Екі дифференциалы бар екі айнымалы дифференциалдық алгебралардың құрылымы

(1)

8. Степанов В.Д., Ушакова Е.П. Об операторе геометрического среднего с переменными пределами интегрирования // Труды Матем. ин-та РАН. – 2008. – Вып. 260. – С. 264- 288.

9. Stepanov V.D., Ushakova E.P. Kernel Operators with Variable Limits Intervals of Integration in Lebesgue Speces and Applications // Math. Inequal. Appl. – 2010. – Vol. 13.

– P. 449-510.

ӘОЖ 512.552

EКІ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ БАР ЕКІ АЙНЫМАЛЫ ДИФФРЕНЦИАЛДЫҚ АЛГЕБРАЛАРДЫҢ ҚҰРЫЛЫМЫ.

Сардарбек Қуанышбек Омарәліұлы [email protected]

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия Ұлттық университетінің 2-курс магистранты Ғылыми жетекші – Науразбекова А.С.

k - 0 сипаттаушы өріс,

k   x , y

- k өрісіндегі x,y екі айнымалы көпмүшеліктер сақинасы,



₁

, 

₂ -

k   x , y

көпмүшеліктер сақинасының дифференциалдауы және



₁

, 

₂- коммутатр болады. Онда

 















       



 ,...

2 2 1 1 ,..., , 2

, 1 ,..., 2 2 1 1 ,..., , 2

, 1 2 ,





y y

y y x

x x x k y x k A

k өрісіндегі x,y екі айнымалы



₁

, 

₂ диффренциалаушы коммутатр диффреренциалды алгебра деп аталады. Сондай-ақ А алгебрасы k өрісіндегі x^¹^¹^^²²,y^¹^¹^²^² айнымалыларынан тұратын көпмүшеліктер сақинасы, мұндағы



₁

, 

₂

, 

₁

, 

₂ барлық теріс емес бүтін сандардың жиынтығы.

2 2 1 1

1



  z^^ және

2 2 1 1

2



 t^^ , мұндағы

z , t    x , y

.



₁

 

₂ деп есептейміз, егер

1.

2.

3.

алгебрасының басисі келесідей сөз түріннен тұратыны белгілі

(1)

мұндағы , - теріс емес бүтін сандар,

(1) түріндегі сөзінің ұзындығын анықтаймыз.

(1) түріндегі сөзінің дәрежесін y

t t z , 

2 1 2

,1  

t z

1 1 2 1 2

1 ,

,     

t z

 

^x ^y

k A ₂ ,

, ...

2 1

s



 





2 2 1 1i i

i z



  ^ ^ ^z

 

^x,^y ,^ai



ⁱ1,^s



₁ ₂ ..._s.

 l

 

 



_i^s₁a_i



(2)

1237 , .

і і , і і і і і

. ң і і .

і і ,

1.

2. ( . )

. і ің і і

і . і і ің і ң і ің

і ң . .

. і ,

1) ,

2) 3)

4) ,

…, s) s+1) s+2)

, і -

і і і і .

(1) і і і і . (1) і і

. ,

1.

2.

c , , , (1) і і

, і , . - - ің і і ің і







 ^s

i i

i

a i

1

2 1

2

deg ^1 ^

 

,

2 2 2 1 2 2 2 deg 1 1, 1 1

deg 1 , 0 3 2 0 3 1 deg 3

, 0 1 2 0 1 1

deg   



























  





















  











 





 x x x

x

. 2 1 1 2 3 2 1 4 3 1 4 1

3 1 2 1 2 3 2 1 4

1 2 1 2 2 3

deg 1                



























 

















  

y y x

x

2 1,

 deg

2 1



   d

 

 12  ₁^¹^₂²

2 1



 

   

 d ^,

d 

     

  

 



1

, _1  _

d d d

d ₁₁

n n

an

a

a     

  ₁ ₁  ₂ ₂ ... , ₁  ₂ ... ₁

~ 

   

 d ₁

d 

m m

m

n n

n

b b

b

a a

a

















...

, ...

2 1 2

2 1 1

2 1 2

2 1 1





1

1 

 

,

, ₁ ₁

1

1  a b



, ,

, ₁ ₁ ₂ ₂

1

1   

  a b 

2 2 2 2 1 1 1

1  ,a b,  ,a b





¹^, ¹



^, i i



¹^, ¹



^, n n^, i

i  i n a b i n  

       



¹^,



^, i i



¹^, ¹



^, n n^, i

i  i n a b i n a b

_i _i



i¹^,n



^,a_i b_i



i¹^,n



^,b_n_1 ⁰^.



^

 

d



y^



d



x^

 

d deg max deg , deg deg_y,deg_x ₁,₂

 



 . deg

deg  

. deg deg

, deg

deg   _x  _x

A

f  f ₁f₁ ₂f₂ ..._mf_m f_i fm

f

f₁  ₂ ... i _i k f₁ f

(3)

і і . і, , .

1.

і. .

і і .

, і , і .

і , і і і

f deg f₁ deg f₂ ...deg f_m

f f deg deg 

2 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ... 1 12 1 11 2 ... 1

1 ... 1

1 1













    











  

 

 

ar r

r x a s x

a s ar r ar

r a



 





. 2 2

1 1 ...

2 2 1 1

as s s y ar r r y











  











    

2, 2 1 1 2 2 2 1 deg 1

22 11

deg      





   

 





 





^,



^.

max

deg ¹¹ ¹² ¹ ²

2 1

2 1 2 1

~ 2 1

r

r 



      



   

    

 s

r

i i i

ai

ir i i

ai 2

2 1 1

11 2

2 1

deg 1   



2

1 

 

 l

1

l ₁ 1,₂ 0

. 2 1 1 2 2 1 2 1 1 ... 1 2 2 1 1 2 1

1 2 1 1 ... 1

12 1 11 2 1

...

2 2 1 1 ...

2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1

1 2 1 1 ... 1

12 1 11 2 2 1

1 2 ... 1

...

2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 12 1

11 2 1 1 2 2

1 1

2 2 1 1 2 1

1 2 1 1 1 1 1 212 111 212 11 1 1 1 1 1

11 11 11 1 1

1 1 1 1 1 1

1

1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1

1 1 1 1

 



 



 

 



 



 

 



 



 

 



 



 

 



 



 



 

 



 

 

 

 

 

 

 

 



 



 

 

 

 

 

 

 

 



 

 

 













































































































































































































 



 



 







 



 



 



 



 







 



 



 







 



 



 





as s s y s s y ar r r y ar ) α(r ) α(r x α a

α s x a

as s s y ar r r y r r y ar r r x α a

α r x a as r s y

ar r r y ar r r x ) α(r ) α(r ...x α a

α r x a ...

as αs αs y ...

...

ar αr αr y ar ) α(r ) α(r x ...

α a α x α α x s a a ωs ωs

ar ωr ω ar ...ωr ωa ar as ...ωs ar ωr ar ωr ...ωr ωa ar s ...

a ...ωs ar ωr ar ....ωr

a ...

ω ω s a

a ωs r...

a ωr ar ...ωr as ...ωs ar ωr ar ...ωr ωa as ...ωs ar ωr

ar ωr a...

ω s ...

as ...ω ar ωr ar ...ωr ωa

as ...ωs ar ωr ar ...ωr ωa ω



 



 



(4)

1239

,

, і

ң .

l і ң .

, і і

1. (1) і і .

і.

,

і і і ,

,

, ,

.

і .

і і і:

   



... ...



... ... ...



1



,

deg

, ...

1 ...

...

deg

, ...

...

1 ...

...

deg

2 1 2

1 2

1 12

11 1

1 1

2 1 2

1 2

1 12

11 1

1 1

2 1 2

1 12

11 12

11 1

1 1

2 1 2

1 1 2

1 1 1 1

1

2 1 2

1 2

1 1 2

1 1 1 1

1 1

2 1 2

1 2

1 1 2 1 1 1

1 1 1

s s s

s r

r s

r r

s s r

r r

r s

r r

s s r

r s

r r

s r

a s s a r a r a

s r

a s a r r a r a

s r

a s a r a r a

a a

a

a a

a

a a

a



 





















































































^deg



^max

 

^deg



^,



^deg

 

^max

 

1¹¹ 2¹²

 

^, 1¹ 2²



^,



r

r a

a y

x d d d

d

d      ^ ^  

, ,...,

,...,

, ²¹ ² ¹ ² ¹ ²

12 11 2 1

2 1 1 2 1 1 2

1 1 2 1 1 2 1

1 ^r ^r ^r ^s ^s

a        

         

 ^ ^ ^ ^ ^



^,



^.

max

deg ¹¹ ¹² ¹ ²

2 1

2 1 2 1

~ 2 1

r

r 



      



 

2 1 2 2 1 1

2 1 2 1 2

1 2

1 12

11 12

11 1

2 1 2

1

2 1 2 1 1 2

1 2

1 1 2 1 1

deg

deg ...

...

1 deg





















































 _r _r _s _s

s

r a

a a

 

2 1 2 2 1 1

2 1 2 2 1

2 1 1 2

1 12

11 1

2 1 2

1

2 1 2 1 1 2

1 2

1 1 2

1 1

deg

deg ...

1 ...

deg





















































 r r r r s s

s

r a

a a

 

^ ^

. deg

deg deg

2 1 2 2 1 1 2

1 2 2 1 1 2 1

2 1 2

1 2 2 1 1 1 22

11 1 1 22

11

1 1 1

1 1

1 1 1

2 1 1 2

1 1 2

1 1 1





























 ^ ^ ^ ^













































 



 ^

 



^s  

i i

i

a i

1 1 2

2

deg ^1 ^











  _ _



, deg

deg deg

2 1 2 2 1 1 22

11

2 1 2

1









 

 ^ ^ 

x x

x ɟɝɟɪ

ɟɝɟɪ

   





 







x y

d d

deg deg















  _ _



, deg

deg deg

2 1 2 2 1 1 22

11

2 1 2

1









 

 ^ ^ 

ɭ ɭ

ɭ ɟɝɟɪ

ɟɝɟɪ

   





 







x x

d d

deg deg



           



^,



^.

max deg

, ...

...

2 1 12 11 2

1

2 2 1 1 2

2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 12 1

2 11 1 2

1

2 1 2 1

~ 2 1

2 1

r r

s s r s

r r r r

r s

a a a

a a s a

a x x y y



 



 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^









 ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

2 1 2 2 1 1 2

2 1 1

2 1 2

deg 1

deg^^^^  ^^^^^^ ^^



 deg_x deg_y

deg  

2 1 2 2 1 1 2

2 1 1

2 1 2

deg 1

deg

deg^^^^  _x _y^^^^^^ ^^





 

d _x



d deg  deg

2 1 2 2 1 1 2

2 1 1

2 1 2

deg 1

deg_x^^^^  _x^^^^^^ ^^ d



deg^



d



degy^





 ^ ^ _x

x deg

deg ^¹¹^²² 

2 2 1

deg_x^1^^^

(5)

1. Kolchin E.R. Differential algebra and algebraic groups, 1973, 243 p.

517.51

[email protected]

- . . .

4- 5 060100-

– . < 𝑝 < , 1

' 1

1  

p

p { } -

.

{ }, :

‖ ‖ (∑| |

) _, –

, { ≤ ≤ , >

{ }

. .

{ ∑

| ∑ | < },

‖ ‖ ∑ | ∑ |

_, .

[1]

.

1. [1] 𝑝 >

. _, ,

.

1) ‖ ‖ ≤ 𝑝 , < ,

,

2) ∑

, ‖ ‖ 𝑝 ,

𝑝 {∑

(∑ ,

∑ ,

)

},

{∑ ,

∑ (∑ ,

∑ ,

)

},