УДК 519.62/.64
К.Т. Искаков
1, Б.Б.Шолпанбаев
2.
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ГРАНИЧНОГО УСЛОВИЯ ДЛЯ ДВУХМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕОЭЛЕКТРИКИ
.(1г.Астана, Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, 2г.Алматы, Институт магистратуры и докторантуры PhD Казахского национального педагогического университета имени Абая)
Бұл мақалада екіөлшемді геоэлектрика теңдеуінің тура және кері есептері қарастырылады.
Ортаны екі біртексіз ортадан, негізгі орта және осы берілген ортаға енгізілген біртексіз денеден тұрады деп қарастырамыз.
В работе рассматривается прямая и обратная задача для двумерного уравнения геоэлектрики.
Предполагая, что среда состоит из двух неоднородностей, основной – вмещаемая среда и неоднородного тела погруженного в исходную среду. На поверхности расположен источник возбуждения электромагнитных волн, там же на этой поверхности проводятся измерение тангенциальной компонент вектора 2- электрической напряженности. Приводится численный алгоритм восстановления граничного условие на глубине . Алгоритм описан на основе применения оптимизационного метода.
1. Постановка задачи.
Рассмотрим постановку задачи в случае источника вида [1]:
)()(
)(
0 1 0
2
1 xr tzr
j cm
(1.1)Задание стороннего тока в виде (1.1) соответствует мгновенному включению тока, параллельного оси оу, сосредоточенного на земной поверхности z=0 и распределенного по оси х с плотностью r1(x), и плотностью r2(z) по оси z.
Полагаем, что коэффициенты системы уравнений Максвелла имеют вид
(x,z)0, (x,z)0, (x,z)0, (1.2) а векторы напряженности электрического и магнитного полей до момента времени t=0 удовлетворяют условиям:
0 0
t , t0 0 (1.3).
При принятых предположениях (1.1) в системе уравнений Максвелла останутся ненулевыми только три компоненты y, x, z. После исключения частных производных компоненты
z
x
, , запишем относительно компонентами y u уравнение второго порядка:
1 , 1
zz xx
t
tt u u u
u
xR, z0, t0, (1.4)
К которому добавим начальные условия:
,
0 0
ut ut t0 0, (1.5)
Для численного решения прямого задачи (1.4)- (1.5) сформируем краевую задачу:
), ,
0 g(x t
uz z (1.6)
0 ,
0 0
x
x u
u (1.7)
) , , (x l t q
u z (1.8)
Считаем, что функцию q(x,l,t)– не известна
Пусть относительно решение прямой задачи (1.4)-(1.8) известно дополнительная информация вида:
) ,
0 f(x t
uz (1.9)
Обратная задача: по известной дополнительной информации (1.9), найти функцию q(x,t) из соотношении (1.4)-(1.7)
2. Вычисление градиента функционала
Обозначим особую зависимость решения u(x,z,t) от функции q(x,t) следующим образом )
; , , (x z t q
u .
Пусть p(x,t) – приближенное решение, рассмотрим функционал невязки
0 0
)2
, ( )
; , 0 , ( )
(
T
dx dt t x f p t x u p
J (2.1)
Для минимизации функционала применим метод наискорейшего спуска [2].
) ( )
, ( )
,
( ( )
) 1
( n
n n
n x t p x t J p
p
(2.2)Здесь J(pn)- градиент функционала, n- коэффициент спуска, n – номер итерации.
Получим формулу для вычисление градиента функционала. Зададим приращение )
; , , ( )
; , , ( ) , ,
(x z t u x z t p p u x z t p
u
Рассмотрим приращение функционала:
T
dxdt x
u t f p t x u p
J
0 0
) 0 , ( ) ( )
; , 0 , ( 2 )
( (2.3)
Для приращение u(x,z,t) получим задачу:
1 , 1
zz xx
t
tt u u u
u
x,z(), t(0,T) (2.4) 0
0 0
0
tt
t u
u
(2.5) 0
, 0 ,
0 0
0
x x
z z u u
u
(2.6) q
uz
(2.7)
Умножим обе части уравнение (2.4) на функцию (x,z,t)и проинтегрируем область [0,Т]х )
(
, получим
dzdx u
u dtdz
t z x u u
T
zz xx T
t
tt
0 0 0 0 0 0
) 1 (
) , , ( )
(
(2.8)
0 x
0
u x
) , , ( x l t z q
u
z
0
0
x
u
Обозначим левую часть уравнение через S1, а правую часть через S2, и применяя интегрирование почестям получим цепочки равенства
dxdz dt u u
dt u u
u
dxdt dt u u
dt u u
dxdz dt
t z x u dt
t z x u S
T
t T T
t tt t T
t
T T
t T
t t T
t
T T
t tt
0 0 0
0 0
0
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
1 ( ( , , ) ( , , ) )
Помечая что
0 ,
0
T tt T
t
(2.9) и учитывая условие (1.4), имеем
dtdxdz u
S
T
t
tt
0 0 0
1 ( ) (2.10) Аналогично преобразуем выражение S2, имеем
u u
dxdtdzdt u
u dxdt
u dzdt
dz u u
u
dzdt dx u u
u dxdt
dz u u
dzdt dx u u
dxdt dzdx u
dxdz u
S
T
z z
T
x x
T
zz xx T
zz z
z
T
xx x
x T
z z z
T
x x x
T
zz xx
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
0
0 0 0
0
0 0 0 0 0
2
1
) 1 1 (
1
1 1
1 1
Положим, что
) ( )
; ,0 , ( [2 ,0
0 ,0
0 0
t f p t x
z
u
z z
x e
x
(2.11)
Тогда выражение для S1с учетом условии (2.6)- (2.7) и (2.10) примет вид:
q u u x t p f t
dxdtdxdzdt u
S
T
z z T
zz
xx
0 0 0 0 0
2 1 ( ) 1 2[ ( ,0, ; ) ( )]
(2.12)
Подставляя (2.9) и (2.11) в (2.8) и пологая, что )
1(
zz xx t
tt
(2.13) Имеем, что
dxdt t x t x q dxdt
t f p t x u u
T T
z( , , ) )
, ( )]
( )
; , 0 , ( [ 2
0 0 0 0
Тогда, согласно определением градиента имеет вид )
, , ( )
(p x t
J z
(2.14)
Здесь (x,z,t) – есть решение сопряженной задачи (2.13), с начальными условиями (2.9) и краевыми условиями (2.11).
Литература.
1. В.Г.Романов, С.И.Кабанихин. Обратная задача геоэлектрики. М.: Наука, 1991. - 303с.
2. С.И.Кабанихин, К.Т.Искаков Оптимизационные методы решения коэффициентных обратных задач НГУ, Новосибирск, 2001. - 315 с.
3. Ф.П.Васильев. Методы решения экстремальных задач, М.: Наука, 1981. – 400 с.
4. А.А.Самарский. Теория разностных схем. М. Наука. 1975.
5. Шолпанбаев Б.Б. Двумерная обратная задача подповерхностной радиолокации в дискретной постановке // Вестник КазНПУ им.Абая, серия «Физико-математические науки», №4(32), С.173-178, 2010г.
6. Искаков К.Т., Шолпанбаев Б.Б., Двумерная обратная задача геоэлектрики II МЕЖДУНАРОДНАЯ НАУЧНО ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ «Информационно- инновационные технологии: интеграция науки, образования и бизнеса», посвященная 20- летию Независимости Республики Казахстан. Алматы, Казахстан, 1-2 декабря 2011 года, стр 361-366.
