Chapter 01 운동에 대한 이해
1.1 기본적인 물리량들 1.2 속력과 속도
1.3 가속도
1.4 간단한 운동들
1.1 기본적인 물리량들
• 본 장에서 학습/이해하여야 할 기본적인 물리 현상과 물리량 1) 질량(Mass)과 중량(Weight)
. 만유인력(Universal Gravitation, or Gravitational Force)의 법칙과 중력(Gravity)의 개념 . 밀도(Density)
2) 온도(Temperature)
. 섭씨(Celsius) 온도, 화씨(Fahrenheit) 온도, 절대(Absolute)온도
3) 속력(Speed), 속도(velocity)와 가속도(Acceleration) ☞ Section 1.2 . 운동(Motion)
. 물리량의 크기(Magnitude)와 방향(Direction) . Vector와 Scalar의 개념
4) 주파수(진동수, Frequency or Cycle), 파장(Wave Length), 주기(Period) . 진동(Vibration)과 파(Wave)
• 물리량의 단위
. 상기의 기본적인 개념들은 이를 설명하기 위해 도입한 물리량들을 객관적/정량적/상대적으로 비교하기 위해 도입한 단위(Units)와 더불어 이해하고 학습
물리 현상 물리량
표준 단위
묘사/설명객관화/정량화/상대화 단위와 차원을 통한
물리 현상의 이해 가능
Figure 1S.1 물리 현상과 물리량, 단위의 필요성과 상호관계
1.1 기본적인 물리량들
(계속)• 기본 단위 - SI
. SI 단위계 (Metric System) ☞ Table 1S.1
. MKS와 cgs
. 영미 단위계는 국제 표준이 아니므로 크게 주의를 기울일 필요는 없지만, 다음과 같은 단위들은 상식으로 알아둘 필요가 있다
1 inch (단위 표기; in.또는 “) = 2.54 cm, 1 feet (단위 표기; ft) = 0.305 m, 1 Yard(yd) = 3 fts
1 mile (단위 표기; in.또는 “) = 1760 yd = 5280 ft = 1.610 km → 1 mph(miles /hour) = 1.610 km/h
1 pound(단위 표기 (단위 표기; lb) = 16 ounces(ozs) = 0.454 kg
• 유도단위
. 물리, 또는 수학의 법칙을 적용하여 기본 단위나 보조 단위를 조합하여 나타낸 단위 e.g. Hz(Hertz), N(Newton), Pa(Pascal), J(Joule), C(Coulomb), V(Volt), etc. .
. 속도(Speed, v), 시간(Time, t)과 거리(Distance, d cf. 변위; Displacement)
[(물체의) 속도] = [(물체가) 움직인 거리, 변위] / [(출발점에서 도착점까지 경과한) 시간]
v = d / t (단위; m/s, km/h) (1S.1)
Table 1S.1 SI 표준 단위
(Property) 물성 단위
(Unit) 기호 (Symbol) 길이 (Length) meter m
질량 (Mass) kilogram kg 시간 (Time) second s
전류
(Electric Current) ampere A (Temperature) 온도 kelvin K
물질의 화학량
(Amount of Substance) mole mol 조도
(Luminous Intensity) candela cd
1.1 기본적인 물리량들
(계속)• 질량과 중량 1) 질량(Mass)
. 무겁고 가벼운 정도를 나타내는 물질의 양*1의 단위로서 물체가 지니는 고유의 양 (물체가 화학적/물리적으로 변화를 겪지 않는다면 그 물체의 질량은 불변 - “질량 불변의 법칙”)
*1 물질의 양을 나타내는 기본적인 물리량에는 질량 외에도 부피(체적)가 있는데, 부피는 물질이 공간에서 차지하는 크기를 정량적으로 표현하는 물리량
. 중력, 또는 인력에 상관없이 어떤 물체의 질량은 우주 공간의 어느 곳에서나 동일하다 (질량의 단위는 g, kg, mg 등, 단위의 차원* [M1] = [M])
2) 중량(무게, Weight)
. 중력 가속도(Acceleration of Gravity, Gravitational Acceleration))에 의해 물체에 가해지는 힘, 따라서 중력이 변하면 중량도 변한다 ☞ Section 2.1 (같은 물체라도 지구와 달에서의 중력은 서로 다르다 - 지구와 달의 질량이 따르고 만유인력의 법칙에 따라 인력이 달라지기 때문) ☞ (0.1)
F = G 𝒎𝒅𝟏𝒎𝟐𝟐 (0.1)
Q01. Justify your answer ;
일반적으로 사람의 신체 상태를 묻는 용어로서 가장 흔한 요소로 ‘몸무게(체중)’가 얼마인지 묻는데 물리학적으로 이 용어의 적정성에 대해 판단하고 설명하여 보라
• 밀도(Density) ☞ Section 4.3 in p 113
. 물리학적인 정의는 단위 부피 당 물질의 질량, 즉 일정한 부피에 물질이 얼마나 조밀하게 충전(充塡)되어 있는지 나타내는 물리량 (미시적으로는 물질 내부에 원자가 얼마나 조밀하게 충전되어 있는지를 나타내는 양)
cf. 비중
[밀도] = [질량] / [부피]
D = M / V (단위; g/cm3, kg/m3) (1S.1)
Q02. ‘비중’(Specific Gravity)과 밀도는 어떻게 다른지 설명하여 보라
1.1 기본적인 물리량들
(계속)• 기본 단위 - 온도 . 온도 측정 체계의 종류 1) 섭씨(Celsius) 온도
과학계의 표준 온도 체계로서 상압(1 atm)에서 물의 어는 점, 끓는 점을 각각 0 °C, 100 °C로 정의
2) 화씨(Fahrenheit) 온도
물의 어는 점, 끓는 점을 각각 32 °F, 212 °F로 규정
. 섭씨와 화씨의 단위와 상호 관계
화씨(Fahrenheit, 단위 표기는 °F )와 섭씨(Celsius, Centigrade, 단위 표기는 °C )*1
F (°F) = 32 + 𝟗
𝟓C (°C ) ↔ C (°C) = 𝟓
𝟗(F - 32) (°F ) (1S.2)
*1 섭씨 온도(Centigrade)와 화씨 온도(Fahrenheit)는 사이에는 1 °F = 𝟗
𝟓 °C 의 비례 관계가 성립하지만, 액상의 H2O(물)가 어는(Freezing) 점과 끓는(Boiling) 점에 대한 기준이 서로 다르므로 단순한 비례관계로 쓸 수 없다
3) 절대(Absolute) 온도, (단위; K = Kelvin)
분자가 전혀 움직이지 않아 운동 Energy가 0인 가상의 상태를 절대 영도(0 K)라 규정하고, 절대 온도의 기본 단위 1 K는 섭씨 1 °C 간격과 동일하게 규정한 온도 체계 0 °C = 273 K ( ↔ “섭씨 0 도는 절대 온도 273 도”, 절대 온도를 표시할 때에는 섭씨나 화씨 온도처럼 ° 기호를 표기하지 않음에 유의)
K (K) = C + 273 (°C ) (1S.3)
Q03. 1) 물이 끓는 온도, 2) -273 °C 를 각각 절대 온도로 표시하라
Figure 1S.2 섭씨와 화씨 온도 간 변환 F = 32 + 𝟗
𝟓 C
0 ° 100 °
32 ° 212 °
100 °
180 °
+ 32 °
Celsius Scale Fahrenheit Scale C = 𝟓𝟗 (F –32)
1.2 속력과 속도
(계속)• 속력(Speed)
. 운동을 정의하는 열쇠가 되는 가장 기본적인 개념의 물리량으로서 다음과 같이 다양한 물리적 의미로 해석해 볼 수 있다
i) 움직인 거리(변위)를 걸린 시간으로 나누어 준 값 (단순한 산술적 의미), ii) 기준점으로부터 거리가 변화하는 비율, iii) 운동(움직임)의 빠르기
. 속력의 속성
‘계’의 개념과 관련 - 계를 어떻게 잡느냐에 따라 사람의 속력은 달라진다 (상대적)
만일 계를 각각 배와 사람 자체에 국한시켜 생각한다면 배와 사람의 속력은 각각 30 km/h, 10 km/h
1) 물리량의 상대성 ☞ Figure 1.4 in p6
이제 어느 관찰자(Observer)가 배와 사람을 동시에 보고 그것을 계라고 잡았을 때 속력은 상대적 배의 속력은 30 km/h , 배 안에서 10 km/h로 뛰고 있는 사람의 속력은 40 ( = 30 + 10) km/h
일반적으로 ‘움직이는 어떤 물체의 속력’이라고 언급할 때에는 지구 표면을 기준(0 km/h)으로 한 상대 속력을 의미
2) 평균 속력과 순간 속력
[평균 속력] ≡ [전체 거리] / [전체 걸린 시간]
[순간 속력] ≡ [아주 짧은 거리] / [아주 짧은 시간] → [속력] = [거리의 변화] / [시간의 변화]
순간 속력은 속력의 정의( ☞ (1S.1) in Section 1.1)로부터 아래와 같이 변환하여 생각할 수 있다 (단위; m/s, km/h = [L/T]) ☞ Section P2.3
v = d / t → v = Dd / Dt (1S.4)
또한 Prolog(☞ P2.2)에서 언급한 바와 같이 같은 식에서 다른 변수의 관점으로 나타내는 변수 사이의 변환에 익숙해져야 한다고 했는데, 위 (1S.1)을 거리 d의 관점으로 본다면
d = v t (1.4)
Q04. 만일 속력이 변하지 않고 일정하다면 위의 식의 물리량의 변화를 통해 (1.4)의 물리적 의미를 설명해 보라
Figure 1.4 속력은 상대적
1.2 속력과 속도
(계속)• 속도(Velocity)
. 속력과 유사한 물리량이지만 속력과는 다른 개념인 속도를 이해하기 위해서는 서로 다른 물리량의 총칭으로서 Scalar와 Vector를 구별하고 이해해야 한다
• Vector와 Scalar
물리학과 수학의 관심 대상이 되는 어떤 양은 i) 크기(Magnitude), ii) 방향(Direction)의 유무에 따라 크게 두 종류로 구분 1) Scalar
크기만을 가지는 양
e.g. 길이(Length), 질량(Mass), 시간(Time), 전하(Electric Charge), 넓이(Area), 부피(Volume), 밀도(Density), 속력(Speed), Energy 등 거의 대부분의 물리량들은 Scalar
2) Vector
. 크기와 방향을 동시에 가지는 양
. 물리량들 중에는 크기만 고려해도 문제가 되지 않는 것들이 있는 반면, 크기와 더불어 방향을 생각하지 않으면 그 개념이 완전하지 않은 양들이 있는데 (크기와 더불어 방향을 고려하지 않으면 상황을 논리적으로 묘사할 수 없는 경우 이런 물리량들은 반드시 크기와 방향의 조합 으로 표현하여야만 한다
e.g. 대표적인 Vector 물리량 중 하나는 Chapter 2(Section 2.1)에서 본격적으로 다루게 될 힘(Force), 그 외에 무게(중량, Weight cf. 질량), 중력(Gravity), 속도(Velocity) 등
. Vector가 필요한 이유 → 방향이라는 속성의 필요성 ☞ Figure 1S.3 & Figure 2.6 in p34 (a) 두 사람이 같은 방향으로 각각 5 N의 힘을 가하면 상자는 동일한 방향으로 모두 10 N 의 힘을 받아 움직이게 되지만, (b) 반대 방향에서 크기가 동일한 두 힘을 가하면 움직이지 않는다 크기는 같지만 ‘방향’이 서로 반대인 두 힘이 작용하므로 결과적으로 그 합은 아무런 힘을 받지 않는 물체의 상태나 마찬가지이기 때문 (만일 방향을 생각하지 않으면 상자에 가해진 두 힘의 크기의 합이 10 N 임에도 불구하고 상자가 움직이지 않는 현상을 설명할 방법이 없다)
*1 두 힘이 반대로 작용할 때에 일직선 상에 놓이지 않는다면 회전력이 작용할 수도 있다 (힘의 방향-Vector의 문제)
Figure 1S.3 Vector가 필요한 이유 - 알짜 힘(합력, Net Force)
가해진 두 힘 알짜 힘
5 N
5 N
5 N 5 N
0 N 10 N
5 N 10 N 5 N
(a)
(b)
(c)
1.2 속력과 속도
(계속)• 속도(Velocity)
. 속력과 유사한 물리량이지만 속력이 크기만을 가지는 물리량(Scalar)임에 대해 속도는 크기와 방향을 동시에 가지는 Vector 물리량 (속도의 크기는 속력과 동일) e.g. GPS에서 표시되는 속도는 크기와 방향을 동시에 알려준다 ☞ Figure 1S.4 in p9
. 속도가 Vector물리량이 되는 것은 앞서 설명한 힘의 경우와 동일한 원리가 적용되기 때문
Note) Scalar와 Vector의 구별 기호와 수식 계산 시의 표시
* 보통 힘(Force)을 표시할 때에 영문 약자로 F를 쓰는데, 이것이 Vector임을
표시하기 위해서는 영문 기호 위에 방향을 의미하는 𝑭로 표시한다 ☞ Figure 1.5 in p9 e.g. 속도는 𝒗 로 표시
* 수식 상으로 방향을 표시하기 위해서는 계산의 편의 상 어느 한 방향을 기준으로 양(+), 그 반대 방향을 음(–)으로 표시하여 구별한다 ☞ Figure 1.6 in p10
• Vector의 합성과 분해
. 앞서 설명한 힘과 속도 등을 비롯한 Vector 물리량의 방향이 같거나 서로 반대인 경우에는 Figure 1.6 의 경우처럼 단순히 양(+), 음(-)으로 구별하여 표시하고 계산하면 되지만, Figure 1.7, 1.8 (in p11) 등의 경우와 같이 새의 움직임과 바람의 방향이 동일선 상에 있지 않을 때에는 속도나 힘의 변화를 분석하고 이해하기 위해서 Vector의 합성과 분해의 기법을 응용하여야 한다
Figure 1.6 속도 - Vector 물리량
Figure 1S.4 GPS가 가르쳐 주는 속도 Vector
1.3 가속도
• 가속도(Acceleration)
. 모든 운동은 속도를 가지는데 속도가 바뀌지 않는 운동을 등속도 운동(Uniform Motion)이라고 하며, 대부분의 경우 운동에서는 속도가 바뀌게 된다
e.g. 자동차가 정지 상태에서 출발하여 속력을 높이고 방향을 바꾸는 것, 사람이 정지 상태에서 출발하여 걷기도 하고 뛰기도 하며 끊임없이 방향을 바꾸는 행위 등 (다시 한번 주의! - 속도는 크기와 방향의 조합이므로 속력(크기)이 바뀌는 것뿐만 아니라 방향이 바뀌는 것도 속도가 바뀌는 것임을 인지해야 한다)
. 운동의 방향이나 속도가 바뀌는 것을 가속도(a)라고 하며 가속도가 있는 운동을 등속도 운동에 대해 가속도 운동(Accelerated Motion)이라고 한다 속도가 변화하는 비율, 즉 속도의 변화량(Dv)을 변화하는데 걸린 시간(Dt)으로 나눈 값 (단위; m/s2 = [L/T2]) ☞ Section P2.3
a = Dv /Dt (1.5)
예제 1.3
자동차가 Truck을 추월하며 4초 만에 20 m/s 에서 25 m/s로 가속하였을 때 자동차의 가속도를 구하라
Figure 1.9
1.3 가속도
(계속)• 가속도 Vector의 합성
1) Vector들이 일직선 상에 존재하는 경우
자동차가 방향을 바꾸지 않고 속도 𝒗𝟏 에서 𝒗𝟐 로 가속하는 경우, 𝒗𝟏 , Dv (속도의 증가분에 해당하는 Vector)가 일직선 상에 놓이며
그 두 Vector의 합 𝒗𝟐 또한 일직선 상에 놓이게 된다 ☞ Figure 1.10(in p14)
𝒗𝟏+ Dv = 𝒗𝟐
이런 경우에는 모든 Vector들이 일직선 상에 있으므로 아래의 관계가 성립 ( | |는 Vector의 크기만을 나타내는 기호)
|𝒗𝟏| + | Dv| =|𝒗𝟐|
* 앞의 예제 1.3도 마찬가지 경우로서 속도 Vector가 모두 일직선 상에 있다고 가정한 것이므로 방향에 대한 언급을 하지 않았음
Q05. 우리는 일상 생활에서 ‘속력’이라는 말을 많이 사용하는가, 아니면 ‘속도’라는 말을 많이 상용하는가?
그러면 이제 우리가 사용하는 용어의 문제점이나 그릇된 점에 대해 물리학적으로 무엇이 문제인지 설명해 보아라
Figure 1.10 자동차가 일직선 상에서 가속할 때 속도를 나타내는 화살표의 길이 Dv로 표현된 화살표는 𝒗𝟏 에서 𝒗𝟐가 되었을 때 그 변화량을 나타내며 가속도의 방향이 전방을 향하고 있음을 보여준다
𝒗𝟏+ Dv = 𝒗𝟐
1.3 가속도
(계속)• 가속도 Vector의 합성 (계속)
2) 일직선 상에 있지 않은 Vector의 합성과 분해
. 모든 Vector 들은 두 Vector 의 합(합성)으로 나타낼 수 있으며 이것을 Vector의 두 성분이라고 부른다 ☞ Figure 1.7, 1.8 in p11
. 합성과는 반대로 어떤 Vector든 임의의 두 방향의 성분으로 분해할 수 있는데, 분해는 합성의 역의 과정
. Pythagoras 정리에 대해서는 이미 Chapter 00 Prolog에서 언급한 바 있음 ☞ Section P3.1 in Prolog
Figure 1.7 지면에 대한 새의 속도는 (b) 새의 공기에 대한 상대 속도와 바람의 속도와의 Vector 합 (c), (d)는 Vector를 합하는 두 가지 방법을 보여주고 있는데 결과는 같다
Figure 1.8 Vector 합의 또 다른 경우, 새는 공기에 대하여 같은 속력, 같은 방향을 움직이고 있으나 바람의 방향이 서로 다르다
𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟏 𝒗𝟐
𝒗
𝟏𝒗
𝟐1.3 가속도
(계속)• 가속도 Vector의 합성 (계속)
2) 일직선 상에 있지 않은 Vector 성분의 합성과 분해 (계속) Q06. 다음 Vector 들을 합성하여 보라 (그림에 직접 그려 넣기) i) 형태 1 ; 꼬리 → 머리 (= 꼬리) → 머리 꼬리 → 머리
ii) 형태 2 ; 형태 1을 유지하면서 두 Vector v1, v2의 방향이 평면 상에서 직각을 이루는 경우
Chapter 00 Prolog, Section P3.1 Pythagoras의 정리를 통해 이 경우 두 Vector의 합 v3는 이 두 Vector v1
, v
2와 함께 직각삼각형의 세 변을 이루게 됨을 이미 알고 있다(P’s Th.에서 삼각형의 변을 고려할 때 방향만 생각하지 않았을 뿐, 더불어 다시 한번 Pythagoras의 정리 |𝒗𝟏|2 + |𝒗𝟐|2 = |𝒗𝟑|2를 기억할 것)
• Vector의 분해
. 분해는 합성의 역의 과정이므로 이들 예제로부터 분해에 대한 개념도 이해할 수 있다
즉, 합성된 Vector가 대각선이 되며 동시에 이 대각선의 중심점을 180° 회전 대칭의 중심으로 삼는 각종 사각형을 이용한다 e.g. 평행사변형, 마름모꼴, 직각 사각형, 정사각형 등
. 주의) Vector의 합성은 한 가지 답 밖에 없는 반면, 분해는 그 대상이 같은 Vector라 하더라도 아래와 같이 분해하고자 하는 위치와 방향에 따라 여러가지 답이 있을 수 있다는 것
∟
𝒗𝟏
𝒗𝟐
①
①
②
②
①
②②
①
②
①
②①
𝒗
𝟏𝒗
𝟐1.3 가속도
(계속)• 가속도 Vector의 합성 (계속)
2) 일직선 상에 있지 않은 Vector 성분의 합성과 분해 (계속) Q07. 다음 Vector 들을 합성하여 보라 (그림에 직접 그려 넣기) iii) 형태 3 ; 두 Vector의 머리, 혹은 꼬리가 한 점에 일치하는 경우
. 위와 같은 경우들에 대해서는 단번에 그 합을 알아낼 수 없으며, 대부분의 공학적, 물리학적 문제 해결에 있어서 평면이나 공간 상에서 관심을 두고 보아야 할 특정 방향이 존재*1할 것 ☞ Figure 1S.5
이런 경우 먼저 이 특정 방향으로의 Vector 성분을 분해한 후에 이루고, 다시 각 Vector의 특정 방향 성분들의 부분 합성을 통해 해당 물리량 Vector 성분에 대한 해석을 시도
Q08. 다음 두 Vector 𝒗𝟏 , 𝒗𝟐를 주어진 특정 방향에 따라 합성하여 보라 (그림에 직접 그려 넣기)
𝒗 𝒗𝐇
𝒗𝐕
𝑭
*1 Figure 1S.5 임의의 해석 방향에 따른 Vector 성분의 분해 예시
𝒗
𝟏𝒗
𝟐관심의 대상으로서 분해하고자 하는 특정 방향
. 가속도의 부호가 음인 것은 가속도가 속도의 방향과 반대 방향임을 의미 (속도의 방향을 양의 방향으로 잡았을 때)
1.3 가속도
(계속)• 가속도 (계속)
. 감속도 또한 가속도 운동
예제1.4
한 경주자가 9 m/s의 속력으로 결승점을 통과한 후 완전히 정지하는 데 5초가 걸렸다고 할 때 가속도를 구하라
• 자유 낙하(Free Fall, 오로지 중력에 의해서만 낙하) - 가속도 운동의 중요한 예
. 외력을 가하지 않아도 지구 중력장에 의해 지구 중심 방향으로 물체가 떨어지는 현상 (∵ 만유인력) 지구의 중력장 방향(지구 중심)으로 일정한 양으로 가속되는 등가속도 운동
지표면 근처(지구의 중력장이 미치는 높이)에서 떨어지는 모든 물체들은 동일한 가속도로 떨어진다, 즉 그 속도가 초당 9.8 m씩 증가 (9.8 m/s2 - 중력 가속도 g = 9.8 m/s2)
. 만유인력에 의한 중력장이 존재하는 지표면 어느 곳에서나 지구 중심 방향으로 가속도가 작용하는데 이것이 중력 가속도(Acceleration of Gravity)
. 자유 낙하하는 물체 (공기 저항 무시*1) - G. Galilei의 실험, 중력(Gravity, Gravitational Force)의 존재 입증
자유 낙하의 경우, 같은 높이에서 물체를 떨어뜨리면 물체의 무게에 관계없이 모든 물체는 동시에 땅에 떨어진다 ☞ Figure 1S.6
*1엄밀히 얘기하자면 마찰력의 존재로 인해 틀린 이론이지만, 마찰이 없다면 위의 설명은 이론적으로 유효
(당시에는 공기 저항에 의한 마찰력의 존재는 알지 못했음)
. 자유 낙하 물체는 중력 가속도에 의해 시간이 지날수록 그 낙하 속도가 빨라진다 (공기 저항을 고려하지 않을 때)
. 중력가속도는 지구 상 어디에서나 일정하게 작용하므로 특별히 “g”라는 기호로 표시하고 지구 상에서 위의 값 g = 9.8 m/s2로 대표 중력 가속도 g = 9.8 m/s2 라는 것은 가속도의 정의에 의해 자유낙하 물체는 그 속도가 1 초 당 9.8 m 씩 빨라진다는 뜻
Figure 1S.6 공기에 의한 마찰력이 없는 진공 속에서의 자유낙하
(동전과 깃털은 같은 속도로 낙하)
1.3 가속도
(계속)• 가속도 (계속)
Q09. 앞서 언급한 자유 낙하에 대한 설명을 참조하여,
1) 우측 그림 Figure 1S.7의 바늘이 없는 속도계 우측에 표시한 시간(t = 0, 1, 2s 등)에 해당하는 돌의 속도를 바늘로 표시하여 직접 그려 넣어라 (단, 중력 가속도 g = 10 m/s2 로 가정)
2) 당신의 답을 설명할 수 있는 근거는 무엇인지 설명하라
Figure 1S.7 절벽 위에서의 물체의 자유 낙하
1.3 가속도
(계속)• 구심 가속도(Centripetal Acceleration) . 곡선 도로를 주행하는 자동차
속도 변화 Vector Dv 만큼 매 순간 자동차의 방향(속도)이 변화, 그 변화량에 해당하는 Vector의 방향이 항상 곡선(곡률)의 중심을 향하고 있음에 유의 – ‘구심 가속도 운동’이라고 불리는 이유 ☞ Figure 1.11 in p14
• 원 운동(Circular Motion) - 대표적인 구심 가속도 운동
. 앞서 Section 1.3의 서두에서 설명한 바와 같이 속도는 크기와 방향의 조합인 Vector이므로 두 요소 중의 하나만 변화 하더라도 가속(또는, 감속)을 겪고 있다는 점에 유의
. 예를 들어 물체가 운동 중에 움직이는 속력(크기)은 불변이지만 방향이 변화한다면 물체는 가속 운동을 겪고 있는 것, 그 대표적인 예가 원 궤도를 따라 회전하는 원운동 ☞ Figure 1.12 in p15
. 원 운동은 매 순간 접선 방향 속도 𝒗와 원의 중심을 향하는 가속도 Dv 의 합성의 결과
원심력(Centrifugal Force)에 의해 물체가 원 궤도를 이탈하려는 운동의 변화를 막는 요소도 바로 구심 가속도
. 원 운동의 접선 방향 속도 𝒗,구심 가속도 a 와 원의 반경 r 사이에는 다음과 같은 관계가 성립
a = 𝒗𝒓𝟐 (1.7a)
Q10. 위의 식에서 a ∝ 𝒗𝟐, a ∝𝟏𝒓 의 관계에 있다는 것은 각각 물리적(현상적)으로 무슨 의미인지 설명해 보아라 ☞ Refer to the Explanation & Description in p15
예제 1.6
곡선 운동을 하는 자동차의 가속도? ☞ Figure 1.13 in p15
곡선 도로 구간의 회전 반지름이 20 m이고, 자동차는 이 곡선 도로를 일정한 속력 10 m/s로 달리고 있다
Figure 1.11 구심 가속도 운동 - 곡선 도로를 달리는 자동차
Figure 1.12 구심 가속도 운동 - 원 운동하는 물체
1.4 간단한 운동들
• 속도가 0인 경우
. 정지 상태에 있는 물체, [속도] = 0, [가속도] = 0, [변위(움직인 거리)] = 0
• 등속도 운동
. 물체의 속도가 일정하며 변하지 않는다
e.g. 곧게 뻗은 고속도로에서 시속 100 km의 속도로 주행하는 자동차,
아주 잘 얼려진 빙판(마찰력 ∼ 0) 위를 미끄러져 지나가는 Ice Hockey Pug 등
Q11. 위의 표현, “물체의 속도가 일정하며 변하지 않는다”라는 것을 ‘가속도’라는 물리량을 도입하여 (물리적으로) 설명한다면 어떻게 기술할 수 있는가?
. 위의 상황을 식과 Graph로 표현하여 본다 예) 일정한 속력 7 m/s로 달리는 육상 선수 앞서 (1.4) (Section 1.2 in p8)에서 주어진 거리와 속력과의 관계식 d = vt 를 이용하면
d = 7t
위의 상황과 공식을 Graph로 표현 ☞ Figure 1.15 in p17
* 다시 한번!
공식이 하나 주어지면 각각 다른 관점에서 보기 위해 공식의 변환을 이루어내는 훈련과 그에 대한 물리적 의미를 더불어 살피는 훈련을 반복하여야 한다)
Q12. 앞서 공부한 속도 0인 경우의 운동을 Figure 1.15나 1.16과 같이 t-d 좌표계 상에 그려 보아라
Figure 1.15 등속도 운동의 t-d Graph d = 7t
[속도] = [직선의 기울기 (불변)] ; v = d/t = 7
시간 (s) 거리 (m)
0 0
1 7
2 14
3 21
4 28
Figure 1.16 등속도 운동 (거리-시간 Graph에서 기울기는 바로 속도)
1.4 간단한 운동들
(계속)• 변속 운동 – 운동 중 속도가 일정하지 않고 변화 ☞ Figure 1.17 in p18 . 속도가 변화 → 속도가 변하고 있는 자동차의 t-d Graph의 기울기가 변화
Q13. 앞선 기울기의 의미를 참조하여 오른쪽 그림 Figure 1.17의 1) 각 구간 A, B, C, D 에서 자동차가 어떤 상황에 있는지를 설명해 보아라
2) 출발로부터 구간 A, 구간 B와 C 사이에서는 직선이 아닌 곡선으로 변화( 부분)하고 있는데, 무슨 상황인지 설명하고, 또한 그 두 곡선의 양상이 다른데 어떤 차이가 있는지 설명해 보아라
• 등가속도 운동
. 물체의 가속도가 일정 – 가속도가 있으므로 속도는 일정한 비율로 계속 증가 (등속도 운동과는 다르므로 결코 혼동해서는 안 된다)
e.g. 경사면을 따라 구르는 공의 운동, 전형적인 등가속도 운동의 예는 앞서 설명한 자유 낙하 ☞ Section 1.2 in p13, Figure 1.18 in p18 & Figure 1.19 in p19
. 자유 낙하 - 높은 건물 위에서 돌을 낙하하는 경우*1 (돌을 던지는 것이 아니라 가만히 놓는 경우)
등가속 운동을 한다는 것은 돌의 속도(v)가 중력 가속도에 의해 매초마다 그 속도가 9.8 m/s 씩 증가한다는 뜻
v (m/s)= 9.8 (m/s2) ∙ t (s) (1.8)
일정한 가속도 a (m/s2) 로 움직이는 운동에 대한 일반적인 속도의 표현식은 아래와 같다
v = at (1.9)
*1 Figure 1.19와 표에서 보는 자유 낙하에 대한 등가속도 운동(t-a)에 대한 상황 묘사와 설명은 앞서 설명한 등속도 운동과 마찬가지로 직선적인 비례 관계를 보여주고 있지만, 등속도 운동(t-v)과는 상황이 다르다는 것을 인지해야 한다
Figure 1.17 변속 운동하는 자동차의t-d Graph
시간 (s) 속도 (m/s)
0 0
1 9.8
2 19.6
3 29.4
4 39.2
Figure 1.19 등가속도 운동 – 자유 낙하의 t-v Graph v = 9.8t
[가속도] = [직선의 기울기 (불변)] ; a = Dv/Dt = 9.8
1.4 간단한 운동들
(계속)• 등속도 운동과 등가속도 운동의 차이
. 등속도 운동과 등가속도 운동은 전혀 다른 개념의 운동
등속도 운동에서는 가속도가 없으므로 (a=0) 물체 운동의 속도가 항상 일정한 반면, 등가속도 운동에서는 물체의 속도가 일정한 비율로 변화한다는 것
. 등속도 운동을 묘사하는 Figure 1.15 (in p17)와 등가속도 운동을 설명하는 (1.19) (in p19)는 직선적인 변화를 보인다는 점에서 유사한 양상을 나타내고 있지만, Figure 1.15는 시간-거리(t-d)간의 관계를 나타내고 있으며, Figure 1.15는 시간-속도(t-v)간의 관계를 나타내고 있다는 것을 구별해야 한다 ☞ Explanation in p19
. 등가속도 운동에서 시간-(물체가 움직인) 거리 간의 관계
t 초 동안 움직인 거리를 평균 속도와 시간을 곱으로 계산, (손에서 돌을 가만히 놓기 때문에) 자유 낙하의 처음 속도는 0, t 초 후의 물체의 속도 vt= at, ∴ 평균 속도 vm은 다음과 같이 구하면 된다
vm = 𝟎+𝒂𝒕𝟐 = 𝟏𝟐 at (1.11)
움직인 거리는 평균 속도와 시간의 곱(1.4)으로서 다음과 같다
d = vm x t = 𝟏𝟐at∙t = 𝟏𝟐 at2 (1.12)
이 식의 물리적 의미를 보면 시간이 지날수록(t↑) 움직인 거리는 그 제곱(t2) 으로 늘어난다는 것이다
Q14. 체공 시간의 물리학
오른쪽 사진 Figure 1S.8의 농구 선수는 만큼 제자리 높이뛰기를 하면 1.25 m를 뛴다고 하는데, 그가 제자리 높이뛰기를 할 때 체공 시간을 계산하라
Figure 1.20 낙하하는 공의 위치를 같은 시간 간격으로촬영한 Stroboscopic Photo
Figure 1S.8 Hang Time of Basketball Player
1.4 간단한 운동들
(계속)• 자유 낙하 - 등가속도 운동
. 저유 낙하 에서 시간-(물체가 움직인) 거리 간의 관계
자유 낙하에서 물체가 움직인 거리는 일반적인 등가속도 운동의 시간-거리 공식에서
가속도 a 대신 중력 가속도 g를 대체하여 사용하고 계산하면 (1.13)을 얻게 될 것이다 ☞ Figure 1.21 in p20
d = 𝟏𝟐 at2
→
d =𝟏𝟐 gt2 = 𝟏𝟐∙ (9.8) ∙ t2=4.9 t2 (1.13)
Q15. (1.13)의 물리적 의미를 해석해 보아라 ☞ Explanation in p20
• 자유 낙하 시 공기 저항
. 만일 자유 낙하하는 물체의 가속도가 일정하여 등가속도 운동을 하게 된다면 땅에 떨어질 때 즈음하여 물체의 속도는 엄청나게 빨라질 것이지만, 실제로 자유 낙하하는 물체의 경우 공기의 저항으로 인해 가속도가 일정할 수 없으며, 시간이 흐를수록 공기 저항에 의해 가속도는 감소하여 0에 이르게 된다
. 가속도가 0이 되면 이는 등속도 운동을 의미하는 것이므로 낙하하는 물체가 등속도 운동을 할 때, 이 속도를 종단속도(終端, Terminal Velocity)라고 한다
. 떨어지는 빗방울이 공기 저항에 의해 종속도에 이르게 되므로 실제로 떨어지는 빗방울에 의해 지상의 사람이나 사물은 낙하에 따른 충격에 의한 물리적 피해를 입지 않게 되는 것이다
• 0이 아닌 초속도 v0 로 운동하는 물체의 등가속도에 의한 속도, 변위
. 처음 v0로 움직이는 물체가 등가속도 운동을 하게 된다면 이 물체의 속도와 움직인 거리는 앞서 초속도가 0인 물체의 속도와 변위를 계산하는 공식에서 (1.11). (1.12)를 응용하여 초기 속도에 의한 기여분만을 덧붙여 고려하면 되므로 표현할 수 있다
vm = 𝒗𝟎+(𝒗𝟐𝟎+𝒂𝒕) = v0 + 𝟏𝟐 at (1.14)
d = v0t + 𝟏𝟐 at2 (1.15)
Figure 1.21 자유 낙하하는 물체의 시간-거리 Graph a = g
시간 (s) 거리 (m)
0 0
1 4.9
2 19.6
3 44.1
4 78.4
1.4 간단한 운동들
(계속)• 실제 상황의 해석 예 – 벽돌을 격파하는 태권도 선수 ☞ Figure 1.23 in p21
. 과학자나 공학자들은 자연 현상이든 실험을 통해 얻은 정보(Data)이든 Figure 1.23과 같이 실제 결과를 놓고 해석해야 하는 것과 같은 상황을 맞게 된다
. 이러한 Graph를 놓고 먼저 파악해야 할 것은 본인 인위적으로 실험한 것이라면 각 축의 물리량이 무엇인지 분명히 알고 있을 것이지만, 다른 연구자나 실험자가 내놓은 결과를 놓고 해석해야 할 경우 파악해야 할 점들은 다음과 같다 1) 가장 먼저 x, y 축이 나타내는 물리량이 무엇이냐 하는 것(Graph를 그릴 때도 마찬가지로 x, y 축이 무엇인지 명시해 주어야 한다*1
2) 각 물리량들이 상대적으로 어떻게 변화하느냐 하는 것
(어떤 경향을 가지는가? 즉 곡선/직선적 변화증가, 감소, 불변, 민감, 둔감 등*2)
*1,2 편의에 따라 때로는 각 축에 일반 대수 Scale(비율)이 아닌 Log Scale(log 눈금)을 사용할 수도 있으며, x, y 축의 눈금을 동일하지 않은 축척으로 사용할 수도 있으므로 이런 점들을 잘 살펴야 한다
3) 물리양의 상대적인 변화가 급격하게 일어나는 점들의 물리(현상)적 의미
. 위와 같은 점들을 일목요연하게 시각적으로 파악할 수 있다는 관점에서 Graph의 사용과 해석은 매우 유용한 방법이며, 이를 매우 근사(近似)하게 묘사하는 수학적 표현도 필수적인데, 둘 이상의 물리량 사이의 관계를 표현할 수 있는 것은 물론 과학자나 공학자가 서로 정보를 교환하고 소통할 때 언어와 같은 역할을 하게 된다
Q16. 오른쪽 그림 Figure 1.23의 Graph들을 해석하여 보라 – 특히 6 ms, 25 ms의 시각에 각각 무슨 일이 벌어지고 있는지 물리적인 설명을 통해 상황을 묘사해 보아라 ☞ Refer to the Explanation on the Left Half in p21
6 25
Figure 1.23 태권도 격파 시의
a) 주먹의 시간-위치 Graph, b) 주먹의 시간-속도 Graph
1.4 간단한 운동들
(계속)• 수학과 수학적 표현(수식)
. 수학은 수학을 위해 존재하는 학문이 아니다 – 수학은 과학과 공학의 해석의 언어이자 도구
. 따라서, 공학과 같이 물리의 다양한 응용을 다루는 분야에서 수학적 표현은 필수적
. Figure 1S.9에서 보여 주는 아름답고 환상적인 금문교(Golden Gate Bridge, San Francisco, CA)와 같은 다리는 단지 언어적인 표현과 수사(修辭)만으로는 결코 지어질 수 없다
미적인 관점에서도 아름답기도 하고 역사적, 건축학적으로 유명한 작품이며 동시에 현대 과학과 공학의 중요한 소산이자 엄청난 토목 공사의 결과물( ☞ Figure 1S.11)인 이 다리는 우리나라의 남해대교, 영종대교 등과 같은 현수교(懸垂橋, Suspension Bridge)인데, 현수교의 교각 간 거리, 하중 분배 등은 Catenary 현수선*3이라 정의되는 곡선을 기본으로 하여 설계된다
☞ (1S.5), Figure 1S.10
y = 𝒆𝒙
+ 𝒆−𝒙
𝟐 (1S.5)*3
e = lim
𝑛→∞ 1 +𝑛1 𝑛 = lim
𝑛→0 1 + 𝑛 1/𝑛 = 2.7182818…… (1S.6)
Figure 1S.9 Lee’s Family with Golden Gate Bridge at the Back - May 1984
Figure 1S.11 Some Engineering Facts about GGB y
x y = 𝒆𝒙 y = 𝒆− 𝒙
y = 𝒆𝒙
+ 𝒆−𝒙
= 𝟐
=
=
=
=
=
=
=
Figure 1S.10 Catenary Suspension Line