. 연안구조물을 설치할 때 지반의 안정성 해석에 있어서 가장 중요한 문제점으로 파랑의 존재를 들 수 있다. 해저지반은 파랑에 의한 반복하중을 받는 특성을 가지 므로 지진과 같은 육상에서의 지반 거동과는 상당히 다른 특징을 갖는다. 지난 10 여년 동안 파ㆍ구조물ㆍ해저지반의 상호간섭에 대한 연구에 발전을 보여 왔다. 그 러나 파ㆍ구조물ㆍ해저지반의 상호간섭에 대해 이전의 연구자들은 해저불투과의 가정에 초점을 두고 있다. 파랑하중에 의한 지반내 간극수압은 연안구조물 부근에 서의 세굴과 같은 지반의 안정성을 연구하는데 중요한 요소이다. 파ㆍ해저지반의 상호간섭에 대한 해석모형이 완전한 형태의 해를 주기 때문에 상호간섭문제의 기 본적인 특성들은 수치모형에 비하여 쉽게 또는 효율적으로 분석될 수 있으나 이 러한 해석적 접근은 단순한 해저지반인 경우로 제약되고 수심이 변하는 경우나 해저지반에 구조물이 놓여있을 경우 적용하기가 어렵다. 대부분의 연안구조물, 특 히, 케이슨 형태의 방파제나 잠제는 기초지반과 같이 동적으로 거동한다. 최근 파 ㆍ구조물ㆍ해저지반의 비선형 상호간섭을 해석하기 위하여 경계요소법(BEM)과 유한요소법(FEM), VOF법과 유한요소법(FEM)을 병용한 수치해석기법이 제안되었 다. 하지만, 이러한 수치해석기법은 파동장과 지반부의 분리에 따른 가정 때문에. - iii -.

Hybrid기법을 적용하고 있다. 따라서 파랑하중하에서 파ㆍ구조물ㆍ해저지반의 동 적응답을 적절히 모의하기 위한 수치모델의 개발이 필요하다. 본 연구에서는 파ㆍ 구조물ㆍ해저지반의 비선형동적응답을 해석하기 위하여 직접수치해석기법(DNS) 이 새롭게 제안되었다. 본 수치해석기법은 Darcy 와 Forchheimer 저항력이 추가 된 Porous Body Model에 기초하고 있다. 해저접합면에서는 압력과 유량의 연속 을 고려함으로써 유체부에서 다공질매질로의 변화가 가능하다. 이러한 방정식은 적절히 저항계수를 조절함으로써 비선형 층류흐름영역에서부터 완전난류흐름영역 에까지 수치모의가 가능하게 된다. 새롭게 제안된 본 수치해석기법은 파ㆍ투과성 잠제에 대해서 Kioka et al.(1994), 파ㆍ모래지반에 대해서는 Yamamoto et al.(1978), 파ㆍ투과성잠제ㆍ모래지반에 대해서는 Mizutani et al.(1997), 파ㆍ혼성방 파제ㆍ모래지반에 대해서는 Mostafa et al.(1999)의 실험치와 각각 비교하여 좋은 일치성을 보였다. 또한, 새롭게 제안된 수치해석기법의 적용성을 검토하기 위하여 파ㆍ구조물(잠제, 혼성방파제)ㆍ해저지반의 결합에 의한 파동장 및 간극수압의 변 화 등이 상세히 논의 되었다.. - iv -.

目. 次. ABSTRACT ……………………………………………………………………………… ⅰ 요약 ……………………………………………………………………………………… ⅲ 目次 ……………………………………………………………………………………… ⅴ LIST OF FIGURE …………………………………………………………………… ⅷ LIST OF TABLE ……………………………………………………………………… xv LIST OF SYMBOLS ………………………………………………………………… xvi. 제1장 서 론 …………………………………………………………………………… 1 1.1 연구의 배경 ………………………………………………………………………… 1 1.2 기존의 연구 ………………………………………………………………………… 3 1.2.1 파ㆍ구조물의 상호간섭 ………………………………………………………… 3 1.2.2 파ㆍ해저지반의 상호간섭 ……………………………………………………… 5 1.2.3 파ㆍ구조물ㆍ해저지반 상호간섭 ……………………………………………… 6 1.3 연구의 목적 ………………………………………………………………………… 7 1.4 연구의 구성 ………………………………………………………………………… 7. 제2장 VOF-FDM 모델 …………………………………………………………… 9 2.1 수치해석 이론 ……………………………………………………………………… 9 2.1.1 기초방정식 ……………………………………………………………………… 9 2.1.2 격자설정과 셀내에서 변수위치의 결정 …………………………………… 12 2.1.3 기초방정식의 이산화 ………………………………………………………… 13 2.1.4 SOLA SCHEME ……………………………………………………………… 15 2.2 SOLA-VOF법에 의한 자유수면의 추적 ……………………………………… 19 2.2.1 자유수면의 수치계산을 위한 추정모델 …………………………………… 19 (1) 좌표계에 의한 방법 ………………………………………………………… 19 (2) 유체면 위치의 추적모델을 이용한 방법 ………………………………… 19 (a) Marker입자에 의한 방법 ……………………………………………… 19. - v -.

(b) 높이함수를 이용하는 방법 …………………………………………… 20 (c) VOF법에 의한 방법 …………………………………………………… 20 2.2.2 VOF함수의 이류방정식 ……………………………………………………… 21 2.2.3 VOF함수의 이류방정식에 대한 이산화 …………………………………… 21 2.2.4 VOF함수에 의한 자유수면의 모델링 ……………………………………… 22 2.2.5 VOF함수에 의한 자유수면의 판정 및 Cell의 분류 ……………………… 23 2.2.6 VOF함수의 수치계산 ………………………………………………………… 25 2.3 경계조건 …………………………………………………………………………… 33 2.3.1 자유수면에서의 경계조건 …………………………………………………… 33 (1) 유속경계조건 ………………………………………………………………… 33 (2) 압력경계조건 ………………………………………………………………… 34 2.3.2 개경계조건 …………………………………………………………………… 35 2.3.3 그 외의 경계조건 …………………………………………………………… 37 2.4 조파조건 …………………………………………………………………………… 38 2.5 안정조건 …………………………………………………………………………… 41 2.6 수치계산의 흐름 …………………………………………………………………… 42. 제3장 수치해석기법의 검증 …………………………………………………… 44 3.1 수치파동수로내에서 조파파형의 검증 ………………………………………… 44 3.1.1 시간파형 ……………………………………………………………………… 44 3.1.2 공간파형 ……………………………………………………………………… 48 3.2 해저지반내 층류저항의 영향 …………………………………………………… 50 3.2.1 간극수의 흐름 ………………………………………………………………… 50 3.2.2 지반내의 유속과 압력 ……………………………………………………… 52 3.2.3 지반내의 유속이 파동장에 미치는 영향 ………………………………… 71 3.3 파ㆍ구조물의 상호간섭 …………………………………………………………… 73 3.4 파ㆍ해저지반의 상호간섭 ………………………………………………………… 75 3.5 파ㆍ구조물ㆍ해저지반의 상호간섭 ……………………………………………… 77. 제4장 파ㆍ잠제ㆍ지반의 상호간섭 ………………………………………… 83 4.1 수치파동수로와 잠제 ……………………………………………………………… 83. - vi -.

4.2 잠제주변의 비선형파랑변형 특성 ……………………………………………… 84 4.3 공간파고변화와 평균수위변화 …………………………………………………… 91 4.4 잠제주변 및 지반내의 평균유속장 ……………………………………………… 96 4.5 잠제주변 및 지반내의 최대간극수압분포 …………………………………… 102 4.6 잠제저면에서 간극수압 ………………………………………………………… 107. 제5장 파ㆍ혼성방파제ㆍ지반의 상호간섭 ……………………………… 125 5.1 수치파동수로와 혼성방파제 …………………………………………………… 125 5.2 혼성방파제주변의 비선형파랑변형 특성 ……………………………………… 126 5.3 공간파고변화와 평균수위변화 ………………………………………………… 131 5.4 혼성방파제주변 및 지반내 평균유속장 ……………………………………… 136 5.5 혼성방파제주변 및 지반내 최대간극수압분포 ……………………………… 143 5.6 케이슨 및 사석마운드의 저면에서 간극수압 ………………………………… 150 5.6.1 사석마운드의 저면에서 간극수압 ………………………………………… 150 5.6.2 케이슨의 저면에서 간극수압 ……………………………………………… 172. 제6장 결 론 ………………………………………………………………………… 186 6.1 수치해석 …………………………………………………………………………… 186 6.2 해저지반내 층류저항의 영향 …………………………………………………… 186 6.3 파ㆍ잠제ㆍ지반의 상호간섭 …………………………………………………… 187 6.4 파ㆍ혼성방파제ㆍ지반의 상호간섭 …………………………………………… 188. <참고문헌> ………………………………………………………………………… 191. - vii -.

LIST OF FIGURES Fig. 1.1.1 Local failure modes of a submerged breakwater ……………………… 2 Fig. 1.1.2 Local failure modes of a composite breakwater ……………………… 2 Fig. 2.1.1 Definition sketch of numerical wave channel ………………………… 9 Fig. 2.1.2.1 Location of variables for a typical mesh cell ……………………… 13 Fig. 2.1.4.1 Newton-Raphson method ……………………………………………… 17 Fig. 2.2.4.1 Modeling of free surface ……………………………………………… 22 Fig. 2.2.5.1 Free surface using VOF function …………………………………… 23 Fig. 2.2.5.2 Exception to the classification of cells ……………………………… 24 Fig. 2.2.5.3 Evaluation of free surface shape ……………………………………… 25 Fig. 2.2.6.1 Definition of Donor-cell and Acceptor-cell ………………………… 27 Fig. 2.2.6.2 Fluid density of boundary cell for Donor-Acceptor method …… 28 Fig. 2.2.6.3 Change of subscript in the boundary cell ……………………………… 29 Fig. 2.2.6.4 Advection method of VOF function ………………………………… 30 Fig. 2.2.6.5 Exception of advection computation ………………………………… 30 Fig. 2.3.1.1 Horizontal velocity boundary condition ……………………………… 33. - viii -.

Fig. 2.3.1.2 Vertical velocity boundary condition ………………………………… 34 Fig. 2.3.1.3 Pressure boundary condition on free surface ……………………… 35 Fig. 2.3.2.1 Sketch of added fictious dissipation zone …………………………… 37 Fig. 2.4.1 Variation of wave source factor ………………………………………… 40 Fig. 2.6.1 Flow chart for numerical computation ………………………………… 43 Fig. 3.1.1.1 Measuring points of wave profile(wave channel) ………………… 45 Fig. 3.1.1.2 Measuring points of wave profile(wave-seabed channel) ………… 45 Fig. 3.1.1.3 Time variation of computed wave profiles at each time ………… 47 Fig. 3.1.1.4 Comparison of Stokes'3rd wave and computed nonlinear wave … 48 Fig. 3.1.2.1 Spatial variation of computed wave profiles at each time (wave channel) …………………………………………………………… 49 Fig. 3.1.2.1 Spatial variation of computed wave profiles at each time (wave-seabed channel) …………………………………………………… 49 Fig. 3.2.1.1 Fluid flow in seabed …………………………………………………… 50 Fig. 3.2.1.2 Definition sketch of wave-seabed channel …………………………… 51 Fig. 3.2.1.3 Comparision of computed water particle velocity ………………… 52 Fig. 3.2.2.1 Comparision of time variation of non-dimensional horizontal water particle velocity at each point ………………………………… 57. - ix -.

Fig. 3.2.2.2 Comparision of non-dimensional maximum horizontal water particle velocity at each point ………………………………………… 58 Fig. 3.2.2.3 Comparision of phase lag in the horizontal water particle velocity in seabed ……………………………………………………… 58 Fig. 3.2.2.4 Comparision of time variation of non-dimensional vertical water particle velocity at each point………………………………… 63 Fig. 3.2.2.5 Comparision of non-dimensional maximum vertical water particle velocity at each point ………………………………………… 64 Fig. 3.2.2.6 Comparision of phase lag in the vertical water particle velocity in seabed ……………………………………………………… 64 Fig. 3.2.2.7 Comparision of time variation of non-dimensional pore water pressure at each point …………………………………………………………… 69 Fig. 3.2.2.8 Comparision of non-dimensional maximum pore water pressure at each point …………………………………………………………… 70 Fig. 3.2.2.9 Comparision of phase lag in the pore water pressure in seabed … 70 Fig. 3.2.3.1 Measuring points of wave profile …………………………………… 71 Fig. 3.2.3.2 Comparision of numerical and experimental results ……………… 73 Fig. 3.3.1 Measuring points of wave profile(Kioka et al.) ……………………… 74 Fig. 3.3.2 Comparison of Kioka's experiment and calculation, and this study … 75. - x -.

Fig. 3.4.1 Comparison of wave-induced pore water pressure( p/p 0 ) in seabed … 76 Fig. 3.5.1 Definition sketch of wave-seabed channel (Wave-Submerged Breakwater-Seabed) ………………………………… 77 Fig. 3.5.2 Definition sketch of wave-seabed channel (Wave-Composite Breakwater-Seabed) ………………………………… 78 Fig. 3.5.3 Comparison of time variation of pore water pressure (Wave-Submerged Breakwater-Seabed) ………………………………… 79 Fig. 3.5.4 Comparison of time variation of wave profiles (Wave-Composite Breakwater-Seabed) ………………………………… 81 Fig. 3.5.5 Comparison of time variation of pore water pressure (Wave-Composite Breakwater-Seabed) ………………………………… 82 Fig. 4.1.1 Sketch of submerged breakwater applied to the wave-seabed channel ……………………………………………………… 83 Fig. 4.2.1 Spatial disribution of water level due to permeable submerged breakwater on seabed( T i = 1.2 sec ) …………………… 86 Fig. 4.2.2 Spatial disribution of water level due to permeable submerged breakwater on seabed( T i = 1.4 sec ) …………………… 88 Fig. 4.2.3 Spatial disribution of water level due to permeable submerged breakwater on seabed( T i = 1.6 sec ) …………………… 89. - xi -.

Fig. 4.2.3 Spatial disribution of water level due to permeable submerged breakwater on seabed( T i = 1.8 sec ) …………………… 91 Fig. 4.3.1 Spatial distribution of water level and wave height ………………… 94 Fig. 4.3.2 Spatial distribution of mean water level ……………………………… 96 Fig. 4.4.1 Mean flow fields( T i = 1.2 sec ) ……………………………………… 98 Fig. 4.4.2 Mean flow fields( T i = 1.4 sec ) ……………………………………… 99 Fig. 4.4.3 Mean flow fields( T i = 1.6 sec ) ……………………………………… 100 Fig. 4.4.4 Mean flow fields( T i = 1.8 sec ) ……………………………………… 101 Fig. 4.5.1 Spatial distribution of maximum pore water pressure ( p/ρgH i ) in submerged breakwater( T i = 1.2 sec ) …………………………… 103 Fig. 4.5.2 Spatial distribution of maximum pore water pressure ( p/ρgH i ) in submerged breakwater( T i = 1.4 sec ) …………………………… 104 Fig. 4.5.3 Spatial distribution of maximum pore water pressure ( p/ρgH i ) in submerged breakwater( T i = 1.6 sec ) …………………………… 105 Fig. 4.5.4 Spatial distribution of maximum pore water pressure ( p/ρgH i ). - xii -.

in submerged breakwater( T i = 1.8 sec ) …………………………… 106 Fig. 4.6.1 Calculating points of pore water pressure below submerged breakwater …………………………………………… 107 Fig. 4.6.2 Time variation of pore water pressure at each point ……………… 121 Fig. 4.6.3 Spatial distribution of maximum pore water pressure according to the variation of wave period at each point ………… 123 Fig. 4.6.4 Spatial distribution of maximum pore water pressure according to the variation of incident wave height at each point ……………… 124 Fig. 5.1.1 Sketch of composite breakwater applied to the wave-seabed channel … 125 Fig. 5.2.1 Spatial distribution of wave level due to composite breakwater ( T i = 1.3 sec ) …………………………………………………………… 128 Fig. 5.2.2 Spatial distribution of wave level due to composite breakwater ( T i = 1.5 sec ) …………………………………………………………… 129 Fig. 5.2.3 Spatial distribution of wave level due to composite breakwater ( T i = 1.7 sec ) …………………………………………………………… 130 Fig. 5.2.4 Comparision of water particle velocity in seabed below wave trough and crest(CASE3) ………………………………………… 131 Fig. 5.3.1 Spatial distribution of water level and wave height ……………… 133 Fig. 5.3.2 Spatial distribution of mean water level …………………………… 135. - xiii -.

Fig. 5.4.1 Mean flow fields( T i = 1.3 sec ) ……………………………………… 138 Fig. 5.4.2 Mean flow fields( T i = 1.5 sec ) ……………………………………… 140 Fig. 5.4.3 Mean flow fields( T i = 1.7 sec ) ……………………………………… 142 Fig. 5.5.1 Spatial distribution of maximum pore water pressure ( p/ρgH i ) in composite breakwater( T i = 1.3 sec ) …………………………… 145 Fig. 5.5.2 Spatial distribution of maximum pore water pressure ( p/ρgH i ) in composite breakwater( T i = 1.5 sec ) …………………………… 147 Fig. 5.5.3 Spatial distribution of maximum pore water pressure ( p/ρgH i ) in composite breakwater( T i = 1.7 sec ) …………………………… 149 Fig. 5.6.1.1 Calculating points of pore water pressure below rubble mound … 150 Fig. 5.6.1.2 Time variation of pore water pressure at each point …………… 166 Fig. 5.6.1.3 Spatial distribution of maximum pore water pressure according to the variation of wave period at each point ……… 170 Fig. 5.6.1.4 Spatial distribution of maximum pore water pressure according to the variation of incident wave height at each point …………… 170 Fig. 5.6.2.1 Calculating points of pore water pressure below cassion ……… 172. - xiv -.

Fig. 5.6.2.2 Time variation of pore water pressure at each point …………… 183 Fig. 5.6.2.3 Spatial distribution of maximum pore water pressure according to the variation of wave period at each point ……… 184 Fig. 5.6.2.4 Spatial distribution of maximum pore water pressure according to the variation of incident wave height at each point …………… 185. LIST OF TABLE Table 2.2.5.1 Determination of the free surface orientation …………………… 22 Table 4.1.1 Conditions of incident wave ………………………………………… 43 Table 5.1.1 Conditions of incident wave ………………………………………… 43. - xv -.

LIST OF SYMBOLS B. 잠제 및 혼성방파제의 사석마운드 폭. CD. 층류저항계수. CM. 관성력계수. c. Courant수. d. Diffusion수. Dx. x 방향의 층류저항. Dz. z 방향의 층류저항. D i, k. i, k 셀에서의 발산. δ. Dirac delta함수. δt. 시간스텝의 간격. δx s. x = x s 를 포함하는 x 방향의 격자폭. Δt. 위상속도차. εv. 체적공극율. εx. x 방향의 면적투과율. εz. z 방향의 면적투과율. F. VOF함수. FD. 난류저항계수. Fx. x 방향의 난류저항. - xvi -.

Fz. z 방향의 난류저항. g. 중력가속도. H. 파고. Hi. 입사파고. h. 수심. hs. 지반깊이. η. 수위변동. η max. 최대수위. η min. 최소수위. η. 평균수위. ηs. 조파소스위치에서의 수위변동. ηo. 조파소스에 의해 기대되는 수위변동. κ. 가중계수. Li. 입사파장. Mx. x 방향의 관성저항. Mz. z 방향의 관성저항. p. 압력. q. *. 조파위치 x = x s 에서의 조파소스의 유량밀도. Re. Reynolds number. Ti. 입사파주기. t. 시간. U0. 발생파의 수평유속성분. u. x 방향의 유체입자속도. VT. 최대침투속도. ν. 동점성계수. w. z 방향의 유체입자속도. - xvii -.

ω. 수렴시간을 단축시키기 위한 가속계수. ρ. 유체의 밀도. β. 부가감쇠영역에서의 파랑감쇠계수. τ i, j. 검사체적의 표면에 작용하는 점성응력. i. 점성응력이 작용하는 평면. j. 점성응력이 작용하는 방향. xp. 케이슨전면으로부터 간극수압의 최대치가 나타나는 위치. xs. 조파소스의 위치. - xviii -.

제1장 서 론 1.1 연구의 배경 최근 해안ㆍ해양자원에 대한 사회적 관심이 고조됨에 따라 연근해역의 이용ㆍ 개발ㆍ보전을 위한 계획ㆍ조사가 활발하고 해안ㆍ항만구조물(연안구조물)의 건설 이 증가하고 있는 상황이다. 각종 연안구조물을 건설하는 경우, 설계 및 시공 단 계에서 해저지반의 거동에 따른 여러 가지 문제점이 발생하게 될 것으로 예상되 고, 특히 해저면에서 큰 동적 파랑하중을 받는 연안구조물의 기초설계에는 파랑의 영향으로 발생될 수 있는 지반의 불안정을 고려해야 할 필요성이 있다. 지금까지 연안구조물의 안정성 평가 및 내파설계에는 주로 파와 구조물의 상호 간섭만을 검토하여 왔다. 해안 및 항만구조물의 설계에서 파랑 및 표사 제어와 같 은 본래의 기능면 뿐만 아니라, 정도 높은 해석을 위해서 파랑특성에 따른 해저지 반의 과잉간극수압과 같은 동적응답변화도 고려된 종합적인 안정성의 검토가 최 근 중요한 문제로 대두되고 있다. 그러나 파랑에 의한 해저지반의 파압변동과 그 에 따른 연안구조물의 침하 및 지반내의 간극수압의 증가에 따른 액상화문제 등 여러 가지 기술적인 문제들에 대한 관심이 연안구조물 건설이나 대규모 간척사업 등에서 증대되고 있으나 이에 대한 대책 및 연구는 매우 부족한 실정이다. 연안구조물을 설치할 때 지반의 안정성 해석에 있어서 가장 중요한 문제점의 하나로 파랑의 존재를 들 수 있다. 해저지반은 파랑에 의한 반복하중을 받는 특성 을 가지므로 육상에서의 지반거동과는 상당히 다른 특징을 갖는다. 일반적으로 파 랑은 해저지반내에 동적압력을 발생시킨다. 이러한 해저지반내의 동적압력변동은 해저지반의 불안정을 유발시키며, 이 결과로 해저파이프라인, 방파제, 석유저장고 등과 같이 지반과 접한 연안구조물에 있어서 액상화, 세굴 및 해저지반의 전단파 괴 등에 의해 안정성이 중대한 영향을 받는다. 특히, Fig. 1.1.1과 Fig. 1.1.2에서 볼 수 있는 바와 같이 지반의 액상화나 세굴ㆍ토사유출이 구조물의 침하나 파괴의 원인으로 판단되는 경우도 적지 않으며, 이의 메카니즘 규명과 대책법의 확립이 중요하다(Zen et al., 1987 ; Maeno and Nage, 1988). 이러한 파ㆍ구조물ㆍ해저지반과의 비선형상호간섭에 대한 수치해석인 접근방법 이 연구ㆍ발전되어 왔다. 그러나 지금까지의 수치해석적인 접근방법은 파동장과. - 1 -.

지반부에 대해 서로 다른 지배방정식을 적용하여 해석하는 Hybrid기법에 의존하 고 있는 실정이다. 또한 기존의 Hybrid기법은 파동장과 지반부를 따로 계산하고 이를 결합하여 해석해야하는 많은 불편함을 가지고 있을 뿐만 아니라, 지반내 유 체흐름에 대부분이 정상류에 대한 Darcy법칙을 적용하고 있기 때문에 파ㆍ구조물 ㆍ해저지반의 비선형상호관섭에 대해 동일한 수치알고리즘을 통한 고정도의 수치 해석기법의 개발이 필요하다.. wave ROLL OF STONE. seabed. SCOUR DUE TO SLIP FAILURE / LIQUEFACTION. Fig. 1.1.1 Local failure modes of a submerged breakwater.. Cassion. wave. EROSION / PUNCHING FAILURE. ROLL OF STONE TOE FAILURE DUE TO SLIP / LIQUEFACTION. seabed. Fig. 1.1.2 Local failure modes of a composite breakwater.. - 2 -.

1.2 기존의 연구 1.2.1 파ㆍ구조물의 상호간섭 투과성구조물에 의한 파랑변형해석은 Madsen(1974), Sollitt and Cross(1972) 등 의 선형파랑변형해석을 위시하여, Kioka et al.(1994), Ohyama and Nadaoka(1991), 김 등(1997, 1998)의 비선형파랑변형해석에 이르기까지 많은 연구가 활발히 수행 되어 오고 있다. 특히, Sollitt and Cross(1972)는 관성력과 Dupuit-Forchheimer형 의 두 가지 비선형저항력이 추가된 투과성구조물 내부에서의 선형화된 운동방정 식을 제안하였다. 그러나 Sollitt and Cross(1972)의 연구에서 투과성구조물 내부에 서의 고차파(higher harmonics)의 생성은 빨리 소산된다는 가정하에 이류항에 대 한 고려는 무시되었다. Losada et al.(1995)는 Sollitt and Cross(1972)의 가정을 검 증하기 위하여 수리실험을 통한 투과성구조물 배후의 자유수면변동에 있어서 이 류항에 의한 2차파(second-order harmonics)의 생성을 확인하고 Sollitt and Cross(1972)에 의해 무시된 이류항이 파랑과 투과성구조물과의 상호간섭에서 중요 한 요소로 작용될 수 있음을 지적하였다. Ohyama and Nadaoka(1994)는 비쇄파시 잠제의 경우에 대해 강비선형ㆍ강분산 의 파동장을 취급하는 강비선형포텐셜모델과 약비선형(weekly nonlinear) 및 개량 된 분산관계식을 통한 Boussinesq형태의 이론을 각각 실험치와 비교ㆍ검토함으로 써 강비선형포텐셜모델이 파변형의 과정을 잘 재현하고 있음을 확인하였다. Rojankmthorn et al.(1989), Losada et al.(1996), Mendez et al.(2001)은 확장된 완경사방정식을 제안하여 파랑과 투과성구조물과의 상호간섭을 검토하였다. 실제 적으로 대부분의 연안구조물과 파랑과의 상호간섭은 비선형성이 중요한 요소이기 때문에 일반적으로 선형파이론에 기초한 완경사방정식의 적용은 제한된다. 파랑과 투과성구조물과의 상호간섭에 대한 이러한 연구들은 포텐셜이론에 기초 한 연구로서 쇄파에 대한 모델의 적용성 및 복잡한 유체현상에 대해서는 설명할 수 없다는 단점이 있다. 최근 쇄파 이후의 파랑변형을 포함한 파랑과 투과성구조물과의 비선형상호간섭 에 대한 연구가 지속되면서 수리실험에 의존해 오던 쇄파문제를 수치적으로 접근 하려는 해석기법들이 다양하게 제안되고 있다. 이러한 쇄파의 수치해석에 관한 연 구로는 경계적분방정식에 의한 2차원파동장에서 쇄파시 수면파형을 재현하는. - 3 -.

Longuet-Higgins and Cokelet(1976), Kioka(1983), Dold and Peregrine(1984), 김 등(1997, 1998)의 연구와 Marker And Cell(이하 ; MAC)법을 이용한 Welch et al(1966) 등의 연구가 있다. 그러나 경계적분방정식은 포텐셜이론에 기초하고 있기 때문에 쇄파후의 파랑변형 및 파의 재생성과정을 설명할 수 없으며, MAC법은 자 유수면의 계산시 많은 시간과 용량을 필요로 하므로 3차원으로의 확장이 곤란한 단점이 있다. 이에 쇄파를 포함한 자유수면을 추적할 수 있는 VOF(Volume Of Fluid ; Hirt and Nichols, 1981)법을 활용한 수치파동수로의 연구개발이 활발하게 이루어 지고 있다. Sakakiyama and Kajima(1992)는 VOF법에 기초하여 투과성구조물의 존재를 고 려할 수 있는 기하학적인 파라메타와 구조물과 파와의 상호간섭을 관성력과 항력 으로 취급한 Navier-Stokes방정식 형태의 Porous Body Model(이하 ; PBM)을 제 안하였으며, Hur(2000)는 VOF법과 PBM에 기초하여 투과성구조물 및 임의의 해 저지형에 적용할 수 있는 수치계산수법을 2차원 및 3차원의 규칙파동장(regular waves field) 및 다방향불규칙파동장(multi-directional irregular waves field)의 형 태로 제안한 후, 다양한 구조물에 대해 파와 구조물과의 비선형상호간섭 뿐만 아 니라 잠제상에 작용하는 불규칙파의 파력특성의 해석에까지 적용하고 있다. 국내 에서는 김 등(2001, 2002, 2002a, 2002b)이 VOF법과 PBM에 기초하여 파와 투과성 구조물과의 비선형상호간섭에 관해 연구한 바 있다. 그러나 이들이 적용하는 PBM은 각 방향에 작용하는 항력항을 고체를 포함한 미소요소에 균등하게 작용하 는 등가저항으로 간주하여 투과성매체내의 유체운동이 난류저항에 지배된다는 가 정하에 층류저항은 고려되지 않았다. Dybbs and Edwards(1984)는 투과성구조물 내에서의 유체운동을 식(1.2.1.1)로 표현되는 Reynolds number값에 기초하여 Creeping흐름( R e < 1 ), 비정상층류흐름 ( R e = 1～150 ),. 완전난류흐름( R e > 150 )으로. 분류하여. 이러한. 흐름을. Darcy(1856), Forchheimer(1901) 및 완전난류흐름영역으로 각각 언급하였다. R e = D PV T / ν. (1.2.1.1). 여기서, D P 는 투과성매체의 평균입경, V T 는 최대침투속도, ν 는 동점성계수이다. 일반적으로 모래와 같은 입경이 작은 투과성구조물 내부에서의 유체운동은 통상 Darcy의 흐름 영역안에 분류되는 반면 입경이 큰 자갈 및 사석 등의 거친 입상체. - 4 -.

내에서는 Forchheimer흐름에서부터 완전난류흐름의 영역으로 분류된다. Van Gent(1995)는 파와 투과성구조물의 상호간섭에 대한 연구에서 선형 및 비 선형저항 뿐만 아니라 관성력계수 등의 저항계수를 측정하기 위해 침투능시험을 수행하여 모래질의 투과성매체내의 흐름은 층류저항에 의해 지배됨을 지적하였다. 따라서 투과성매체내부의 유체운동에 대해 층류저항이 고려되지 않은 PBM을 입경이 작은 해저지반에 대해 직접적으로 적용함에는 무리가 있을 수 있다.. 1.2.2 파ㆍ해저지반의 상호간섭 파랑에 의한 해저지반의 간극수압에 대한 연구는 간극수압의 변동을 지배방정 식의 유도에서 전제로 되는 간극수와 토립자 골격의 압축성에 대한 가정의 차이 로부터 서로 다른 이론과 가정을 통하여 연구되어 왔다. Putnam(1949), Reid and Kajiura(1957), Sleath(1970), Liu and O'Donnel(1979) 등은 간극수 및 토립자골격을 비압축성으로 가정하고 간극수내의 흐름은 Darcy법 칙에 따르는 것으로 가정하여 간극수의 흐름포텐셜이 Laplace방정식으로 표현되 는 것을 나타내었다. 더욱이 Moshagen and Tourm(1975)는 간극수의 압축성을 고 려하여 변동간극수압이 열전도형의 방정식으로 표현된다는 것을 나타내었다. Putuam(1949)의 연구를 필두로 하는 이들의 연구는 파랑에 의한 해저지반내의 흐 름해석에 주안점이 주어져 있다. Okusa(1975)는 간극수 및 토립자 골격의 압축성을 고려하여 Terzaghi에 의한 압밀방정식을 개량하였고, Inoue(1975)는 토립자에 부착된 기포를 고려해서 같은 식을 유도하였다. Yamamoto et al.(1978) 및 Madsen(1978)은 해저지반을 다공성의 선형탄성체로 가정한 Biot(1941)의 압밀방정식과 지중응력을 결합하여 지반중의 간극수압과 응 력의 관계에 대해 해석해를 수행하였다. 그러나 이러한 해석적접근은 단순한 해저지반인 경우와 지반내 유체흐름이 정 상류에 대한 Darcy법칙으로 제약되고 수심이 변하는 다양한 해저지반 및 해저지 반에 구조물이 놓여 있을 경우 적용하기가 어렵다. 또한 선형파이론에 기초한 연 구로서 구조물 주변의 불규칙한 파동장 및 비선형성의 파랑에 의한 해저지반의 동적응답에 대해서는 해석을 할 수 없다는 단점이 있다.. - 5 -.

1.2.3 파ㆍ구조물ㆍ해저지반의 상호간섭 Mynett and Mei(1982)은 Mei and Foda(1981)에 의해 발전된 Biot형의 방정식 에 경계층근사와 선형파이론을 적용하여 케이슨방파제하의 포화탄성지반내에서 파랑에 의한 응력을 검토하고 있지만 선평파동장과 지반이 분리되었으며 해안방 향으로의 투과파가 무시되었다. McDougal et al.(1986)은 혼성방파제하의 해저지반내에서 파랑에 의한 응력을 논의하였다. 그러나 파동장에서 사석기초의 영향과 사석기초내의 파랑에 의한 응 력을 고려하지 않았다. Mase et al.(1994)은 Biot형 방정식과 선형파 조건을 적용하여 혼성방파제의 동 적응답에 대한 유한요소법(FEM)을 개발하였다. 사석기초의 적은 투수성에 의해 케이슨하의 압력분포는 선형에서 비선형으로 변화될 수 있음을 지적하였으나 해 저지반과 파동장이 역시 분리되었으며 해안방향으로의 투과파가 무시되었다. 이러한 연구들은 선형파이론에 기초한 연구로서 그 한계점이 있다. Mizutani. et. al.(1998)는. 경계요소법(BEM)과. 유한요소법(FEM)이. 결합된. BEM-FEM모델을 개발하여 비선형성의 파랑과 구조물 및 지반의 동적응답관계에 대한 연구를 수행하였다. 그들은 실험치와의 비교ㆍ검토를 통해 제안한 모델의 타 당성을 검증하였다. 하지만 실제 현지에서 많은 문제가 되고 있는 액상화나 세굴 ㆍ토사유출에 큰 영향을 미치는 쇄파에 대한 모델의 적용성에 문제점을 안고 있 으며 파동장과 지반부의 분리에 따른 Hybrid기법의 적용성에는 수치기법상 많은 불편함을 가지고 있다. 최근 쇄파 이후의 파랑변형 및 지반의 동적응답에 관해서도 심도 있는 연구가 수행되고 있는 바, 유체부에 대해서는 Navier-Stokes방정식을 직접 이용하는 NASA-VOF를 채용하고 지반부에는 Biot의 압밀이론에 기초한 2상점탄성체(2相粘 彈性體)로 가정하여 유한요소법(FEM)을 적용하는 VOF-FEM을 개발되었으나 역. 시 유체부와 지반부에 대해 Hybrid기법을 채택하고 있다(蔣 勤 등, 2000). 이러한 Hybrid기법을 적용함에 있어서 지반부에 대한 간극수의 흐름에 Darcy 의 정상류흐름을 적용하고 있기 때문에 지반표면 근방에서 발생되는 비정상적인 간극수의 흐름에 대해서는 정도 높게 평가될 수 없는 단점이 있다.. - 6 -.

1.3 연구의 목적 파ㆍ구조물ㆍ지반의 비선형상호간섭에 대하여 파동장과 지반부에 대해 서로 다 른 지배방정식 및 수치해석기법을 적용하여 해석하는 기존의 Hybrid기법은 파동 장과 지반부를 따로 계산하고 이를 결합하여 해석해야하는 많은 불편성을 가지고 있을 뿐만 아니라, 지반내 유체흐름에 정상류에 대한 Darcy법칙을 적용하고 있기 때문에 고정도의 비선형해석을 수행할 수 없는 단점이 있어왔다. 따라서 본 연구 에서는 이를 해결하기 위하여 파동장과 지반부에 대한 하나의 지배방정식을 구성 하고, 유한차분법(FDM)을 적용하여 파동장과 지반부에 동일한 수치알고리즘을 통 한 Full-nonlinear해석을 수행함으로써 파ㆍ구조물ㆍ지반의 상호간섭을 해석할 수 있는 직접수치해석기법(direct numerical simulation method)을 제안하여 그 타당 성을 검증함과 동시에 적용성을 검토한다. 그리고 지반위에 설치된 잠제 및 혼성 방파제를 대상으로 파랑조건에 따른 파ㆍ구조물ㆍ지반의 비선형상호간섭을 고찰 함으로써 구조물 근방에서 발생되는 세굴의 가능성 및 지반내에서 액상화의 가능 성을 검토하여 해저지반의 불안정 및 구조물의 안정성을 논의한다. 또한 동적 파 랑하중을 받는 연안구조물의 기초설계에 있어서 파랑에 의한 구조물의 세굴과 액 상화에 의한 침하나 파괴의 메카니즘을 규명하고자 한다.. 1.4 연구의 구성 본 연구의 구성은 다음과 같다. 제1장에서 연구의 배경과 목적 및 기존의 연구 그리고 연구의 구성에 대해 간 단히 서술한다. 제2장에서는 수치파동수로를 이용한 수치해석을 위하여 본 연구에서 제안하는 기초방정식과 VOF법, 경계조건 및 조파조건에 대한 이론을 전개하고, 수치계산기 법에 관한 전반적인 사항을 기술한다. 제3장에서는 해저지반내의 유체운동에 대해 본 연구에서 제안하는 수치해석기 법의 계산결과와 층류저항이 고려되지 않은 Porous Body Model(PBM)에 의한 수 치해석결과에 대해 지반깊이의 증가에 따른 유속, 간극수압의 위상지연 및 최대값 을 상호 비교ㆍ검토 함으로써 지반내 유체운동에 대해 층류저항의 필요성을 논의. - 7 -.

하고, 기존의 연구결과 및 실험치와 본 연구의 수치해석결과를 각각 비교ㆍ검토 함으로써 본 연구의 타당성을 검증한다. 제4장에서는 제3장에서 검증된 본 연구의 수치해석기법에 기초한 수치파동수 로를 적용하여 지반위에 설치된 잠제를 대상으로 파ㆍ잠제ㆍ지반의 상호간섭에 대해 고찰한다. 제5장에서는 지반위에 설치된 혼성방파제를 대상으로 파랑조건에 따른 파ㆍ혼 성방파제ㆍ지반의 상호간섭을 고찰한다. 제6장에서는 이상으로부터 도출된 중요한 사항을 요약하여 본 연구의 결론으로 한다. 마지막으로 본 연구에 있어서 참고하고 인용한 주요한 문헌을 제시한다.. - 8 -.

제2장 VOF-FDM 모델 2.1 수치해석 이론 파∙구조물∙지반의 상호간섭을 해석하기 위하여 Fig. 2.1.1과 같은 수치파동수 조를 고려한다. 수치파동수로는 부가가상감쇠영역(added fictious dissipation zone)과 계산영역(calculation zone)으로 이루어져 있으며, 부가가상감쇠영역은 개 경계(open boundary)에서 파랑이 재반사되어 계산영역의 파동장이 교란되는 것을 방지하기 위하여 해석영역의 양단에 설치되어 있다. 계산영역내에는 수치적으로 파랑을 발생시키기 위한 조파소스와 해저지반이 고려되었다. open boundary. open boundary. x added dissipation zone. wave source w. wave field. Cassion. z structure h. u. seabed 2Li< −. added dissipation zone. hs. calculation zone. ≥ 2Li. Fig. 2.1.1 Definition sketch of numerical wave channel.. 2.1.1 기초방정식 투과층내에서 간극수의 흐름에는 투과체의 공극율, 입경의 모양, 크기 및 표면 의 거칠기 등에 좌우되는 저항계수에 의해 에너지소산이 발생한다. 본 연구에서 간극의 형태를 변형이 없는 견고한 투과체로 가정하면 파동장과. - 9 -.

동일한 유체로 채워진 해저지반 및 투과성구조물과 유체와의 상호간섭의 효과를 포함하는 비압축성∙점성유체의 운동방정식을 유도할 수 있고, 이에 대한 투과층 의 다양한 기하학적인 형태와 모델화된 유체저항을 도입할 수 있다. 또한 이러한 운동방정식은 저항계수의 적절한 조정을 통하여 비선형층류흐름에서부터 완전 난 류흐름에 이르기까지 유체흐름에 대한 수치모의를 가능하게 한다. 본 연구에서는 파동장과 투과성구조물 및 해저지반에 대해 동일한 수치알고리 즘을 적용하여 조파소스로 인한 Poisson방정식 형태인 식(2.1.1.1)의 연속방정식과 Navier-Stokes운동방정식을 Porous Body Model(이하 ; PBM)에 근거하여 확장한 식(2.1.1.2), (2.1.1.3)을 구성한다. ∂ ( ε x u) ∂ ( ε z w) * + =q ∂x ∂z. (2.1.1.1). ε v ∂u + ε x u ∂u + ε zw ∂u ∂t ∂x ∂z. 1 ∂p 1 =- ε v ρ +ρ ∂x. (. ∂ε xτ xx ∂ε zτ zx + - M x- D x - F x ∂x ∂z. ). (2.1.1.2). ε v ∂w + ε x u ∂w + ε zw ∂w ∂t ∂x ∂z. 1 ∂p 1 +ρ =- ε v ρ ∂z. (. * ∂ε xτ xz ∂ε zτ zz 2ν ∂q + ∂x ∂z 3 ∂z. ). - ε vg - βw - M z - D z -F z. *. q =. {. q( z, t)/δ x s : x = x s 0 : x≠x s. (2.1.1.3). (2.1.1.4). 여기서, u, w 는 x, z 방향의 속도성분, q * 는 조파소스의 유량밀도로, 조파소스가 위 치하는 x = x s 이외의 영역에서는 0으로 주어진다. δx s 는 x = x s 를 포함하는 x 방 향의 격자폭이다. t 는 시간, g 는 중력가속도, ρ 는 유체의 밀도, p 는 압력, β 는 부가 감쇠영역을 제외하고는 0으로 주어지는 파랑감쇠계수, ε v 는 체적공극율(volume. - 10 -.

porosity),. ε x, ε z는. x, z 방향에. 대한. 면적투과율(surface. permeability),. τ i, j ( i = x,z , j = x, z )는 검사체적의 표면에 작용하는 점성응력으로 i 는 점성응. 력이 작용하는 평면을 가리키고, j 는 그 평면내에서의 방향을 나타낸다. 식(2.1.1.2), (2.1.1.3)에서 M x , M z 는 관성저항을 나타내며(Sakakiyama and Kajima, 1992), D x, D z 는 Darcy의 층류저항, F x,F z 는 Forchheimer의 난류저항으로 다음 식으로 결정된다(Shijie and Jacob, 1999 ; Ergun, 1952).. M x = ( 1 - ε v )C M. Du ∂u ∂u ∂u = ( 1 - ε v )C M +u +w Dt ∂t ∂x ∂z. M z = ( 1 - ε z )C M. Dw ∂w ∂w ∂w = ( 1 - ε v )C M +u +w Dt ∂t ∂x ∂z. {. {. }. (2.1.1.5). }. (2.1.1.6). Dx= CD. ν (1- ε x ) u 2 ε 2x DP. (2.1.1.7). Dz= CD. ν (1- ε z ) w 2 ε 2z DP. (2.1.1.8). Fx= FD. (1- ε x ) u D Pε 2x. ( ε x u) 2 + ( ε z w) 2. (2.1.1.9). Fz= FD. (1- ε z ) w 2 D Pε z. ( ε x u) + ( ε z w). (2.1.1.10). 2. 2. 2. 2. 여기서, C M 은 관성력계수, C D 는 층류저항계수, F D 는 난류저항계수이다. 식(2.1.1.5), (2.1.1.6)의 관성력항과 식(2.1.1.7)), (2.1.1.8)의 층류저항 및 식(2.1.1.9), (2.1.1.10)의 난류저항을 식(2.1.1.2), (2.1.1.3)에 대입하면 다음의 운동방정식을 얻을 수 있다.. - 11 -.

λ v ∂u + λ x u ∂u + λ zw ∂u ∂t ∂x ∂z. 1 ∂p 1 =- ε v ρ +ρ ∂x -C D. (. ∂ε xτ xx ∂ε zτ zx + ∂x ∂z. ). 2 (1- ε x ) ν (1- ε x ) u-FD u 2 2 2 εx D Pε x DP. 2 2 ( ε x u) + ( ε z w) (2.1.1.11). λ v ∂w + λ x u ∂w + λ z w ∂w ∂t ∂x ∂z. 1 ∂p 1 +ρ =- ε v ρ ∂z. (. ∂ε xτ xz ∂ε zτ zz 2ν ∂q * + - ε vg - β w ∂x ∂z 3 ∂z. ). 2 (1- ε z ) ν (1- ε z ) -CD 2 w-FD w 2 2 εz D Pε z DP. 2 2 ( ε x u) + ( ε z w) (2.1.1.12). 여기서,  λ = ε + ( 1 -ε )C v v M  v   λ x = ε x +(1 -ε x )C M    λ z = ε z +(1 -ε z )C M. (2.1.1.13). 식(2.1.1.11), (2.1.1.12)에서 좌변은 단위체적당 관성력을 나타내고, 우변항은 단 위체적당 유체에 작용하는 총 외력을 나타낸다.. 2.1.2 격자설정과 셀내에서 변수위치의 결정 본 수치해석기법은 유한차분법에 기초를 두고 있으므로 계산영역을 크기가 일 정한 직사각형의 격자로 분할하고, 셀 전체에 유체가 있는 경우를 유체셀, 셀 전 체에 기체가 있는 경우를 기체셀, 셀내에 유체와 기체가 혼합되어 있는 경우를 표. - 12 -.

면셀, 셀 전체에 구조물이 있는 경우를 구조물셀로 각각 정의한다. 또한 격자 주위에는 직접 계산에 이용되지는 않지만 경계처리시에 필요한 가상 셀을 둔다. 격자를 설정한 후에는 각 셀에서의 유속 u, w 를 각각 셀 경계인 오 른쪽과 위쪽에 위치시키고, 압력 p , 조파소스의 유량밀도 q * 및 VOF함수 F 를 각각 셀 중심에 위치하도록 하여 변수들이 엇갈리게 격자를 구성하는 Fig. 2.1.2.1과 같은 엇갈린격자(staggered mesh)를 적용한다. 이러한 엇갈린격자는 각 각의 셀이 연속방정식을 만족시키는 검사체적(control volume)이 되고, 운동량 교 환은 각 셀의 면을 통해 이루어진다. 또한 압력과 속도를 동일한 위치에서 정의할 때 발생될 수 있는 checkboard해를 방지할 수 있다(Patankar, 1980). wi,k+1/2. δzi z. Pi,k , qi,k. ui+1/2,k. Fi,k. δxi x. : Imaginary cell. : ui+1/2,k. : wi,k+1/2. Fig. 2.1.2.1 Location of variables for a typical mesh cell.. 2.1.3 기초방정식의 이산화 식(2.1.1.1)의 연속방정식을 셀 중앙에서 2차정도의 중심차분근사시키면 다음과 같이 이산화된 식(2.1.3.1)로 표현할 수 있다.. [. 1 n+1 ε ( ε x u) ni ++1/2, k - ( x u) i - 1/2, k + δx i 1 ( ε z w) ni,+ k + 1/2. 1 - ( ε x w) ni,+ k - 1/2. δz k. - 13 -. (2.1.3.1). ]. *n+1. = q i, k.

여기서, 윗첨자는 시간스텝, 아래첨자는 공간스텝을 나타낸다. 식(2.1.1.11), (2.1.1.12)의 운동방정식에 대해 nδt 시간스텝에 대한 각 방향의 차 분근사는 다음과 같다. n. n. =- ( ε v ) i + 1/2, k. p i + 1, k - p i, k δt ρ( λ v) δx i + 1/2 + ũ i + 1/2, k i + 1/2, k. =- ( ε v ) i, k + 1/2. p i, k + 1 - p i, k δt ρ( λ v) δz k + 1/2 + w̃ i, k + 1/2. 1 u ni ++1/2, k. n. n+1 w i, k + 1/2. (2.1.3.2). n. (2.1.3.3). i, k + 1/2. 여기서,. ũ i + 1/2, k = u ni+ 1/2, k +. δt λ ( v). i + 1/2, k. [ ρ1 (. ∂ε xτ xx ∂ε zτ zx + ∂x ∂z. ). * ν (1- ε x ) ∂u ∂u 2ν ∂q u - λ xu - λ zw -CD 2 ε 2x ∂x ∂z 3 ∂x DP 2. -F D. n. (1- ε x ) u 2 D Pε x. w̃ i, k + 1/2 = w i, k + 1/2 +. 2 2 ( ε x u) + ( ε z w). δt λ ( v). i, k + 1/2. [ ρ1 (. ]. n. (2.1.3.4) i + 1/2, k. ∂ε xτ xz ∂ε zτ zz ∂w + - λ xu ∂x ∂x ∂z. ). 2 * ν (1- ε z ) ∂w 2ν ∂q λ -CD 2 w - zw ∂z 3 ∂z ε 2z DP. - ε vg- βw - F D. (1- ε z ) w D Pε 2z. ( ε x u) 2 + ( ε z w) 2. ]. n. i, k + 1/2. (2.1.3.5). - 14 -.

식(2.1.3.2)에서의 체적공극율 ( ε v ) i + 1/2, k 는 셀 ( i, k )와 셀 ( i + 1, k )에서 체 적공극율을. 평균하였고,. 동일한. 방법으로. 식(2.1.3.3)에서의. 체적공극율. ( ε v ) i, k + 1/2 는 셀 ( i, k )와 셀 ( i, k + 1 )에서 체적공극율의 평균치를 사용하였다. 또한 식(2.1.3.2), (2.1.3.3)에서의 δx i + 1/2, k , δz i, k + 1/2 는 각각 다음으로 정의된다.. δx i + 1/2, k =. δx i + δx i + 1 2. (2.1.3.6). δz i, k + 1/2 =. δz i + δz i + 1 2. (2.1.3.7). 본 수치해석에서는 식(2.1.3.4), (2.1.3.5)의 운동방정식에 시간항에 대한 전진차분 근사를, 이류항에는 수치확산을 제어하기 위해 수치확산은 크지만 안정성이 확보 되는 1차정도의 상류차분(upstream difference)과 차분근사의 정도는 높지만 안정 성이 낮은 2차정도의 중앙차분을 가중평균하여 혼합한 증여(donor)차분근사를, 나 머지항에 중앙차분근사시키는 양해법(explicit method)을 도입하였다.. 2.1.4 SOLA scheme 식(2.1.1.11), (2.1.1.12)의 운동방정식을 이산화한 차분근사식 (2.1.3.4), (2.1.3.5)에 의해 시간 nδt 에서 얻어지는 유속과 압력 등의 값으로부터 시간 ( n + 1)δt 에 1 1 과 w ni,+ 을 계산할 수 있지만 운동방정식만으로 산정된 서의 유속 u ni ++1/2, k k + 1/2. 유속이 반드시 식(2.1.3.1)의 연속방정식을 만족한다고 할 수 없다. 따라서 다시 압 력 p n + 1 를 적절히 조정하면서 유속 u n + 1, w n + 1 가 연속방정식을 만족하도록 반복계산을 실시할 필요가 있어, 본 연구에서는 그 계산방법으로 SOLA(numerical SOLution Alogorithm for transient fluid flow)기법을 이용하였다. 즉 각 셀에서 연속방정식을 만족하기 위해서 식(2.1.4.1)에 나타낸 발산(divergence) D i, k 를 계산 하고, D i, k = 0 이 되도록 유속 u n + 1,w n + 1 과 압력 p n + 1 을 계산한다.. - 15 -.

D i, k =. [. 1 n+1 1 n+1 γ γ ( γ x u) ni ++1/2, ( γ z w) ni,+ k - ( x u) i - 1/2, k k + 1/2 - ( z w) i, k - 1/2 + - S *i,nk + 1 δx i δz k. ]. (2.1.4.1) 식(2.1.4.1)에 있어서, D i, k < 0 의 경우는 셀내로 질량이 유입한다는 것을 의미하 므로 셀에 있어서 압력 p i, k 를 증가시켜 유출하는 속도는 크게, 유입하는 속도는 작게 하여 셀내의 질량의 유입을 차단시켜야 하고, 역으로 D i, k > 0 의 경우에는 압 력 p i, k 를 감소시켜 셀내의 유출하는 속도는 작게, 유입하는 속도는 크게 하여 질량이 유입되도록 해야 한다. 즉 각 셀에서 압력 p i, k 를 적절히 조정함으로써 유ㆍ출입량이 조절되고, D i, k 는 연속방정식이 만족되도록 D i, k = 0 으로 수렴한 다. 따라서 D i, k 는 압력 p i, k 의 함수로서 식(2.1.4.2)와 같이 고려될 수 있다. (2.1.4.2). D i, k = D(p i, k ). 식(2.1.4.2)의 비선형방정식 D( p i, k ) = 0 의 해를 구하기 위해 Fig. 2.1.4.1에 제 시한 Newton-Raphson법을 적용한다. m Fig. 2.1.4.1에서 D ( p i, k ) 의 그래프상 점 [ p m 에서 접선과 p i, k 축 i, k ,D( p i, k )] +1 이라고 하면 식(2.1.4.3)을 얻을 수 있다. 과의 교점의 좌표를 p m i,k. (. m. ∂D( p i, k ) ∂p i, k. ). m. =-. D( p i, k ) , m+1 m p i, k - p i, k. ( m = 1.2.3. .... ). (2.1.4.3). ( m) 가 계산되었을 때에 조정되어야 하는 압력의 값 식(2.1.4.1)에 의해 D i,k. 은 식(2.1.4.3)으로부터 다음과 같이 표현된다.. δp m i, k. +1 m m = pm i, k - p i, k =- D(p i, k ). - 16 -. /(. m. ∂D( p i, k ) ∂p i, k. ). (2.1.4.4).

여기서, 첨자 m 은 m 번째의 반복계산을 나타낸다. 운동방정식에 의해 산정된 u n + 1,w n + 1 을 식(2.1.4.4)에 대입하여 발산 D m i, k 를 구하고, 압력 p i, k 로 편미분한 값을 ξ 로 하면 다음과 같이 표현된다.. D( pi,k ). m. m. [ pi,k , D( pi,k ) ]. δpi,km pi,km+2. pi,km+1. pi,k. pi,km. Fig. 2.1.4.1 Newton-Raphson method. m δp m ω ξ i, k =- D( p i, k )/. (2.1.4.5). 여기서,. ξ=. δt ρ. [ {. ( ε x ) i + 1/2, k ( ε x ) i - 1/2, k ( ε z ) i, k + 1/2 ( ε z ) i, k - 1/2 + + + δx iδx i + 1/2 δx iδx i - 1/2 δz kδz k + 1/2 δz kδz k - 1/2. }]. (2.1.4.6). δx iδx i + 1/2 =. 2 δ i( δ i + 1 + δ i). - 17 -. (2.1.4.7).

δx iδx i - 1/2 =. 2 δ i( δ i + δ i - 1). (2.1.4.8). δx kδx k + 1/2 =. 2 δ k( δ k + 1 + δ k). (2.1.4.9). δx kδx k - 1/2 =. 2 δ k( δ k + δ k - 1). (2.1.4.10). 여기서, 식(2.1.4.5)의 ω 는 수렴시간을 단축시키기 위한 가속계수로 일반적으로 1≤ ω≤2 의 범위에서 정의되며 본 계산에서는 ω = 1.7 을 적용하였다. 식(2.1.4.5)에 의해 u. m+1. δp m 이 계산되면 발산 i, k. m D ( p i, k ) = 0 으로 하는 유속. , w m + 1 은 다음의 식들로 산정될 수 있다. p i, k = p i, k + δp i, k m+1. m. m. (2.1.4.11). u i + 1/2, k = u i + 1/2, k + δt δp i, k /[ ρδx i + 1/2 ]. (2.1.4.12). +1 m δ δ m ρδx i - 1/2 ] um i - 1/2, k = u i - 1/2, k - t p i, k /[. (2.1.4.13). w i, k + 1/2 = w i, k + 1/2 + δt δp i, k /[ ρδz k + 1/2 ]. (2.1.4.14). w i, k - 1/2 = w i, k - 1/2 - δt δp i, k /[ ρδz k - 1/2 ]. (2.1.4.15). m+1. m+1. m+1. m. m. m. m. m. m. 위의 계산은 계산영역의 모든 셀에서 발산 D ( p i, k ) 의 수렴판정기준을 만족할 때까지 반복수행된다. 본 연구에서는 수렴판정기준을 D i, k < 1.0 ×10 - 3 (1/s) 으 로 하여 계산을 수행하는 것으로 하였다.. - 18 -.

2.2 SOLA-VOF법에 의한 자유수면의 추적 2.2.1 자유수면의 수치계산을 위한 추정모델 자유수면(free surface)은 액체와 기체의 경계면으로 정의된다. 기체의 밀도가 액 체의 밀도에 비해 무시될 수 있을 정도로 작기 때문에 액체는 기체에 대해 자유 롭게 움직인다. 자유수면유동을 해석하기 위해서는 자유수면의 위치와 모양을 나타낼 수 있는 방법, 시간에 따른 표면의 이동을 지배하는 방정식, 자유수면에서의 경계조건이 필요하며 자유수면의 위치와 움직임, 그리고 유동에의 영향을 나타낼 수 있는 수 치해법의 도입이 요구된다. 지금까지 이러한 문제에 대한 연구는 유체유동을 이상 유체로 가정하여 자유수면 경계조건을 선형화시켜 취급해 왔으나, 최근에는 자유 수면의 위치를 추적하기 위하여 유체와 동시에 이동하는 Lagrange좌표계를 이용 하는 방법 및 자유수면의 위치를 추적하기 위하여 특별히 고안된 모델들이 이용 되고 있다.. (1) 좌표계에 의한 방법 Hirt et al.(1970)는 Lagrange좌표계를 사용하여 자유수면과 격자선이 일치하도 록 하는 자유수면맞춤(free-surface-fitting)기법을 제안하였다. 이 방법은 하나의 격 자선이 항상 자유수면과 일치하기 때문에 셀내의 질량이나 에너지 등이 보존되어 체적력이나 정확한 경계조건의 적용이 가능하고, 자유수면의 위치도 명료하게 계 산된다는 장점이 있는 반면에 격자점간의 상대적 위치가 변하고, 격자형상이 현저 히 삐뚤어지는 경우에는 매 시간 단계마다 격자를 재조정해야 하기 때문에 수치 오차(numerical error)가 발생하여 계산의 정도 및 수치해의 안정성(stability)이 떨 어진다. 또한 분리 혹은 결합하는 자유수면이 생길 때 격자의 생성이 어려워지는 단점을 지니고 있다.. (2) 유체면 위치의 추적모델을 이용한 방법 (a) Marker입자에 의한 방법 Welch et al.(1966)는 격자내에서의 자유수면의 위치가 유체와 같이 움직이지만 부피나 질량 등의 물리량을 가지고 있지 않은 Marker입자(marker particle)들에. - 19 -.

의해 결정되도록 하는 Marker And Cell(이하 ; MAC)방법을 제시하였다. 이 방법 은 유체면의 위치를 직접 정의하는 대신에 유체영역에 Marker입자를 분사시켜 Marker입자를 포함하는 영역과 포함하지 않는 영역간의 경계에서 자유수면을 정 의하는 방법으로 분리 혹은 결합하는 자유수면을 포함하여 동일한 방향에 복수의 자유수면이 존재하는 경우에도 계산상의 제약을 갖지 않는 장점이 있는 반면에 각 입자마다의 유속, 위치의 계산에는 적지 않은 계산시간과 많은 수의 Marker입 자를 저장할 거대한 기억용량을 필요로 하므로 3차원으로 확장이 곤란하다는 단 점이 있다. (b) 높이함수를 이용하는 방법 Hirt et al.(1971)는 자유수면의 위치를 높이만의 함수로 표시하는 Surface height방법을 제시하였다. 이 방법은 자유수면의 위치에 대해 하나의 정보만을 필 요로 하기 때문에 메모리 요구량이 적어서 3차원문제에 적합하지만 거의 수평에 가까운 표면형상만 계산할 수 있고 수면이 z 방향에 대해 한 개만 존재할 때에는 유효하지만 일반적으로 유체면의 변형이 크게 되는 경우나 z 방향과 동일한 방향 에 대한 복수의 자유수면이 존재할 경우에 적용될 수 없는 단점으로 모델의 적용 범위는 많이 제한을 받는다. (c) VOF법에 의한 방법 Hirt and Nichols(1981)는 높이함수에 의한 유체면의 추적에 대한 문제점을 보 완하기 위해 VOF법(Volume Of Fluid ; 이하 VOF법)을 고안하여 각 셀에 대해 유체가 차지하고 있는 체적비율(volume fraction)을 VOF함수 F 로 정의하여 자유 수면의 위치와 모양을 판단하였다. 이 방법은 각 셀들이 단 1개의 함수값을 가지 기 때문에 많은 기억용량이 필요하지 않을 뿐만 아니라 자유수면 자체보다는 유 체로 점유된 부분을 계산하므로 쇄파현상에서와 같은 다가표면(multi-valuced surface)이나 자유수면이 서로 겹치는 경우에도 별도의 알고리즘이 필요하지 않은 장점이 있다. 이상과 같이 자유수면을 추정하는 방법에는 몇 개의 수치기법들이 있지만, 본 연구에서는 MAC법의 장점을 가지면서 MAC법의 단점인 계산의 번잡성을 제거 하고 Euler좌표계를 이용하여 연속적인 유체영역을 최소한의 기억용량으로 표현 가능하며 3차원으로 확장성 등이 고려된 VOF법을 적용하였다.. - 20 -.