ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ Л.Н. ГУМИЛЕВ АТЫНДАҒЫ ЕУРАЗИЯ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ
Студенттер мен жас ғалымдардың
«Ғылым және білім - 2014»
атты IX Халықаралық ғылыми конференциясының БАЯНДАМАЛАР ЖИНАҒЫ
СБОРНИК МАТЕРИАЛОВ
IX Международной научной конференции студентов и молодых ученых
«Наука и образование - 2014»
PROCEEDINGS
of the IX International Scientific Conference for students and young scholars
«Science and education - 2014»
2014 жыл 11 сәуір
Астана
УДК 001(063) ББК 72
Ғ 96
Ғ 96
«Ғылым және білім – 2014» атты студенттер мен жас ғалымдардың ІХ Халықаралық ғылыми конференциясы = ІХ Международная научная конференция студентов и молодых ученых «Наука и образование - 2014» = The IX International Scientific Conference for students and young scholars «Science and education - 2014».
– Астана: http://www.enu.kz/ru/nauka/nauka-i-obrazovanie/, 2014. – 5830 стр.
(қазақша, орысша, ағылшынша).
ISBN 978-9965-31-610-4
Жинаққа студенттердің, магистранттардың, докторанттардың және жас ғалымдардың жаратылыстану-техникалық және гуманитарлық ғылымдардың өзекті мәселелері бойынша баяндамалары енгізілген.
The proceedings are the papers of students, undergraduates, doctoral students and young researchers on topical issues of natural and technical sciences and humanities.
В сборник вошли доклады студентов, магистрантов, докторантов и молодых ученых по актуальным вопросам естественно-технических и гуманитарных наук.
УДК 001(063) ББК 72
ISBN 978-9965-31-610-4 © Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық
университеті, 2014
2393
где означает минимальное значение каждой из двух компонент полных издержек - издержек хранения и издержек оформления за год, которые для оптимального размера заказа равны друг другу. Заметим, что минимальное значение полных издержек тогда равно:
Заметим также, что на рисунке 2 график зависимости полных издержек от размера заказа изображен в относительных координатах Т/То - Q/EOQ. Действительно, на рис. 2 при размере заказа, равном единице (т.е. Q = EOQ), издержки равны 2 (т.е. Т =2 ).
Таким образом, на рис. 2 изображена универсальная кривая, не зависящая от параметров D, S и , и выводы, сделанные при ее анализе, будут справедливы во всех случаях.
Важнейший для практики вывод состоит в том, что кривая зависимости издержек от размера заказа очень пологая вблизи минимума. Из рис. 2 видно, что изменение размера заказа Q от 0,4*EOQ до 1,8*EOQ приводит к возрастанию функции издержек T(Q) над своим минимальным значением Ттiп не более чем на 25%.
Легко проверить, что при изменении размера заказа по сравнению с оптимальным на 20% возрастание издержек не превысит 3-5% , а при 10%-м отклонении размера заказа от оптимума - не более 1-2%. Таким образом, на практике размер заказа можно варьировать очень сильно без риска значительно увеличить складские издержки.
Следовательно, приведенная формула для экономичного размера заказа не догма, но полезный ориентир.
Что касается первого вопроса, поставленного в предыдущем разделе, о влиянии параметров модели D, S и на экономичный размер заказа, то следует заметить, что эти параметры стоят под знаком квадратного корня, поэтому изменение любого из них, скажем, в 4 раза приведет не более чем к двукратному изменению EOQ, что в свою очередь изменит величину полных складских издержек не более чем на 30%. Можно показать, что при малых относительных изменениях параметров (на 10-20%) относительные изменения экономичного размера заказа будут вдвое меньше (5-10%), что практически не скажется на величине полных издержек.
Таким образом, модель экономичного размера заказа демонстрирует исключительную устойчивость и это также является важным аргументом в пользу того, чтобы рассматривать ее как очень полезный ориентир в выборе политики управления запасами на практике.
Список использованных источников
1. Костевич Л.С., Лапко А.А. Исследование операций. Теория игр: учеб. пособие – 2-е изд., перераб. и доп. – Минск: Выш.шк., 2008. – 368 с.
2. Алесинская Т.В. Основы логистики. Функциональные области логистического управления. – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2009. – 79 с.
3. Зайцев М.Г. Методы оптимизации управления для менеджеров. – Изд-во «Дело», 2002. – 116 с.
УДК 519.8
ИДЕНТИФИКАЦИЯ МНОГОЗОННЫХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИКИ С ПРИМЕНЕНИЕМ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ЗАДАЧ
ОПТИМАЛЬНОГО РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВ Череватенко Антонина Павловна
Аспирант Днепропетровского национального университета им. О. Гончара,
2394
Днепропетровск, Украина
Научный руководитель – Л.С. Коряшкина
Работа посвящена разработке и обоснованию алгоритмов решения обратных задач для систем дифференциальных уравнений, в которых восстановлению подлежит правая часть дифференциального уравнения, являющаяся кусочно-непрерывной функцией в своей области определения. Модели и методы, представленные в работе, синтезируют основные положения теории непрерывных задач оптимального разбиения множеств и теории обратных задач для систем с сосредоточенными параметрами.
Под многозонными или «многостадийными» моделями динамики понимают динамические системы, которые в процессе реальной эксплуатации могут существенно изменять некоторые свои компоненты, например, вид модели динамики, критерий оценки качества функционирования [1]. Тепловые аппараты, электродвигатели, гироскопические системы – примеры многостадийных объектов. Их динамика описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями или системами дифференциальных уравнений с переключаемой правой частью. Задача идентификации системы состоит в определении неизвестных границ между зонами функционирования такого объекта, так, что в пределах одной зоны динамический режим объекта можно описать линейным дифференциальным уравнением (в общем случае векторным). Неизвестными в задаче также могут быть и некоторые коэффициенты дифференциального оператора.
Рассматриваемый класс задач характеризуется тем, что все они могут быть сформулированы в терминах теории непрерывных задач оптимального разбиения множеств как задачи разбиения наилучшим (в определенном смысле) образом континуального множества и решены соответствующими методами.
Математическая теория непрерывных задач оптимального разбиения множеств (ОРМ) основана на едином подходе, в основе которого лежит следующая идея [2]. Исходные задачи ОРМ, которые математически сформулированы как бесконечномерные задачи оптимизации, сводятся определенным образом (например, через функционал Лагранжа) к вспомогательным конечномерным негладким задачам максимизации либо негладким задачам максимина, для численного решения которых применяются современные эффективные методы недифференцируемой оптимизации, а именно различные модификации r-алгоритма. Особенностью такого подхода для непрерывных линейных задач ОРМ является тот факт, что решение исходных бесконечномерных задач оптимизации удается получить аналитически в явном виде, причем в аналитическое выражение могут входить параметры, отыскиваемые как оптимальное решение вышеназванных вспомогательных конечномерных задач оптимизации с негладкими целевыми функциями. В нелинейном случае отыскание оптимального решения исходной бесконечномерной задачи сводится к отысканию решения некоторого вспомогательного операторного уравнения с параметрами [3].
Задачи, рассматриваемые в данной работе, сводятся в своей математической постановке к непрерывным динамическим задачам ОРМ, в которых само разбиение может носить как статический, так и динамический характер, то есть границы между подмножествами в течение рассматриваемого периода времени могут либо оставаться неизменными, либо быть подвижными[3].
Приведем постановку задачи идентификации многозонной модели динамики.
Пусть поведение некоторой динамической системы описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений
. , 1 , ),
, (
;
1 2
2 1 1 2
2 1
N i x
t f b x a x a x
x x
i i
i i i
i (1)
Здесь состояние объекта характеризуется двумя фазовыми координатами; 1,...,N – множества значений первой фазовой координаты системы, которые определяют возможные состояния (зоны) функционирования системы; a1i,a2i,bi,i,i1,N – заданные (или нет)
2395
параметры, fi(i,t) – известные, непрерывные по временной переменной функции. Пусть также известно состояние системы в начальный момент времени:
ˆ . ) 0 ( ˆ ,
) 0
( 1 2 2
1 x x x
x (2)
Требуется определить неизвестные границы между зонами функционирования
N
1,, , а также параметры a1i,ai2,bi,i,i1,N (если они не заданы) по условиям (2) и апостериорной информации о значениях линейной комбинации фазовых координат в некоторые моменты времени
K k t y t с x t
с1x1( k) 2 2( k) ( k), 1, . (3) Для решения поставленной задачи предложен подход, основанный на сочетании основных положений теории обратных задач для систем с сосредоточенными параметрами и теории непрерывных динамических задач ОРМ.
Сформулируем задачу идентификации многозонной модели динамики (1) на языке ОРМ. Пусть известны результаты измерений входных и выходных переменных объекта, а также задано количество N зон функционирования объекта (множества значений первой фазовой координаты системы). Введем следующие обозначения:
–PN( ) класс всех возможных разбиений множества на N подмножеств:
};
, 1 , , , 0 ,
1 : ) ,..., ( 1 { )
( i j i j N
j mes i
N
i i
N
PN
–i
i
i i
i a b
a1, 2, , параметры функций i(t,x;i)a1ix1a2ix2bifi(i,t), правой части системы (1), которые условимся называть «центрами» подмножеств і, i1,N ;
–x(;,) – решение задачи Коши (1) – (2), соответствующее набору параметров
,
PN()R4N.Требуется найти разбиение (1,,N)PN() и неизвестные «центры»
подмножеств i,i1,N, при которых разница между экспериментальными и расчетными данными достигала бы минимального значения, то есть достигал минимума некоторый критерий качества:
min .
) ,
;
( , PN( ) R4N
x
(4)
Качество идентификации системы (1) будем характеризовать квадратичным целевым функционалом:
(;,)
x
dtT
t t t
y t
с x t
с x K
k
k
0
) ( )
( ) ,
; ( )
,
; (
1 2 2
2 1
1 . (5)
Введя характеристические функции 1(),...,N() подмножеств 1,...,N, от задачи минимизации функционала
x(;,)
при условиях (1) – (2) переходим к эквивалентной задаче бесконечномерного программирования: найти вектор-функцию
1(),..., ()
0)
( N
и вектор
1,...,N
,i
a a b i
i Ni i
i, 2, , , 1,
1 , при которых
((),)
4 0
2
1 1 1 2 2 1
( ( ), ) 0 1
( ; ( ), ) ( ; ( ), ) ( ) min
N
Т K
k R
k
с x t x с x t x y t t t dt
(6)
где
0 1 1 1 1 1 1 1
1
{ ( ) ( ( ),..., N( )) : N i( ) 1 ; ( )i 0 1 . . ; 1, }
i
x x x x x п в для x i N
,
Ni
i i
i t x x
x x x
` 1
1 2
2 1
) ( ) , ,
(
, (7)
2396
20 2
10
1(0) x , x (0) x
x . (8)
Частными случаями функционала (5) могут служить следующие выражения:
1) 1
x(;,)
T
x t x t
K t t dtk
k
0
) ( )
~ ( ) ,
; (
1 2 2
2 ,
где ~ ( )
2 t
x – приближенные значения производной фазовой координаты x2(), вычисленные по результатам наблюдений переменной x1() с помощью операции численного дифференцирования;
2) 2
x(;,)
T x t x t x t x t
K t t dtk
k
0
) ( )
~ ( ) ,
; ( )
~( ) ,
; (
1 2 2 2
1 2 1 1
0
,
где x1(), x2() – решение задачи Коши (1) – (2) восстанавливаемой системы, ~( ) ( )
1 t y t
x –
значения наблюдаемой фазовой переменной, ~ ( )
2 t
x – приближенные значения фазовой координаты x2(), вычисленные по результатам наблюдений первой фазовой координаты
)
1(
x с помощью операции численного дифференцирования; 0 0,1 0,02 12 0 – параметры, задающие приоритет слагаемого.
Эти два критерия определяют два подхода к решению данной задачи: один базируется на численном дифференцировании временного ряда, наблюдении и восстановлении старшей производной в классе кусочно-непрерывных функций, второй – на решении задачи минимизации среднеквадратичного отклонения возобновляемых фазовых переменных от соответствующих значений экспериментальных данных. Оба подхода предусматривают формулировку задачи идентификации динамической системы в терминах теории непрерывных задач оптимального разбиения множеств и применение методов ОРМ для их решения.
Создано программное обеспечение, которое реализует предложенные подходы к реконструкции динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями. Программный комплекс позволяет проводить анализ поведения таких систем, строить их фазовые портреты, исследовать устойчивость (неустойчивость) решений, зависимость решения от входных данных, прослеживать неединственность решений указанных обратных задач, анализировать и сравнивать результаты восстановления функций правых частей дифференциальных уравнений с помощью двух предложенных подходов.
Вычислительные эксперименты показали, что процесс восстановления кусочно- непрерывной по фазовым переменным функции правой части системы (1) на основе решения задачи минимизации функционала (7), обладает рядом особенностей:
если в наборе наблюдений присутствуют точки переключения, то выборка наблюдений должна содержать точки из разных зон функционирования, их количество зависит от вида функции правых частей;
качество реконструкции динамической системы зависит от начальных приближений неизвестных параметров;
задача характеризуется неединственностью решения, которая преодолевается путем сужения множества, на котором ищутся неизвестные параметры i,i1,N.
Кроме того, основной проблемой, возникающей при реализации метода, является то, что задача дифференцирования функции, заданной приближенно, в равномерной метрике является некорректной. Одним из подходов к решению указанной проблемы является учет погрешности задания функции при выборе шага сетки. Регуляризированная процедура численного дифференцирования может быть получена на основе различных подходов. В основе одного из них, например, лежит традиционная аппроксимация дифференциального
2397
оператора конечноразностным оператором. При этом шаг сетки должен быть согласован с погрешностью входных данных.
Результаты решения модельных задач идентификации динамических систем свидетельствуют о том, что:
а) их решения не обладает свойством единственности, т.е. значения оптимальных значений параметров i
i
i i
i a b
a1, 2, , могут существенно отличаться, но при этом аппроксимация правой части осуществляется с удовлетворительной точностью. Этот факт не противоречит свойствам обратных задач;
б) границы между зонами функционирования системы с достаточной точностью идентифицируются;
в) при увеличении количества наблюдений качество идентификации динамической системы, как правило, улучшается. Также следует отметить, что качество восстановления функции правой части уравнения (1) зависит от выбора начальных приближений неизвестных параметров.
Рассматриваемая задача является некорректной, так как обладает рядом неприятных с точки зрения обработки информации свойств, присущих многим обратным задачам. Во- первых, задача является нелинейной. Во-вторых, в силу неединственности решения появляется возможность восстановления нескольких различных объектов, отвечающих одной и той же входной информации. В-третьих, наиболее неприятным свойством задачи является их неустойчивость по отношению к малым изменениям входной информации. Для преодоления некорректности применяются следующие способы: процедура регуляризации операции численного дифференцирования; сужение множества, на котором ищется решение задачи; введение стабилизирующего функционала (метод регуляризации А.Н. Тихонова) и выбор параметра регуляризации.
Таким образом, работа является последовательным продолжением развития теории непрерывных задач ОРМ в направлении разработки и обоснования методов решения динамических задач оптимального разбиения и их практического приложения. Модели и методы, представленные в работе, в дальнейшем могут быть обобщены на случай:
– перехода к задаче оптимального управления как одного из подходов к решению задач идентификации динамических систем и применения методов теории управления сосредоточенными системами (например, непрямых, основанных на принципе максимума Понтрягина);
– решения задачи идентификации в широком смысле с привлечением теории операторных уравнений наряду с методами оптимального разбиения множеств.
Список использованных источников
1. Матвейкин В.Г., Муромцев Д.Ю. Теоретические основы энергосберегающего управления динамическими режимами установок производственно-технического назначения: монография. – М.: "Издательство Машиностроение-1", 2007. – 128 с.
2. Киселева Е.М, Шор Н.З. Непрерывные задачи оптимального разбиения множеств:
теория, алгоритмы, приложения: Монография. – К., 2005. – 564 с.
3. Киселева Е. М., Коряшкина Л. С. Модели и методы решения непрерывных задач оптимального разбиения множеств: линейные, нелинейные, динамические задачи:
монография. – К.: Наукова думка, 2013. – 606 с.
УДК 51
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОГО ИНТЕРПОЛЯНТА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ АДАПТИВНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СЕТОК
Чернова Ольга Петровна [email protected]