И.Жансугурова, Талдыкорган, e-mail: [email protected] Аннотация В предлагаемой работе исследуется асимптотическая эквивалентность разностно-дина- мических систем (РДС) при некоторых ограничениях

(1)

Общие методы покомпонентной асимптотической эквивалентности разностно-динамических систем (РДС)

С.С. Сламжанова

Жетысуский государственный университет им. И.Жансугурова, Талдыкорган, e-mail: [email protected]

Аннотация

В предлагаемой работе исследуется асимптотическая эквивалентность разностно-дина- мических систем (РДС) при некоторых ограничениях. Эквивалентности с этими ограниче- ниями были названы покомпонентной асимптотической эквивалентностью. Получены ре- зультаты по разбиению совокупности РДС на классы эквивалентности покомпонентным свойствам, в которых поведение решений в бесконечности, в некотором смысле, однородно.

Полученный результат является аналогом работы В.В.Немыцкого, который носит назва- ние эквивалентность по Немыцкому для систем дифференциальных уравнений. Из этой работы следует, как частный случай, асимптотическая эквивалентность по Ляпунову, по Левинсону, по Брауеру.

Классификация разностно-динамических систем на основе асимптотических свойств решений всегда занимает центральное место в задачах качественной теории РДС [1,2,3].

В общем случае эта задача (как в дифференциальных системах [4,5]) укладывается в следующую схему. Рассматривается некоторая совокупность РДС, где решения опреде- лены и некоторая группа преобразований, которая индуцирует отношение эквивалент- ности. Цели классификаций – получение всей совокупности инвариантов группы пре- образований и распределение всех РДС по классам эквивалентности. Если в качестве совокупности РДС будем брать линейные однородные РДС, тогда важнейшей группой допустимых преобразований является группа преобразований Ляпунова [1,6]. Если к ней добавить задачу о вычислении инвариантов и их устойчивости, то эта совокупность совместно с методами решения составляет суть первого метода Ляпунова [5].

В [7] исследовалась асимптотическая эквивалентность РДС при некоторых ограни- чениях и была названа “покомпонентной асимптотической эквивалентностью”. В пред- лагаемой работе продолжается исследование задачи, поставленной в [7]. А именно со- вокупность РДС разбивается на классы эквивалентности покомпонентным свойствам, в которых поведение решений в бесконечности, в некотором смысле, однородно. Этот вопрос для обыкновенных дифференциальных уравнений в свое время был рассмот- рен Немыцким (в последствии получило название асимптотическая эквивалентность по Немыцкому). Нами доказано, что такое разбиение возможно и для РДС. Можно отме- тить, что из полученных результатов следует аналог эквивалентности Брауера, Ляпу- нова и Левинсона [4, 5, 8].

Рассмотрим РДС

xn+1 =A(n)xn+f(n, xn), (1)

y_n+1 =A(n)y_n, (2)

(2)

где A(n): N_n₀ →R^l – непрерывные отображения, f ∈C(D).

kf(n, x_n)k ≤λ n, |x_i₁_,n|, ..., x_i_q_,n

≤ψ(n) x_i_q_,n

, (3)

здесь x_i₁_n, . . ., x_i_q_n – компоненты вектора x, 1 ≤i₁ ≤ ...≤i_q, x_q =colon x_i₁_n, ... , x_i_q_n , x_i_q_n∈R^q. k k – евклидова норма.

λ:N_n₀ ×R^q₊→N ∪ {0} R^q₊ =

(ϕ₁, ..., ϕ_q) :ϕ_i ≥0, i= 1, q , λ(n, ϕ₁, ..., ϕ_q) ≤ λ(n, ϕ₁, ..., ϕ_q) при ϕ_i ≤ ϕ_i i= 1, q

и ∀n ∈ N_n₀, ψ : D₁ → N, D₁ = N_n₀, ψ ∈ C(D₁). Y(n) – фундаментальная матрица РДС-ы (2). Y(n₀) = E и Y (n) = (Y_{i j}(n)) Y⁻¹ = (Y^{j i}(n)).

Рассмотрим множества

L={1,2, ..., l}, B ⊆L, L₀ ⊆M ⊆L, M =L\B L₀ 6=60 (4) Пусть функцииµ_i :N_n₀ →Z₊ =L∪ {0}m_i :N_n₀ →Z₊ удовлетворяют неравенствам

µ_i(n)≥max

j∈L0

|y_ij(n)|, n∈N_n₀, i=i₁, ..., i_q, (5) m_i(n)≥max

max (y_ij(n)), µ_i(n)

i∈M

, n∈N_n₀, i=i₁, ..., i_q (6) и Q – гладкое многообразие, принадлежащее пространству R^l.

Укажем достаточные условия по компонентной слабой асимптотической эквивалент- ности РДС (1) и (2) относительно µ_i(n) при n→ ∞ на многообразииQ.

Многообразие Q. Будем считать, что Q – гладкое многообразие пространства R^l, обладающее следующим свойством: если x_n ∈ Q, то x_j = 0 при j /∈ M, где x_n = colon(x₁, x₂, ..., x_l).

Основные условия.Все решения РДС (2) (n, n₀, γ), γ ∈Qсуществуют при любом n₀ ≥ N_n₀ и n ≥ N_n₀. Для любой точки γ_n = colon γ_h₁, γ_n₂, ..., γ_n_q

, γ_n ∈ Q, и любого положительногоC, C > P

k∈M

|γ_k|, рассмотрим множество

0, C − P

k∈M

|γ_k|

. Тогда, если δ ∈

0, C− P

k∈M

|γk|

то при достаточно большом n0 выполняются неравенства

X

k∈M∩L₀ +∞

X

s=n1

y^jk(s)

λ(s, Cm(s))≤ δ

3l (7)

+∞

X

s=n

X

k∈M\L₀

y_ik(n)y^jk(s)

λ(s, Cm(s))≤ δ

3lµ_i(n) (8)

n

X

s=n1

X

k∈B

y_ik(n)y^jk(s)

λ(s, Cm(s))≤ δ

3lµ_i(n) (9)

n₀ ≤n≤+∞,j ∈L,m(s) = m_l₁(s), ..., m_i_q(s)

Отображение P. Будем считать, чтоi₁ = 1,i₂ = 2, ..., i_q =q. Пусть Ω =

ϕ:ϕ∈C N_n₀, R^l

,|ϕ_i(n)| ≤C₁m_i(n), i= 1, q,|ϕ_i(n)| ≤C₂P_i(n), i=q+ 1, l, n≥n₀ ,

(3)

(10) где C – фиксированное положительное число, C₁ и C₂ - произвольные положительные числа:

P_i(n) = CX

j∈M

|y_ij(n)|+

n

X

s=n1

X j ∈L k∈B

y_ik(n)y^jk(s)

λ(s, Cm(s)) +

+

+∞

X

s=n

X j ∈L k∈M

yik(n)y^jk(s)

λ(s, Cm(s)), i=q+ 1, l

Допустим, что kϕk_Ω = max







maxi sup

n≥n₀

|ϕ_i(n)|

mi(n), i= 1, q maxi sup

n≥n0

|ϕ_i(n)|

Pi(n), i=q+ 1, l (11)

Определив естественным образом операции линейного пространства на множестве Ω, получим банахово пространство.

Пусть C₁ =C, C₂ = 1. Тогда получим подмножество S ⊂ Ω. Подберем число δ так, чтобы выполнялось неравенство

0< δ < C −X

k∈M

|γ_k|,

где γ_k- действительные числа, являющиеся координатами точки γ ∈ Q и P

k∈M

|γ_k|< C. На S определим операторL следующим образом:

(Lϕ(n))_i = X

k∈M

y_ik(n)γ_k+

n

X

s=n1

X j ∈L k ∈B

y_ik(n)y^jk(s)f_j(s, ϕ(s))−

−

+∞

X

s=n

X j ∈L k ∈M

y_ik(n)y^jk(s)f_j(s, ϕ(s)).

(12)

Предположим,Q={(x₁, ..., x_n) : x_j = 0, j /∈M}и выполняется дополнительное усло- вие

+∞

X

s=n1

X j ∈L k∈M

y^jk(s)

ψ(s)km(s)k< R <+∞, (13)

(4)

где km(s)k= sup

i

m_i(s),i=i₁, ....i_q.

Асимптотическая эквивалентность по Немыцкому.

Теорема 1.Пусть выполняются основные условия и условие (13). Тогда операторL на шаре S имеет единственную неподвижную точку, если:

а) существует функция ψ : D₁ →R⁰₊, ψ ∈C(D) такая, что

|f_j(n, ϕ₁)−f_j(n, ϕ₂)| ≤ψ(n)

ϕ₁_p−ϕ₂_p

, j = 1, l, 1≤p≤l, ∀ϕ₁, ϕ₂ ∈Rⁿ;

б) 1 m_i(n)







n

X

s=n1

X j ∈L k ∈B

yik(n)y^jk(s)

ψ(s)mi(s) +

+

+∞

X

s=n

X j ∈L k ∈M

y_ik(n)y^jk(s)

ψ(s)m_i(s)+







≤r <1, i= 1, q,

в) 1 p_i(n)







n

X

s=n1

X j ∈L k ∈B

y_ik(n)y^jk(s)

ψ(s)p_i(s)+

+

+∞

X

s=n

X j ∈L k ∈M

yik(n)y^jk(s)

ψ(s)pi(s)+







≤r <1, i=q+ 1, l

Доказательство. Так как справедливо неравенства

|(Lϕ₁)_i−(Lϕ₂)_i|

m_i(s) ≤ 1 m_i(s)







n

X

s=n1

X j ∈L k ∈B

y_ik(n)y^jk(s)

|f_j(s, ϕ₁)−f_j(s, ϕ₂)|+

+

+∞

X

s=n

X j ∈L k ∈M

y_ik(n)y^jk(s)

|f_j(s, ϕ₁)−f_j(s, ϕ₂)|







≤

(5)

≤ 1 m_i(s)







n

X

s=n1

X j ∈L k∈B

y_ik(n)y^jk(s)

ψ(s)

ψ₁_p(s)−ψ₂_p(s)

m_i(s) m_i(s)+

+

+∞

X

s=n

X j ∈L k ∈M

yik(n)y^jk(s)

ψ(s)

ψ₁_p(s)−ψ₂_p(s) m_i(s) mi(s)







, i= 1, q,

|(Lϕ1)_i−(Lϕ2)_i| p_i(s) ≤ 1

p_i(s)







n

X

s=n1

X j ∈L k ∈B

y_ik(n)y^jk(s)

|f_j(s, ϕ₁)−f_j(s, ϕ₂)|+

+

+∞

X

s=n

X j ∈L k ∈M

y_ik(n)y^jk(s)

|f_j(s, ϕ₁)−f_j(s, ϕ₂)|







≤

≤ 1 p_i(s)







n

X

s=n1

X j ∈L k ∈B

y_ik(n)y^jk(s)

ψ(s)

ψ₁_p(s)−ψ₂_p(s)

p_i(s) p_i(s)+

+

+∞

X

s=n

X j ∈L k ∈M

y_ik(n)y^jk(s)

ψ(s)

ψ₁_p(s)−ψ₂_p(s) pi(s) p_i(s)







, i=q+ 1, l.

То

kLϕ₁−Lϕ₂k_Ω ≤rkϕ₁−ϕ₂k_Ω, 0< r <1. (14) Следовательно, операторL на шареS имеет единственную неподвижную точку, так какL – оператор сжатия. Теорема доказана.

Из теоремы 5 [7] при условиях теоремы 1 вытекает покомпонентная асимптотическая эквивалентность (слабая асимптотическая эквивалентность) по Левинсону относительно функцийµ_i(n), i=i₁, ..., i_q при n→ ∞ на многообразииQ.

Сейчас мы рассмотрим теорему 1, когда условие a) имеет вид

(6)

a^∗) |f_j(n, ϕ₁)−f_j(n, ϕ₂)| ≤ψ(n)|ϕ₁₁ −ϕ₂₁|, j = 1, l.

Теорема 2.Пусть выполняются условие теоремы 1, где условие а) заменено условием a^∗)и

+∞

X

s=n1

y^jk(s)

ψ(s)<+∞, j ∈L, k∈M, (15)

µ₁(s)≥max

j∈L{|y_1j(s)|},

+∞

X

s=n1

y^jp(s)

µ₁(s)ψ(s)<+∞, j ∈L, p∈L. (16)

Тогда РДС (1) и (2) покомпонентно асимптотически эквивалентны (слабо асимпто- тически эквивалентны) по Немыцкому относительно функций µ_i(n), i = i₁, ..., i_q при n → ∞на многообразии Q.

Доказательство. Так как

|y_k(n0)−y_k(n)| ≤ |x_k(n0)−xk(n)|+

+∞

X

s=n1

X j ∈L k ∈M

y^jk(s)

ψ(s)|x₁(s)−x1(s)|, k∈M ,

(17)

|x₁(n₀)−x₁(n)|<X

j∈M

y_1j|γ_j−γ_j|+

+∞

X

s=n1

X

p,j∈L

y_kp(n)y^jp(s)

ψ(s)|x₁(s)−x₁(s)|, (18)

|x₁(n)−x₂(n)|

µ_i(n) ≤d₁X

j∈M

γ₁−γ_j +d₂

n

X

s=n1

X

p,j∈L

y^jp(s)

ψ(s)µ₁(s)|x₁(s)−x₁(s)|

µ₁(s) (19) то из (19) получим

|x₁(n)−x₁(n)| ≤d₃kx_q(n₀)−x_q(n₀)k, (20) где

kxq(n0)−xq(n0)k= X

j∈M

γ1−γ_j =X

j∈M

|xj(n0)−xj(n0)|.

Тогда, используя неравенство (20), из соотношения (17) получим

|y_k(n₀)−y_k(n₀)| ≤ ||x_q(n₀)−x_q(n₀)||





 1 +d₃

n

X

s=n1

X j ∈M k ∈L

y^jk(s)

µ₁(s)ψ(s)







, d₃ >0.

(21)

(7)

Пусть

kxq(n0)−xq(n0)k< δ.

Тогда

|y_k(n₀)−y_k(n₀)|< ε.

Следовательно, РДС (1) и (2) покомпонентно асимптотически эквивалентны (слабо асимптотически эквивалентны) по Немыцкому относительно функцийµi(n),i=i1, ..., iq

при n→ ∞ на многообразииQ (где x_q =colon x_i₁_n, ..., x_i_q_n

, x_i_q_n∈R^q).

Теорема доказана.

Список литературы

[1] Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М. Мир, 1971, 312 с.

[2] Бромберг П.В. Устойчивости и автоколебания импульсных систем регулирования

“ОборонГИЗ” М. 1953, 224 с.

[3] Бопаев К.Б. Нормальная форма –нелинейных разностно-динамических систем //

Математикческий журнал.Алматы.2003 г. том 3 №1(7), С. 42-54

[4] Ляпунов А.М.Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1950, 472 с.

[5] Видаль П. Нелинейные импульсные системы. “Энергия”. Москва. 1974, 336 с.

[6] Бопаев К.Б., Бопаева С.К. Асимптотически эквивалентные РДС // Вестник ЖГУ,

№1-2/04, - C. 48-52.

[7] Сламжанова С.С.Покомпонентная асимптотическая эквивалентность РДС // Ма- тематический журнал (Алматы). 2009. №3(33), С. 83-93.

[8] Brauer F.Nonlinear differential equations with forcing terms // Proc. Amer. Math. Soc.

1964. vol. 15. p. 758-765.