16 Вестник КазНУ сер. мат., мех., инф. - kaznu.kz

16

ОБ АНАЛИТИЧЕСКОЙ НЕИЗГИБАЕМОСТИ КУСОЧНО-ГЛАДКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ ПРИ ЗАДАННОМ НАПРАВЛЕНИИ

СМЕЩЕНИЯ ТОЧЕК КРАЯ Г.М. Аллаев

Термезский государственный университет

В данной работе исследованы бесконечно малые изгибания первого и второго порядков кусочно-гладких односвязных поверхностей вращения, меридианы которых однозначно проектируются на ось вращения, при условии, что на поверхность нало- жены связи, допускающие перемещения точек края лишь в заданном постоянном на- правлении с

. Исследование этой краевой задачи приводит к такому результату:

Теорема. Пусть Ф – произвольная односвязная кусочно-гладкая, не содержащая в себе точек уплощения, поверхность вращения с краем g. Пусть меридиан такой по- верхности однозначно проектируется на ось вращения и не содержит точек, кроме полюса, касательные в которых перпендикулярны оси вращения. Если на такую по- верхность наложить связи, которые допускают перемещения точек края g, лищь в за- данном постоянном направлении с

, то она станет аналитически неизгибаемой.

Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно доказать, что поверх- ность Ф в данном классе деформаций обладает жесткостью не выше второго порядка, так как из этого, согласно теоремы Н. В. Ефимова

[ ]

¹, следует аналитическая неизги- баемость поверхности Ф.

Следуя методу Кон – Фоссена

[ ]

² , отнесем радиус-вектор произвольной точки поверхности вращения Ф к подвижному трехграннику

{

О,^k,^a

( ) ( )

^v ,^a^{/ v}

}

. Тогда ее урав- нение запишется так:

) ( ) ( )

,

(u v uk u a v

х = +ρ  , 0≤u≤b, 0≤ v < 2π, (1)

где ρ= ρ(u) – уравнение меридиана поверхности Ф.

Будем предлагать, что меридиан поверхности Ф состоит из m гладких звеньев.

Пусть u=ui (i=o,m): u₀<u1<u2<…<u_m−1<u_m последовательность всех точек из- лома меридиана. Тогда её уравнение можно представить в таком виде:

ρ(u)=















≤

≤

≤

≤

≤

≤

≤

≤

−

−

−

−

, ),

(

, ),

(

...

...

...

...

...

, ),

(

, ),

(

1

1 2

1

2 1

2

1 0

1

m m

m

m m

m

u u если u

u

u u если u

u

u u если u

u

u u если u

u

ρ ρ ρ ρ

(2)

где ρi= ρi(u) функция класса С¹ на промежутках

[

ui₋₁,ui

]

(i=1,m), ρ1(u₀)=0;

ρi(u)>0, ui₋₁ <u≤ui; (i=1,m) ; ρi(u1) = ρi+1(u1), (i=1,m−1) .

Обозначим через Фi поверхность, которая оброзовано в резельтате вращения ⁱ- го (^i=1,m) гладкого звена меридиана (2), а через z1i

( )

^u,v и z2i

( )

^u,v изгибающие по- ля бесконечно малых изгибаний второго порядка поверхности Фi. Тогда кусочно- гладкую поверхность Ф мы можем рассматривать как поверхность, склеенную из гладких поверхностей Фi , а ее изгибающие поля z1i

( )

u,v , z2_i

( )

u,v можно предста- вить в виде

z_i

k

( )

u,v =

( ) ( )

( )

( ) ( )



















=

<

≤

≤

≤

≤

≤

≤

≤

≤

≤

−

−

− −

2 , 1

; 2 0

, ,

, z

, ,

, z

..

...

...

...

...

, ,

, z

, ,

, z

1

1 1 2

2 1

2

1 0

1

k v

u u если u

v u

u u если u

v u

u u если u

v u

u u если u

v u

m m m

к

m m m

к к к

π









(3)

Так как каждая из параллелей “склеивания” u=ui (i=1,m−1) участвует одно- временно в деформациях двух смежных гладких частей поверхности Ф , а именно, Фi и Фi+1 , то она будет,очевидно, оказывать определенное влияние на характер этих изгибаний, поскольку деформация кривой u=ui при бесконечно малом изгибании по- верхности Фi должна быть идентична деформации ее при бесконечно малом изгиба- нии поверхности Фi+1. Это обстоятельство в силу непрерывности деформации вдоль

ui

u= приводит к дополнительным соотношениям :

( ) ( )

( )

^,

( )

^{, ,}

, , ,

2 1 2

1 1 1

v u z v u z

v u z v u z

i i i

i

i i i

i

+ +

=

=









(i=1,m−1)

( ) ( )

б a 4 4

В связи с этим, векторные поля ^zi

( )

^u ,^v

1

, ^zi

( )

^u,^v

2

, которые имеют вид (3), будут изгибающими полями бесконечно малого изгибания второго порядка кусочно- гладкой поверхности вращения Ф , на которую вдоль края ġ наложены связи, допу с- кающие перемещения точек ġ лишь в заданном постоянном направлении

с

, если они являются решениями системы уравнений

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )















<

≤

=

≤

≤

=



 

 +



 





=



 





− 1, , 0 2π

, 0 ,

, ,

,

, 0 ,

, ,

1

1 2 2

1

v m

i u u u

v u z d v u z d v u x d

v u z d v u x d

i i

i i

i







 

(5а) (5б)

18

и удовлетворяют таким условиям :

( )

^{u v}

z_m ,

1

g

. = λ1

( )

v С

( )

v

, (6)

( )

^{u v}

z_m ,

2

g

. = λ2

( )

v С

( )

v

, (7)

(

u v

)

z_{i i},

1

= z_i

( )

u_i,v

1 +1

 , (8)

( )

^{u v}

z_{i i},

2

= ^zi

( )

^ui,^v

2 +1

 , (9)

(i=1,m−1) , 0≤v<2π

Сначала исследуем бесконечно малые изгибания первого порядка поверхности Ф. Эта задача сводится к исследованию задачи (5а), (6), (8).

Пусть i

( )

^u,^v

ϕ1 , i

( )

^u,^v

ψ1 , i

( )

^u,^v

χ1 являются координатами изгибающего поля ^zi

( )

^u,^v

1

вбазисе

{

О^,к^,а

( )

^{ν ,}а^1(ν)

}

, т.е.

( )

u v z_i ,

1

= _i

( )

u,v ϕ1 k

+ _i

( )

u,v ψ1 a

( )

v

+ _i

( )

u,v χ1 a^|

( )

v

, (i=1,m) . (10) Тогда, как известно из

[ ]

³ , вопрос о бесконечно малых изгибаниях первого по- рядка поверхности Ф сводится к исследованию решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )









= +

− +

= +

1

, 1|

| ,

1

| 2 1

,

1

| ,

|

| ,

, 0 1

, 0

u u

u u n

u n

u u n u

n i i

n i i n

i

n i i n

i

χ ρ χ

ρ ϕ

χ ρ

ϕ (11)

(

^1,

)

^{, 2,3,...,}

1≤ ≤ = =

− u u i m n

u_{i i}

где in

( )

^u

1

ϕ, и in

( )

^u

1

χ, - коэффициенты Фурье функции i

( )

^u,^v

ϕ1 , i

( )

^u,^v χ1 . Условие (8) относительно функций in

( )

^u

1

ϕ, , in

( )

^u

1

χ, принимает вид :

( )

i n i u

1

ϕ, = i n

( )

ui 1

, +1

ϕ ,

( )

i n i u

1

χ, = i n

( )

ui 1

, +1

χ , (12)

(i=1,m−1), n= 2,3, …

Найдем граничное условие, при котором следует интегрировать систему (11) в указанном классе деформации.

Пусть вектор с

( )

v

относительно базиса

{

О^,к^,а

( )

^{ν ,}а^1(ν)

}

представлено в виде

( )

v

( )

v k

( ) ( ) ( ) ( )

v a v v a v

с =α +β  +γ ^| . (13) По условию теоремы направление с

( )

v

должна быть постоянным.

Направление с

( )

v

будет постоянным тогда и только тогда, когда

α

( )

v =с1, β

( )

v =+c₂Cosv+c₃Sinv, γ

( )

v =−c₂Sinv+c₃Cosv, (14) где с1, с2, с3- произвольные постоянные.

Воспользовавшись выражениями (10), (13), из условия (6) получаем

(

u_m v

)

c

( )

v

m 1 1

1

, λ

ϕ = , _m

(

u_m,v

)

₁

( )

v

[

C₂cosv C₃sinv

]

1 =λ +

ψ ,

m

(

^um,^v

)

₁

( )

^v

[

^C₂sin^{v C}₃cos^v

]

1 =λ − +

χ , 0≤v≤2π, (15)

где _m

(

u_m,v

)

ϕ1 , _m

(

u_m,v

)

ψ1 , _m

(

u_m,v

)

χ1 - координаты изгибающего поля z_m

(

u_m,v

)

1 в базисе

{

О^,к^,а

( )

^{ν ,}а^1(ν)

}

, u=u_m значение ^u, которое соответствует параллели g. Из равенств (15), имея в виду (11) получим λ₁^/

( )

v

[

−C₂sinv+C₃cosv

]

=0, 0≤v<2π. (16)

Рассмотрим два возможные случая:

1) направление с

не параллельно оси вращения;

2) направление с

параллельно оси вращения.

1. Пусть направление с

не параллельно оси вращения. Тогда 3^{2 0} 2

2 +с ≠

с и из равенства (16), которое должно выполняться для всех v∈

[

0,2π

)

, вытекает, что

( )

0,

|

1 v ≡

λ т.е.

λ1

( )

v =λ0 =const^. (17)

Итак, для рассматриваемого случая краевые условия (15) принимают вид:

( )

1 0

1

, λ

ϕ_m u_m v =_с , ψ¹_m

(

u_m,v

)

=λ₀

[

^C2^cosv+^C3^sinv

]

,

( )

0

1

, λ

χ_m u_m v =

[

−C₂sinv+C₃cosv

]

. (18)

Эти краевые условия для коэффициентов Фурье _m,n,j

( )

u_m

ϕ1 , _m,n,j

( )

u_m

ψ1 , _m,n,j

( )

u_m χ1

функций _m

(

u_m,v

)

ϕ1 , _m

(

u_m,v

)

ψ1 , _m

(

u_m,v

)

χ1 запишутся так:

( )

1 0 1

01

, λ

ϕ_m u_m =с , ϕ_m¹,_n,_j

( )

u_m =⁰, n=2,3, …, j=1,2, ψ_m¹,01

( )

u_m =⁰,

( )

2 0 1

11

, λ

ψ_m u_m =с ,

( )

3 0 1

12

, λ

ψ_m u_m =с , ψ_m¹,_n,_j

( )

u_m =⁰, n=2,3, … , j=1,2, ,01

( )

⁰

1_m u_m =

χ , ,11

( )

2 0

1 λ

χ_m u_m =−с ,

( )

3 0 12

,

1 λ

χ_m u_m =с ,

( )

0

1 ,

,_{nj m} =

m u

χ , n=2,3, …, j=1,2.

Отсюда относительно интересующих нас функций m,n

( )

^u

ϕ1 , m,n

( )

^u

χ1 получаем следующие условия:

_,

( )

0

1_mn u_m =

ϕ , _,

( )

0

1_mn u_m =

χ , n=2,3, … (19) Таким образом, краевая задача (5а), (6), (8) для рассматриваемого случая све- лась к исследованию решений системы (11) при условиях (12) и (19).

а) Пусть меридиан ρ

( )

^u поверхности Ф состоит из одного гладкого звена , т.е.

ρ

( )

u =ρ₁

( )

u , u₀ ≤u≤u₁, (20) где ρ1

( )

u0 =⁰, ρ1

( )

u >⁰ при u0 <u≤u1. Тогда условия (19) примут вид:

_1,

( )

₁ 0

1 _n u =

ϕ , _1,

( )

₁ 0

1 _n u =

χ , n=2,3, … (21)

Значению u=u0 соответствует полюс поверхности вращения Ф.

Система (11) при ⁱ⁼¹ в полюсе u=u0 имеет особенность (коэффициент

( )

₀ 0

1 u =

ρ при производной). Так как полюс поверхности Ф не является точкой упло-

20

щения, то порядок нуля функций ρ₁

( )

u в полюсе равен 2

1. Тогда система (11) (i=1) в окрестности особой точки имеет два линейно независимых решения, одно из которых имеет в особой точке нуль порядка

2

n, а другое – полюс порядка - 2

n. Так как нас интересуют только ограниченные решения системы (11), то, за счет выбора произвольных постоянных, общее решение системы на

[

u0,u1

]

можем представить в виде:

( )

1¹, ,

1 1

n n u =С

ϕ _n

( )

u

) 1 (

, 1

ϕ1 , 1,

( )

1¹,

1

n n u =С

χ _n

( )

u

) 1 (

, 1

χ1 , n=2,3, … , (22)

где _n

( )

u

) 1 (

, 1

ϕ1 , _n

( )

u

) 1 (

, 1

χ1 - ограниченное решение системы (11) (ⁱ⁼¹) , а С1¹,n - произволь- ные. Если учесть краевое условие (21) , то из (22) получим С1¹,n=0.

Следовательно,

_1,n

( )

u

ϕ1 =0, _1,n

( )

u

χ1 =0, u₀ ≤u≤u₁, n=2,3, … (23) Это означает, что поверхность Ф, меридиан которой имеет вид (20), в данном классе деформации обладает жесткостью первого порядка.

б) Рассмотрим теперь случай, когда меридиан поверхности Ф состоит из m гладких звеньев, тогда его уравнение можно представить в виде (2).

Рассмотрение начинаем с последнего промежутка гладкости меридиана

( )

u ρ

ρ = , т.е., с промежутка

[

u_m−1,u_m

]

. На этом промежутке система (11) (^i=m) имеет фундаментальную систему решений, так как коэффициенты системы непрерывны и принадлежат классу С¹

[

um₋₁,um

]

и ρ

( )

u ≠0 для ^u∈

[

um₋₁,um

]

. Общее решение системы (11) (i=m) на промежутке

[

um₋₁,um

]

запишется так:

( )

u Сmn mn ^{u C}mn _mn

( )

^u

n m

) 2 (

, 1 , ) 2

1 (

, 1 1

, ,

1

)

( ϕ

ϕ

ϕ = + , mn

( )

u Сmn mn ^{u C}mn _mn

( )

^u

) 2 (

, 1 , ) 2

1 (

, 1 1

, ,

1

)

( χ

χ

χ = + , n=2,3,… (24)

где ⁽¹⁾, ^{( )} 1

n u

ϕm , ( )

) 1 (

, 1

n u

χm и ⁽²,^{)( )} 1

n u

ϕm , ( )

) 2 (

, 1

n u

χm - фундаментальная система решений уравнения (11), а С¹m,n, С_m²_,n- произвольные постоянные. Очевидно, что единственным решением системы (11) (^i=m) на промежутке

[

um₋₁,um

]

, которое удовлетворяет условиям (19), будет _,

( )

0

1_mn u =

ϕ , _,

( )

0

1_mn u =

χ , n=2,3,…

Отсюда, воспользовавшись равенствами (12), получаем _1,

( )

₁ 0

1_{m− n} u_m− =

ϕ ,

( )

₁ 0

, 1

1_{m− n} u_m− =

χ , n=2,3,…

Повторяя аналогичные рассуждения на промежутках

[

u_m−2,u_m−1

]

,

[

u_m−3,u_m−2

]

, …,

[

u1,u2

]

, получаем, что

( )

⁰

, 1 1_{m− n} u =

ϕ , 1,

( )

⁰

1_{m− n} u =

χ , u_m−2 ≤u≤u_m−1,

( )

⁰

, 2 1_{m− n} u =

ϕ , 2,

( )

⁰

1_{m− n} u =

χ , u_m−3 ≤u≤u_m−2,

………

( )

0

, 2

1 _n u =

ϕ , _2,

( )

0

1 _n u =

χ , u₁≤u≤u₂, n=2,3,…

Отсюда, учитывая заключение пункта а), приходим к выводу, что ,

( )

⁰

1_in u =

ϕ ,

( )

⁰

, 2

1 _n u =

χ во всех промежутках

[

ui₋₁,ui

]

(i=1,m), n=2,3,….

Тогда изгибающие поля zi

( )

u v

[

аi x

( )

u v

]

bi

+

= , , ,

1

1

1 u u

u_i− ≤ ≤ , i=1,m, где аi

, b_i

 - произвольные векторы. Учитывая равенства (4а), легко убеждаемся, что

const а

а а а

а =  = = m₋ = m =  =

1 2

1 ... и ^b =^b = =^bm₋ =^bm =^b =^const

1 2

1 ... .

Отсюда и из (2) заключаем, что изгибающее поле ^z1

( )

^{u ,v} бесконечно малого первого порядка поверхности Ф представимо в виде:

( )

u v

[

а х

( )

^{u v}

]

^b

z , = , , +

1

.

Это означает, что кусочно-гладкая односвязная поверхность вращения Ф, на которую наложены связи, допускающие перемещения точек края лишь в заданном постоянном направлении ^c, в рассматриваемом случае обладает жесткостью первого порядка.

2. Теперь рассмотрим случай, когда направление ^c параллельно оси вращения.

Тогда β

( )

v =⁰, γ

( )

v =⁰. Не уменьшая общности, можно считать, что ^c=k. Тогда краевое условие (6) примет вид:

zm

(

u_m v

) ( )

v k

 

1 1

, =λ (25)

Отсюда, учитывая (10), для координат вектора ^z1m

( )

^{u ,v} находим m

(

^um ^v

)

1

( )

^v

1

, λ

ϕ = , ψ¹m

(

^um^,v

)

⁼⁰, χ¹m

(

^um^,v

)

⁼⁰. (26) Раскладывая в ряды Фурье функции _m

(

u_m,v

)

ϕ1 ,

(

,

)

,

1

v u_m

ψm

(

,

)

,

1

v u_m

χm из (26) относи- тельно интересующих нас функций _m,n

( )

u

ϕ1 , _m,n

( )

u

χ1 получим _m,n

( )

u_{m 1n}

1 λ

ϕ = , _,

( )

0

1_mn u_m =

χ , n=2,3,…, (27)

где λ1n-коэффициенты Фурье функций λ₁

( )

v . Если λ₁

( )

v =соnst., то условия (27) сов- падут с условиями (19). Тогда поверхность Ф в рассматриваемом случае обладает жесткостью первого порядка.

Поскольку функция λ1

( )

^v произвольная, то не все ее коэффициенты Фурье λ1n

(n=2,3,…,) одновременно равны нулю. Тогда, пользуясь рассуждениями пункта 1, не- трудно убедиться, что система дифференциальных уравнений (11) на промежутке

[

u₀,u_m

]

имеет нетривиальное ограниченное решение, которое удовлетворяет краево- му условию (27), а в точках излома меридиана, - условиям (12).

Это означает, что поверхность Ф в рассматриваемом случае обладает нежест- костью первого порядка.

Докажем, что нетривиальные бесконечно малые изгибания первого порядка, которые допускает кусочно-гладкая односвязная поверхность вращения Ф, когда на- правление С

параллельно оси вращения, не продолжимы в нетривиальные бесконеч- но малые изгибания второго порядка.

22 Пусть

х

(

um,v

)

umk

( ) ( )

um a v,

 

 = +ρ 0≤v<2π (28)

радиус-вектор произвольной точки края g поверхности Ф. Тогда из системы (5), учи- тывая (7), где с ^k

= , получим

d

(

,

)

0

12

= v u zm _m

 , (29)

откуда

(

u v

)

A zm _m

 

= ,

1

, (30)

где ^A- произвольный постоянный вектор.

Воспользовавшись условием (25), из равенства (30) получаем zm

(

u_m v

)

с k

 

0 1

, = , (31)

где c0-произвольная постоянная.

Тогда для функций _m

( )

u,v

ϕ1 , _m

( )

u,v

ψ1 , _m

( )

u,v

χ1 получаем ϕ¹_m

(

u_m,v

)

=с₀,

(

^,

)

⁰

1 _m u_m v =

ψ , χ¹_m

(

u_m^,v

)

=⁰. Отсюда, принимая во внимание разложения функций

( )

u v

m ,

ϕ1 , _m

( )

u,v

ψ1 , _m

( )

u,v

χ1 в ряды Фурье и систему дифференциальных уравнений (11), получаем

_,

( )

0

1_mn u_m =

ψ , _,

( )

0

1_mn u_m =

χ . (32)

Далее, повторяя рассуждения пункта 1, заключаем, что изгибающие поле

( )

u v z ,

1

кусочно-гладкой поверхноси вращения Ф представимо в виде z

( )

u v

[

а х

( )

u v

]

b

+

= , , ,

1

, (33)

где ^a,b- произвольные постоянные векторы.

Таким образом, из двух уравнений системы (5) мы получили, что изгибающее поле z

( )

u,v

1

поверхности Ф имеет вид (33). Это означает, что поверхность Ф в указан- ном классе деформации обладает жесткостью второго порядка, а следовательно, ана- литически неизгибаема.

Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ефимов Н. В. Некоторые предложения о жесткости и неизгибаемости. Успехи мат. наук. – Т. 7 . вып. 5 (15), 1952. – С. 214-215

2. Кон-Фоссен С. Э. Некоторые вопросы дифференциальный геометрии «в це- лом» - М. : Физматгиз, 1959.

3. Аллаев Г. М., Михайловский В. И. О бесконечно малых изгибаниях первого порядка гладких поверхностей вращения, подчинённых вдоль края коническим втулочным связям. Укр. геом. сбор. -1990. вып. 33. –С. 3-8.