О. Канлыбаев, Ш.Б. Палымбетов
Задачи кинематики пространственного рычажного механизма подъемного устройства
(Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева)
Предложен аналитический подход вывода уравнения кинематики пространственного рычажного механизма подъемного устройства транспорта.
Рассматриваемый механизм подъемного устройства общего вида представляет собой сложный замкнутый контур. Известно, что сложные замкнутые контуры состоят из двух и более замкнутых многоугольников, причем некоторые стороны этих многоугольников являются общими [1]. Указанными общими сторонами устанавливается связь между замкнутыми многоугольниками одного и того же сложного замкнутого контура. С учетом этого, сложный замкнутый контур механизма раскладываем на отдельные простые замкнутые контуры, что позволяет сложные задачи анализа и синтеза свести к последовательному решению более простых задач. Согласно рассуждению сложный замкнутый контур раскладываем на два простых замкнутых многоугольника OABCDO6O и OAF EDO6O.
Рассмотрим составляющие уравнения для первого замкнутого многоугольника OABCDO6O (рисунок 1).
Введем начальную неподвижную систему координат OXY Z, связанную со стойкой с началом в точке O с соответствующими осями:
Z - направлена параллельно оси вращения кинематической пары в точке O; для X, Y - направления выбираем с учетом правила правой тройки (X, Y, Z).
Введем вторую неподвижную систему координат O6u6v6w6, связанную со стойкой с началом в точке O6 с соответствующими осями:
w6 - направлена вдоль оси вращения вращательной кинематической пары в точке O6;
u6, v6 - направления выбираем с учетом правила правой тройки (u6, v6, w6). Радиус-вектор между двумя началами неподвижных систем координат OXYZ и O6u6v6w6 обозначим через r06. Выражения радиуса-вектора r06 имеет вид
r0=r06 = [1, X06, Y06, Z06]T, (1) Для определения геометрических параметров стоек используем матрицу преобразования от системы координат OXY Z к системе координат O6u6v6w6 [2].
Рисунок 1- Пространственный рычажный механизм
T06 =
1 0 0 0
a06cosγ06+ +b06sinγ06·
·sinα06
cosγ06cosβ06−
−sinγ06cosα06·
·sinβ06
−cosγ06sinβ06−
−sinγ06cosα06·
·cosβ06
sinγ06×
×sinα06
a06sinγ06−
−b06cosγ06·
·sinα06
sinγ06cosβ06+ + cosγ06cosα06·
·sinβ06
cosγ06cosα06·
·cosβ06−
−sinγ06sinβ06
−cosγ06×
×sinα06
c06+
+b06cosα06 sinα06sinβ06 sinα06cosβ06 cosα06
(2)
Для описания относительного положения вращательной кинематической пары в точке 6 введем подвижную систему координат O6x6y6z6, связанную со звеном 6 с началом в точке 6 с соответствующими осями:
z6 – направлена вдоль оси вращения вращательной кинематической пары в точкеО6; x6 – направление выбираем, лежащим в плоскости звена 6 и оси z6;
y6 – направление по правилу правой тройки (x6, y6, z6);
ϕ6 – угол между осями u6x6, измененный против хода часовой стрелки относительно положительного направления оси z6 и выражающего угол поворота звена 6.
Тогда, матрица перехода [2] от системы координат O6x6y6z6 к системе координат O6u6v6w6
вращательной кинематической пары в точке 6 имеет вид
P6(ϕ6) =
1 0 0 0
0 cosϕ6 sinϕ6 0 0 sinϕ6 cosϕ6 0
0 0 0 1
(3)
Радиус-вектор r6 звена 6 имеет вид
r6 =P6·T06 ·r0 (4)
Введем систему координат Du4v4w4 с началом в точке D с соответствующими осями:
w4 – направлена параллельно оси вращения вращательной кинематической пары в точке D;
u4 – направление выбираем лежащим в плоскости звена 6 и оси w4; v4 – направление по правилу правой тройки (u4, v4, w4).
Для определения геометрических параметров звена 6 используем матрицу преобразования вида [T64], которая аналогична матрице преобразования [T06] с соответствующей заменой индексов от системы координат O6x6y6z6 к системе координат Du4v4w4. С учетом сказанного радиус-вектор r6
0 выражается в виде
r60 =T64·r6 (5)
или с учетом (4) имеем
r6
0 =T64·P6·T06·r0. (6)
Для описания относительного положения вращательной кинематической пары в точке D4
звена 4 введем систему координат D4x4y4z4 с соответствующими осями:
z4 – направлена параллельно оси вращения вращательной кинематической пары в точке D и оси w4;
x4 – направление выбираем лежащим в плоскости звена 4 и оси z4; y4 – направление по правилу правой тройки;
ψ4 – угол между осями u4 и x4, измеренный против хода часовой стрелки относительно положительного направления оси z4, выражает угол поворота звена 4.
Тогда матрица перехода от подвижной системы координат Du4v4w4 к системе координат D4x4y4z4 вращательной кинематической пары имеет вид [2]
P4(ψ4) =
1 0 0 0
0 cosψ4 sinψ4 0 0 sinψ4 cosψ4 0
0 0 0 1
(7)
Радиус-вектор r4 звена 4 имеет вид
r4 =P4·T64·P6·T06·r0. (8) Введем систему координат Cu3v3w3 и Cx3y3z3 совпадающими началами в точке сферической пары, положение которых определяются тремя углами Эйлера:
α3 = θ3 – угол нутации образованный положительным направлением линии узлов t, выбранное по кратчайшему повороту от оси w3 к оси z3 происходящим против хода часовой стрелки с учетом (0≤θ3≤π);
γ3=ψ3 – угол прецессии лежащий в плоскости звена 3 и оси w3, направление выбираем между осью u3 и линией узлов t, и отсчитывается против хода часовой стрелки относительно положительного направления оси w3(0≤ψ3≤2π);
β3 = ϕ3 – угол собственного вращения лежащий в плоскости звена 3 и линии узлов t, и отсчитывается против хода часовой стрелки относительно положительного направления оси z3.
Для определения геометрических параметров звена 4 используем матрицу преобразования аналогично [T06] уравнения (2) соответствующей заменой индексов на матрицу преобразования вида [T43] при переходе от системы координат D4x4y4z4 к системе координат Cu3v3w3. С учетом выражения матрицы преобразования [T43] радиус-вектор r40 имеет вид
r40 =T43·P4·T64·P6·T06·r0. (9) Для описания относительного положения сферической кинематической пары в точке звена 3 была введена система координат Cx3y3z3 с началом в точке , совпадающее с началом системы координат Cu3v3w3 с соответствующими направлениями углов Эйлера. С учетом сказанного матрица перехода от системы координат Cu3v3w3 к системе координат Cx3y3z3 сферической кинематической пары имеет вид
P3сфера=
1 0 0 0
0 cosψ3cosϕ3−
−sinψ3cosθ3sinϕ3
−cosψ3sinϕ3−
−sinψ3cosθ3cosϕ3 sinψ3sinθ3 0 sinψ3cosϕ3+
+ cosψ3cosθ3sinϕ3
cosψ3cosθ3cosϕ3−
−sinψ3sinϕ3 −cosψ3sinθ3
0 sinθ3sinϕ3 sinθ3cosϕ3 cosθ3
(10)
Радиус-вектор r3 звена 3 выражается в виде
r3 =P3·T43·P4·T64·P6·T06·r0. (11) На звене 2 введем систему координат Bu2v2w2 и Bx2y2z2 с началом в точке сферической пары с пальцем с соответствующими осями:
z2 – направлена вдоль оси пальца сферической пары в точке ;
w2 – направлена под прямым углом (π2) к оси z2 сферической пары с пальцем, где этот угол обозначен α2 = π2;
β2 =ϕ2 - угол между положительным направлением t и осью x2 измеренный против хода часовой стрелки;
γ2 = ψ2 - угол между положительным направлением t и u2 измеренный против хода часовой стрелки.
Угол ψ2 - угол прецессии, т.е. угол поворота вокруг оси прорези.
Угол ϕ2 - угол собственного вращения, т.е. угол поворота вокруг оси пальца. Матрица преобразования сферической пары аналогично [2].
Для определения геометрических параметров звена 3 используем аналогично матрице преобразования [T06] уравнения (2) соответствующей заменой индексов на матрицу преобразования вида [T32] при переходе от системы координат Cx3y3z3 к системе координат Bu2v2w2. Тогда радиус-вектор
r30 =T32·P3·T43·P4·T64·P6·T06·r0. (12) Матрица преобразования для описания относительного положения сферической пары с пальцем в точке звена 2 от системы координат Bu2v2w2 к системе координат Bx2y2z2 имеет вид [2].
P2 =
1 0 0 0
0 cosψ2cosϕ2 −cosψ2sinϕ2 −sinψ2 0 sinψ2cosϕ2 −sinψ2cosϕ2 −cosψ2
0 sinϕ2 cosϕ2 1
.
С учетом матрицы преобразования [P2] радиус-вектор звена 2
r2 =P2·T32·P3·T43·P4·T64·P6·T06·r0. (13) Для определения геометрических параметров звена 2 введем систему координат Au1v1w1 с началом в точке A с соответствующими осями:
w1 – направлена параллельно оси вращения вращательной кинематической пары в точке A;
u1 – направление выбираем лежащим в плоскости звена 2 и оси w1; v1 – направление по правилу правой тройки (u1, v1, w1).
Тогда матрица преобразования [T21] аналогична матрице преобразования [T06] по уравнению (2) соответствующей заменой индексов для перехода от системы координат Bx2y2z2
к системе координат Au1v1w1. Отсюда радиус-вектор r20 имеет вид r2
0 =T21·P2·T32·P3·T43·P4·T64·P6·T06·r0. (14)
Введем систему координат Ax1y1z1 для описания относительного положения вращательной кинематической пары в точке A. Система координат Ax1y1z1 с началом в точке A совпадающая с началом системы координат Au1v1w1 с соответствующими осями:
z1 – направлена параллельно оси вращения вращательной кинематической пары в точке A и оси w1;
x1 – направление выбираем лежащим в плоскости звена 2 и оси z1; y1 – направление по правилу правой тройки (x1, y1, z1);
ϕ1 - угол между осями u1 и x1, измеренный против хода часовой стрелки относительно положительного направления оси z1, выражает угол поворота звена 1.
Тогда матрица перехода от системы координат Au1v1w1 к системе координат Ax1y1z1
вращательной кинематической пары имеет вид
P1 =
1 0 0 0
0 cosϕ1 sinϕ1 0 0 sinϕ1 cosϕ1 0
0 0 0 1
. (15)
С учетом матрицы перехода (14) радиус-вектор r1 имеет вид
r1=P1·T21·P2·T32·P3·T43·P4·T64·P6·T06·r0. (16) Для определения геометрических параметров звена 1 введем систему координат Ou0v0w0
с началом в точке O (рисунок 1) с осями:
w0 – направлена параллельно оси вращения вращательной кинематической пары в точке O;
u0 – направление выбираем лежащим на плоскости звена 1 и оси w0; v0 – направление по правилу правой тройки (u0, v0, w0).
Отсюда, аналогично матрице преобразования [T06] по уравнению (2) запишем матрицу преобразования [T01] соответствующей заменой индексов для перехода от системы координат Ax1y1z1 к системе координат Ou0v0w0. Тогда
r0
0 =T01·P1·T21·P2·T32·P3·T43·P4·T64·P6·T06·r0.
Уравнение замкнутости многоугольника OAF EDO6O составляется аналогично уравнения замкнутости [17] многоугольника OABCDO6O.
Таким образом, получены уравнения кинематики пространственного механизма подъемного устройства общего вида. Полученные уравнения замкнутости позволяют определить общее количество геометрических параметров рассматриваемого механизма.
ЛИТЕРАТУРА
1.Зиновьев В.А. Пространственные механизмы с низшими парами. М., 1952. 431 с.
2.Канлыбаев О. Механика машин и роботов.- Алматы, 2006. - 95с.
Канлыбаев О. , Палымбетов Ш.Б.
Кеңiстiк рычагты механизмдi көтеру құрылғысының кинематикалық есептерi.
Көлiктегi кеңiстiк рычагты механизмдi көтеру құрылғысының кинематикалық теңдеулерiн шығару тәсiлiнiң аналитикалық түрi ұсынылған.
Kanlybaev O., Palymbetov Sh. B.
The task of kinematics of a spatial link mechanism transport lifting device
The analytical approach for deduction of equation of kinematics of a spatial link mechanism transport lifting device.
Поступила в редакцию 15.05.2012 Рекомендована к печати 30.05.2012
