Восстановление функций, интегралов и решений уравнения теплопроводности из U2-классов Ульянова

Восстановление функций, интегралов и решений уравнения теплопроводности

из U

₂

-классов Ульянова

Е.Е. Нурмолдин

УДК 517.5

Нурмолдин Е.Е. Восстановление функций, интегралов и решений уравнения теплопроводности из U2-классов Ульянова // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН.

Сиб. отд-ние. –– Новосибирск, 2005. –– Т. 8, № 4. –– С. 337–351.

Изучаются задачи численного интегрирования, восстановления функций и дискретизации решений уравнения теплопроводности с функциями распределения начальных температур из классовU₂(β, θ, α), принадлежность функций к которым определяется скоростью убывания их тригонометрических ко- эффициентов Фурье. Для классов U2((β1, β2),(θ1, θ2),(1,1)) получены точные или точные в соответ- ствующих шкалах порядки убывания погрешностей квадратурных формул, восстановления функций и дискретизации решений уравнения теплопроводности по тригонометрическим коэффициентам Фурье в нормахL2иL_∞.

Ключевые слова:оптимальная квадратурная формула, оптимальное восстановление функций, дискретизация решений уравнения теплопроводности.

Nurmoldin Y.Y. Restoration of functions, integrals, and solutions to the heat conduc- tivity equation from the Ulyanov U₂-classes // Siberian J. of Numer. Mathematics / Sib.

Branch of Russ. Acad. of Sci. –– Novosibirsk, 2005. –– Vol. 8, № 4. –– P. 337–351.

The paper dealt with a problem of numerical integration, and approximate restoration of functions and solutions to the heat conductivity equation with functions of distribution of starting temperatures from the classesU₂(β, θ, α)defined by the rate of decreasing the trigonometric Fourier coefficients. Optimal orders of errors of the quadrature formulas, restoration, and discretization by the trigonometric Fourier coefficients in L2 andL_∞ metrics are obtained.

Key words:the optimal quadrature formulas, the optimal approximate restoration of functions and deci- sions of the heat conduction equation.

Введение

Приведем общую постановку задачи восстановления [1].

Пусть при некоторомκ(κ= 1,2, . . .)даны нормированные пространстваX⁽¹⁾, . . . , X^(κ) иY числовых функций, определенных на множествахΩ_X(1), . . . ,Ω_X(k) иΩ_Y соответствен- но, множестваF^(j)⊂X^(j)(j= 1, . . . , κ)иT =T f =u(y;f)≡u(y;f₁, . . . , f_κ)– отображе- ние F =F₁×. . .×F_κ в Y. Пусть также даны целые положительные числа N₁, . . . , N_κ, вектор ε^(N) = (ε1, . . . , εκ) ∈ R^N (N = N1 +· · ·+Nκ), составленный из векторов εj = (ε⁽¹⁾_j , . . . , ε^(N_j ^j)) с неотрицательными компонентами ε⁽ⁱ⁾_j ≥ 0 (j = 1, . . . , κ; i = 1, . . . , N_j), набор функционаловl(N) = (l₁, . . . , l_κ),l_j = (l⁽¹⁾_j , . . . , l_j^(Nj)),l_j⁽ⁱ⁾(·) :F^(j)→C(j= 1, . . . , κ;

i= 1, . . . , N_j) и функцияϕ_N(τ₁, . . . , τ_κ;y) :C^N×Ω_y →Cтакая, чтоϕ_N(τ₁, . . . , τ_κ;y) при

всех фиксированных τ_j = (τ_j⁽¹⁾, . . . , τ_j^(Nj)) (j = 1, . . . , κ) как функция от y принадлежит пространствуY, где C, как обычно, есть поле комплексных чисел.

Тогда для каждого f ∈ F соответствующую функцию T f = u(y;f) будем прибли- жать в метрике Y функцией ϕ_N(z₁, . . . , z_κ;y), построенной по числовой информации (z₁, . . . , z_κ) объема N, полученной для f посредством функционалов l₁, . . . , l_κ с точно- стьюεN и переработанной по алгоритмуϕN до функции, зависящей от той же перемен- ной, что иT f. Для такой пары(l^(N), ϕ_N) положим

δ_N (l^(N), ϕ_N);T, F, ε^(N)

Y = sup

f∈F;z∈E(f)ku(·;f)−ϕ_N(z1, . . . , zκ;·)kY, (1) E(f) ={z = (z₁, . . . , z_κ) : |l⁽ⁱ⁾_j (f)−z_j⁽ⁱ⁾| ≤ε⁽ⁱ⁾_j , j = 1, . . . , κ, i= 1, . . . , N_j}.

Пусть D_N ⊂ {(l^(N), ϕ_N)} – некоторое подмножество множества всевозможных пар (l^(N), ϕ_N). Задача заключается в получении оценок сверху и снизу (желательно совпа- дающих с точностью до констант) для величины

δ_N(D_N;T, F, ε^(N))_Y = inf

(l^(N),ϕN)∈DN

δ_N (l^(N), ϕ_N);T, F, ε^(N)

Y (2)

и в выборе функционаловl₁(f), . . . , l_κ(f) и функцииϕ_N, реализующих оценку сверху.

Различным конкретизациям общей задачи (2) посвящена обширная литература (см.

напр., [1–8] и имеющуюся в ней библиографию). При ε^(N) = (0, . . . ,0)∈R^N задача (1), (2) есть задача восстановления по точной информации.

Если T f есть решение какого-либо уравнения в частных производных, то вместо термина “восстановление” будем использовать термин “дискретизация”, а в случаеT f = R

Ωf(x)p(x)dx речь будет идти о “численном интегрировании” соответственно (см. [4]).

Здесь и далее, ради упрощения записей, будем считатьκ= 1.

Рассмотрим следующие конкретизации задачи (1), (2):

1. Численное интегрирование функций по точной и неточной информации:

Ω = [0,1]², X = C[0,1]², Y ≡ R (или C) – множество действительных (комплексных) чисел, T₁f =

Z

Ωf(x)dx, а D_N – множество K_N всех пар (l^(N), ϕ_N) таких, что l_k(f) = f(t_k), t_k ∈ Ω, t = (t₁, . . . , t_N) (k = 1, . . . , N), а ϕ_N(τ₁, . . . , τ_N;y) ≡ ϕ_N(τ₁, . . . , τ_N) = PN

k=1a_kτ_k, гдеa= (a₁, . . . , a_N)∈R^N.

Здесь интеграл понимается в смысле Римана, конечная сумма

Λ(f;t, a)≡ϕ_N(l₁(f), . . . , l_N(f)) =

N

X

k=1

a_kf(t_k) (3)

называетсяквадратурной формулой, системыaиt– ее весамииузламисоответственно.

Интеграл

Z

Ωf(x)dx, зависящий от поведения функцииf(x)на континуумеΩ = [0,1]², приближается конечными объектами вида (3).

Задача приближенного интегрирования заключается в получении оценок сверху и снизу для величины (1) (желательно, совпадающих или совпадающих по порядку) и в указании узлов {t_k} и весов {a_k}, реализующих оценку сверху.

В задаче (1), (2) осталось обсудить роль классаF, который, очевидно, должен состо- ять из таких функций, чтобы имело смысл выражениеf(t_k)в (3), т. е. в точкеt_kфункция f должна иметь однозначно определенное значение, например, состоять из непрерывных

функций или из функций ограниченной, в том или ином смысле, вариации (см., напр., [5, с. 161–168]).

Н. Темиргалиевым в [10] на основе результатов П.Л. Ульянова [9] были определе- ны классы Us(β, θ, α;ψ) функций f(x) = f(x1, . . . , xs), 1-периодических по каждой из s переменных и таких, что

|f(m)ˆ | ≤

s

Y

j=1

(mj)^βjθ^m

1/αj j

j ψj(mj), m= (m1, . . . , ms)∈Z^s,

где m_j = max{|m_j|; 1}, β = (β₁, . . . , β_s) ∈ R^s,θ = (θ₁, . . . , θ_s) ∈ (0,1]^s, α = (α₁, . . . , α_s), α_j >0 (j = 1, . . . , s), ψ = (ψ₁, . . . , ψ_s), ψ_j(x) – медленно колеблющиеся положительные функции при всех j = 1, . . . , s, а fˆ(m) = ˆf(m₁, . . . , m_s) – тригонометрические коэффи- циенты Фурье.

2. Восстановление функции из класса F: Ω = Ω₁ = [0,1]², X = L(0,1)², Y = Lp(0,1)² (2≤ p≤ ∞),T2(f) = f, а в качестве D_N будем рассматривать множество Φ_N всех пар (l^(N), ϕN) таких, что lj(f) = ˆf(m^(j)₁ , m^(j)₂ ), (m^(j)₁ , m^(j)₂ ) ∈ Z² (j = 1, . . . , N), где fˆ(m1, m2) – тригонометрический коэффициент Фурье–Лебега функции f:

fˆ(m₁, m₂) = Z

[0,1]²

f(x₁, x₂)e^{−2πi(m1x1+m2x2)}dx₁dx₂.

Вместоδ_N(Φ_N;T, F)_Y будем писать простоδ_N(Φ_N, F)_Y. При этом задача (1), (2) ставится немного иначе:

δN(ΦN, F)Y = inf

(AN,ϕN) sup

f∈F

f(x1, x2)−ϕN( ˆf(m⁽¹⁾), . . . ,fˆ(m^(N)); (x1, x2)) Y,

где inf берется по всем парам (A_N, ϕ_N), состоящим из упорядоченного множестваA_N = {(m⁽¹⁾₁ , m⁽¹⁾₂ ), . . . ,(m^(N)₁ , m^(N₂ ⁾)} ⊂Z² и функции ϕ_N(τ₁, . . . , τ_N; (x₁, x₂)).

В качестве класса F здесь также будем рассматривать классU₂(β, θ, α).

3. Дискретизация решений уравнения теплопроводности: Ω = [0,1]², Ω₁ = [0,∞)×[0,1]², X =C[0,1]²,Y =L_∞(0,∞)×L_p(0,1)² (2≤p≤ ∞), (T f)(x) =u(t, x;f), гдеu(t, x;f)– решение задачи Коши для уравнения теплопроводности

∂u

∂t = ∂²u

∂x²₁ + ∂²u

∂x²₂, t≥0, (x₁, x₂)∈R², с начальным условиемu(0,(x1, x2);f) =f(x1, x2).

В качестве D_N возьмем множество Φ^′_N всех пар (l^(N), ϕ_N) таких, что l_j(f) = f mˆ ^(j)₁ , m^(j)₂ ) для некоторых (m^(j)₁ , m^(j)₂ )∈Z² (j = 1, . . . , N). Здесьfˆ(m₁, m₂) – тригоно- метрический коэффициент Фурье–Лабега функцииf. При этом задача (1), (2) ставится так:

σN(Φ^′_N, F)Y = inf

(AN,ϕN)sup

f∈F

u(t,(x1, x2);f)−ϕN( ˆf(m⁽¹⁾), . . . ,fˆ(m^(N));t,(x1, x2)) Y, где inf берется по всем парам (A_N, ϕ_N), состоящим из упорядоченного множестваA_N = {(m⁽¹⁾₁ , m⁽¹⁾₂ ), . . . ,(m^(N)₁ , m^(N₂ ⁾)} ⊂Z² и функции ϕ_N(τ₁, . . . , τ_N;t,(x₁, x₂)).

Класс F есть U₂(β, θ, α).

Для дальнейшего изложения нам необходимо напомнить некоторые общепринятые обозначения. Через c(α, β, . . .) будем обозначать некоторые положительные величины, разные, вообще говоря, в различных формулах и зависящие лишь от указанных в скобках параметров. Если {AN}^∞N=1 – последовательность положительных чисел и {BN}^∞N=1 – числовая последовательность, то запись B_N ≪

α,β,...A_N будет означать, что найдется по- стояннаяc(α, β, . . .), для которой при каждом целом положительномN выполнено нера- венство|B_N| ≤c(α, β, . . .)A_N. При положительныхA_N иB_N записьA_N ≍

α,β,...B_N означает A_N ≪

α,β,...B_N ≪

α,β,...A_N,Z²

+={(m₁, m₂)∈Z²:m₁≥0, m₂ ≥0}, [. . . ] – целая часть.

1. Численное интегрирование функций по точной и неточной информации

Теорема 1. Пустьθ= (θ₁, θ₂)∈(0,1)². Тогда inf

{(ξj,ηj)}^Nj=1

sup

f∈U2((0,0),(θ1,θ2),(1,1))

Z 1 0

Z 1 0

f(x₁, x₂)dx₁dx₂− 1 N

N

X

j=1

f(ξ_j, η_j) ≍

θ1,θ2

θ

√_2Nlog

θ1θ2

1 ,

(4) где оценка сверху достигается на модифицированной квадратурной формуле Шарыгина:

1 N

n1−1

X

j=0 n2−1

X

k=0

f j

n₁, k n₂

+f j n₁ + 1

2n₁, k n₂ + 1

2n₂

(N = 2n₁n₂, n₁=n, n₂ =nlog_θ2θ₁ – целое).

Доказательство. Сначала докажем оценку сверху в (4) в более общем случае. Именно пустьβ = (β1, β2)∈R²,θ= (θ1, θ2)∈(0,1)². Тогда справедливо соотношение

sup

f∈U2((β1,β2),(θ1,θ2),(1,1))

Z ₁

0

Z ₁

0

f(x₁, x₂)dx₁dx₂− 1 N

n1−1

X

j=0 n2−1

X

k=0

(f(ξ_j,k) +f(ξ_j,k^′ ))

β1,β≪2,θ1,θ2

n^β₁¹θ₁²ⁿ¹+n^β₂²θ₂²ⁿ²+n^β₁¹n^β₂²θ₁ⁿ¹θⁿ₂², (5)

гдеN = 2n₁n₂,ξ_j,k = _j

n₁, ^k

n₂

,ξ^′_j,k =_j

n₁ + ¹

2n1, ^k

n₂ + ¹

2n2

. Как это показано в [8], для любой функции f справедливо

δ_N(f) =

Z 1 0

Z 1 0

f(x1, x2)dx1dx2− 1 N

n1−1

X

j=0 n2−1

X

k=0

(f(ξ_j,k) +f(ξ^′_j,k))

= 1 2

+∞

X′ m1,m2=−∞

fˆ(m₁, m₂)δ_n1(m₁)δ_n2(m₂)

1 +e^2πi

m1 2n1e^2πi

m2 2n2

, (6)

где

δ_nj(m_j) =n 1, m_j ≡0 (mod n_j),

0, mj 6= 0 (modnj), j= 1,2,

а штрих в знаке суммы означает отсутствие члена, соответствующего(0,0).

Заметим, что:

• Если m₁ делится на 2n₁ и m₂ делится на 2n₂, то m₁ = 2l₁n₁ =k₁n₁,m₂ = 2l₂n₂ = k₂n₂, где k₁, k₂ – четные, поэтому

e^2πi

mj

2nj =e^2πi

2lj nj

2nj =e^2πilj = cos 2πl_j+isin 2πl_j = 1 (j= 1,2).

• Если m₁ не делится на 2n₁ и m₂ не делится на 2n₂, то m₁ = (2l₁−1)n₁ = k₁n₁, m₂ = (2l₂−1)n₂ =k₂n₂, где k₁, k₂ – нечетные, поэтому

e^2πi

mj

2nj =e^2πi

(2lj−1)nj

2nj =e^{2πi(lj−12)} = cos(2πl_j−π) +isin(2πl_j−π) =−1 (j= 1,2).

В этих случаях сумма в скобках в (6) равна двум.

• Если m₁ делится на 2n₁ и m₂ не делится на 2n₂ или m₁ не делится на 2n₁ и m₂ делится на2n₂, то e^2πi

m1 2n1e^2πi

m2

2n2 =−1 и сумма в скобках в (6) равна нулю.

Поэтому

δ_N(f)≤2 X_′

(k1,k2)∈Z²₊

fˆ(k₁n₁, k₂n₂)

1 +e^2πi

k1n1 2n1 e^2πi

k2n2 2n2

= 4 X′

(k1,k2)∈Z²₊ k1,k2– четные

|fˆ(k1n1, k2n2)| + X′ (k1,k2)∈Z²₊ k1,k2 – нечетные

|fˆ(k1n1, k2n2)|

!

=S1+S2.

Оценим S₁. Так как в этом случаеk₁,k₂ – четные, т. е.k₁ = 2l₁,k₂ = 2l₂, то с учетом включенияf ∈U₂((β₁, β₂),(θ₁, θ₂),(1,1)), получаем

S₁= 4

∞

X_′

(l1,l2)∈Z²+

fˆ(2l₁n₁,2l₂n₂) ≤4

∞

X_′

(l1,l2)∈Z²+

(2l₁n₁)^β1(2l₂n₂)^β2θ₁^2l1n1θ^2l₂²ⁿ²

β1,β≪2,θ1,θ2

n^β₁¹θ₁²ⁿ¹ +n^β₂²θ²ⁿ₂ ².

Теперь оценимS₂. Поскольку f ∈U₂((β₁, β₂),(θ₁, θ₂),(1,1)), аk₁ иk₂ – оба нечетные, то есть k₁ = 2l₁−1,k₂ = 2l₂−1, то

S₂= 4

∞

X_′

(l1,l2)∈Z²+

f((2lˆ ₁−1)n₁,(2l₂−1)n₂)

≤4 X∞ l1,l2=1

((2l₁−1)n₁)^β1((2l₂−1)n₂)^β2θ₁^(2l1−1)n1θ^(2l₂ ²⁻¹⁾ⁿ²

β1,β≪2,θ1,θ2

n^β₁¹n^β₂²θ₁ⁿ¹θⁿ₂².

В итоге

δN(f) ≪

β1,β2,θ1,θ2

n^β₁¹θ₁²ⁿ¹ +n^β₂²θ²ⁿ₂ ² +n^β₁¹n^β₂²θⁿ₁¹θ₂ⁿ², и тем самым оценка (5) доказана.

Поскольку в условиях теоремы β1=β2= 0, то δ_N(f) ≪

β1,β2,θ1,θ2

θ₁²ⁿ¹+θ²ⁿ₂ ² +θⁿ₁¹θ₂ⁿ².

Положим n₁=h _N

2 log_θ

2θ₁

1/2i

и n₂=h _N

2 log_θ

1θ₂

1/2i

([. . .]– целая часть). Тогда

θ²ⁿ₁ ¹ ≪

θ1

θ

2 _{2 log}^N

θ2θ1

1/2

1 =θ

2 log_θ2θ1 N 2 logθ2θ1

1/2

2 =θ

2 _{2 log}^N

θ1θ2

1/2

2 =θ^{(2Nlogθ1θ2)}

1/2

1 ,

θ²ⁿ₂ ² ≪

θ2

θ

2 _{2 log}^N

θ1θ2

1/2

2 =θ^{(2Nlogθ1θ2)}

1/2

1 ,

θⁿ₁¹θ₂ⁿ² ≪

θ1,θ2

θ

N 2 logθ2θ1

1/2

1 θ

N 2 logθ1θ2

1/2

2 =θ

2 _{2 log}^N

θ1θ2

1/2

2 =θ^{(2Nlogθ2θ1)}

1/2

2 =θ^{(2Nlogθ1θ2)}

1/2

1 .

Отсюда следует, что δ_N(f) ≪

θ1,θ2

θ^{(2Nlogθ1θ2)}

1/2

1 . Тем самым оценка сверху доказана.

Перейдем теперь к оценке снизу. Пусть 0< θ₁, θ₂ <1,−∞< β₁, β₂ ≤0. Не уменьшая общности, можем считать, что θ1 ≥ θ2. Положим θ1 = e^−h, c = log_θ1θ2 ≥ 1, тогда θ₂=e^−hc.

Пусть даны натуральное числоN иN точекξ_k(k= 0, . . . , N−1)из[0,1]². Обозначим G(m) ={m= (m₁, m₂)∈Z² : |m₁|+c|m₂| ≤M},

а через S(M)– количество элементов в G(M).

Пусть

M = rc

2(N+γ√ N), гдеγ =√

18c+ 1. Докажем, чтоS(M)≥N + 1.

Воспользуемся неравенством |S−N| < L, где S – площадь плоского множества M, N – количество целочисленных точек этого множества, L– его периметр [11].

Оценим L– периметр ромба G(M). Длина стороны ромба

r

1 + 1 c²

M²<p

(1 + 1)M²=√

2M < 3 2M.

Тогда L <6M. Площадь ромбаS= ^2M2

c . Отсюда

2M²

c −S(M)

<6M, поэтому

S(M)> 2M²

c −6M =N +γ√ N −6

rc

2(N +γ√ N).

Откуда легко получить, что S(M)≥N+ 1.

Следуя И.Ф. Шарыгину [8], рассмотрим тригонометрический многочлен t(x₁, x₂) = X

(m1,m2)∈G(M)

c(m₁, m₂)e^{2πi(m1x1+m2x2)}

и потребуем, чтобыt(ξ_k) = 0 (k= 0, . . . , N−1). Такие ненулевые многочлены существу- ют, так как для определения их коэффициентов Фурье мы получаем систему линейных однородных уравнений с числом неизвестных большим, чем число уравнений. Положим теперь

f(x₁, x₂) = (2M)^β1(²_cM)^β2e^{−2πi(m′1x1+m′2x2)}

e^2hMc(m^′₁, m^′₂) t(x₁x₂), где

|c(m^′₁, m^′₂)|= max

(m1,m2)∈G(M)|c(m₁, m₂)|>0.

Поскольку для всякого (m1, m2) ∈ G(M) выполнено неравенство |m1|+c|m2| ≤ M и для (m^′₁, m^′₂)∈G(M)выполнено неравенство |m^′₁|+c|m^′₂| ≤M, то

|m₁−m^′₁|+c|m₂−m^′₂| ≤ |m₁|+|m^′₁|+c(|m₂|+|m^′₂|)≤2M,

то есть (m₁ −m^′₁, m₂ −m^′₂) ∈ G(2M). Это означает, что спектр многочлена f(x₁, x₂) является подмножеством множестваG(2M), т. е. для каждого(m₁, m₂)из этого спектра имеем |m₁|+c|m₂| ≤2M, откуда |m₁| ≤2M,c|m₂| ≤2M.

Далее, поскольку β₁ ≤0,β₂≤0, то (2M)^β1 ≤

m₁

β1

,

2M c

β2

≤ |m₂|^β2.

Тогда при любых (m₁, m₂)∈G(2M)

|f(mˆ ₁, m₂)| ≤(2M)^β1 2M

c β2

e^−2hM ≤m^β₁¹m^β₂²e^−h|m1|e^−hc|m2|=m^β₁¹m^β₂²θ^|₁^m1|θ₂^|m2| и f(mˆ ₁, m₂) = 0 при (m₁, m₂) ∈/ G(2M). Таким образом, f(ξ_k) = 0 (k = 0, . . . N −1) и f ∈U₂((β₁, β₂),(θ₁, θ₂),(1,1)).

Оценим теперь δ_N(f):

δ_N(f) =

Z 1 0

Z 1 0

f(x₁, x₂)dx₁dx₂−

N−1

X

k=0

a_kf(ξ_k)

= Z 1

0

Z 1 0

f(x₁, x₂)dx₁dx₂

= (2M)^β1 2M

c β2

e^−2hM.

С учетом определения M =q_c

2(N+γ√

N), имеем δN(f) = (2M)^β1

2M c

β2

e^−2hM

=

2 rc

2(N +γ√ N)

β1 2

r c

2c²(N +γ√ N)

β2

e^−h√

2c(N+γ√ N)

β1≫,β2,N^β1/2N^β2/2e^−h√2cNe^−hγ√2 ≫

β1,β2,θ1,θ2

N^(β1+β2)/2θ

√_2Nlog

θ1θ2

1 . (7)

Так как в данном случаеβ₁ =β₂ = 0, тоδ_N(f) ≫

θ1,θ2

θ

√_2Nlog

θ1θ2

1 .

Теорема 2. Пустьβ= (β, β),β <0,θ = (θ, θ), 0< θ <1. Тогда

N^βθ^√2N ≪

β,θ inf

{(ξj,ηj)}^Nj=1

sup

f∈U2((β,β),(θ,θ),(1,1))

Z 1 0

Z 1 0

f(x₁, x₂)dx₁dx₂− 1 N

N

X

j=1

f(ξ_j, η_j)

β,θ≪N^β2θ^√2N,

где оценка сверху достигается на квадратурной формуле Шарыгина

1 N

n−1

X

j=0 n−1

X

k=0

fj

n,k n

+fj n+ 1

2n,k n + 1

2n

при N = 2n².

Доказательство. Оценка сверху.Еслиf ∈U₂((β₁, β₂),(θ₁, θ₂),(1,1)), то, по доказанно- му выше утверждению (5), имеем

δ_N(f) ≪

β1,β2,θ1,θ2

n^β₁¹θ₁²ⁿ¹+n^β₂²θ₂²ⁿ²+n^β₁¹n^β₂²θ₁ⁿ¹θ₂ⁿ² =n^β₁θ²ⁿ¹+n^β₂θ²ⁿ² + (n₁n₂)^βθⁿ¹⁺ⁿ².

Далее, при n₁=n₂ =np

N/2 следуетδ_N(f)≪

β,θn^βθ²ⁿ илиδ_N(f)≪

β,θN^β/2θ^√2N.

Оценка снизу. В силу (7), существует функция f ∈ U2((β1, β2),(θ1, θ2),(1,1)) такая, что δ_N(f) ≫

β1,β2,θ1,θ2

N^(β1+β2)/2θ

√_2Nlog

θ1θ2

1 . Отсюдаδ_N(f)≫

β,θN^βθ^√2N.

Замечание. В случае β₁ =. . . =β_s = 0, θ₁ = . . . =θ_s = e^−h, h > 0, класс U_s(β, θ, α) сводится к классуA_s(h)из [8], для которого И.Ф. Шарыгин приs= 2получил точный по- рядок убывания погрешности квадратурных формулδ_N(A_s(h))≍e^−h√2N (N = 1,2, . . .).

Ясно, что этот результат следует из теоремы 1 приθ₁=θ₂ =e^−h.

Теорема 3. Пусть дано θ= (θ₁, θ₂)∈(0,1)². Тогда выполнено неравенство

d₁θ

√_2Nlog

θ1θ2

1 ≤ sup

f∈F; (z,z′)∈E(f)

Z

[0,1]²

f(x)dx− 1 N

n1−1

X

j=0 n2−1

X

k=0

(z_j,k+z_j,k^′ )

≤3d₂θ

√_2Nlog

θ1θ2

1 ,

где

F =U₂((β₁, β₂),(θ₁, θ₂),(1,1)), E(f) =n

(z,z^′) : |f(ξ_j,k)−z_j,k| ≤d₂θ

√_2Nlog

θ1θ2

1 , |f(ξ_j,k^′ )−z_j,k^′ | ≤d₂θ

√_2Nlog

θ1θ2

1

o;

ξ_j,k =_j

n₁, ^k

n₂

;ξ_j,k^′ =_j

n₁ + ¹

2n1, ^k

n₂ + ¹

2n2

; d₁, d₂ – положительные постоянные, зави- сящие лишь отθ₁, θ₂;N = 2n₁n₂.

Доказательство. Оценка сверху.

Z

[0,1]²

f(x)dx− 1 N

n1−1

X

j=0 n2−1

X

k=0

(z_j,k+z_j,k^′ )

≤

Z

[0,1]²

f(x)dx− 1 N

n1−1

X

j=0 n2−1

X

k=0

(f(ξ_j,k)+f(ξ_j,k^′ ))+ 1 N

n1−1

X

j=0 n2−1

X

k=0

(f(ξ_j,k)+f(ξ_j,k^′ )−(z_j,k+z_j,k^′ ))

≤

Z

[0,1]²

f(x)dx− 1 N

n1−1

X

j=0 n2−1

X

k=0

(f(ξ_j,k)+f(ξ_j,k^′ ))

+

1 N

n1−1

X

j=0 n2−1

X

k=0

(f(ξ_j,k)+f(ξ_j,k^′ )−(z_j,k+z_j,k^′ ))

=I₁+I₂.

Ясно, чтоI1 – оценка сверху при интегрировании по точной информации (см. теорему 1), то есть I₁ ≤d₂θ

√_2Nlog

θ1θ2

1 .

Оценим I₂: I2=

1 N

n1−1

X

j=0 n2−1

X

k=0

(f(ξ_j,k)−z_j,k) + 1 N

n1−1

X

j=0 n2−1

X

k=0

(f(ξ_j,k^′ )−z_j,k^′ )

≤ 1 N

n1−1

X

j=0 n2−1

X

k=0

|(f(ξ_j,k)−z_j,k)|+ 1 N

n1−1

X

j=0 n2−1

X

k=0

|(f(ξ^′_j,k)−z_j,k^′ )|

≤ 1 N

n1−1

X

j=0 n2−1

X

k=0

d2θ

√_2Nlog

θ1θ2

1 + 1

N

n1−1

X

j=0 n2−1

X

k=0

d2θ

√_2Nlog

θ1θ2

1

= 1

Nn₁n₂d₂θ

√_2Nlog

θ1θ2

1 + 1

Nn₁n₂d₂θ

√_2Nlog

θ1θ2

1 = 2d₂θ

√_2Nlog

θ1θ2

1 .

Отсюда получаем, что

Z

[0,1]²

f(x)dx− 1 N

n1−1

X

j=0 n2−1

X

k=0

(z_j,k+z_j,k^′ )

≤3d2θ

√_2Nlog

θ1θ2

1 .

Оценка сверху доказана.

Перейдем теперь к оценке снизу. В силу (7), получаем

Z

[0,1]²

f(x)dx−

N

X

k=1

a_kf(t_k)

≥d1θ

√_2Nlog

θ1θ2

1 .

Теорема 4. Пусть даны β = (β, β), β < 0, θ = (θ, θ), 0 < θ < 1. Тогда выполнено неравенство

d₃N^βθ^√2N ≤ sup

f∈F; (z,z′)∈E(f)

Z

[0,1]²

f(x)dx− 1 N

n−1

X

j=0 n−1

X

k=0

(z_j,k+z^′_j,k)

≤3d₄N^β/2θ^√2N, где

F =U2((β, β),(θ, θ),(1,1)), E(f) =n

(z,z^′) : |f(ξ_j,k)−z_j,k| ≤d₄N^β/2θ^√2N, |f(ξ_j,k^′ )−z_j,k^′ | ≤d₄N^β/2θ^√2No

;