Восстановление распределения источников тепла по граничным измерениям температуры: численный метод

(1)

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БIЛIМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛIГI МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF THE REPUBLIC OF KAZAKHSTAN

Л.Н. ГУМИЛЕВ АТЫНАҒЫ ЕУРАЗИЯ ҰЛТТЫҚ

УНИВЕРСИТЕТI

ЕВРАЗИЙСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Л.Н. ГУМИЛЕВА L.N. GUMILYOV EURASIAN

NATIONAL UNIVERSITY

ХАБАРШЫ

1995 жылдың қантарынан жылына 6 рет шығады

I бөлiм

№ 6 (97) · 2013

ВЕСТНИК

выходит 6 раз в год с января 1995г.

I часть

HERALD

Since 1995

I part

Астана

(2)

Жаратылыстану және техникалық Жылына 3 рет шығады ғылымдар сериясы

Серия естественно- технических наук Выходит 3 раза в год Natural and technical Series Published 3 times a year Бас редактор: Е.Б. Сыдықов

ҚР ҰҒА құрметтi мүшесi, тарих ғылымдарының докторы, профессор Редакция Ж.З. Оразбаев (жауапты редактор) Н.Л. Шапекова

алқасы: техника ғылымдарының медицина ғылымдарының докторы,Қазақстан докторы, профессор,Қазақстан

Р.I. Берсiмбай С.А. Абиев

ҚР ҰҒА академигi, биология ғылымдарының биология ғылымдарының докторы, профессор,Қазақстан докторы,профессор,Қазақстан М.Р. Хантурин

Н.Т. Темiрғалиев биология ғылымдарының физика-математика ғылымдарының докторы, профессор,Қазақстан докторы, профессор,Қазақстан М.Ә.Бейсенби

Л.К.Құсайынова техника ғылымдарының

физика-математика ғылымдарының докторы, профессор,Қазақстан докторы, профессор,Қазақстан

Н.Ә. Боқаев

физика-математика ғылымдарының докторы, профессор,Қазақстан Н.Ж. Джайчибеков

физика-математика ғылымдарының докторы, профессор,Қазақстан А.А. Адамов

техника ғылымдарының

докторы, профессор,Қазақстан Қ.А. Кутербеков

физика-математика ғылымдарының докторы, профессор,Қазақстан Р.М. Мырзакулов

физика-математика ғылымдарының докторы, профессор,Қазақстан А.Т.Ақылбеков

физика-математика ғылымдарының докторы, профессор,Қазақстан И.С. Iргебаева

химия ғылымдарының

докторы, профессор,Қазақстан К.М. Джаналеева

география ғылымдарының докторы, профессор,Қазақстан Т.М. Байтасов

техника ғылымдарының

докторы, профессор,Қазақстан

Л. Н. Гумилев атындағы Еуразия Ұлттық университетiнiң баспасы

(3)

МАЗМҰНЫ СОДЕРЖАНИЕ

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА

К.Т. Искаков, А.Л. Карчевский

Алгоритмы распараллеливания для решения обратной задачи акустики. . . . 5

Б.Г. Муканова

Восстановление распределения источников тепла по граничным измерениям температуры:

численный метод . . . . 12

Н.А. Бокаев, А.Т.Сыздыкова

Классы функций многих переменных ограниченной p-флуктуации и приближение функций полиномами по мультипликативным системам . . . . 18

ИНФОРМАТИКА ИНФОРМАТИКА

А.А. Шарипбаев, А.С. Омарбекова, А.Б. Барлыбаев

Информационная безопасность в интеллектуальном электронном университете . . . . 26

Б.Г. Муканова, К.Т. Искаков

Компьютерное моделирование одной задачи георадиолокации . . . . 36

Ху Вен-Цен, Т.К. Жукабаева

Временная декомпозиция задач управления СТС . . . . 44

Л.Л. Ла, А.А. Муханова, А.Ж. Сатекбаева, Д.А. Тусупов

Исследование и разработка новых моделей, методов для решения многокритериальных задач принятия решений в условиях неопределенности . . . . 49

Ж.М. Ташенова, Э.Н. Нұрлыбаева, У.Б. Утебаев, А.Қ. Құдайқұлов

Жоғары температурада жұмыс жасалатын өзекшенiң құрылым элементiнiң

жылумеханикалық күйiн анықтаудың алгоритiмi және бағдарламалық кешенi . . . . 61

Ху Вен-Цен, Т.К. Жукабаева

Пространственная декомпозиция задач управления СТС . . . . 69

А.Ә. Шәрiпбаев, Ә.К. Бөрiбаева

Қазақ тiлi дыбыстарын фонетикалық және фонологиялық талдау . . . . 75

М.П. Фархадов, С.А. Кудубаева, Г.Н. Ермагамбетова

Теория скрытых Марковских моделей и ее применение для распознавания речи . . . . 90

Г.З. Абдыбаева, А.О. Тохаева, Б.М. Шайжанов

"1С:Предприятие 7.7"ортасында "Учет коммунальных платежей"конфигурациясын құру. . 94

С. А. Кульмамиров, Б. Кошоева

Алгоритм численного дифференцирования временных сигналов

экспоненциальными функциями . . . . 98

Г. Баенова, А. Исайнова

Анализ моделей управления рисками в информационных системах . . . . 104

Г.З. Абдыбаева, М.К. Шайжанов, Б.А. Серимбетов

Магистратурада бөлiмiнде оқу процессiн басқарудың автоматтандырылған жүмыс орнын

қүру . . . . 108

А. С. Өзбекова, Г.М. Абильдинова

Использование учебной игры как один из методов проверки знаний по информатике

для 6-ых классов . . . . 112

Г.З. Абдыбаева, М.К. Шайжанов, Г.И. Серикбаева

Бидайды кептiру технологиялық үрдiсiнiң автоматталған басқару жүйесiн

құру мәселелерi . . . . 117

М.Г. Жартыбаева, А.Т. Кусаинова

Выявление и анализ искажений сигналов при зондировании исследуемой среды. . . . 124

Т. Мирғалиқызы

Тереңдiктегi бiр тектi емес орта құрылымын магнитотеллурикалық зондтау

әдiсiмен зерттеуде қолданылатын бағдарламалы аппаратық кешендер . . . . 129

ФИЗИКА ФИЗИКА

А.В.Русакова, А.Т. Акилбеков

Образование центров окраски в кристаллах LiF под воздействием пучков ионов высоких

энергий натрия и криптона . . . . 141

Т.Н.Нурахметов, К.А.Кутербеков, А.Ж.Кайнарбай, А.М.Жунусбеков, Ж.М.Салиходжа, К.Ж.Бекмырза, С.Пазылбек, Д.Х.Дауренбеков, А.А.Губаева, А. Ахметова, А.Бiрлес

(4)

щелочных металлов с не эквивалентно расположенными в кристаллической решетке

автолокализованными дырками . . . . 146

А.С. Ногай, Д.Е. Ускенбаев, А.А. Ногай, В.В. Александровский

Диэлектрические и проводящие свойства твердых растворов в системе Bi4V2−xFexO11−δ . . . 151

Т.Н. Нурахметов, К.А. Кутербеков, Н.И. Темиркулова, А.Ж. Кайнарбай, Б. Садыкова, Д.Х.

Дауренбеков, А.А.Губаева, К.Ташкалиев, О.Тлеугабылов, Ш.Дюненбаева, Ж.Туркумбаев, А.Бiрлес Оптические характеристики люминесцентных концентратов на основе квантовых точек

для полупроводниковых преобразователей . . . . 160

А.Ж. Жамалов, Г.Ү. Абуова

Кiрiс радиация, жылу шығыны және жылыжайдағы тәулiктiк аккумуляцияланған энергия 166

А.С. Ногай, Р.Х. Ишембетов, М.Х. Балапанов, Р.А. Якшибаев, Т.Н. Нурахметов, К.А. Кутербеков, Г.А. Алманов

Термогенерационные и проводящие свойства твердых растворов на основе селенида меди 172

М.К. Мырзахмет, Б. Далелхан, С.Р. Есенғали, К.Н. Баймагамбетов

Сульфат калий нанокристаллын полисорбтың коллоидты ерiтiндiсi арқылы синтездеу. . . . . 178

С. А. Кульмамиров

Совершенствование образовательной программы РЭТ . . . . 183

М.В. Здоровец,И.А. Иванов,В.В. Александренко,С.Г. Козин, Б.К. Абышев

Отработка режима ускорения ионов¹³²Xe²²⁺ с энергией 1,75 МэВ/нуклон на циклотроне

ДЦ-60 . . . . 189

К.К. Ержанов, У.А. Уалиханова

Решение космологических задач в моделяхF(T)– гравитации. . . . 197

T.R.Konurbaev, S.A.Nurkenov, K.K.Ibraev, B.A.Prmantaeva, G.A.Skakova The production and use of labeled positron-emitting radionuclides of¹⁸F

(FDG) in nuclear medicine . . . . 201

О.В. Разина, З.К. Макишева

Космология g-эссенции с взаимодействием типа Юкавы . . . . 208

А.М.Сыздыкова, Г.Н.Шайхова

Үшөлшемдi cинус-Гордон теңдеуiнiң солитондары. . . . 215

О.В. Разина, А.М. Азимханова

Космологическая эволюция скалярно-фермионных моделей. . . . 223

Н.С. Серикбаев, А.К. Махамбетова, С.Т. Жакупаева

Элементарный состав и низшая теплота сгорания ТБО г. Астана и продуктов его переработки методом пиролиза . . . . 228

О.В. Разина, Ж.М. Сагидуллаева

Газ Чаплыгина и решаемая фермионная космология . . . . 233

K. Mardan

Knot Universes in Bianchi Type I and III Cosmology . . . . 239

(5)

Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2013, №6

УДК 519.6

Восстановление распределения источников тепла по граничным измерениям температуры: численный метод

(Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, Астана, Казахстан)

Рассмотрена обратная задача восстановления источников тепла для уравнения диффузии. Предполагается, что функция источника представлена в виде произведения f(x)h(t), где функция f(x) неизвестна, а функция h(t) задана. В качестве дополнительных данных используются измерения на границе области, но требуется восстановить пространственное распределение источников. Задача решается методом минимизации функционала невязки. Для численного решения задачи реализован метод общей регрессии - наилучшего подбора коэффициентов системы функций для приближения измеренных данных. Численно показана принципиальная возможность удовлетворительного восстановления неизвестных источников в случае гладкой правой части.

Ключевые слова: обратная задача, уравнение диффузии, восстановление источника, квазирешение, регуляризация

Введение. Мы рассматриваем обратную задачу восстановления правой части для уравнения диффузии. Уравнение диффузии служит для описания процессов диффузии примесей и загрязнений в среде, в задачах распростанения тепла ([1],[2]). Практически важной является задача определения локализации и мощности источников примесей. При этом исследователю доступны только измерения в некоторые моменты времени, или измерения лишь на границе интересующей области. В наших предыдущих работах [3],[4] мы восстанавливали распределение источников по финальным измерениям температуры. Основным методом исследования являлось совместное решение прямой и сопряженной задач, полученной из необходимых условий минимума функционала невязки. Оказалось, что решение может быть достигнуто с высокой точностью. В данной работе мы рассматриваем задачу восстановления пространственной плотности источников по граничным измерениям температуры. Физически это означает, что исследователю доступна для измерений только граница области, а требуется определить распределение источников внутри области.

Обратные задачи по восстановлению источников в настоящее время вызывают большой интерес исследователей. Работа [5] посвящена систематическому исследованию разрешимости обратной задачи для уравнения диффузии с нестационарной правой частью, получены необходимые условия единственности решения обратной задачи, выведена формула градиента функционала невязки и доказана его непрерывность по Липшицу, а также методами теории полугрупп для абстрактного операторного уравнения исследованы вопросы разрешимости. В работах [6], [7] также рассмотрены задача восстановления временной зависимости источника по граничным измерениям, либо по внутренним измерениям в некоторой точке.

В отличие от упомянутых выше работ, новизна нашего рассмотрения заключается в том, что по функции, зависящей от времени мы восстанавливаем функцию, зависящую от координаты.

До сих пор такие постановки численно не были реализованы. Наши предварительные попытки применить к решению задачи метод, описанный в [3], [4] не увенчались успехом.

Поэтому мы применили принципиально иной метод, который может трактоваться как аналог метода коллокаций, который мы описываем ниже. Нами проведено исследование качества восстановления в зависимости от параметров задачи, таких, как коэффициент диффузии, гладкость и характер поведения искомой правой части, время наблюдения, параметр регуляризации. Получены диапазоны данных, в которых разработанный нами метод и алгоритм восстанавливает неизвестный источник с удовлетворительной точностью.

1. Постановка обратной задачи

Рассмотрим математическую модель одномерного процесса диффузии. В прямой постановке требуется найти решение следующей начально –краевой задачи в области

(6)

u_t−αu_xx =f(x)h(t) (1)

u(x,0) = 0, u(0, t) = 0, ux(L, t) = 0 (2)

α=const, f(x)∈C[0, L], h(t)∈C[0, T] (3)

Согласно [8] решение классическое решение прямой задачи существует и единственно.

Мы будем рассматривать случай, когда функция источника удовлетворяет условию согласования вида:

f(0) = 0, h(0) = 0 Введем систему безразмерных переменных:

t=T0, t⁰, x=Lx⁰, α=Aα⁰, f(x)h(t) =F f⁰(x⁰)h⁰(t⁰), u=U0u⁰(x⁰, t⁰)

Тогда уравнение (1) запишется в виде (здесь и в дальнейшем изложении штрихи опущены):

u_t−AT₀

L² αu_xx= F T₀ U0

f(x)h(t)

Выберем масштабы так, чтобы выполнялись соотношения:

T0= L²

A, F = U0

T0

Тогда вид задачи (1)- (2) не изменится, но область определения x перейдет в единичный отрезок.

Мы будем рассматривать следующую постановку обратной задачи:

Требуется найти функцию источника f(x) по решению

u(1, t) =g(t) (4)

задачи

ut−αuxx =f(x)h(t) (5)

u(x,0) = 0, u(0, t) = 0, u_x(1, t) = 0 (6) заданному на границе x=1, при 0<t<T.

Чтобы сформулировать метод решения обратной задачи, построим сначала решение прямой задачи.

2. Решение прямой задачи

Будем искать решение задачи (5)-(6) методом разделения переменных в виде:

u(x, t) =

K

X

1

u_k(t)X_k(x)

Следуя стандартной процедуре метода разделения переменных, получаем, что решение задачи представимо в виде ряда:

(7)

u(x, t) =

K

X

1

f_k(1−exp(−γ_kt)) γk

sin (λ_kx), (7)

где λk =−^π₂ +kπ, k=1,2,. . . , γk =αλ²_k, а коэффициенты fk есть коэффициенты Фурье неизвестной правой части по системе функций sin (λ_kx).

Тогда представление (7) обеспечит выполнение краевых и начальных условий. Формула (7) используется нами для получения синтетических данных, а также для решения прямой задачи при построении итерационного процесса.

3. Метод решения обратной задачи

Итак, мы имеем из формулы (7), что приближенное решение задачи при x=1 имеет вид:

u(1, t) =

∞

X

1

f_k(1−exp(−γ_kt)) γk

sin (λ_k)≡

∞

X

1

f_kF_k(t) (8)

Кроме этого, нам заданы данные измерений g(t).

Подберем коэффициенты yi, i= 1, . . . I, так, чтобы выражение вида u(1, t) =

I

X

1

y_i(1−exp(−γ_kt))

γ_i sin (λ_i)≡

I

X

1

y_iF_i(t) (9)

наилучшим образом в смысле квадратичной нормы приближало функцию g(t). А в качестве приближенного решения обратной задачи используем функцию:

f˜(x) =

I

X

1

yisin (λix)

Обратную задачу будем решать методом квазирешения [9]. А именно, для определения коэффициентов y₁, y₂, ..., y_I задачи будем реализовывать метод минимизации следующего функционала невязки [10]:

J(y1, y2, ..., yI) = 1 2

Z T

0 I

X

1

yiFi(t)−g(t)

! dt+β

2

I

X

i=1

y²_i −−→

min J(~y)

В данном случае функционал невязки представляет собой квадратичную форму многих переменных с коэффициентами, зависящими от времени. Будем искать точку минимума функции многих переменных из необходимого условия равенства нулю частных производных функции J(y1, y2, ..., yI) Запишем выражения для частных производных:

∂J(y₁, y₂, ..., y_I)

∂y_j =

I

X

1

y_i Z T

0

F_i(t)F_j(t)dt− Z T

0

g(t)F_j(t)dt+βy_j, j = 1, ...I (10) Приравнивая выражения (10) нулю, получаем систему линейных уравнений для нахождения искомых коэффициентов y_j :

Ay=b (11)

Здесь матрица A размером [I×I] и правая часть b заданы формулами:

Z T Z T

(8)

Матрица А является симметричной, поэтому для решения линейной системы можно применить известные методы решения систем линейных уравнений для симметричных матриц.

Кроме этого, симметричная квадратичная форма является положительно определенной, выпуклой функцией своих аргументов, поэтому необходимое условие минимума является также и достаточным.

Мы решали систему уравнений (11) для разных наборов параметров задачи, а именно, варьировали величину I – число членов в разложении (9), параметр регуляризации β, а также данные задачи: коэффициент диффузии α, время наблюдений T и исследовали варианты с различным характером неизвестной функции f(x) и известной функции h(t).

4. Численные результаты решения обратной задачи

Из формулы (8) следует, что если искомая функция представлена лишь конечным числом гармоник, то ряд (8) также является конечным и представляет собой аналитическое выражение для искомой правой части. Это обстоятельство позволяет использовать эти выражения для тестирования метода и проводить сравнения численных результатов с аналитически заданными функциями..

Рисунок 1.– Восстановление первых двух гармоник, точность восстановления 0.01% и 8% соответственно. Параметры расчета: α=1,β=10⁻⁷, T=1, I=16, h(t)=1+10(t-0.5)² .

Рисунок 2.– Результат восстановления гладкой правой части f(x)=2xexp(-4(x-0.5)²), а) h(t)=1+10(t-0.5)²; б) h(t)=5+sin(t).

Мы провели такого рода тестовые расчеты для случаев, когда искомая правая часть представляла собой первые четыре гармоники. На рисунке 1 показан результат расчета, когда

(9)

искомая функция равнялась f(x)=sin(λ1x). При этом удалось получить результат с 0.01%

точностью восстановленияНа рисунке 2 показан результат расчета, когда мы использовали следующую функцию базиса X2(x), при этом также был получен удовлетворительный результат.

Численные эксперименты показали, что приемлемых результатов удается добиться для параметров расчета: α ∼1, I∼5÷10, β = 10⁻⁷ ÷10⁻⁶. Качество решения зависело также от поведения функции h(t). Предпочтительными были варианты, когда функция h(t) была строго отделена от нуля и была гладкой. На рисунке мы сравниваем результаты расчета для двух разных функций h(t). Относительная точность восстановления оказалась равной 8% и 12%.

Выводы: таким образом, предложенный здесь метод позволяет в некотором узком диапазоне параметров удовлетворительно восстанавливать внутреннее распределение источников в области по измерениям функции на границе.

ЛИТЕРАТУРА

1 Alifanov O. M. Inverse Heat Transfer CityplaceProblems.- StateBerlin: Springer, 1994. – 348 c.

2 Beck J.V., Blackwell B., St.Clair C.R. Inverse heat conduction: ill-posed problems// Wiley Interscience, placeStateNew York, 1985 – 308 p.

3 Mukanova B.G. Chislennoe reshenie obratnoj zadachi identifikacii istochnika metodom Fur’e.

// Vestnik KazNU, serija matematika, mehanika, informatika. 2011. - №3(70). - S.14-22.

4 Mukanova B.G., Kulbaj M.N. Chislennyj metod reshenija mnogomernoj obratnoj zadachi identifikacii istochnika metodom fur’e dlja uravnenija teploprovodnosti.//KazNTU habarshysy, Fizika- matematika Gylymdary. 2013. - №3. - S. 370-377.

5 Alemdar Hasanov, Muhtarbay Otelbaev and Bakytzhan Akpayev. Inverse heat conduction problems with boundary and final time measured output data // Inverse Problems in Science and Engineering. 2011. – Vol. 19.- № 7 – P. 985-1006.

6 Alemdar Hasanov, Burhan Pektaє. Identification of an unknown time-dependent heat source term from overspecified Dirichlet boundary data by conjugate gradient method. //Computers and Mathematics with Applications. 2013. - № 65. – C. 42-57.

7 P.N. Vabishhevich. Chislennoe reshenie zadachi identifikacii pravoj chasti parabolicheskogo uravnenija.//Izvestija vuzov. 2003.- T. 488. - №1.- S.30-37.

8 Ladyzhenskaja O.A., Solonnikov V.A., Ural’ceva N.N. Linejnye i kvazilinejnye uravnenija parabolicheskogo tipa. – M: Nauka, 1967. – 736 s.

9 Ivanov V.K. O nekorrektno postavlennyh zadachah.//Matem. sbornik. 1963. - T.61. - №2. – C. 211-223.

10 Tikhonov A.N., Arsenin V.Ja. Metody reshenija nekorrektnyh zadach. - M.: Nauka, 1974. – 142 s

Муқанова Б.Ғ.

Жылу көздерiнiң таралуын шекаралық өлшеулер арқылы анықтау: сандық амал

Диффузия теңдеуi үшiн жылу көздерiн анықтау керi есебi қарастырылған. Жылу көзiн өрнектейтiн функция f(x)h(t) көбейтiндi түрiнде қабылданады. Бұл жерде f(x) функцисын табу керек, ал h(t) функциясы берiлген. Қосымша деректер ретiнде облыстың шекарасынан алынған өлшеулер қабылданады, бiрақ, облыстың iшiндегi көздердiң таралуын анықтау керек. Есеп үйлеспеу функционалының минимумын iздеу арқылы шешiледi. Есептi сандық түрде шешу үшiн жалпы регрессия амалы қолданылған, анықталғаны функциялар жүйесiнiң сызықты комбинациясы тұрғызылады. Бұл комбинация алынған өлшеулердi ең тиiмдi жуықтайтын коэффициенттер сандық амал арқылы анықталады. Тегiс функциялар арқылы өрнектелген белгiсiз жылу көздерiн шекаралық өлшеулер арқылы тұрғызуға болатыны сандық түрде көрсетiлген.

Түйiн сөздер:керi есебi, диффузия теңдеуi, қөздi қайта тұрғызу, квазишешiм, регуляризация Mukanova B.G.

The recovery of an unknown heat source distribution via boundary measurement: numerical method The source inverse problem is considered for 1D diffusion equation. We assume that the source is represented as the product of f (x)h (t), where the function f (x) is sought for and the function h (t) is given. The boundary measurement are considered

(10)

of the coefficients of given functions to approximate the measured data. A possibility to recover the unknown function is shown numerically in the case of a smooth right-hand side.

Keywords: inverse problem, diffusion equation, source inverse problem, quasisolution, regularization

Поступила в редакцию 09.09.13 Рекомендована к печати 16.10.13

Об авторе:

Муканова Б. Г. - д. ф.- м. н., профессор кафедры Вычислительной техники факультета информационных технологий Евразийского национального университета им. Л.Н. Гумилева.