УДК 517.518.47
АСИМПТОТИКА КРАТНЫХ КОСИНУС РЯДОВ Ыдырыс А.Ж.
Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, Астана Научный руководитель – д.ф.-м.н. Тлеуханова Н.Т.
Одной из интересных задач в теории тригометрических рядов с монотонными коэффициентами является нахождение асимптотики сумм этих рядов в окрестности нуля.
У.Г.Юнг [1], Р.Салем [2], Ф.Хартман, А.Винтнер [3], Ш.Шогунбеков [4], Теляковский [5]
рассматривали эту проблему. Позже А.Ю.Попов [6] доказал следующую теорему для ряда
Теорема А. Для любой невозрастающей и стремящейся к нулю последовательности положительных чисел выполняются неравенства
Целью настоящей работы является нахождение асимптотики сумм косинус рядов с монотонными коэффициентами для любой размерности пространства.
Пусть размерность последовательность
действительных чисел. Обозначим разность
Определение. Будем говорить, что последовательность выпукла, если
Тогда для кратного косинус ряда вида
верны следующие теоремы:
Теорема 1. Пусть последовательность выпукла и стремится к нулю по каждому индексу отдельно. Тогда существует постоянная C(m)>0, такая, что при всех
имеем где
Теорема 2. Пусть для последовательности выполняется условие и стремится к нулю по каждому индексу отдельно. Тогда существует постоянная C(m)>0, такая, что при всех
имеем
Литература
1. W.H.Young. On the mode of Oscillation of a Fourier Series and of its Allied Series, Proc. London Math. Soc., 12, 1913, 433-452.
2. R.Salem. Determination de l’ordre de grandeur a l’origine de sertains series trigonometriques, C.R.Acad. Sci., Paris, 186, 1928, 1804-1806.
3. Ph.Hartman, A.Wintner. On sine series with monotone coefficients, J. London Math.
Soc., 28, 1953, 102-104.
4. Шогунбеков Ш.Ш. Некоторые оценки для синус-ряда с выпуклыми коэффициентами. Применение функционального анализа в теории приближении.
– Тверь, 1993. – С. 67-72.
5. Telyakovskii S.A. On the behavior near the origin of the sine series with convex coefficients, Publ. Inst. Math., Nouvelle Ser. 58, 1995, 43-50.
Попов А.Ю. Оценки сумм рядов по синусам с монотонными коэффициентами некоторых классов //Матем. заметки.– 74. – №6. – 2003. – С. 877-888.
