Вывод дифференциального уравнения динамики втулки при точном выполнении условий отсутствия нагрузки на цилиндрических поверхностях

ЛИТЕРАТУРА

1, А.П. Томилов, М.Я.ФИОШИН, В.А. Смирнов. Электрохимический синтез орга­

нических веществ. Химия. 1976. 423 с. 2. Костюк Н.Н., Дик ТЛ., Требников А.Г Электрохимический способ получения летучих Ь-дикетонатов металлов // Материал лы международной научно-технической конференции. Могилёв. 25-26 октября^

2001 г., с. 107. 3. Костюк Н.Н., Дик ТЛ., Требников А.Г. Установка для проведвнш(

термогравиметрических исследований. // Тезисы докладов Ш международной науч­

но-технической конференции “Фундаментальные и приклдцные проблемы физики Саранск. 6-8 июня 2001 г., с. 149. 4. Нейланд О.Я., Страдынь Я.П., Силиньш Э.А., Балоде Д.Р., Валтере С.П., Кадыпг В.П., Калнинь С.В., Кампар В.Э., Мажейка И.Б., Тауре Л.Ф. Строение и таутомерные превращения Ь-дикарбонильных соединений Рига. 1977. 448 с.

ХЦК 539.4

А.Е. Крушевский, В.Ф. Кондратюк,

ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ВТУЛКИ ПРИ ТОЧНОМ ВЫПОЛНЕНИИ УСЛОВИЙ ОТСУТСТВИЯ

НАГРУЗКИ НА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЯХ

Белорусский национальный технический университет, ОАО 'Белгорхгшпром”

Одна из главных задач расчета на виброустойчивость — определение собствен­

ных форм и полного или неполного спектра частот собственных колебаний детали. В настоящей статье представлена оригинальная методика составления дифференциаль­

ного уравнения динамики втулки при осесимметричной деформации. Полученное урав­

нение может служить основанием для решения ^ а ч и о собственных колебаниях.

В качестве исходного используем вариационное уравнение равновесия элемен­

тарного слоя [1]:

dz

J(T e») (J

u d A - j { T S E ) d A + j { K - p ^ ) S йсІА + д Г

4

F„ S UdS

~ 7 м

=

0

^,

ще Г - тензор напряжений,

S u - вектор возможных перемещений ( D - вектор перемещений).

694

Т Е - бискалярное щюизведение тегоора напряжений на тензор возмож­

ной деформации,

_ вектор объемных сил,

р _ плотность материала демпфера, р _ вектор поверхностных сил, ą ^ о р т о с и

_ проекция единичной внешней нормали на ось ^ ; dA = rdrde, d S = rdO.

Упругие перемещения и, w в цилиндрических координатах по оси г (радиаль­

ные) и по оси z (вертикальные) строим с помощью степенных рядов:

u = £ r ( r - ą " ) Ł / „ , , + C r ,

Ш=1

<о /0*^+1 »*^+1 \

" /п + 1

— ^ К г т + у + - 2 ( r - ^ ) R ^ ] U ^ J - 2 ( 2 L J )2 £ + d.

Г2^г 72

Можно привлечь неголономную связь:

^m+1 _ т + 1

Здесь R,, R2- внутренний и наружный диаметры демпфера;

7 = , Y2 - 7 - 2 , V-коэффициент Пуассона, G — модуль сдвига;

^/п+1 “ обобщенные перемещения;

С, D - постоянные; - дифференциальные операторы (первая и вторая ч 1

производные по z ) ; ---интегральный оператор; - радиальное напряжение.

Если ограничиться двумя слагаемыми и исключить обобщенное перемещение и., с помощью неголономной связи, то получим следующие формулы для перемеще- Мий и напряжений.

u = r ( r - d^[2{2R, + R ,) - 3 ( г + ą )] + 6

+2(2y -1)(R, + ą ) - ( 3 r - 2 ) ( r + /?

2

»Ц:

( З у - 2 ) , „ а

+ d , [ ( 2 r - i ) ( R , + ą ) ( R i + ' - - 2 ą ) - ( R , 4 R / + r ^ - 3 R ‘ )}Ł/a-

_5d ^ z5 il(2 R ^ +R,)dJ(3r-2)R,- 2 { r - 1 ) R M +

ó

+R ,(R , - R ,)[(2 r - 1)Rf - ( r - 1)«2 -

_ 2 ( ^ r z ^ B il3 il[ { 3 y - 2 ) R ,- 2 { r - ‘\)R2]U2

+

rzd.

rzd,

^ У 2 б ^ ( ^ я ~ ^ ) ( r - R ,)(f - ą ) ( 2 R i + /?2 - 3/-)£/®Uj +

6

+(r - R ,)( r -R a)[2(2r-1)(/?1 + « 2 ) - ( Зг- 2 ) (г + R a )]d A :

ff, = -^G R f(R a -R,)(R, -r)(Ra - r f +

6

+ /

3

d,^{R,(R, -r)[(2r -1)(R, +Ra)(R, +r -2 R ,)+

+ ^ ^ ^ { R , - R , ) { 2 R , + R , ) ] + '^'^^^^

^^i)lg2-- ^ ii( 3 y - 2 ) ( r - R ,) -

~(2y-1)R,(R3 -R,)(r^R=)}^ +2(2j'-1){3y-2)(r-R ,)(R2 -rX;^:

a , = 0-, - ^ R / ( R a -R,)cf^[2(2Ra + R , ) -

-3 f Jty^ - 2r[(2r - 1)(R, + Ra) - (3r - 2)r]Ua;

, „,5w au.

Полученные формулы точно выполняют условие отсутствия нагрузки на цилин^

дрических поверхностях:

При г = и г = R2 ^/г =

Возможные перемещения: S u - r , S w - 0 . Вариационное уравнение при К = F = О :

_а

dz

I

-

I

(<3^r + - P

1

r'^dr = 0.

.R. -R. -R.

■ -«1 - ą -Я,

В результате получим следующее дифференциальное уравнение четвертого по- ридка.

dz* dź^de dz^ dt^ *

V«2

A = I r{r - R,)(r -

«2

^)(Я?

2

Г - 3/-^ + 2R,R^)dr,

O ■'

в

= }/•'('•-f?2)[3(/- + /^2) - 2(2/?2 +

C = J {r^(r - R,)(r -ą )[2 (2 ;^ - 1)(R, + ą ) - (3r - 2)(f + ą ) ] + R,

+2г2«,('--/?іХ[(2г- 1)(/?, + ą ) (R , + r - 2 R ,) +

+ Ł £ ) { ą _ /^ ) ( 2 ą + R , ) ] - ^ ( 2 ą + яг,)(«2 ) ( 3 r - 2 ) r (r - R ,) +

+2(2/

- 1 )« ,(ą - R, )r(r^

- Rf

) +

[(2R2

+

R,

) - 3r]}dr,

«5

D = - £ ] r \ r - R

2

^)[

2

⁽

2

^{/ -}

1

)(R, + R 2 ) - ( 3 /- 2 ) ( r + R

2

^)]dr,

E = 4 1 [(2/ -

1)(3/ -

2У(Г -R , )(r - R^)+

Я,

+ ( 2 r ~ 1 ) ( / ? , H - ą ) r ^ - ( 3 r - 2 ) r V .

ЛИТЕРАТУРА

I. Крушевский A.E. Вариационные методы расчета корпусных деталей машин.

Минск: Наука и техника, 1967. — 228 с.

697