{ } Γ { } { } ( ) ( ) ( ) { } ( ) { } { { ( )A { }c ( )A

8

О ФОРКИНГЕ ДЛЯ ^∆−PM ТЕОРИИ И СТАБИЛЬНОСТЬ

ЦЕНТРАЛЬНЫХ ТИПОВ ^∆−PJ -ТЕОРИЙ В ОБОГАЩЁННОЙ СИГНАТУРЕ А.Р. Ешкеев

Карагандинский государственный университет имени Е.А.Букетова, Караганда, Казахстан

e-mail: modth1705@mail.ru 1. Центральные типы ^∆−PJ теорий.

В статье [1] был определён класс ^∆−PJ-теорий. Этот класс является позитив- ным обобщением класса йонсоновских теорий. В данной статье мы изучаем соответ- ствующее понятие ^P-λ-стабильности (в смысле [2]) и соответствующее понятие синтаксического подобия (в смысле [4]) в некотором эквивалентном стиле в классе

∃+-полных, совершенных ^∆−PJ-теорий. А также мы рассматриваем некоторое обо- гащение сигнатуры таких теорий и в рамках некоторых манипуляций с символами новой сигнатуры относительно старой, мы определяем понятие центрального типа этих теорий. Таким образом, введённое понятие дат нам возможность изучать раз- личные теоретико-модельные вопросы касающиеся, например стабильности как в [2]. В конечном итоге мы замечаем ,что такой подход позволяет рассматривать и изучать многие ^∆−PJ-аналоги понятий и их свойств из классической теории моделей в рамках ^∆−PJ-теорий.

Пусть ^T есть произвольная ^∆−PJ– теория в языке первого порядка сигнатуры σ . Пусть ^C является семантической моделью теории ^T. A⊆C. Letσ_Γ(A)=σ ∪

{

c_a |a∈A

}

∪Γ, где Γ=

{ } { }

P ∪ c . Пусть

( )

= _∀∃

( )

, _∈ ∪

{ ( )

| ∈

}

∪

{ } { ( )

∪ " ⊆"

}

Γ A Th ⁺ C a P c a A Pc P

T^PJ _{a A a} , где

{

"P⊆"

}

есть бесконечное множество предложений ,выражающих тот факт, что интерпретация символа P есть экзистенциально-замкнутая подмодель в языке сигнатуры ^σ. Требование экзистенци- альной замкнутости является существенным в том смысле, что интерпретация симво- ла ^P должна быть бесконечной. Понятно, что рассмотренное множество предложе- ний является теорией и эта теория вообще говоря не полна. Через ^SΓ^PJ обозначим множество всех ^∃+- пополнений теории ^T_Γ^PJ

( )

^A . Пусть ^λ произвольный бесконечный кардинал.

Будем говорить, что ^∆−PJ-теория ^T J-P-λ- стабильна, если SΓPJ ^≤λ для любого подмножества ^A модели ^C, так ,что ^{A ≤λ}.

Рассмотрим все пополнения теории ^T* для теории ^T в языке сигнатуры σΓ,где

{ }

c

=

Γ .Так как ^T* является ^∆−PJ-теорий , она имеет свой центр и мы обозначим его через ^Tc. При ограничении теории ^Tc до сигнатуры ^σ теория ^Tc становится полным типом. Этот тип мы и назовем центральным типом теории ^T. Заметим, что все семантические модели элементарно эквивалентны между собой.

В силу этого и совершенности теории определение центрального типа корректно.

Лемма 1.1.

Пусть ^T– совершенная ^∆−PJ-теория, тогда ^T_Γ^PJ

( )

^A -совершенная ^∆−PJ-теория.

Доказательство. Прежде всего мы должны заметить ,что добавление символов констант и символа 1-местного предиката Р не портит ^∆−PJ-ность теории ^T и тео- рии ^T*. Доказательство этого факта есть стандартная проверка определение

−PJ

∆ -ности . Для доказательства совершенности T_Γ^PJ

( )

A достаточно показать, что

( )

A

T_Γ^PJ имеет семантическую модель, которая насыщенна в своей мощности. А это следует из определения T_Γ^PJ

( )

A . Так как в качестве модели мы рассматриваем модель

C теории ^T и так как в зависимости от подмножества ^A и интерпретации одно- местного предиката ^P в ^C будет модель ^D=(C,M,a) _a∈_A, где ^M есть экзистенци- ально-замкнутая подмодель модели ^C , легко заметить ,что D будет насыщенна в своей мощности, так как модель ^C является экзистенциально-замкнутая моделью.

Это верно для всех семантических моделей теории ^T. Теорема 1.1.

Пусть ^T ∃⁺-полная совершенная ^∆−PJ-теория. Тогда следующие условия эк- вивалентны:

1) Теория ^{Tc P}-λ-стабильна (в смысле [2]);

2) Теория ^{T* J}-P-λ- стабильна . Доказательство.

Из 1) в 2) доказательство тривиально ,так как если всех пополнений не более чем λ, тогда и ^∃+-пополнений не более чем ^λ. Докажем из 2) в 1).Пусть теория ^T*-

P

J− -λ-стабильна. Это эквивалентно тому, что T_Γ^PJ

( )

A в сигнатуре

{

∈

}

∪Γ

∪

Γ(A)=σ c_a |a A

σ логически эквивалентно позитивной оболочке Кайзера ^T0 теории ^T. В силы совершенности теории ^T мы имеем, что ^T0=T* и следовательно

( )

A

T_Γ^PJ =T⁰, а значит она будет совершенной ^∆−PJ- теорий. Пусть теория ^T0 имеет не более чем ^{λ ∃+}- пополнений. В этом случае центр теории ^T в языке новой сигна- туры будет логически эквивалентен ^Th(C,a)_a∈A ∪

{

^P(c_a^)|a∈^A

} {

∪ ^"P"

}

∪

{ }

^P

( )

^c . Ясно, что ^T*= T^c .Теперь нам следует показать, что ^T* имеет не более чем ^λ пополнений.

Это и будет означать, её ^P-λ- стабильность. Поймём почему ^T* не полна в новой сигнатуре. Добавление констант даёт только несущественные расширения, а это не меняет количество типов экзистенциально-замкнутых подмоделей ^C. Существенную роль играет реализация предиката ^P. Но в этом случае реализацией предиката ^P бу- дет некоторая элементарная подмодель ^M модели ^C. В силу того, что ^C является семантической моделью теории ^T, эта подмодель будет экзистенциально-замкнутой подмоделью ^C. Так как из (^MC) следует, что M∈ET. Рассмотрим произвольное пополнение ^T' теории ^T* в новом языке. По определению ^T* существует такая мо- дель ^M из ET⁺, что ^T'=^Th(^C,^M,^a)_a∈_A, где M –интерпретация предиката ^P в семанти- ческой модели ^C. Ясно , что ^T'=^Th(^C,^M,^a)_a∈_A есть ^∆−PJ- теория. В этом случае

'

T является позитивной модельно полной теорией. В следствии этого (позитивной модельной полноты теории ^T') мы имеем ,что любая формула в ^T'эквивалентна не- которой позитивной экзистенциальной формуле в ^T'. Тогда в силу ^∃+- полноты тео- рии ^T таких пополнений по выше сказанному не более чем ^λ. Таким образом утвер- ждение доказано.

10 Пусть ^T произвольная ^∆−PJ- теория, тогда



ω

<

+

+ =

n

n T

E T

E ( ) ( ), где ^En^(T)

+ есть решётка позитивных экзистенциальных формул с точно n- свободными переменными.

Пусть T1 и T2 - ∆−PJ теории.

Мы будем говорить что T1 и T2 -∆−PJ синтаксически подобны между собой, если существует биекция f ^:E⁺⁽T1⁾→E⁺⁽T2⁾ такая ,что

1) Ограничение ^f до E_n⁺⁽T1⁾ есть изоморфизм E_n⁺⁽T1⁾ и E_n⁺⁽T2⁾, n<ω; 2) f(∃v_n+1ϕ)=∃v_n+1f(ϕ),ϕ∈E_n⁺(T),n<ω,

3) f(v₁ =v₂)=(v₁ =v₂).

Теорема 1.2.

Пусть T1 и T2 есть ^∃+- полные совершенные ^∆−PJ-теории. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) T₁^* и ^T₂^{* J}-синтаксически подобны в смысле [3]

2) T₁^c и ^T₂^c синтаксически подобны в смысле [4]

Доказательство.

Покажем из 1) в 2). Мы имеем ,что для любого ^n<ω E_n⁺⁽T1⁾ изоморфна E_n⁺⁽T2⁾. Пусть этот изоморфизм будет f₁n. В силу условий теоремы для любого ^n<ω E_n⁽T1⁾ и

) (T₂

E_n есть булевы алгебры. Но в силу совершенности T1 и T2 мы имеем , что T1^* и

*

T2 являются позитивными модельно полными теориями и поэтому для любого ^n<ω, ϕ(x) ∈ F_n (T₁^*) существует ψ^(x) из E_n⁺⁽T1^*) так, что в T1^{*=ϕ ↔ψ} . И так как T1 полна для позитивно экзистенциальных предложений и E_n⁺⁽T1⁾ ⊆E_n⁺(T₁^*) (в силу T1 ⊆T₁^*), мы имеем, что E_n⁺⁽T1⁾ = E_n⁺(T₁^*). Аналогично мы имеем ,что E_n⁺⁽T2⁾ = E_n⁺(T₂^*). Для любого ^n<ω, ϕ₁(x) ∈F_n (T₁^*) мы определяем следующее отображение между F_n ⁽T1^*)

и F_n ⁽T2^*) вот таким образом f₂n(ϕ₁(x))= f₁n(ψ₁(x)), где в 1 1

*

1 =ψ ↔ϕ

T , для ψ1^∈E_n⁺(T₁). Легко заметить ,что в силу f₁n и выше сказанного, f₂n является биекцией и задаёт нам нужный изоморфизм между F_n ⁽T1^*) и F_n ⁽T2^*). Следовательно T1^* и T2^* – синтак- сически подобны в смысле [4]. Но из предыдущего результата (Теорема 1.1. ) в связи с тем ,что ^T*= T^c , мы имеем ,что 1)⇒2) теоремы 1.2. доказано.

2)⇒1). В эту сторону тривиально так как F_n ⁽T1^*) изоморфна F_n ⁽T2^*) для любого ω

<

n , и в силу условий теоремы этот изоморфизм продолжается для всех их подал- гебр.

Следующее определение даёт нам другой вид подобия, он слабее предыдущего.

Все определения взяты из [4].

(1) Под чистой тройкой мы понимаем А,Г,М ,где ^A есть непустое множеств, Г-группа перестановок на A , и М есть семейство подмножеств множества ^A таких, что ^{M∈M ⇒ g(M)∈M} для каждого g∈Г.

(2) Если А1,Г1,М1 и А2,Г2,М2 есть чистые тройки , и ψ :A1 →A2 есть биекция,тогда ^ψ есть изоморфизм , если

(i)

{

1

}

1

2 g :g Г

Г = ψ ψ ⁻ ∈ ; (ii) М2 =

{

ψ(E):E∈M1

}

.

Чистая тройка ^C,G,N называется семантической тройкой теории ^T(сокращён- но с.т.), где ^C есть универсум модели ^C, G= Aut(C) и ^Nесть класс всех подмно- жеств ^C ,которые являются универсумами подходящей элементарной подмодели модели ^C.

Полные теории T1 и T2 семантически подобны между собой , если их семанти- ческие тройки изоморфны между собой.

Отметим следующий результат из [4].

Предложение 1.1. [4]

Если теории T1 и T2 синтаксически подобны между собой ,то они и семантически подобны между собой .

Обратное, вообще, говоря неверно.

Свойство (или понятие) теории (или модели , или элемента модели) называется семантическим ,если оно инвариантно относительно семантического подобия.

Оказалось , что много важных понятий из классической теории моделей принад- лежит следующему списку.

Предложение 1.2 .[4]

Следующие свойства и понятия являются семантическими:

(1) форкинг;

(2) λ- стабильность;

(3) Ранг Ласкара;

(4) Сильный тип ;

(5) Последовательность Морли;

(6) Ортогональность,регулярность типов;

(7) I(ℵ_α,T) - функция спектра моделей теории .

В силу этого замечания мы можем сказать , что все выше указанные свойства и понятия из предложения 2 в классе центров ^∃+-полных совершенных ^∆-PJ теорий являются семантическими. Более того, если мы будем рассматривать центральные типы в некоторых обогащениях сигнатуры то ситуация не изменится. И было бы ин- тересно рассмотреть ^∆−PJ- аналогичный список выше указанных понятий и свойств

−PJ

∆ теорий.

2 О ^PJ-форкинге в классе ^∆−PM теорий.

Нашей задачей является определение аксиоматическим путем понятие форкинга для ^∆−PM -теории, когда она совершенная ^α−йонсоновская теория. Мы идем путем обобщения результатов из [5],[6]. Дадим следующие определения.

Определение 2.1. Пусть ^M - Σ_α⁺₊₁-насыщенная ^∆-позитивно ^{α +1−}экзистенци- ально замкнутая модель мощности к (к достаточно большой кардинал) ^∆−PM - теории ^T (Σ_α⁺₊₁-насыщенность означает насыщенность относительно Σ_α⁺+₁-типов в своей мощности). Напомним, что модель ^M теории ^Tназывается ^∆-позитивно экзи- стенциально замкнутой, если для каждого ^∆-гомоморфизма ^{f :M →}_∆ ^N и каждого

M

a∈ , и ^{ϕ(x,y)∈∆:N=∃yϕ(f}

( )

^{a,y)⇒M =∃yϕ}

( )

^{a,y .}

12

Пусть ^{T ∆−PM} -теория, ^SPM(X)-множество всех позитивных Σ_α⁺+₁ полных n-типов над ^X , совместных с ^T, для каждого конечного ⁿ.

Пусть ^A -класс всех подмножеств ^M,P-класс всех Σ_α⁺+₁ -типов (не обязательно полных), пусть ^PJNF⊆P×A-некоторое бинарное отношение. Мы накладываем на

PJNF (позитивно йонсоновский нефоркинг) следующие аксиомы:

Аксиома 1. Если ^{(p,A)∈PJNF,f ∈Aut(M),f(A)=B,} то ^{(f(p),B)∈PJNF}. Аксиома 2. Если ^{(p,A)∈PJNF,q⊆ p}, то ^(q,A)∈PJNF.

Аксиома 3. Если ^{A⊆B⊆C,p∈SPM(C),} то ^{(p,A)∈PJNF ⇔(p,B)∈PJNF} и .

) ,

(pB A ∈PJNF

Аксиома 4. Если ^{A⊆B,dom(p)⊆B,(p,A)∈PJNF,} то ^{∃q∈SPM(B) (p∈q} и ).

) ,

(q A ∈PJNF

Аксиома 5. Существует кардинал ^µ такой, что если PJNF

A p B S p C B

A⊆ ⊆ , ∈ ^PM( ),( , )∈ , то

{

^{q∈SPM(C):p⊆qи (q,A)∈PJNF}

^}

^<µ.

Аксиома 6.Существует кардинал ρтакой, что ^{∀p∈P,∀A∈A}, если ^{(p,A)∈PJNF,} то ^∃A1^⊆A,(A1 ^<ρи ⁽p^,A1⁾∈PJNF^).

Аксиома 7. Если ^p∈SPM(A), то ^(p,A)∈PJNF.

Классическое понятие форкинга принадлежит Шелаху.

Определение 2.2. Множество формул

{

ϕ

( )

^x,^ai :ⁱ<^k

}

= ^p называется ^k−несовме- стным для некоторого положительного целого ^k, если каждое конечное подмножест- во ^pмощности ^kнесовместно, т.е. =¬x⁽ϕ⁽x^,ai1⁾∧^...∧ϕ⁽x^,aik⁾⁾для каждого

.

1 ... i k i < < _k <

Частичный тип делится над множеством относительно ^k∈ω, если существует формула ^ϕ

( )

^x,a и последовательность ^a_i^:i∈ω такая, что

1) p−ϕ(x,a),

2) tp(a/A)=tp(a_i/A) для всех ⁱ, 3)

{

^ϕ

( )

^x,a_i ^:i∈ω

}

^k−несовместно.

Также ^pделится над ^A относительно некоторого ^k. Кроме того, ^p форкуется над ^A в ^T, если существуют формулы ^ϕ₀^(x,a₀^),...,ϕ_n^(x,a_n⁾ такие, что :

(i) p=_0≤i≤nϕ_i(x,a_i),

(ii) ϕ_i(x,a_i) делится над ^Aдля каждого ⁱ.

Следующая договоренность является важной. Фактически, мы будем говорить о семантическом аспекте ^∆−PM теории. Если ^∆−PM-теория ^T является ^α−йонсо- новской, то с ^ModT мы работаем как с классом моделей некоторой йонсоновской теории. Если же ^∆−PM-теория ^T не является ^α−йонсоновской, то в качестве ^ModT мы будем рассматривать класс ее позитивно экзистенциально замкнутых моделей

+ T

Σ_α+₁ . Такой подход для класса Σ_α⁺+₁^T-класса экзистенциально замкнутых моделей произвольной универсальной теории ^T был рассмотрен в [7]. Так как относительно йонсоновских теорий возможны два случая: совершенный и несовершенный, то мы

будем придерживаться следующего. Хорошо известно из [8], что если йонсоновская теория ^Tсовершенна, то класс ее экзистенциально замкнутых моделей элементарен и совпадает с ^ModT*, где ^T*-ее центр. В противном случае, т.е. если теория ^Tнесовер- шенна, мы поступаем аналогично [7], только вместо ^ModTработаем с классом Σ_α⁺+₁^T

рассматривается как расширение ET-класса экзистенциально замкнутых моделей (оба класса всегда существуют), и в зависимости от совершенности и несовершенности теории ^Tтеоретико-модельные свойства класса Σ_α⁺+₁^Tпредставляют особый интерес.

В данной статье при рассмотренном ^∆рассматриваемые ^∆−PM-теории являются

−PM

∆ -совершенными, что является естественным обобщением совершенности в йонсоновском смысле.

Определение 2.3. Следуя [9], мы говорим, что модель ^A∈K является simple в классе ^K, если для любого ^B∈K такого, что существует гомоморфизм ^h:A→B, сле- дует, что ^hявляется вложением. Мы говорим, что теория ^Tудовлетворяет условию

)

(S , если каждая модель ^A∈K является simple в классе ^K. В [9] замечено, что )

(S эквивалентно следующему синтаксическому свойству: ^(S') Каждая экзистенци- альная формула в ^L эквивалентна в ^T некоторой позитивной экзистенциальной фор- муле.

Легко заметить, что не йонсоновская ^∆−PM-теория ^T в силу договоренности о ModTудовлетворяет свойству ^(S').

Мы будем использовать в доказательстве теоремы 2.2. следующие результаты:

Теорема 2.1. (Ramsey F.P.) [16, р.173] Пусть ^I -бесконечное множество, In

n<ω, -семейство всехподмножеств множества ^I , которые состоят точно из ⁿ эле- ментов. Если n ^{= ∪ ∪} k− ^< i^∩ j ^=∅

A A k A A

I ₀ ... ₁, ω, с ^{i< j<k}, то существует бесконеч- ное ^{J ⊂I} такое, что ^{J n⊂A}_i для некоторого ^i<k.

Лемма 2.1. [17,лемма 14.9] Пусть ^Tстабильная теория, ^M насыщенная модель мощности ^µ+, типы ^p₁^,p₂^∈S(M) не форкуется над ^A. Тогда если ^p₁^{|− A= p}₂^{|− A}, то существует тождественный на ^Aэлементарный мономорфизм ^f такой, что ^f(d₁^)~d₂^, где ^d₁^,d₂-схемы, определяющие ^p₁^,p₂ соответственно.

Класс всех ^∆-позитивно ^α+1 экзистенциально замкнутых моделей теории ^T обозначим через Σ_α⁺+₁^T.

Определение 2.4. Мы, говорим что ^∆−PM -теория ^{T PM−λ} стабильна, если для любой модели ^A∈Σ_α⁺+₁^T , для любого подмножества ^X множества ^A,

. )

( λ

λ⇒ ≤

≤ S X

X ^PM ∆−PM-теория ^{T PM} -стабильна, если она ^{PM −λ}-стабильна для некоторого ^λ.

Теорема 2.2. Пусть ^T−∆−PM -теория, ^α -йонсоновская, совершенная, полная для Σ_α+₁-предложений. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) отношение ^PJNF удовлетворяет аксиомам 1-7 относительно теории ^T ;

2) T^* стабильна и для любых ^{p∈P,A∈A((p,A)∈PJNF ⇔ p}не форкуется над ^A в смысле Шелаха).

14 Доказательство 2

1⇒ . Пусть ^{λ=2ρ⋅T⋅µ}, где ^λ,ρ,µ-кардиналы, соответствующие аксиомам 1-7.

Теперь покажем, что ^T PM−λ-стабильна. Тогда, по теореме 2.1. из [10], мы будем иметь, что ^T* λ-стабильна . Очевидно, что ^{λP =λ}. Пусть A =λ. Если ^p∈SPM(A), то по аксиоме 7 ^(p,A)∈PJNF, и по аксиоме 6 существует ^AP ⊆ ^Aтакой, что ^AP < ^pи

PJNF A

p, _P)∈

( . Тогда по аксиоме 3 ^{(p|− A}_P^,A)∈PJNF. Мы обозначаем p|⁻ AP через )

(p

g . По аксиоме 5

{

^{q∈SPM(A):g(q)=g(p)}

}

^<µ. Следовательно.

{

^∈

}

^{⋅µ ≤ ρ ⋅ ρ ⋅µ ≤λρ⋅λ⋅λ=λρ =λ}

≤ ^{PM ⋅T}

PM A g p p S A A

S ( ) ( ): ( ) 2 . Следовательно, ^T

λ

−

PM -стабильна. И мы заключаем, что ^T* λ-стабильна по теореме 2.1. из [10].

Пусть теперь ^(p,A)∈PJNF. Покажем, что ^pне форкуется над ^A. Пусть )

(p dom

B= . Тогда по аксиоме 4 существует ^q∈SPM(B)такой, что ^p⊆qи PJNF

A q, )∈

( . Докажем, что ^q не форкуется над ^A (тогда ^pне форкуется над ^Aпо ак- сиоме 2). Предположим обратное. Тогда в силу совершенности теории ^T и опреде- ления 2.2., а также ^(S') существует конечное множество позитивных экзистенциаль- ных формул ^Σ+0 такое, что q⁻

{

ϕ:ϕ^∈Σ+0

}

и каждая формула ϕ^∈Σ+0 делится над ^A. Пусть ^C=B∪D, D-множество констант, входящих хотя бы одну из формул из ^Σ+0. По аксиоме 4 существует ^q₀^∈SPM(C) такой, что q∈q0 и ^(q0^,A)∈PJNF. Очевидно, что q0⁻

{

ϕ:ϕ^∈Σ+0

}

, следовательно существует ϕ(x,a)^∈q0^∩Σ0⁺. Используя теорему 2.1., теорему компактности и делимость ^ϕ(x,a)над ^A, мы можем показать существо- вание последовательности aα :^{α <µ+} и элементарных мономорфизмов fα,^{α <µ+}, тождественных на ^A так, что a₀ ⁼a,a_α ⁼ f_α(a),α ^<µ⁺ и

{

^ϕ(x,aα):^{α <µ+}

}

k- несовместно для некоторого k<ω.

Пусть E⁼C^∪

{

aα :^{α <µ+}

}

,qα ⁼ fα(q₀).0^{<α <µ+}. По аксиоме 1 ^(q0^,A)∈PJNF,

<µ+

α , по аксиоме 4 существуют^q'α^∈SPM(E) такие, что qα ⊆q'α и ^(qα^',A)∈PJNF. Ясно, что ϕ(x,aα)∈q'α, q_α ⊆q'_α, α <µ⁺. Мы имеем,

{

q'α:^{α <µ+}

}

^=µ+, так как

{

^ϕ(x,aα):^{α <µ+}

}

k-несовместно. Получили противоречие с аксиомой 5. Следователь- но, ^q не форкуется над ^A. Таким образом, мы имеем, что если ^(p,A)∈PJNF, то ^pне форкуется над ^A.

Докажем в обратную сторону. Пусть ^P не форкуется над ^A. Так как теория ^T совершенна, то ^T* модельно полна [8], и для нас достаточно работать только с экзи- стенциальными типами, более того в силу ^(S') с позитивно экзистенциальными типа- ми, и рассматривать ^Σ+_α+1-насыщенные позитивные ^α+1-экзистенциально замкнутые модели теории ^T . Нам нужно доказать, что ^(p,A)∈PJNF. Пусть

µ

⋅

⋅

> ρ

⊇

⊇A M dom p M ^T

M , ( ), 2 и ^M Σ⁺α+₁-насыщенная модель теории ^T*,

t t p M S

t∈ ^PM( ), ⊆ , не форкуется над ^A. По аксиоме 7 ^{(t|− A,A)∈PJNF}, и по аксиоме

5 существует ^q∈SPJ(M) такой, что ^{q⊇t|− A} и ^(q,A)∈PJNF. Как показано выше PJNF

A q, )∈

( влечет, что ^q не форкуется над ^A. По лемме 1 существует автоморфиз- мы ^f модели ^M тождественный на ^A такой, что ^{y= f(q)}. Тогда по аксиоме 1

PJNF A

t, )∈

( , и по аксиоме 2 ^(p,A)∈PJNF. Следовательно, ^1⇒2доказано.

1

2⇒ . Так как центр теории ^T , а именно, ^T* является полной теорией, то к нему можно применить свойства форкинга в смысле Шелаха. Например, как в доказатель- стве теоремы 19.1 (^2⇒1) из [11]. Полученные результаты (аналоги аксиом 1-7 для полных теорией) можно легко ограничить до обобщений соответствующих понятий в

α-йонсоновском смысле.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ешкеев А.Р. Категоричные позитивные теории. Синтаксис и семантика логических систем. Материалы российской школы-семинара, посвященной 100-летию со дня рождения Курта Геделя, 23-27 август 2006 г., Иркутск, Институт математики СО РАН, Изд-во гос. Пед. Ун-т, 2006, 124 с., с. 28-32.

2. Мустафин Т.Г.,Нурмагамбетов Т.А. О Р-стабильности полных теорий //Cтруктурные свойства алгебраических систем .сборник научных трудов .- Караганда :Изд.КарГУ,1990.-125стр.-88-100

3. Ешкеев А.Р. О PJ-подобии в ^∆−PJ-теориях //Вестник КазНПУ, №4(20), 2007. – С.113-117

4. Mustafin T.G. On similarities of complete theories // Logic Colloquium ’90: proceedings of the Annual European Summer Meeting of the Association for Symbolic Logic, - held in Helsinki, - Finland, - July 15-22, - 1990, P. 259-265

5. Ешкеев А.Р. О J-форсинге совершенных йонсоновских теорий // Вестник КарГУ, серия математика. №3(43)/2006 С.18-22

6. Ешкеев А.Р. О PJ-форкинге в классе ^∆−PJ -теорий // Вестник КазНУ. Серия мате- матика, механика, информатика, №3(54), 2007 С.10-16

7. Pillay A. Forking in the category of existentially closed structures / Connection between Model Theory and Algebraic and Analytic Geometry (A.Macintyr, ed), Quaderni di Matematica, vol.6, University of Naples,

8. Eшкеев A.Р.,.Оспанов Р.M Cвязь йонсоновских теорий с теоремой Линдстрема //

Tруды V-Казахско-Французского коллоквиума по теории моделей. Cборник науч- ных трудов. -- Караганда: Изд-во КарГУ, - 2001, -- C. 65-75.

9. Weispfenning V. The model-theoretic significance of complemented existential formulas / The Journal of Symbolic Logic Volume 46, Number 4, Dec.1981

10. Ешкеев А.Р., Бегетаева Г.С. Стабильность ^∆−PM теории и её центра // Вестник КарГУ, 2009г. (в печати).

11. Мустфин Т.Г. Число моделей теорий / Караганда 1983.