3
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ОДНОМЕРНОЙ ОБЛАСТИ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ НАЧАЛЬНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Абдрахманова Н.Т.
Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, Астана
Научный руководитель – доцент Сыздыкова З.Н.
Пусть - температура в некоторой одномерной области, причем начальная температура Исследовать решения уравнения теплопроводности при различных начальных температурах: - гауссов начальный профиль;
- равномерное начальное распределение температуры на отрезке [-1,1], где - единичная функция Хевисайда.
Продемонстрируем решение задачи в Maple с помощью преобразования Фурье по переменной x.
> restart: assume(n,integer): with(plots): with(inttrans):
Задаем уравнение:
> alias(u=u(x,t),U=U(k,t)): eq:=diff(u,t)-c^2*diff(u,$(x,2));
:=
eq
tu c2
2 x2u
Применяем преобразование Фурье:
> eq2:=subs(fourier(u,x,k)=U,fourier(eq,x,k));
:=
eq2
tU c2k2U
> SU:=subs(_F1(k)=F(k),(dsolve(subs(eq2),U)));
:=
SU UF( )k e(c )
2k2t
Вычисляем обратное преобразование:
> Su:=u=invfourier(subs(SU,U),k,x);
:=
Su uinvfourier(F( )k e(c ), , )
2k2t
k x
> convert(Su,int);
u 1 2
d
( )
F k e(c )
2k2t
e(I k x) k
Преобразуем полученное решение, подставив в него значение интеграла F(k):
> assume(c>0): assume(k>0):assume(t>0):
> Su:=1/2/Pi*Int(Int(f(xi)*exp(-c^2*k^2*t-I*k*xi+I*k*x), k=-infinity..infinity),xi=- infinity..infinity);
:=
Su 1 2
d
d
( )
f e(c~ )
2k~2t~ I k~ I k~ x
k~
Внутренний интеграл вычисляется:
> int_int:=int(exp(-c^2*k^2*t-I*k*xi+I*k*x),k=-infinity..infinity);
:=
int_int e
1 4/ (x)2 c~2
t~
c~ t~
4
Итак, решение задачи для достаточно произвольной интегрируемой функции имеет вид
>Su:=simplify(Int(f(xi)*simplify(int_int/(2*Pi)), xi=-infinity..infinity));
:=
Su d
1 2
( ) f e
1 4/ (x)2 c~2
t~
c~ t~
Рассмотрим теперь конкретные начальные условия. Пусть начальная температура имеет вид (гауссов профиль) :
> f1:=x->exp(-x^2); assume(t,positive): assume(c,positive):
:=
f1 xe(x )
2
В этом случае можно вычислить интеграл точно:
> Su1:=simplify(value(subs(f=f1,Su)));
:=
Su1 e
x2
4c~2 t~ 1
4 c~
2t~ 1
Интересно посмотреть на развитие процесса. Пусть с=1/2:> c:=1/2;
:=
c 1 2
>p1:=seq(plot(u(x,i),x=-10..10, color=green,thickness=2),i=0..12):
>p2:=seq(plot(u(x,6*i),x=-40..40,color=blue, thickness=2), i=10..20):
> display([p1],title="Гауссов профиль(t=0..12)");
Возьмем теперь начальный профиль в виде :
> f2:=x->Heaviside(x+1)-Heaviside(x-1);
:=
f2 xHeaviside(x1)Heaviside(x1)
>(subs(f=f2,Su)));
d
1 2
( ) f2 e
1 4/ (x)2 c~2
t~
c~ t~ Sol_u := 1
2
erf 1 2
1 x
c~ t~
1 2
erf 1 2
1 x c~ t~
Как видим, здесь опять интеграл вычисляется. Посмотрим на развитие этого профиля:
> c:=1/2;
5 :=
c 1 2
>p1:=seq(plot(u(x,i),x=-10..10, color=green, thickness=2), i=0.001..12):
>p2:=seq(plot(u(x,6*i),x=-40..40,color=blue,thickness=2), i=10..20):
> display([p1],title="Равномерный профиль (t=0..12)");
Литература
1. Будак Б.М.: Самарский А.А., Тихонов А.Н. //Сборник задач по математической физике.- М.: ГИТТЛ, 1956. 684 с.
2. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г.// Компьютер в математическом исследовании: Maple, MATLAB, LaTeX. Учебный курс.-Спб.: Питер, 2001.
