The Uniform Plane Wave

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The Uniform Plane Wave

이번 장에서는 앞서9장에서배운 Maxwell방정식을 이용하여 전자기파를 기술하는 기초적인 이

론을다룬다.가장간단한경우로서공간에대해서균일한평면파를다루며,이경우파동의속도에 영향을주는물리적인요소가무엇인지에대해살펴보고이와함께에너지의손실이 있는매질에서

빛이 진행하는 경우를 다룬다. 파동에 의해 에너지가전달되는 과정을 기술하는 Poynting 이론을

배우고최종적으로빛의편광성에관해배울 예정이다.이번장에서다루는내용은향후에배우게될 서로다른 매질에서의빛의반사및진행, transmission line 및waveguide의개념,그리고안테나를 이용한파동의발생원리와도연계되는기초적인내용이므로매우중요하다.

11.1 Wave Propagation in Free Space

11.1.1 Wave equations for electric and magnetic fields

진공상태에서는 물질이 존재하지 않으므로 전하밀도와 전류밀도가 각각 0가 되고, permittivity 와 pearmeability가 각각 0 및 µ0이다. 이를 이용하여 Maxwell 방정식을 E 및 H field에 대해 전개해보면다음과 같다.

∇ ×H = ₀∂E

∂t (11.1)

∇ ×E = −µ₀∂H

∂t (11.2)

∇ ·E = 0 (11.3)

∇ ·H = 0 (11.4)

이때 식 (11.3)과 (11.4)는 각각 식 (11.2) 및 (11.1)에 curl 연산을 취한 결과와 같기 때문에 이

네가지 식은 결국 식 (11.1)과 (11.2)에 의해서 기술되는 것과 같다. 각각의 식은 시간에 대해서

변화하는전기장과자기장은 각각 이에수직인 방향으로 변화하는 자기장과 전기장을 유도한다는

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것을 의미한다.이두식을결합하여전개해보면,식(11.1)에curl 연산을취했을때좌변은

∇ ×(∇ ×H) =∇(∇ ·H)− ∇²H=−∇²H 이고우변은

0

∂

∂t∇ ×E=−₀µ0

∂²H

∂t² 이므로이를결합하면다음과 같은wave equation이성립된다.

∇²H−₀µ₀∂²H

∂t² = 0 (11.5)

마찬가지방법으로식 (11.2)에curl 연산을 취하여계산하면전기장에대해서도wave equation이 성립하는것을쉽게알수있다.

∇²E−0µ0

∂²E

∂t² = 0 (11.6)

9.5절에서 배운 바와같이 이와같은 미분방정식은파동방정식이라불리며, 이때 0µ0 = 1/v²로서 파동이진행하는속도와관련이 있다.진공중에서진행하는전자기파의경우에는진행속도가빛의 속도와같다는것이 잘알려져있다.

v= 1

√µ₀₀ = 3×10⁸m/s =c (11.7)

파동방정식의 일반해는 다음과 같이k·r±ωt의함수로표현된다는것이 잘알려져있다.

E(r, t) =f1(k·r−ωt) +f2(k·r+ωt)

이때 우변의 두 항은 각각 진행방향이 +k 와 −k인 파동을 나타낸다. k는 wave vector이고 그 절대값인k를wave number라하며파장과다음의 관계식을가진다.

k= 2π

λ (11.8)

마찬가지방법으로radian time frequency (진동수) ω는파동의주기T와다음의 관계를가진다.

ω = 2π

T (11.9)

파동의진행속도는v=λ/T이므로

ω k =v

인 관계가 성립한다. 매질 속에서는 빛의 속도가 감소하는데, 이는파장의 감소를 통한k 값의 증 가에 기인한다. 진공중에서의 wave number를 특별히 기술하기 위해서 k₀으로 표현하면 다음의 관계식이성립한다.

k₀ = ω

c (11.10)

11.1.2 A plane wave in free space

파면이한방향으로진행하는Electromagnetic wave (전자기파)에대해서고려해보자.파동이진행 방향에 수직인면의모든지점에서균일한field 값을가지는 경우를plane wave라고하며,파동은 오직 진행하는방향에대해서만다른값을가진다.가령,진행방향이z축과나란한방향이라고하면 전자기파의E 와Hfield는오직(z, t)만의함수이다.또한식(11.1)및(11.2)에나타난특성과 같 이Efield와Hfield는반드시서로수직이다.따라서편의상좌표계를전기장의방향이x방향이고 자기장의 방향이y 방향을가지도록정하면파동방정식을다음과 같이표현할수있다.

∂²Ex

∂z² − 1 c²

∂²Ex

∂t² = 0

∂²Hy

∂z² − 1 c²

∂²Hy

∂t² = 0

따라서 이 식으로부터 얻어지는 해는 전기장과 자기장이 모두 같은 형태를 갖게 된다. 전기장에 관한일반해는

Ex(z, t) =f1(t−z/c) +f2(t+z/c) (11.11) 이며우변의각항은+z 및−z 방향으로진행하는파동을 의미한다. sinusoidal function의형태로 변화하는파동에대해서는c=ω/k₀임을 이용하면다음과 같은 일반해가존재하는것을알수있다.

E_x(z, t) = E_x(z, t) +E_x⁰(z, t)

= |E_x0|cos[ω(t−z/c) +φ1] +|E_x0⁰ |cos[ω(t+z/c) +φ2]

= |E_x0|cos(ωt−k₀z+φ₁) +|E_x0⁰ |cos(ωt+k₀z+φ₂) (11.12) 만약 +z 방향으로 진행하는 파동만을 고려한다면 첫번째 항만을 고려하면 된다. 이 식을 보다 간편히다루는방법으로써

cosθ= 1

2(e^jθ+e^−jθ) 임을 이용하여다음과 같이표현한다.

E_x(z, t) = 1

2|E_x0|e^jφ1e^−jk0ze^jωt+c.c.= 1

2Exse^jωt+c.c.= Re[Exse^jωt] (11.13) 이때 c.c.는 복소수의 허수 성분의 부호를 바꾼 complex conjugate를 의미한다. 이때, 시간성분이 제외된전기장인 Exs를phasor electric field라고하며다음과 같이정의된다.

Exs=|E_x0|e^jφ1e^−jk0z=Ex0e^−jk0z

또한Ex0는φ1에의한 허수성분을포함한complex amplitude임에유의하도록하자.앞으로고려 하게 될solution에 대해서는 식 (11.13)에서표현된바와 같이 복소수의 Real 성분만 계산한다는 것을 유의하도록하자. phasor 형태로식을나타내면,시간에대한미분을취한경우에

∂

∂t=jω

임을 이용하여 식을 쉽게 처리할 수 있다. 식 (11.12)의 우변의 두번째 항도 마찬가지로 phasor electric field로 표현하여 더해주면된다. 종합적으로,식 (11.1) – (11.4)는모두 다음과 같이표현 된다.

∇ ×H_s = jω₀E_s (11.14)

∇ ×Es = −jωµ₀Hs (11.15)

∇ ·E_s = 0 (11.16)

∇ ·Hs = 0 (11.17)

즉 시간에 대한 종속성이 없는 상미분 방정식의 형태로 나타낼수 있으므로 해를구하는 것이 더 쉬워진다. 예를들어, 식 (11.14)와 (11.15)를 이용하면 (11.6) 식을 유도하던 과정과 마찬가지로 계산하여다음식을얻게된다.

∇²Es=−k²₀Es (11.18)

이식을 이름하여vector Helmholtz equation이라고한다.전기장의방향이오직x 방향이라면

∇²E_xs=−k²₀E_xs 이고1차원문제에서는∇² =∂²/∂z²이므로

d²Exs

dz² =−k²₀Exs (11.19)

가되며,이미분방정식의해는

Exs(z) =Ex0e^−jk0z+E_x0⁰ e^jk0z (11.20) 이다. 우변의각 항은+z 및 −z 방향으로 진행하는 파동을 의미한다. 자기장성분을 식(11.15)를 이용하여계산하면

dE_xs

dz =−jωµ₀H_ys 이므로

H_ys = − 1

jωµ₀[(−jk₀)E_x0e^−jk0z+ (jk₀)E_x0⁰ e^jk0z]

= E_x0 r₀

µ0

e^−jk0z−E_x0⁰ r₀

µ0

e^jk0z (11.21)

이다.이를종합하여식(11.13)의형태로실수부를취해서계산하면, Ex(z, t) = Ex0cos(ωt−k0z) +E_x0⁰ cos(ωt+k0z) H_y(z, t) = E_x0

r₀

µ₀ cos(ωt−k₀z)−E_x0⁰ r₀

µ₀ cos(ωt+k₀z) (11.22)

으로+z및−z 방향으로진행하는파동의합으로전기장및자기장을나타낼수있다.이때좌표계 의원점을선택할수있는자유도를이용하여 편의상Ex0 및E_x0⁰ 가 실수가되도록식을정하였다. 보편적으로,같은방향으로진행하는전기장과자기장의크기사이에는 다음관계식이 있다는것을 알수있다.

Ex0 = rµ0

0

Hy0, E_x0⁰ =− rµ0

0

H_y0⁰ (11.23)

이때의비례상수를intrinsic impedance라고정의하며그값은다음과 같다.

η0 = rµ0

₀ = 377'120π [Ω] (11.24)

이값의단위는E_x0/H_y0 의단위인(V/m)/(A/m) 이므로저항의단위인 Ohm이된다.

앞서계산한전자기파의해는sinusoidal wave이지만,실제적으로파동방정식의해는식(11.11)을 만족시키는 임의의 함수가 가능하다. 이러한 함수는 식 (11.19)의 해인 sinusoidal 함수의 Fourier 급수로전개하여 얻을수있다.

11.2 Wave Propagation in Dielectrics

이번절에서는uniform plane wave가 permittivity가이고permeability가µ인매질속에서진행 하는 경우로 문제를 확장시켜서 보고자 한다. 문제를 간단히 만들기 위해 매질의 특성이 공간에 대해서 homogeneous (균일)하고방향에 대해서isotropic (등방성) 하다고 가정하자. 매질 내에서 진행하는빛은그속도가식(11.7)과유사하게

v= 1

õ= c

õrr

(11.25) 로표현되고v=ω/k 이므로

k=ω√

µ=k₀√

µ_rr (11.26)

이다. 일반적으로 전자기파가 통과하는 매질로 쓰이는 물질들은 Ferromagnetic 물질이 아니라서 µ는 거의 µ0와 같은 값을지니고r >1이므로, 매질 내에서 빛의 속도는 진공중에서보다 느려지 고 파장도 진공중에서보다 짧아지며 진동수는 동일하게 유지된다. 이때 흥미로운 사실은 매질이 perfect dielectric이아닌경우,즉유전율상수값이허수성분을가지는경우이다.이경우에는식 (11.26)에의해k값도실수성분과허수성분을모두갖게되며,그해를편의상

jk=α+jβ (11.27)

으로나타낼수있다.이경우아래와같은Helmholtz 방정식의1차원표현으로부터

d²E_xs

dz² =−k²E_xs (11.28)

다음과 같은해를구할수있다.

E_xs =E_x0e^−jkz=E_x0e^−αze^−jβz (11.29) phasor electric field에e^jωt를곱한후실수 성분을취하면다음의 해를구할수있다.

E_x(z, t) =E_x0e^−αzcos(ωt−βz) (11.30) 따라서, 만약 α > 0인 경우, 즉 k가 0보다 작은 허수 성분을 가지고 있는 경우에는 진행 거리에

대해서exponential함수의형태로감소하는전기장의 값을갖는다는것을알수있다.앞서언급한

바와같이 이러한현상은 유전율이허수성분을가지는경우에발생한다.이때의 유전율을complex permittivity라하며

=⁰−j⁰⁰=0(⁰_r−j⁰⁰_r) (11.31) 과 같이표현할수있다.이값을식(11.26)에대입하여전개하면다음과 같다.

k=ω^qµ(⁰−j⁰⁰) =ω^pµ⁰ s

1−j⁰⁰

⁰ (11.32)

이식을식(11.27)과 결합시켜나타내면

α²−β² =−ω²µ⁰, 2αβ=ω²µ⁰⁰

이므로두식을연립하여풀면(두번째식을제곱한후첫번째식으로부터α²=β²−ω²µ⁰를대입) 다음의값을 유도할수있다.

α = Re{jk}=ω s

µ⁰ 2



 s

1 + ⁰⁰

⁰ 2

−1





1/2

(11.33)

β = Im{jk}=ω s

µ⁰ 2



 s

1 + ⁰⁰

⁰ 2

+ 1





1/2

(11.34) 이식으로부터, permittivity의허수성분⁰⁰가존재하면전자기파가진행할때energy loss가존재하 는것을알수있다.⁰⁰/⁰을loss tangent라고하는데,이값과1과의비율에 의해전자기파가매질 내에서 보이는특성이 달라진다.전자기파의 손실이 있는경우나없는경우모두파동의 위상속도 (phase velocity)는

vp= ω

β (11.35)

임을 알수있다.진행하는파동의파장은

λ= 2π

β (11.36)

이고,자기장은 식(11.21)에서와마찬가지로계산하면+z방향으로진행하는파동에대해서는 H_ys= E_x0

η e^−αze^−jβz (11.37)

로나타낼수있다.이때intrinsic impedance는 다음과 같이복소수가된다. η=

r µ ⁰−j⁰⁰ =

rµ ⁰

1

p1−j⁰⁰/⁰ (11.38)

따라서 ⁰⁰이0이 아닌 경우에는 전기장과자기장이더이상 동일한phase를 갖지않게된다.다양한

permittivity 값을가지는경우에대해서몇가지예를살펴보기로하자.

Case 1: perfect dielectric, ⁰⁰= 0 (lossless medium) 이경우는permittivity의허수부가0이므로=⁰이다.따라서

β =ω^pµ⁰ (11.39)

이고, +z 방향으로진행하는전자기파에대해서는

E_x(z, t) =E_x0cos(ωt−βz) (11.40) 이고이때위상속도(phase velocity)는

vp= ω β = 1

√µ⁰ = c

pµr⁰_r (11.41)

이다. 앞서언급한 바와같이 일반적인 물질에 대해서는 µ_r = 1이고_r >1이므로 유전체 속으로

진행하는wave의파장은 다음과 같이진공중에서보다짧아지며,

λ= 2π

β = 2π ω√

µ⁰ = c

f^pµ_r⁰_r = λ₀

pµ_r⁰_r (11.42)

따라서wave의속도는광속보다 느려지게된다.Ex와결부된자기장의식은앞서계산한바와같이 H_y(z, t) = Ex0

η cos(ωt−βz) (11.43)

이고이때의intrinsic impedance는

η= rµ

(11.44)

로서 > ₀ 이고µ'µ₀이므로η는진공에서의impedance 377 Ω보다작은 값을갖게 된다.