Waveguides - KOCW

Waveguides

General solution

TEM mode (Transverse electromagnetic mode)

Wave Solution

 0



_z

z

H

E

ˆ 0 ˆ 0































t t

z t

t

t t

z t

t

E j

H j

H z

H

E z

E





 

^t_t

  (E E

_t^t

  

_z

E 

^z

 ) 

_t

  E

^z_z

  (E 

^t_z

  E E

^z_t

) 

_t

    jω jω (H H

^t_t

  H H

ⁿ_n

) )



 (



) Eqs.

Maxwell (

, H E

H

E   j     j 





t t

t t

z

t t

t t

z

jω z z

jω

jω z z

jω

E H

E H

H E

H E











 

 













 

 









ˆ ) (

ˆ ) (

0 ,

0

²

2 2

2

  





_t



_t

k

k H H

E E 0

0 ,

0

0

2



















 

 











t t

t t

z t

t

z

E

H E

E E









 E

_t

Strip line

Figure 3.25 (p. 143)

Microstrip transmission line. (a) Geometry. (b) Electric and magnetic field lines.

TE, TM mode

TE (Transverse electric)

TM (Transverse magnetic)

Waves in waveguides

z t z

t t

t

z t z

t t

t

t t

z t t

t z

t

t t

z t t t

z t

z t z

t t

z t z

t t

z t

t

z t

t

E j z H

z

H j z E

z z

z j H

z j H

z j E

z j E

E j

z H

H j

z E

E j

H j

Eqs Maxwell j

j







 

 

 









 

 

 





 













 

 







 















 

 















 







 















 







 



































































z H H

z E E

H E z z E

H z z

E H z z H

E z z

z E z

H z

z H z

E z

z H

z E

E H

H E

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ ) ( ˆ )

ˆ (

ˆ ) ( ˆ )

ˆ (

) 1 ˆ (

ˆ

.) (

,

2 2 2

2 2 2

정리하면 하고

외적을 양변에



) (

0 ˆ 0 ) (

ˆ ) (

ˆ ) (

ˆ ) ( ˆ )

(

)ˆ ˆ (

ˆ ) ˆ (

ˆ ] [

) (

) 1 (

) 3 ˆ ( )

(

) 2 ˆ (

) (

) , (

2 2 2 2

2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 0

































































































































































 





 



 ^

k k H

k H

H k

H

H k

H H

H k

H

H k

j H j

H j

E j k

E j

H j k

H j

E j k

j z z

e y x E

c z

c z t

z z

t

z z

t z t t

z z

t t

z z

t t

z t z

t t

t t

z t z

t t

z t z

t t

z j

z z

z z

z

z z

z z

z E

z H

z E

E E E E

E

넣으면 에

가정하면 라고





. ,

) 3 ˆ (

) 2 ˆ (

0 0

2 2

2 2 2

2

구한다 를

이용해서 를

구하고 먼저

를 또는 이용해서

를

또는

t t

z t z

t t

c

z t z

t t

c

z z

z c z t z

c z t

E j H

j k

H j E

j k

E H

E k E H

k H

H E

z H

z E

















































 Maxwell 방정식에서 E, H를 구하기 위해

transverse 성분을 E_z, H_z를 이용해서 나타냄.

E, H가 z축 방향으로 단면이 균일한 영역을 진행하는 경우 z 방향 변화를 exp(jz)로 놓 을 수 있으며, 이 경우 E_z, H_z가 만족해야 하 는 미분방정식을 구할 수 있다.

Waves in cylinder

E, H가 z축 방향으로 단면이 균일한 영역을 진행하는

경우 z 방향 변화를 exp(-jz)로 놓을 수 있으며, 이 경 우 E

_z, H_z

가 만족해야 하는 미분방정식을 구할 수 있 다.

E H

H E





j j















) 6 (

) 5 (

) 4 (

) 3 (

) 2 (

) 1 (



 

 







 

 







 







 











 











 



z y x

y z

x

x y

z

z y x

y z

x

x y

z

E y j

H x

H

E x j

H H j

E j H y j

H

H y j

E x

E

H x j

E E j

H j E

y j E





















jwt z j z

z j z

e e y x h z y x h H

e y x e z y x e E

fields harmonic

time

)]

, ˆ ( ) , ( [

)]

, ˆ ( ) , ( [















 



 

number wave

off cut k k

k

x H y

E k

E j

y H x

E k

E j

y H x

E k

H j

x H y

E k

H j

c c

z z

c y

z z

c x

z z

c y

z z

c x









 







 



 





 







 





 



 







 





 



 







 



 

:

2 ;

2 2 2

2 2 2



















E z j

E 





 



TM, TE mode

TM mode : H_z

가 0인 경우를 TM mode

(Transverse Magnetic) 라고 한다. 이 경우, 모

든 field는 E

_z

를 이용해서 나타낼 수 있다.

TE mode : E_z

가 0인 경우를 TE mode

(Transverse Electric) 라고 한다. 이 경우, 모

든 field는 H

_z

를 이용해서 나타낼 수 있다.

2

0

2 2 2

2

 



 



 



 





z

c

E

y k x

(6)식에 Hx, Hy를 치환하면 위 식이 된다. Ez

를 먼저 구하면 나머지 성분도 다 구할 수 있 다.

2

0

2 2 2

2

  

 



 



 





z

c

H

y k x

(3)식에 E_x, E_y

를 치환하면 위 식이 된다. E

_z

를 먼저 구하면 나머지 성분도 다 구할 수

있다.

Parallel plate

TM (Transverse magnetic)

2

0

2 2 2

2

 



 



 



 





z

c

E

y k x

 

 

 



 



 





y k

y E k

E

y k

_c

c z

z

c

cos

, sin

2

0

2 2

0 ) , 0

( y  d  E

_z

조건 경계

2 2

2 2

, 3 , 2 , 1 ,

 

 



 













d k n

k k d n k n

c c

 

 

cos ,

cos  



^{j z} _y ^{j z}

x

e

d y n k

E j d e

y n k

H j  

^

 

^

Parallel plate

TE (Transverse electric)

2

0

2 2 2

2

 



 



 



 





z

c

H

y k x

 

 

 



 



 





y k

y H k

H

y k

_c

c z

z

c

cos

, sin

2

0

2 2

 0



 y H

_z

조건 경계

2 2

2 2

, 3 , 2 , 1 ,

 

 



 













d k n

k k d n k n

c c

 

 

0

sin ,

sin









^{ }

x y

z j c

y z

j c

x

H E

d e y n k

H j d e

y n k

E j  

^

 

^





Figure 3.4 (p. 105) Attenuation due to conductor loss for the TEM, TM, and TE₁ modes of a parallel plate waveguide.

Rectangular waveguide

2

0

2 2 2

2

  

 



 



 





z

c

H

y k x

) ( ) ( x Y y X

H

_z



1 0

1

₂

2 2 2

2

  k

_c



dy Y d Y dx

X d X

2 2

2

cos cos

 

 



 

 

 



 





^

b n a

k m

b e y n a

x A m

H

_{z mn} ^{j z}



 





_

TE (Transverse electric)

z j mn

y

z j mn

c x

z j mn

c y

z j mn

c x

y e n x A m

n H j

b e y n a

x A m

a k

m H j

b e y n a

x A m

a k

m E j

b e y n a

x A m

b k

n E j



























































sin cos

cos sin

cos sin

sin cos

2 2

2 2



 k H

E H

Z E

x y y

x

TE

   

Figure 3.8 (p. 112)

Figure 3.9 (p. 114)

Field lines for some of the lower order modes of a rectangular waveguide. Reprinted from Fields and Waves in Communication Electronics, Ramo et al, © Wiley, 1965)

W d

r r

e

1 12 /

1 2

1 2

1



 

   



1 /

for

1 /

for )]

444 . 1 /

ln(

667 . 0 393 . 1 /

[

120

4 ln 8

60

0





 



 









 

 



 

 W d

d W d

W d

W

d W W

d Z

e

e





 k 

e

 

₀

Microstrip line

3. 10 Wave velocities and dispersion





_p

  Speed of light in a medium

   1

Phase velocity

Group velocity



^

 f t e



dt

F (  ) ( )

^jt

f t  

^

F  e

^jt

dt

 ( ) 2

) 1 (



z

Ae

j

H (  ) 

^{ }

) / (

) 2 (

) 1 (

) ( )

(

c z t Af dt

e F

Ae t

f

F Ae

F

t j z

j o

z j o











^











 





TEM wave

Distortionless

} )

( Re{

cos ) ( )

( t f t

₀

t f t e

^{j 0t}

s   

^

S (  )  F (   

₀

)

z j

o

AF e

S (  )  (   

₀

)

^{ }





 













m

AF e d

d e S

t s

z t j t

j o

o



  







 



 

0 ( )

0

) (

1 Re

) ( 2 Re

) 1

(

 











 

2 2 0

2 0

0

( )

2 ) 1 (

) (

0 0



 

 

 

 







 



d

d d

d

) cos(

) (

) ( 2 Re

) ( 2 Re

) 1 (

0 0

0

) (

)

( _{0 0 0}

z t

z t

Af

dy e

y AF A e

d e S

t s

m

m

y z t j z

t j

t j o

o











 













 















 









0

1

0

1









 





 

 



 

 

d d Group velocity

g

Example 3.9 Waveguide wave velocities

2 2

2 , 2

2 2

,

1 1 1

1



 



 







 











 



 







d n L d n

d n

TE TM

TE TM TEM TEM









 









 





 















 



c

Phase _p

_g

TE and TM mode

TEM mode



 



 

d f n

d d

c g

2

1

0









TEM TM₃

TM₂ TM₁

3



c 2



c 1



c

 

^{2 mode}