PowerPoint 프레젠테이션 - KOCW

4.Fourier optics

http://www.youtube.com/watch?v=D9ziTuJ3OCw

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Application 수행

𝛻² + 𝑘² 𝐸_𝑥 𝒙+ 𝛻² + 𝑘² 𝐸_𝑦𝒚+ 𝛻² + 𝑘² 𝐸_𝑧 𝒛 = 0

𝛻 2 𝐄 − 𝛾 𝑐 2 𝐄 = 0

𝛻² + 𝑘² 𝐸_𝑥(𝑥, y, z) = 0

𝑓(𝑥, y, z) = 𝑐𝑜𝑠(𝑘_𝑥𝑥 + 𝑘_𝑦𝑦 + 𝑘_𝑧𝑧) 𝑘_𝑥²+𝑘_𝑦²+𝑘_𝑧² = 𝑘²

𝑓(z) = 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑧)

𝜕²

𝜕𝑥² + 𝜕²

𝜕𝑦² + 𝜕²

𝜕𝑧² → 𝜕²

𝜕𝑧² 𝑓(𝑥, y, z) = 𝑓 𝑧 이

면

𝜕²

𝜕𝑧² + 𝑘² 𝑓(z) = 0

𝛻² + 𝑘² 𝑓(𝑥, y, z) = 0

𝑓(𝑥, y, z) = 𝑐𝑜𝑠(𝑘_𝑥𝑥 + 𝑘_𝑦𝑦 + 𝑘_𝑧𝑧)

𝑘_𝑥𝑥 + 𝑘_𝑦𝑦 + 𝑘_𝑧𝑧

=(𝑘_𝑥 𝒙 + 𝑘_𝑦𝒚 + 𝑘_𝑧 𝒛) ∙ (𝑥 𝒙 + 𝑦 𝒚 + 𝑧 𝒛)

=𝑘 ∙ 𝑟

𝐴𝑒^{𝑗 𝑘𝑥𝑥+𝑘𝑦𝑦+𝑘𝑧𝑧} =𝐴𝑒^{𝑗 𝑘∙ 𝑟}

𝑘_𝑥²+𝑘_𝑦²+𝑘_𝑧² = 𝑘² 숫짜 𝑘 와 𝑘는 다름 𝑘는

만족하는 모든 벡터

즉, 벡터의 크기가 𝑘인 임의의 벡터

𝑘

𝑘와 직교하는 선(면) 위의 점들은 𝑘 ∙ 𝑟 값이 전부 같다: 동일 위상면 즉, 𝑘는 파의 진행 방향을 가리키며 크기는 파수이다.

𝑘_𝑥

𝑘_𝑦

𝑘_𝑦 = 0

𝑘_𝑥 = 5

𝑘₀ = 5 𝑘_𝑥 = 4 𝑘_𝑦 = 3

𝑘₀ = 5

𝑘_𝑥 = 4 𝑘_𝑦 = 3

𝑘_𝑥² + 𝑘_𝑦² = 𝑘₀²

𝑘₀ = 5 𝑘_𝑥 = 5 𝑘_𝑦 = 0

𝑦 𝑥

𝑒^{𝑗 𝑘0∙ 𝑟} = 𝑒^{𝑗(4 𝑥}+3 𝑦)∙(𝑥 𝑥+𝑦 𝑦) = 𝑒^𝑗(4𝑥+3𝑦)

cos(4𝑥+3𝑦) Travelling

𝑘₀ = 5

𝑘_𝑥² + 𝑘_𝑦² = 𝑘₀²

𝑒^{𝑗 𝑘0∙ 𝑟} = 𝑒^{𝑗(4 𝑥}+3 𝑦)∙(𝑥 𝑥+𝑦 𝑦) = 𝑒^𝑗(4𝑥+3𝑦)

cos(4𝑥+3𝑦 − 𝑤𝑡)

Travelling 𝑘_𝑥 = 4

𝑘_𝑦 = 3

𝑘₀ = 5 cos(3𝑦 − 𝑤𝑡)

cos(4𝑥 − 𝑤𝑡) 𝑥 = 0

𝑦 = 0

𝑘_𝑦 = 0

𝑘_𝑥 = 5

𝑘₀ = 5 𝑘_𝑥 = 4 𝑘_𝑦 = 3

𝑘₀ = 5

𝑘_𝑥 = 4 𝑘_𝑦 = 3

𝑘_𝑥² + 𝑘_𝑦² = 𝑘₀²

𝑘₀ = 5 𝑘_𝑥 = 5 𝑘_𝑦 = 0

𝑦 𝑥

𝑒^{𝑗 𝑘0∙ 𝑟} = 𝑒^{𝑗(4 𝑥}+3 𝑦)∙(𝑥 𝑥+𝑦 𝑦) = 𝑒^𝑗(4𝑥+3𝑦)

cos(4𝑥+3𝑦) Travelling

𝑘₀ = 5

𝑒𝑧 = 0 x = 0 , a에서 𝑒𝑧 = 0 y = 0 , b에서 일반해

= 𝐸₀ sin𝑘_𝑥𝑥 (sin𝑘_𝑦𝑦)𝑒^{−𝑗𝑘𝑧}

𝑘_𝑥 = 𝑚𝜋

𝑎 , 𝑚 = 1,2,3 … 𝑘_𝑦 = 𝑛𝜋

𝑏 , 𝑛 = 1,2,3 …

𝐸_𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐸₀sin(𝑚𝜋𝑥

𝑎 )sin(𝑛𝜋𝑦

𝑏 ) 𝑒^{−𝑗𝑘𝑧}

𝐻_𝑧 = 0 TM mode

= 𝑒_𝑧 𝑥, 𝑦 𝑒^{−𝑗𝛽𝑧}

(𝑒^{−𝑗𝑘𝑥𝑥}±𝑒^{𝑗𝑘𝑥𝑥}) 정상파 solution

고무줄 예

𝑘_𝐶² = 𝑚𝜋 𝑎

2 + 𝑛𝜋 𝑏

2

𝐾_𝑥 = 2𝜋

𝜆 𝜆 = 2𝑎

𝑎

𝑏 𝑘_𝐶² = 𝜋

𝑎

2 + 𝜋 𝑏 TM₁₁ 2

𝜔²𝜇ε = 𝜋 𝑎

2 + 𝜋 𝑏

2

(2𝜋𝑓)²𝜇ε = 𝜋 𝑎

2 + 𝜋 𝑏

2

𝑓₁₁ = 𝑢_𝑝0 2

1 𝑎

2

+ 1 𝑏

2

𝜇ε = 𝑢_𝑝0

차단 주파수(cutoff frequency)

𝑓_𝑚𝑛 = 𝑢_𝑝𝑜 2

𝑚 𝑎

2 + 𝑛 𝑏

2

물질𝜇, 𝜀인 매질에서 TEM의 위상속도

TEM_mn 을 따라서,넣어주는 웨이브 가이드 보다 작은 파장이여야 한다.

𝑓 > 𝑓_𝑚𝑛 즉, 주파수가 차단주파수보다 높아야 전파된다.

TM_mn

𝑘 = 5 𝛽 = 4 𝑘_𝐶 = 3 𝑘² = 𝑘_𝑐² + 𝛽²

𝑘 = 2𝜋 𝜆

입사파(𝜔 )와 관련된 파장 𝜔 = 𝑐𝑘

𝑘_𝑐 관련

𝛽관련 𝜆=^2𝜋₅

𝑘_𝑐² = 𝑘_𝑥²+𝑘_𝑦² = 2𝑘_𝑥²

𝑘 = 5 𝛽 = 4 𝑘_𝐶 = 3 𝑘² = 𝑘_𝑐² + 𝛽²

𝑘 = 2𝜋 𝜆

입사파(𝜔 )와 관련된 파장 𝜔 = 𝑐𝑘

𝑘_𝑐 관련

𝛽관련 𝜆=^2𝜋₅

𝑘_𝑐² = 𝑘_𝑥²+𝑘_𝑦² = 2𝑘_𝑥²

𝑘 = 5 𝛽 = 0 𝑘_𝐶 = 5 𝑘² = 𝑘_𝑐² + 𝛽²

𝑘 = 2𝜋 𝜆

입사파(𝜔 )와 관련된 파장 𝜔 = 𝑐𝑘

𝜆=^2𝜋₅ 𝑘_𝑐 관련

𝛽 = 0 관련

𝑘_𝑐² = 𝑘_𝑥²+𝑘_𝑦² = 2𝑘_𝑥²

정확히는 입사파장은, 𝑎 2 cut−off freq. (≠ 2𝑎) 𝑘_𝑥 = ^2𝜋_2𝑎 𝑘_𝑐 = ^2𝜋_2𝑎

2

= ^2𝜋_2𝑎

𝑘 = 5 𝛽 = 0 𝑘_𝐶 = 5 𝑘² = 𝑘_𝑐² + 𝛽²

𝑘 = 2𝜋 𝜆

입사파(𝜔 )와 관련된 파장 𝜔 = 𝑐𝑘

𝜆=^2𝜋₅ 𝑘_𝑐 관련

𝑘 = 5 𝛽 = 0 𝑘_𝐶 = 5 𝑘² = 𝑘_𝑐² + 𝛽²

𝑘 = 2𝜋 𝜆

입사파(𝜔 )와 관련된 파장 𝜔 = 𝑐𝑘

𝜆=^2𝜋₅ 𝑘_𝑐 관련

𝑘_𝐶 = 7 𝛽 = 𝑗 24

𝑒^𝑗𝛽𝑧 = 𝑒^{− 24𝑧}

지수 감소 통과하지 못함, 𝑘² = 𝑘_𝑐² 따라서, 𝑘² = 𝑘_𝑐² 경우 보다

더 큰 진동수(더 단파장) 빛만 통과

Same explanation can be given to lithography

Applicable to super optical imaging

Application of NIM(Perfect lens)

k_x

: related on resolution

k_z

: related on propagation x

z

 2  

k

x

Δ

Diffraction limit

Δ slit detail :

k z D

₁

Diffraction limit

𝑘 = 𝜔

𝑐 , 𝑘

_𝑥²

+ 𝑘

_𝑦²

+ 𝑘

_𝑧²

= 𝜔 𝑐

2 𝑘_𝑥² + 𝑘_𝑦² = 𝑘_𝜌²

𝑘

_𝜌²

+ 𝑘

_𝑧²

= 𝜔 𝑐

2

𝑘 𝜌

k z

여기에 수식을 입력하십시오.

D

₂

2





  c

Diffraction limit

𝑘 𝜌

𝑘

_𝜌²

+ 𝑘

_𝑧²

= 𝜔 𝑐

2 Decay 𝑘_𝜌 = ^𝜔_𝑐 = ^2𝜋_𝜆

회절 한계

대물렌즈대안렌즈

회절 한계

회절 한계

1km

10cm

회절 한계

NSOM(Near-field Scanning Optical Microscopy) SEM(Scanning Electron Microscopy)

n = 1 n = - 1

Negative refractive index materials

If negative refractive index materials exist ?

Imaging by planar lens Not necessary

• single ‘optical axis’

• curved surface

Overcome diffraction limit by

amplification of evanescent near field e^inkt

Beyond diffraction limit

𝒇 = 𝝎 𝟐 𝝅 𝒂𝒏𝒂𝒍𝒐𝒈𝒚

𝜆

k

Λ

𝜽

_𝒙

= 𝐬𝐢𝐧

^{−𝟏 𝝀}

𝚲

cos(90 − 𝜃

_𝑥

)=

^𝜆

Λ

sin 𝜃

_𝑥

=

^𝜆

Λ

2𝜋

𝜆 sin 𝜃_𝑥=^2𝜋_Λ 𝑘 sin 𝜃_𝑥=^2𝜋_Λ 𝑘_𝑥=^2𝜋_Λ

𝒌_𝒙 = 𝟐𝝅 𝚲 𝑘_𝑥 = 2𝜋𝑣_𝑥 𝑣_𝑥 = 1/Λ

𝑥

𝑧

𝜃 𝑥

90 − 𝜃_𝑥

𝜆

k

Λ

𝜽

_𝒙

= 𝐬𝐢𝐧

^{−𝟏 𝝀}

𝚲

cos(90 − 𝜃

_𝑥

)=

^𝜆

Λ

sin 𝜃

_𝑥

=

^𝜆

Λ

2𝜋

𝜆 sin 𝜃_𝑥=^2𝜋_Λ 𝑘 sin 𝜃_𝑥=^2𝜋_Λ 𝑘_𝑥=^2𝜋_Λ

𝒌_𝒙 = 𝟐𝝅 𝚲 𝑘_𝑥 = 2𝜋𝑣_𝑥 𝑣_𝑥 = 1/Λ

𝑥

𝑧

𝜃 𝑥

90 − 𝜃_𝑥