Закариянова Казахский национальный университет имени аль-Фараби e-mail: SAitzhanov@mail.ru Аннотация В настоящей работе исследуется однозначная разрешимость в целом по време- ни начально-краевой задачи тепловой конвекций для жидкости Кельвина-Фойгта

Разрешимость начально-краевой задачи для тепловой конвекции с коэффициентами вязкости и

теплопроводности, зависящими от температуры

¹

С.Е. Айтжанов, Е.С. Алимжанов, Н.Б. Закариянова Казахский национальный университет имени аль-Фараби

e-mail: SAitzhanov@mail.ru

Аннотация

В настоящей работе исследуется однозначная разрешимость в целом по време- ни начально-краевой задачи тепловой конвекций для жидкости Кельвина-Фойгта.

Данная модель описывает движения вязких неньютоновских жидкостей с полимер- ными добавками. В системе уравнений коэффициенты вязкости и теплопроводно- сти зависят от температуры. Для разрешимости начально-краевой задачи получе- ны априорные оценки.

В течение последних полутора столетий основным объектом исследования матема- тиков в области гидродинамики является модель ньютоновской жидкости. Она описы- вает течение при умеренных скоростях большинства встречающихся на практике вяз- ких несжимаемых жидкостей. В середине XIX века стали известны жидкости, кото- рые не подчиняются ньютоновскому определяющему соотношению. Такими жидкостями являются, например, жидкости, в которых после прекращения движения напряжения не обращаются мгновенно в нуль, а спадают по некоторому закону, т.е. имеет место релаксация напряжений. А также жидкости, в которых после снятия напряжений дви- жение не прекращается мгновенно, а затухает по некоторому закону, т.е. имеет место запаздывание деформаций, и жидкости, в которых имеют место оба этих эффекта. Пер- вые модели таких жидкостей были предложены XIX в. Дж.Максвеллом, В.Кельвином и В.Фойгтом и были развиты в середине XX века благодаря работам Дж.Г.Олдройта. Од- ной из таких моделей является модель Кельвина–Фойгта. В работах [1] было показано, что математическая модель движения жидкости Кельвина–Фойгта описывает течение вязкой неньютоновской жидкости, которой требуется время, чтобы прийти в движение под действием внезапно приложенной силы. В работах [2-7] исследована разрешимость начально-краевых задач для уравнений Кельвина-Фойгта и некоторых более сложных квазилинейных систем третьего порядка.

Рассмотрим в цилиндреQ_T = Ω×(0, T),Ω⊂R² следующую задачу определения ско- рости движения жидкости ⃗v(x, t), давления p(x, t) и температуры θ(x, t) из следующей системы

⃗v_t+v_k⃗v_xk = ∂

∂x_k (

ν(θ)∂⃗v

∂x_k )

+χ∂∆⃗v

∂t +β(x, t)⃗g(x, t)θ+f(x, t),⃗ (1) θ_t+v_kθ_xk =div(λ(θ)∇θ) +φ(x, t), (2)

1Работа выполнена при поддержке грантового финансирования научно-технических программ и про- ектов Комитетом науки МОН РК, грант № 0696/ГФ, 2012г.-2014г.

div⃗v = 0, (3)

⃗

v|_S = 0, ∂θ

∂n

S

= 0, (4)

⃗v(x,0) =⃗v₀(x), θ(x,0) =θ₀(x), (5) гдеν(θ)−кинематический коэффициент вязкости,χ−время запаздывания, физический смысл которого состоит в том, что после мгновенного снятия напряжений скорость те- чения не обращается мгновенно в нуль, а затухает, как exp

(−_χ^t)

. λ(θ)−коэффициент теплопроводности,β−коэффициент кубического расширения,⃗g−вектор ускорения си- лы тяжести, f(x, t)⃗ и φ(x, t)– внешние силы и источник тепла, заданные функции.

На коэффициенты вязкости и теплопроводности налагаем следующие условия ν(θ)∈C¹(R), 0< ν₀ ≤ν(θ)≤ν₁, |ν^′(θ)| ≤ν₂, ν₂ >0;

λ(θ)∈C¹(R), 0< λ₀ ≤λ(θ)≤λ₁;

|λ^′(θ)θ_x| ≤λ₂, λ₂ >0.

(6)

Разрешимость краевых, начально-краевых и смешанных задач для системы уравне- ний тепловой конвекции исследовались в работах [8-13]. В работах [8], [9] исследована задача (1)-(5) при предположении коэффициентов входящие в уравнение константами.

Следует отметить в работе [10] исследована задача для системы свободной конвекции с учетом диссипации энергии, когда коэффициент кубического расширения зависит от температуры. Когда коэффициент теплопроводности зависит от температуры была ис- следована Ш.С.Смагуловым [11], [12]. В работах [13] доказана классическая разреши- мость начально-краевой задачи для системы уравнений тепловой конвекции и гладкость решения во всей цилиндрической области вплоть до границы вW_p^2,1(QT)с любымp > 1 иC^2+α,1+α2(Q_T), α <1. В работе [14] исследована двумерная задача тепловой конвекций с нелинейной вязкостью с учетом диссипации.

На протяжении всей работы мы будем использовать обозначения функциональных пространств и нормы принятых в [15].

Определение.Сильным решением задачи (1)-(5) называются функции⃗v(x, t),θ(x, t) и∇p, удовлетворяющие следующим условиям:

⃗v(x, t)∈L₂ (

0, T;W₂²(Ω)∩J⁰¹(Ω) )

, ⃗v_t∈L₂(Q_T), θ(x, t)∈L₂ (

0, T; W₂²(Ω)∩W⁰₂¹(Ω) )

,

∇p∈L₂(Q_T), θ_t∈L₂(Q_T),

⃗v_t+v_k⃗v_xk = _∂x^∂

k

(

ν(θ)_∂x^∂⃗v

k

)

+χ^∂∆⃗_∂t^v +β(x, t)⃗g(x, t)θ+f⃗(x, t), div⃗v = 0 почти всюду вQ_T, θ_t+v_kθ_xk =div(λ(θ)∇θ) +φ(x, t),почти всюду в Q_T.

Теорема. Пусть выполнены условия (6), а также ⃗v0(x) ∈ J⁰²(Ω) θ0(x) ∈ W⁰₂¹(Ω), f⃗ ∈ L₂(Q_T) и φ ∈ L₂(Q_T). Тогда существует единственное сильное решение задачи

(1)-(5), и для него справедлива оценка

0≤t≤Tmax

(∥⃗v∥²+∥⃗v_x∥²+∥∆⃗v∥²+∥θ∥²+∥θ_x∥²)

+∥∇θ∥²_2,QT+ +∥∆θ∥²_2,QT +∥θ_t∥²_2,QT +∥⃗v_x∥²_2,QT +∥∆⃗v∥²_2,QT+

+∥⃗v_t∥²_2,QT +∥⃗v_tx∥²_2,QT +∥∆⃗v_t∥²_2,QT ≤c <∞.

(7)

Доказательство.Получим сначала априорные оценки. Для этого умножим уравне- ние (2) на θ и проинтегрируем по областиΩ:

1 2

d

dt ∥θ∥²+

∫

Ω

λ(θ)|∇θ|²dx=

∫

Ω

φ·θ dx. (8)

Отсюда известным способом получим оценку max

0≤t≤T∥θ∥²+

∫ _t

0

∫

Ω

λ(θ)|∇θ|²dxdτ ≤c₁ <∞. (9)

Теперь умножим скалярно в пространстве L2(Ω) уравнение (1) на функцию ⃗v(x, t), получим

1 2

d dt

(∥⃗v∥²+∥⃗vx∥²) +

∫

Ω

ν(θ)⃗v²_xdx=

∫

Ω

(β⃗gθ+f⃗)⃗vdx. (10) Используя для оценки стоящих в правой части равенства (10) интегралов неравенст- во Гельдера и Юнга, получим следующие оценки

∫

Ω

f⃗·⃗vdx

≤f⃗· ∥⃗v∥ ≤ 1

2∥⃗v∥² +1 2

f⃗², ∫

Ω

β⃗g·θ·⃗vdx ≤β₀

∫

Ω

|θ| · |⃗v|dx≤β₀∥θ∥ · ∥⃗v∥ ≤ β₀²c²₁ 2 +1

2∥⃗v∥². Подставим в тождество (10) приходим к следующему неравенству

1 2

d dt

[∥⃗v∥²+∥⃗vx∥²] +

∫ t 0

∫

Ω

ν(θ)⃗v²_xdxdτ ≤ ∥⃗v∥²+ β₀²c²₁ 2 + 1

2 f⃗².

Применяя лемму Гронуолла, получим оценку:

0max≤t≤T

(∥⃗v∥²+∥⃗v_x∥²) +

∫ _T

0

∫

Ω

ν(θ)⃗v_x²dxdτ ≤c₂ <∞. (11) Умножим уравнение (2) на∆θ и проинтегрируем по областиΩ, получим

1 2

d

dt∥θ_x∥²+

∫

Ω

λ(θ)|∆θ|²dx=−

∫

Ω

λ^′(θ)θ_x|∆θ|²dx+

∫

Ω

v_kθ_xk∆θ dx−

∫

Ω

φ·∆θ dx. (12)

Оценим члены в правой части равенства (12) с помощью неравенства Гельдера, Юнга и теоремы вложения Соболева, а также полученные неравенства (9) и (11)

∫Ωv_kθ_xk∆θ dx≤ ∥∆θ∥ · ∥θ_x∥_3,Ω∥⃗v∥_6,Ω ≤

≤c^′′₃∥∆θ∥⁴³ · ∥θ_x∥²³ ∥⃗v_x∥²³ ≤ε₁∥∆θ∥²+c₃(ε⁻₁¹)∥θ_x∥², ∫

Ω

λ^′(θ)θ_x|∆θ|²dx ≤λ₂

∫

Ω

|∆θ|²dx,

∫

Ω

|φ·∆θdx| ≤ ∥φ∥ · ∥∆θ∥ ≤ε₂∥∆θ∥²+c₄(ε⁻₂¹)∥φ∥².

Подставляя найденные оценки в тождество (12), имеем следующее неравенство 1

2 d

dt∥θ_x∥²+λ₀

∫

Ω

|∆θ|²dx≤(λ₂ +ε₁+ε₂)∥∆θ∥² +c₃(ε⁻₁¹)∥θ_x∥²+c₄(ε⁻₂¹)∥φ∥². При выбореε₁ иε₂ достаточно малым, чтобы выполнялосьλ₀−λ₂−ε₁−ε₂ >0, тогда полученное неравенство приводится к следующему виду

1 2

d

dt∥θ_x∥²+ (λ₀−λ₂−ε₁−ε₂)

∫

Ω

|∆θ|²dx≤c₃(ε⁻₁¹)∥θ_x∥²+c₄(ε⁻₂¹)∥φ∥². Отсюда стандартным образом выводим оценку

0max≤t≤T∥θ_x∥²+

∫ T 0

∫

Ω

|∆θ|²dxdτ ≤c₅ <∞. (13)

Аналогичным образом, умножим уравнение (1) на ∆⃗v и проинтегрируем по области Ω:

1 2

d dt

(∥⃗v_x∥²+χ∥∆⃗v∥²) +∫

Ων(θ)|∆⃗v|²dx=∫

Ωv_k⃗v_xk∆⃗vdx+

−∫

Ων^′(θ)θ_x⃗v_xk∆⃗vdx−∫

Ω(β⃗gθ+f⃗)∆⃗vdx.

(14)

Оценим правую часть тождества (14), применяя неравенства Гельдера, Юнга и тео- ремы вложения Соболева, а также полученные оценки (9), (11) и (13)

∫Ων^′(θ)θ_x⃗v_xk∆⃗vdx≤ν₂∫

Ω|θ_x| · |⃗v_xk| · |∆⃗v|dx≤

≤ν₂∥∆⃗v∥ · ∥⃗v_x∥_3,Ω∥θ_x∥_6,Ω ≤

≤c^′′₆∥∆⃗v∥⁴³ ∥∆θ∥²³ ≤ε₃∥∆⃗v∥²+c₆(ε₃)∥∆θ∥²,

∫Ωv_k⃗v_xk∆⃗vdx≤ ∥∆⃗v∥ · ∥⃗v_x∥_3,Ω∥⃗v∥_6,Ω ≤

≤ε4∥∆⃗v∥²+c^′₇(ε4)∥⃗v∥ · ∥⃗vx∥⁴ ≤ε4∥∆⃗v∥²+c7(ε4)∥⃗vx∥⁴,

∫

Ω

f⃗·∆⃗vdx

≤f⃗· ∥∆⃗v∥ ≤ε₅∥∆⃗v∥²+c₈(ε₅)f⃗², ∫

Ω

β⃗g·θ·∆⃗vdx ≤β₀

∫

Ω

|θ| · |∆⃗v|dx ≤β₀∥θ∥ · ∥∆⃗v∥ ≤ β₀²c²₁ 2 +1

2∥∆⃗v∥².

Подставим полученные оценки в тождество (14) и выбираяε₃+ε₄+ε₅+ε₆ = ^ν₂⁰, получим следующее неравенство

1 2

d dt

(∥⃗v_x∥²+χ∥∆⃗v∥²) +^ν₂⁰ ∫

Ω|∆⃗v|²dx≤

≤c6(ε3)∥∆θ∥²+c7(ε4)∥⃗vx∥⁴+c8(ε5)f⃗²+c^′′₀(ε6)c2. Из полученного неравенства следует нужная оценка

max

0≤t≤T

(∥⃗v_x∥²+χ∥∆⃗v∥²) +ν₀

∫ _T

0

∫

Ω

|∆⃗v|²dxdτ ≤c₉ <∞. (15) Умножим уравнение (2) на θ_t, а также уравнение (1) на ⃗v_t, и проинтегрируем по области Ω, будем иметь следующие соотношения

1 2

d dt

∫

Ω

λ(θ)|θ_x|²dx+∥θ_t∥² = 1 2

∫

Ω

λ^′(θ)θ_t|θ_x|²dx−

∫

Ω

v_kθ_xkθ_tdx+

∫

Ω

φ·θ_tdx, (16)

∥⃗v_t∥²+χ∥⃗v_tx∥²+ ¹_2dt^d ∫

Ων(θ)|⃗v_x|²dx= ¹₂∫

Ων^′(θ)θ_t|⃗v_x|²dx−

−∫

Ωv_k⃗v_xk⃗v_tdx+∫

Ω(β(θ)⃗gθ+f)⃗⃗ v_tdx.

(17) Аналогично как при оценивании соотношения (12) и (14), получаем следующие оцен- ки для θ_t и⃗v_t

0max≤t≤T

∫

Ω

λ(θ)|θ_x|²dx +

∫ T 0

∥θ_t∥²dτ ≤c₁₀. (18)

∫ T 0

∥⃗v_t∥²dτ +χ

∫ T 0

∥⃗v_tx∥²dτ ≤c₁₁. (19)

Теперь умножим скалярно в L₂(Q_T) уравнение (1) на ∆⃗v_t, с помощью неравенства вложения имеем оценку для вектор-функций ∆⃗v_t:

∥⃗v_tx∥²_2,QT +∥∆⃗v_t∥²_2,QT ≤c₁₂ <∞. (20) На основе полученных априорных оценок методом Фаэдо-Галеркина легко доказы- вается существования решения, удовлетворяющего условиям (7). Предельные переходы следуют из известных теорем о компактности [15].

Единственность же доказывается обычным способом, пусть имеются два решения v⃗^′, θ^′ и ⃗v^′′, θ^′′. Запишем для их разности ⃗u =⃗v^′ −⃗v^′′, Θ = θ^′ −θ^′′ задачу (1)-(5); затем умножим скалярно в L₂(Q_t) на⃗u и Θсоответственно, тогда получим

1 2

(∥⃗u(x, t)∥²_2,Ω+χ∥⃗u_x(x, t)∥²_2,Ω) +∫

Qtν(θ^′)|⃗u_x|²dxdt=

=−∫

Qt(ν(θ^′)−ν(θ^′′))v⃗^′′_xk⃗u_xkdxdt+∫

Qtβ⃗gΘ⃗udxdt+∫

Qtu_kv⃗^′′⃗u_xkdxdt.

(21)

1

2∥Θ(x, t)∥²_2,Ω+

∫

Qt

λ(θ^′)|∇Θ|²dxdt=−

∫

Qt

(λ(θ^′)−λ(θ^′′))∇θ^′′∇Θdxdt−

∫

Qt

u_kθ^′_x

kΘdxdt. (22) Оценим правые части (21), (22) применяя неравенства Гельдера, Юнга и теоремы вложе- ния Соболева, а также коэффициентам вязкости и теплопроводности применим обоб- щенную теорему о среднем, тогда имеем

∫

Qtu_kv⃗^′′⃗u_xkdxdt≤ ∥⃗u_x∥_2,Qt∥⃗u∥_4,Qtv⃗^′′

4,Qt

≤

≤√⁴ 2 max

0≤t≤T∥⃗u∥2,Ω¹² ∥⃗u_x∥2,Q³² t

v⃗^′′

4,Qt

≤κ₁v⃗^′′

4,Qt

( max

0≤t≤T∥⃗u∥²_2,Ω+∥⃗u_x∥²_2,Qt )

, ∫

Qtβ⃗gΘ⃗udxdt≤κ₂ (

0max≤t≤T∥Θ∥²_2,Ω+∥Θ_x∥²_2,Qt + max

0≤t≤T∥⃗u∥²_2,Ω+∥⃗u_x∥²_2,Qt )

, ∫

Qtu_kθ^′ ·Θ_xkdxdt≤κ₃∥θ^′∥_4,Qt( max

0≤t≤T∥Θ∥²_2,Ω+∥Θ_x∥²_2,Qt + max

0≤t≤T∥⃗u∥²_2,Ω+∥⃗u_x∥²_2,Qt), ∫

Qt(ν(θ^′)−ν(θ^′′))v⃗^′′x_k⃗ux_kdxdt≤c∥Θ∥_4,Qtv⃗^′′x

4,Qt

∥⃗ux∥_2,Qt ≤

≤κ^′₄v⃗^′′x

1 2

2,Qt

∆v⃗^′′

1 2

2,Qt

(

0max≤t≤T∥Θ∥²_2,Ω+∥Θx∥²_2,Qt+ max

0≤t≤T∥⃗u∥²_2,Ω+∥⃗ux∥²_2,Qt )

≤

≤κ₄ (

max

0≤t≤T∥Θ∥²_2,Ω+∥Θ_x∥²_2,Qt + max

0≤t≤T∥⃗u∥²_2,Ω+∥⃗u_x∥²_2,Qt )

, ∫

Qt(λ(θ^′)−λ(θ^′′))∇θ^′′· ∇Θdxdt≤c∥Θ∥_4,Qt∥θ^′′_x∥_4,Qt∥Θx∥_2,Qt ≤

≤κ^′₅∥θ_x^′′∥_2,Q¹² _t∥∆θ^′′∥_2,Q¹² _t (

0max≤t≤T∥Θ∥²_2,Ω+∥Θ_x∥²_2,Qt )

≤

≤κ5

(

0max≤t≤T∥Θ∥²_2,Ω+∥Θx∥²_2,Qt )

.

(23)

Подставив найденные (23) в равенства (21) и (22), затем, сложив полученные выраже- ния, выводим следующее

( max

0≤t≤T

(∥⃗u∥²_2,Ω+∥⃗u_x∥²_2,Ω)

+∥⃗u_x∥²_2,Qt )¹

2

+ (

max

0≤t≤T ∥Θ∥²_2,Ω+∥Θ_x∥²_2,Qt )¹

2 ≤

≤κ₆ (

0max≤t≤T

(∥⃗u∥²_2,Ω+∥⃗u_x∥²_2,Ω)

+∥⃗u_x∥²_2,Qt )¹

2

+κ₇ (

0max≤t≤T∥Θ∥²_2,Ω+∥Θ_x∥²_2,Qt )¹

2

, (24)

из которого следует, что ⃗u≡0 иΘ≡0для тех t, удовлетворяющих требованию κ₄ ≡(√

2 + √¹ν0

) (

κ₂ +κ₄+κ₁v⃗^′′

4,Qt

+κ₃∥θ^′∥_4,Qt )¹₂

<1,

κ₅ ≡(√ 2 + √¹

λ0

) (

κ₂+κ₄+κ₅+κ₃∥θ^′∥_4,Qt)¹₂

<1.

(25)

Если такие t не исчерпывают всего интервала [0, T], то, повторяя рассуждение для t ∈ [t₁, t₂], где t₁ таково, что ⃗u(x, t₁) = 0, и т.д., мы за конечное число шагов убедимся, что ⃗u≡0, Θ≡0 во всем Q_T. Теорема доказана.

Список литературы

[1] Павловский В.А. К вопросу о теоретическом описании слабых водных растворов полимеров // Доклады Академии наук СССР. –1971. –Т.200. –№4. –С.809-812.

[2] А.П. Осколков К теории нестационарных течений жидкостей Кельвина-Фойгта //

Записки научных семинаров ЛОМИ. –1982. –Т.115. –С.191-202.

[3] А.П. Осколков О единственности и разрешимости в целом краевых задач для урав- нений движения водных растворов полимеров // Записки научных семинаров ЛО- МИ. –1973. –Т.38. –С.98-136.

[4] Осколков А.П. О некоторых нестационарных линейных и квазилинейных системах, встречающихся при изучении движения вязких жидкостей // Записки научных семинаров ЛОМИ. –1976. –Т.59. –С.133-177.

[5] Осколков А.П. О некоторых модельных нестационарных системах в теории ненью- тоновских жидкостей. I // Труды Математического института АН СССР. –1975.

–Т.127. –С.32-57.

[6] Хомпыш Х.Разрешимость начально-краевой задачи тепловой конвекции с условием проскальзывания для уравнений жидкости Кельвина-Фойгта // Вестник КазНТУ им. К.И. Сатпаева, научный журнал. –Алматы. –2010. -№2(78). –C. 178-182.

[7] Турбин М.В. О корректной постановке начально-краевых задач для обобщенной модели Кельвина-Фойгта // Известия Высших учебных заведений. Серия «матема- тика». –2006. –№3(526). –С.50-58.

[8] Черняков П.С. О нестационарной свободной конвекции в ограниченной области //

Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1966. – Т. 6, № 2. – С.288–303.

[9] Коренев Н.К. О некоторых задачах конвекции в вязкой несжимаемой жидкости //

Вестник Ленинградского Университета. – 1971. – № 7. – С. 29–39.

[10] Кажихов А.В., Рагулин В.В. О задаче конвекции в вязкой жидкости. В сб.: Дина- мика сплошной среды. – Новосибирск, –1979. – Вып. 40. – С. 127–133.

[11] Смагулов Ш. Корректность краевой задачи для уравнений свободной конвекции с диссипацией // В сб.: Неклассические уравнения математической физики. – Новосибирск, 1985. – С. 134–139.

[12] Джаикбаев А.М., Дурмагамбетов А.А., Смагулов Ш. Об уравнениях свободной конвекции с диссипацией // Доклады АН СССР. – 1988. –Т. 301, № 3. – С. 579–581.

[13] Сахаев Ш.С. О дифференциальных свойствах решений одной задачи свободной конвекции // Известия АН КазССР, серия физ.–матем. – 1977. – № 3. – С. 80–84.

[14] Consiglieri L., Rodrigues J.F., Shilkin T. On the Navier-Stokes equations with the energy-dependent nonlocal viscosities // Записки научных семинаров ПОМИ. –2003.

–Т.306. –С.71-91.

[15] Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жид- кости. – М.: Наука, – 1970. – 288 с.

S.E. Aitzhanov, E.S. Alimzhanov, N.B.

Zakaryanova, Solvability of initial-boundary value problem for the heat convection coefficient of viscosity and thermal conductivity, temperature dependen, The Bulletin of KazNU, ser. math., mech., inf.

2012, №1(72), 27 – 34

In this paper we investigate the unique solvability in the whole time of the initial- boundary value problem of heat convection for Kelvin-Voigt. This model describes the motion of viscous non-Newtonian fluids with polymer additives. In the system of equations the coefficient of viscosity and thermal conductivity depend on temperature. For the solvability of initial-boundary value problem of a priori estimates.

С.Е. Айтжанов, Е.С. Алимжанов, Н.Б.

Закариянова, Тұтқырлығы және жылу- өткiзгiштiк коэффициенттерi темпера- турадан тәуелдi жылу конвекция үшiн бастапқы–шеттiк есептiң шешiмдiлiгi ҚазҰУ хабаршысы, мат., мех., инф. серия- сы 2012, №1(72), 27 – 34

Бұл жұмыста Кельвин-Фойгт сұйығы үшiн бастапқы-шеттiк жылу конвекция есебiнiң тұтас уақыт аралығында бiрмәндi ше- шiлiмдiлiгi зерттелiнедi. Бұл модель поли- мер қоспалы ньютондық емес тұтқыр сұй- ықтардың қозғалысын сиппатайды. Жүйе теңдеулерiнiң түтқырлық және жылу өт- кiзгiштiк коэффициенттерi температура- дан тәуелдi. Бастапқы-шеттiк есептiң ше- шiмдiлiгi үшiн қажеттi априорлық бағала- улар алынды.