Lecture 19 Lecture 19 Comb Actuator Design : Mechanical Springs Comb Actuator Design : Mechanical Springs and Damping and Damping

Lecture 19 Lecture 19

Comb Actuator Design : Mechanical Springs Comb Actuator Design : Mechanical Springs and Damping

and Damping

• Push-Pull Springs

• Folded Beam

• Stiffness of Folded Beam

• Rayleigh’s Method

• Effective Mass of Spring Beam: Fixed-Fixed

마이크로시스템 기술 개론 MEMS_Lect19_1

• Effective Mass of Spring Beam: Fixed-Free

• Shear Damping

• Q factor, Q

- Compressive와 Tensile stress를 같이 받는 스프링 구조가 잔류 응력의 영향을 덜 받음.

Spring Structure and Push

Spring Structure and Push--Pull SpringsPull Springs

Spring B

M A

compressive

tensile

Mass

Mass

A

tensile

3 3

L I k E⋅

⋅

= Spring Stiffness Spring Stiffness

E : Young’s modulus I : Moment of inertia

L3

12 Wh3

I = W

L

h

마이크로시스템 기술 개론 MEMS_Lect19_3

3 3

3 12 4

3 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

L h W E Wh

L k E

- Large compliance

- Relief of built-in residual stress 2 Δx

Folded Beam Folded Beam

Δx L1

3 3 3

192 12 192

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⋅⎛

⋅

=

⋅

=

sys sys

h L EW L k EI

L_sys h

Spring Stiffness Spring Stiffness

L₁ L₁

M

3

16

12

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⋅ ⎛

⋅

=

⎠

⎝

sys sys

L W h E

L

3 1

1

2 2

=

= L L

k k

sys sys

stiffness Spring

k₁ :

마이크로시스템 기술 개론 MEMS_Lect19_5

3

1

3

1

1 16 2

2 1 2

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

⋅

=

=

L EW h

L W h k E

k ^sys

2

1 1 1

2 +

=

= k k_sys

Stiffness of Folded Beam Stiffness of Folded Beam

k₁ k₁

k₁ k₁

k₂

1 2 1

2 1

1 1 2

2 2 1

2 2

=

=

=

= +

=

k k k

k k

k

k k k

따라서 sys

⎞3

⎛

-보존계의 고유진동수를 구하는 근사 해법.

-고유진동수:계가 주기적인 운동을 하면서 계의 운동에너지와 위치에너지를 주고 받는 에너지 교환율.

-보존계를 고려하면,

Rayleigh’s Method Rayleigh’s Method

보존계를 고려하면,

(1)운동 에너지와 위치에너지의 합은 일정하고 (2)운동 에너지의 변화와 위치에너지의 변화는 같다.

-단순 조화운동을 생각하면

t 이고,

X x t X

x= sinω_n , &= ω_ncosω_n

2 2 2

2 1 2 1

mX n

kX = ω

k

마이크로시스템 기술 개론 MEMS_Lect19_7

따라서,

- 1자유도계의 고유 진동수를 구하는 데에 유용.

-다 자유도계나 탄성부의 고유진동수를 구할 경우에도 이용.

m k

n² = ω

- Rayleigh’s method를 사용하면 탄성부의 질량을 무시할 수 없을 경우에 이 질량의 영향을 보정하여 고유진동수를 계산할 수 있다.

-정적 평형위치를 기준위치로 택하여 계의

Mass of Spring Mass of Spring

정적 평형위치를 기준위치로 택하여 계의 위치에너지를 구하면

이 된다.

-집중 질량 m 에 의한 운동에너지는 이 되고,

-스프링의 미소요소 의 운동에너지는

2

2 1 kx V =

2

2 1mx

T_m= &

ξ d

ξ dξ

-스프링의 미소요소 의 운동에너지는

여기서, 는 스프링의 단위 길이 당 질량.

ξ d

2

2

1 ρdξ ξ&

dT_s =

x

ρ

-스프링의 임의의 점의 속도가 고정단으로 떨어져 있는 거리에 따라 선형적으로 변한다고 가정하면

- 이라 할 수 있다.

x&

& ξ

ξ =

Dynamic Energy of Spring Dynamic Energy of Spring

이라 할 수 있다

-전체 스프링에 대해서 운동에너지를 구하면

-전체 계의 운동에너지

l x ξ =

2

2

1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= d ⎛ x

dT_s &

l ξ ξ ρ

2 2

마이크로시스템 기술 개론 MEMS_Lect19_9

2 2

3 2 2

2

0 2 3

1 3

1 2 1 3 1 2

1 2

1 m x

x x x d

T_s l l& ^s &

l

&

l

&

l ⎟= ⋅ = ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=∫ ^ρ⎛ ^{ξ ξ ρ ρ}

2 2

2

3 1 2 1 3

2 1 2

1 m x m m x

x m T T

T _{m s} & ^s & _s⎟&

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

= +

= +

=

-단순 조화운동으로 표현하면 -최대 운동에너지= 최대 위치에너지

t X

x t X

x= sinω_n , &= ω_ncosω_n

Resonant Frequency Resonant Frequency

-만약, 스프링의 임의의 점의 속도가 거리의2차 함수로 주어지면

( )

s n

n s

m m

k

kX X

m m

3 1

2 1 3

1 2 1

2

2 2

+

=

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

ω

ω

x&

& l

2

ξ 2

ξ =

l²

ξ

2 2

1 1 1

l ⎛ξ ⎞

- 빔의 변위 x

( )

ξ

( )= ² (6 ₁−4 )

48 L

EI

xξ Fξ ξ

L

1 ^F

Effective Mass of Spring

Effective Mass of Spring--Beam: FixedBeam: Fixed--Fixed (I)Fixed (I)

- 최대 변위

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

1 2

1 3 3

1 3 2

4 2 48

L L

EWh L F

EI

ξ ξ

1

max at L

x ξ =

( ) ^{1 3}

3 1

max 1 3 2 2

2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

−

⋅

⎟ ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

h L EW

F h

L EW x F

m

ξ x

x

max

마이크로시스템 기술 개론 MEMS_Lect19_11

- 빔의 변위 x

( )

ξ

( ) _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

1 2

1

max 3 2

L x L

xξ ξ ξ

-

- 빔의 속도는 변위에 비례한다고 가정

2

2 1 d x

dT_s = ρ ξ&

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ ² 2 3 x

x ξ ξ

&

&

Effective Mass of Spring

Effective Mass of Spring--Beam: FixedBeam: Fixed--Fixed (II)Fixed (II)

- , 로 치환

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ −

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=

1 1

max 3 2

L x L

x ξ ξ

2

1 2

1

0 max 3 2

2 1

1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=∫ ^{d x} ⎛_{L L}

T_s ^L ρ ξ & ξ ξ p

L =

1

ξ

( )

4 12 9 1

4 12 2 9

1

1 7 6 5

2 max 1

2 4

2 max 1 1 0

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ − +

=

+

−

=

∫

p p p

x L

p p p

x dp L

&

&

ρ ρ

3714 . 2 0

1

7 6 5 2

2 max 1

0 max

1

⋅

=

⎥⎦

⎢⎣

x L

p p p

&

ρ ρ

-

:시스템 전체의spring mass

2 max 2

max

, 2

3714 1 . 20

1 m x mx

T = _ssys& + &

sys

ms_,

1

Natural Frequency

Natural Frequency--Beam: FixedBeam: Fixed--Fixed(III)Fixed(III)

-

-단순 조화 운동이라고 가정

-최대 운동에너지=최대 위치에너지

2

2 max

1 k x

V = _sys &

t X

x t X

x= sinω_n , &= ω_ncosω_n

( )

¹

1

마이크로시스템 기술 개론 MEMS_Lect19_13

-

(

,

)

( )^{2 2}

2 3714 1

. 2 0

1 m+ m_ssys Xω_n = k_sysX

sys s sys

n m m

k

, 2

3714 . +0 ω =

ξ x

m

x

^max

Effective Mass of Spring

Effective Mass of Spring--Beam: FixedBeam: Fixed--Free(I)Free(I)

- 빔의 변위

- 최대 변위

( )^{=3FLEI321⎪⎩⎪⎨⎧3⎜⎝⎛L⎟⎠⎞2−⎜⎝⎛L⎟⎠⎞3⎪⎭⎪⎬⎫=3E}

( )

^WhFL33₁₂ ^{21⎪⎩⎪⎨⎧3⎜⎝⎛L⎟⎠⎞2−⎜⎝⎛L⎟⎠⎞3⎪⎭⎪⎬⎫=EW4F ⎜⎝⎛hL⎟⎠⎞3⋅21⋅⎪⎩⎪⎨⎧3⎜⎝⎛L⎟⎠⎞2−⎜⎝⎛L⎟⎠⎞3⎪⎭⎪⎬⎫}

xξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

L at

x_max ξ= ^{3 3}

max

2 4 1

4 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⋅

⎟ ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝

= F ⎛L F L

x

L

max 2 ⎟

⎜ ⎠

⎟ ⎝

⎜ ⎠

⎝h EW h

( )ξ EW

-

- 빔의 속도는 변위에 비례한다고 가정

2

2 1 d x

dT_s = ρ ξ&

⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

3 2

max 1 3

x

x ξ ξ

&

&

Effective Mass of Spring

Effective Mass of Spring--Beam: FixedBeam: Fixed--Free(II)Free(II)

- , 로 치환.

⎪⎭⎬

⎪⎩⎨ ⎟

⎜ ⎠

⎟ ⎝

⎜ ⎠

max ⎝

2 L L

3 2 2

0 max 3

2 1 2

1

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=∫ ^{d x} ⎛_{L L}

T_s ^L ρ ξ & ξ ξ p

L= ξ

( )

7 1 6 6 5 9 4 1 2

1

6 4 9

1 2

1

2 max

6 5 4 2

max 1

0

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

+

−

= ∫

x L

p p p x

Ldp

&

&

ρ ρ

마이크로시스템 기술 개론 MEMS_Lect19_15

2357 . 2 0

1

2357 . 2 0

1

7 6 5 4 2

2 max

2 max

⋅

=

⋅

=

⎠

⎝

⎠

⎝

x m

x L

s&

&

ρ

-

:시스템 전체의spring mass

2 max 2

max

, 2

2357 1 . 2 0

1 m x mx

T = ⋅ _ssys & + &

sys

ms_,

Natural Frequency

Natural Frequency--Beam: FixedBeam: Fixed--Free(III)Free(III)

-

-단순 조화 운동이라고 가정

-최대 운동에너지=최대 위치에너지

y ,

2

2 max

1 k x V = _sys

t X

x t X

x= sinω_n , & = ω_ncosω_n

1

1

(

,

)

( )^{2 2}

2 2357 1

. 2 0

1 m+ m_ssys Xω_n = k_sysX ω k

c₌ μA

Shear Damping Shear Damping

plate of

area A

L FT fluid of

ity vis

L FT t coefficien damping

c c g

:

) / ( cos

:

) / ( :

μ 2

A

g A

마이크로시스템 기술 개론 MEMS_Lect19_17

gap g:

+L +

= 1 1

1

c c c

Serial and Parallel Dampers Serial and Parallel Dampers

c2

c1

+ L +

= c

₁

c

₂

c

_eq

c

1

c

₂ L ^{ceq c1 c2}

-판아래의 유체 흐름이Couette flow라고 가정

이므로 damping weak

for Q γ

ω 2

= 0

k c

Quality Factor, Q Quality Factor, Q

이므로

-그런데, 이므로

* Couette flow :두 장의 평행한 무한 평판 사이에 점성 유체를 채우고 m

c m

k_sys , 2

0= γ=

ω

sys

sys mk

c c m m

Q k 1

=

⋅

=

g c₌μA

mksys

A Q g

= μ

마이크로시스템 기술 개론 MEMS_Lect19_19

* Couette flow : 두 장의 평행한 무한 평판 사이에 점성 유체를 채우고, 한쪽의 판( y =0 )을 정지시키고, 다른 쪽의 판( y=h)을 일정속도V 로 평행하게 움직일 때, 두 판사이의 속도 분포는 선형이 된다. 이 흐름을Couette flow라고 한다.

( ) V

g y y v =

-이장무 편저,기계진동학, 3장,문운당,서울, 1992.

References References

- Gere and Timoshenko, Mechanics of Materials, Ch.8 and Appendix D, PWS-KENT, Boston, 1990.

- Walter D. Pilkey, Formulas for Stress, Strain and Structural Matrices, Ch.10, John Wiley & Sons, INC., New York, 1994.