Инженерлік механика 1 5В072900 – «Құрылыс», 5В072500 – «Ағаш және ағаш бұйымдарын ӛңдеу технологиясы» мамандықтары бойынша оқитын студенттерге практикалық дәрістерге, СӚЖ және СОӚЖ тапсырмаларын орындауға арналған оқу әдістемелік құрал Ӛскемен 2012 (2)ББК Муслиманова Г.Е., Байзакова Г.А

Д.СЕРІКБАЕВ атындағы ШЫҒЫС ҚАЗАҚСТАН МЕМЛЕКЕТ ТЕХНИКАЛЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ

Муслиманова Г.Е., Байзакова Г.А.

Инженерлік механика 1

5В072900 – «Құрылыс», 5В072500 – «Ағаш және ағаш бұйымдарын ӛңдеу технологиясы» мамандықтары бойынша оқитын студенттерге практикалық

дәрістерге, СӚЖ және СОӚЖ тапсырмаларын орындауға арналған оқу әдістемелік құрал

Ӛскемен 2012

ББК 539.3/.6(075.8)

Муслиманова Г.Е., Байзакова Г.А. 5В072900 – «Құрылыс», 5В072500 –

«Ағаш және ағаш бұйымдарын ӛңдеу технологиясы» мамандықтары бойынша оқитын студенттерге СӚЖ және практикалық дәрістерге арналған оқу әдістемелік құрал. ШҚМТУ. - Ӛскемен, 2012.- 94б.

Бұл әдістемелік нұсқауда «Инженерлік механика 1» пәні бойынша ӛзіндік жұмыс тапсырмалары келтірілген

Машинажасау және кӛлік факультетінің әдiстемелiк кеңесiнде қаралған Хаттама № «___ »__________ 2012 ж.

 ШҚМТУ, 2012

Қазақстан Республикасының Білім және ғылым

министрлігі

Д. Серікбаев атындағы ШҚМТУ

Министерство образования и науки Республики Казахстан ВКГТУ им Д. Серикбаева

БЕКIТЕМIН

Машина жасау және кӛлік

факультетінің деканы м.а.

________ Дудкин М.В.

«___»__________2012 ж.

ИНЖЕНЕРЛІК МЕХАНИКА 1

5В072900 – «Құрылыс», 5В072500 – «Ағаш және ағаш бұйымдарын ӛңдеу технологиясы» мамандықтары бойынша оқитын студенттерге практикалық

дәрістерге, СӚЖ және СОӚЖ тапсырмаларын орындауға арналған оқу әдістемелік құрал

ИНЖЕНЕРНАЯ МЕХАНИКА 1

Учебно-методическое пособие для выполнения практических заданий, СРС и СРСП для студентов специальности Курс лекций для студентов специальности

5В072900 – «Строительство», 5В072500 – «Технология деревообработки и изделий из дерева»

Ӛскемен УстьӛКаменогорск

2012

МАЗМҰНЫ

1 КІРІСПЕ 5

2 ТЕОРИЯЛЫҚ МЕХАНИКА 5

2.1 Статика. Статиканың негізгі анықтамалары 6

2.2 Статиканың аксиомалары 7

2.3 Байланыстар. Байланыстар реакциясы. 8

2.4 Күш жүйелерінің түрлері 11

2.5 Жинақталатын күштер жүйесі 11

2.6 Сырықтардағы реакция күштерін анықтау (1 тапсырма) 13

2.7 Кез келген күштер жүйесі 17

2.8 Кез-келген күштер жүйесін бір нүктеге келтіру 17 2.9 Арқалықтың тіреулер реакциясын анықтау (2 тапсырма) 20 2.10 Қатты дененің тіреулер реакциясын анықтау (ЕЖЖ №1) 27

2.11 Жазық фермаларды есептеу (ЕЖЖ №2) 32

3 МАТЕРИАЛДАР КЕДЕРГІСІ 39

3.1 Негізгі ұғымдары 39

3.2 Жазық қималардың геометриялық сиапттамалары. Жазық

қиманың статикалық моменттері 39

3.3 Қималардың инерция моменттері 41

3.4 Параллель ӛстерге қарағандағы инерция моменттері 42

3.5 Бас ӛстері және бас инерция моменттері 43

3.6 Қималардың кедергі моменттері мен инерция радиусы 44 3.7 Жазық қималардың геометриялық сипаттамалары (ЕЖЖ №3) 45

3.8 Центрлік созылу және сығылу 51

3.9 Деформация мен Гук заңы 52

3.10 Созылған (сығылған) брустарды беріктікке есептеу 54 3.11 Созылу мен сығылу (ЕЖЖ № 4). 1 есеп (Статикалық анықталатын

жүйе)

55

3.12 Статикалық анықталмайтын жүйелер 59

3.13 Созылу мен сығылу (ЕЖЖ № 4). 2 есеп (Статикалық

анықталмайтын жүйе) 60

3.14 Жазық иілу. Негізгі түсініктер 67

3.15 Иілу кезіндегі пайда болатын ішкі күштер М, Q және q аралығындағы дифференциалдық тәуелділіктер

69 3.16 Кӛлденең күш пен ию моменттерінің эпюрін салу 71 3.17 Кӛлденең күш пен моменттер эпюрінің кейбір сипаттамалары 72 3.18 Арқалықтыр үшін ішкі күштердің эпюрларын тұрғызу (ЕЖЖ №5) 73

3.19 Сығылған сырықтардың орнықтылығы 79

3.20 Кризистік күш. Эйлер және Ясинский формулалары 79 3.21 Сығылған сырықтардың орнықтылыққа есептеу 83 3.22 Сығылған сырықтардың орнықтылығы (ЕЖЖ №6) 85

4 ҚАЖЕТТІ ӘДЕБИЕТТЕР 92

Қосымша тіркеме А 93

Қосымша тіркеме Б 96

Қосымша тіркеме В 97

Қосымша тіркеме Г 98

Қосымша тіркеме Д 111

1 КІРІСПЕ

Инженерлік механика – 1 пәні екі бӛлімнен тұрады: «Теориялық механика» және «Материалдар кедергісі». Бұл курста теориялық мехниканың статика бӛлімі және материалдар кедергісі пәнінің негізгі қағидалары, элементтердің созылу мен сығылудағы, иілудегі беріктіктері мен қатаңдық және орнықтылық қарастырылады.

2 ТЕОРИЯЛЫҚ МЕХАНИКА

Дүние дегеніміз қозғалыстағы материя. Материя қозғалысының формалары сан алуан. Соның ішіндегі ең қарапайымы -механикалық қозғалыс.

Механикалық қозғалыс деп дененің ӛзге денелерге қарағандағы кеңістіктегі орнының уақыт ӛтуіне байланысты ӛзгеріп отыруын айтамыз.

Теориялық механика материялық денелердің механикалық қозғалыстары мен тепе-теңдігінің жалпы заңдылықтарын зерттейтін ғылым.

Материя (инерциялық и гравитация) - масса m (кг)

Кеңістік (үш өлшемді Евклид, кеңістіктің метрлік қасиеті, қозғалыстағы материяға тәуелсіз және ол барлық бағытта біртекті, бірдей болады деп есептелінеді) - ұзындық (арақашықтық) l (м)

Уақыт (кеңістік нүктелерінің барлығында бірдей және ешбір сыртқы себепке байланыссыз, оның ықпалынсыз үздіксіз ағыс жасайды) - тәуелсіз айнымалы шама t (с)

Механиканың объектілері:

- МАТЕРИЯЛЫҚ НҮКТЕ (еркін және еркін емес). Ӛлшемін елемеуге болатын массасы бар денелерді немесе дене бӛлшектерін айтады.

- МАТЕРИЯЛЫҚ НҮКТЕЛЕР ЖҮЙЕСІ (материялық жүйе)

- АБСОЛЮТТІ ҚАТТЫ ДЕНЕ (АҚД) - кез келген екі нүктесінің арақашықтығы тұрақты болатын денені айтады.

Механика бөлімдері:

• СТАТИКА – күш әсеріндегі материялық денелердің тепе-теңдігін зерттейді. (ЭЛЕМЕНТАР СТАТИКА - қатты дененің тепе-теңдігін зерттейді. АНАЛИТИКАЛЫҚ СТАТИКА- материялық жүйенің тепе- теңдігін зерттейді).

• КИНЕМАТИКА (нүкте және жүйе)

• ДИНАМИКА (нүкте және жүйе)

• АНАЛИТИКАЛЫҚ МЕХАНИКА

2.1 Статика. Статиканың негізгі анықтамалары

КҮШ – материялық денелердің механикалық ӛзара әсерлесуін сипаттайтын векторлық шама. Ӛлшем бірлігі-НЬЮТОН (Н) 1кг=9,18Н, 1Н=0,102кг

Күш көсеткіштері:

• Әсер ету сызығы

• Түсу нүктесі

• Шамасы (модулі)

Күш түрлері:

• Беттік

• Кӛлемдік

• Ішкі және сыртқы (механикалық жүйелер үшін ажыратылады)

• Актив және пассив (байланыс реакциялары)

А1: Абсолют қатты денеге әсер ететін (

F

₁

, F

₂

... F

_n) күштер жиынтығын күштер жүйесі (системасы) деп атайды.

А2: Егер дене басқа денемен байланыста болмаса, ешнәрсемен бекітілмесе, онда мұндай дене еркін дене деп аталады.

А3: Егер еркін дене, түсірілген күштер жүйесінің әсерінен тыныштық күйде болса, онда мұндай күштер жиынтығы тепе-теңдіктегі жүйе деп немесе нӛлге эквивалент деп аталады: (

F

₁

, F

₂

... F

_{n) ~ 0.}

А4: Егер (

F

₁

, F

₂

... F

_{n) және (}

P

₁

, P

₂

... P

_s) күштер жүйесінің әрқайсысы еркін қатты денені тыныштық күйінен бірдей қозғалысқа келтіретін болса, онда олар бір-біріне эквивалентті жүйелер болады.

(

F

₁

, F

₂

... F

_{n) ~ (}

P

₁

, P

₂

... P

_s).

Бір-біріне эквивалентті күштер жүйесінің бір денеге жасайтын әсерлері бірдей болады. Сондықтан осындай екі күштер жүйесінің бірін екіншісімен алмастыруға болады.

А5: Қатты денеге түсірілген (

F

₁

, F

₂

... F

_n) күштер жүйесі бір

R

күшіне эквивалент болса онда,

R

күші күштер жүйесінің тең әсер етуші күші деп аталады: (

F

₁

, F

₂

... F

n_{) ~}

R

.

А6: Егер қатты денеге әсер етуші барлық күштер жиыны тепе-теңдікте болатын күштер жиынтығын құрайтын болса, (

F

₁

, F

₂

... F

n ) ~ 0 онда бұл дененің ӛзі де тепе-теңдікте болады немесе ӛзінің қозғалысын ӛзгерте алмайды делінеді.

_

A F ^с2

м Н  кг

Бұл анықтама бойынша тек тыныштықта тұрған дене ғана емес бірқалыпты түзу сызықты ілгерілемелі қозғалыстағы дене де тепе-теңдікте деп есептелінеді.

Статиканың негізгі мәселелері:

Абсолют қатты денеге әсер етуші күштер жүйесін эквивалент күштер жүйесіне түрлендіру, яғни берілген күштер жүйесін қарапайым түрге келтіру;

Абсолют қатты денеге әсер ететін күштер жүйелерінің тепе-теңдік шарттары мен теңдеулерін анықтау.

2.2 Статиканың аксиомалары

Статика аксиомалары Галилей-Ньютонның жалпы заңдарынан туындайды.

Ак1: (екі күштің тепе-теңдік шарты туралы)

Еркін абсолют қатты денеге түсірілген екі күш тепе-теңдікте болу үшін олардың модульдері тең болуы және бір түзудің бойымен қарама-қарсы бағытталуы қажет және жеткілікті.

Ак2: (күштер жүйесін түрлендіру туралы)

Күштердің кез келген жүйесіне күштердің нӛлге эквивалент жүйесін қосуға немесе одан оны алып тастауға болады, бұдан берілген жүйенің қатты денеге әсері ӛзгермейді

(

P

1

, P

2)~ 0 (

F

₁

, F

₂

... F

n_{) ~ (}

F

₁

, F

₂

... F

_n,

P

₁

, P

_2).

Ак3: (күштер параллелограмының заңы)

Дененің бір нүктесіне түсірілген екі күштердің тең әсер етуші күші сол нүктеге түсіріледі де, осы күштерден құрылған параллелограмның диагоналімен анықталады.

_ F2

_

F1 F1=F2

_ F2

_

F1 _

Fп

_ Р1

_ Р2



 



 



 F₁² ₂² 2 _{1 2}cos ₁,^{^} ₂

R F FF F F .

Ак4: (әсер және кері әсер заңы)

Екі дененің бір-біріне әсер ету күштері шамасы жағынан тең және бір түзу бойымен қарама-қарсы бағытталады.

Ак5: (қатаю принципі)

Егер қатты емес дене тепе-теңдікте болса, онда ол қатты денеге айналғанда тепе-теңдік шарты бұзылмайды. Мысалы: жіп, шынжыр, қайыс сияқты қатты емес механикалық жүйелердің тепе-теңдік шарттарын қолдану үшін осы принципті негізге аламыз. Механикалық жүйе деп әрбір нүктелерінің орналасу жағдайы мен қозғалысы ӛзара тәуелді болап келетін, материялық нүктелер жиынтығын айтамыз.

2.3 Байланыстар. Байланыстар реакциясы.

Кеңістіктің кез келгенбағытында қозғала алатын дене еркін дене деп аталады. Қозғалысы кеңістікте басқа бір немесе бірнеше денемен шектелетін денені еріксіз (еркін емес) дене дейді. Дененің орын ауыстыруын шектейтін шарттарды механикада байланыстар деп атайды. Ал байланыстың берілген денеге әсер күшін байланыс реакциясы дейміз. Реакция күштерін пассив күш деп те айтады. Денеге, байланыс реакцияларынан басқа да байланысқа тәуелсіз болатын күштер әсер етеді. Мұндай күштерді актив күштер немесе берілген күштер деп атаймыз.

Байланыстар аксиомасы (байланыстан босату принципі). Кез келген еркін емес денені ойша байланыстардан босатып және осы байланыстар әсерін

_ F2

_ F1

А

_ _ _ R =F1 +F2

_ F2

_ F1

сәйкес реакция күштерімен алмастырсақ, онда еркін емес денені еркін дене деп қарастыруға болады.

Статика есептерінде кездесетін байланыстар:

• Денелердің ӛзара түйісуі;

• Денелерді топсалармен байланыстыру;

• Сырықтар және иілгіш байланыстар;

• Қазықша байланыстар.

1-кесте. Байланыстардың негізгі түрлері және олардың реакциялары

№ Байланыс атаулары Схемалық сызбасы Реакцияларының бағыттары

1 Иілгіш

созылмайтын (жіп, арқан, шынжыр

т.б.)

2 Жылтыр бет

3 Шарнирлі- жылжымайтын және шарнирлі- жылжымалы

тіреулер

4 Сырықтық (стерженьдер)

Р

N2 N₁

Р

F2

F1

N F2

F1

áåò³íå ò³ðåó R_B 

RB

 В xA

yA

F A

D В F A

RBD

xA

yA

В F A

F A В

6 Қатаң бекітіліс

7 Тиек

8 Цилиндрлік шарнир және

ӛкшелік

9 Сфералық шарнир, топса

5 Нүкте немесе бет (қабырға) арқылы

тірелсе

F A

M Р

В A

M_A F xA

yA

RА

RB

M Р

В M_A

A

B

F

Р z

y x

xA

yA

zB

xB

yB

A

B

F

Р z

y x

• • • • A C

O

B Р z

y

x D

zА

xА

x0

y0

RBD

A C

O

B Р z0

D Р

B

A ^RА

A

RB

Р

B

2.4 Күш жүйелерінің түрлері

Абсолют қатты дененің нүктелеріне

F

₁

, F

₂

... F

_n күштері түсірілген болсын. Бір денеге түсірілген күштер жинағын қысқаша күштер жүйесі дейміз. Жүйедегі күштер векторларының кеңістікте орналасуына қарай, күштер жүйесі бірнеше түрге бӛлінеді. Жиі кездесетін күштер жүйелері мыналар:

а) бір нүктеге түсірілген күштердің жүйесі;

б) бір нүктеге жинақталатын күштер жүйесі. Мұндағы күштердің әсер ету сызықтары бір бір нүктені басып ӛтеді.

в) параллель күшетр жүйесі;

г) күштердің жазық жүйесі. Денеге әсер ететін күш векторларының барлығыда бір жазықтықта жатады.

д) кеңістікте кез келген бағытпен орналасқан күштер жүйесін немесе күштердің кез келген кеңістік жүйесі дейміз;

ж) қос күштер жүйесі. Денеге тек қос күштер әсері етуі мүмкін. Бұл жағдайда денедегі барлық қос күштер жиынын қос күштер жүйесі деп атаймыз.

2.5 Жинақталатын күштер жүйесі

Әсер ету сызықтары бір нүктеде қиылысатын күштер жиынтығы жинақталатын күштер жүйесін құрайды. Кеңістіктік және жазық күштер жүйесі.

Бұл тарауда статиканың негізгі екі мәселесіне сәйкес денеге әсер ететін жинақталатын күштер жүйесін тең әсер етуші күшпен алмастырып және осы күштер жүйесінің қажетті және жеткілікті болатын тепе-теңдік шарттарын қарастырамыз.



0;



0;



0;







n

1 i

iz n

1 i

iy n

1 i

ix F F

F



0;



0.





n

1 i

iy n

1 i

ix F

F

• Әсер ету сызықтары бір жазықтықта жатпайтын, бірақ бір нүктеде қиылысатын күштер жүйесін жинақталатын кеңістіктік күштер жүйесі деп атайды.

• Әсер ету сызықтары бір жазықтықта жататын және бір нүктеде қиылысатын күштер жүйесін жинақталатын күштердің жазық жүйесі деп аталады.

Жинақталатын күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттары

Кеңістіктік күштер жүйесінің тепе-теңдігі:

Жазықтықта орналасқан күштер жүйесінің тепе-теңдігі:

Бағыттаушы косинустар

 

 

 

cos , ;

cos , ;

cos , ;

x

y

z

R i R R R j R

R R k R

R







 

 

 

Үш күш туралы теорема:

Егер бір-біріне параллель емес, бір жазықтықта орналасқан үш күштің әсерінен дене тепе-теңдікте болса, онда күштердің әсер ету сызықтары бір нүктеде қиылысады (керісінше болмайды)

Статикалық анықталатын және статикалық анықталмайтын есептер:

• Егер белгісіз күштер саны осы есепке сәйкес жазылатын тепе-теңдік теңдеулер санынан артық болмаса, онда мұндай есептер статикалық анықталатын есептер қатарына жатады.

• Егер белгісіз күштер саны тепе-теңдік теңдеулер санынан артық болса, онда ол статикалық анықталмайтын есептер деп аталады.

0

2

....

1

   

 F F F

_n

R    





































. 0 ....

; 0 ....

; 0 ....

2 1

2 1

2 1

nz z

z z

ny y

y y

nx x

x x

F F

F R

F F

F R

F F

F R

; 0 F

; 0 F

; 0 F

n

1 i

iz n

1 i

iy n

1 i

ix 











  

. 0 F

; 0 F

n

1 i

iy n

1 i

ix 







 

z

y x^{Ri x k z Rz б) RjRy}

R 

x

y

2.6 Сырықтардағы реакция күштерін анықтау (1 тапсырма)

Берілген құрылмадағы сырықтарының реакция күштерін анықтау керек, егер оған F күші әсер етіп тұрса. Есеп схемалары 2.1(а,б)-суреттерде, шарттары 2-кестесінде берілген.

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

2.1(а)-сурет А С

В



 

F

А В







F

С

А В

 

 F

С В А





 F

А С В





 F

С А

В



 

F С А

В



 

F

С А

В



 

F

С

А В

  

F

А С В







F

11 12

13 14

15 16

17 18

19 20

2.1(б)-сурет

А С

В



 

F

А С

В







F С А

В



 

F А С

В



 

F

А С В



  F

С

А В

 



F

А В

 

 F

С В А

 

F  С

А В

  

F С А

В



  F

2-кесте. Есептің шарттары

Еесептің шығару үлгісі.

Есеп шарты: α = 90⁰, β = 30⁰, γ = 40⁰, F = 50 кH.

Табу керек: R_АВ, RВС.

2.2-сурет Есеп шешімі :

Құрылманың есептік схемасы келесі түрде болады. Алдымен тепе-теңдігі қарастырылатын нүктені айқындап аламыз. Мұндай нүкте ретінде В нүктесі екенін кӛруге болады. Байланыстарды босату принципі бойынша, (ойша сырқтарды және иілгіш байланысты кесіп тастаймыз) олардың әсерін RАВ, RВС

реакция күштерімен және иілгіш байланыстың реакциясын Т күшімен алмастырамыз (2.3-сурет). Онда В нүктесін жинақталатын Т,R_АВ,R_BC күштер жүйесінің әсерінен тепе-теңдікте болатын еркін нүкте деп қарастыруға болады.

Блоктан асырылған арқанның ұшында F жүгі ілінген (блоктағы үйкеліс ескерілмейді). Онда арқанның реакциясы ілінген жіктің салмағына тең. Ал RАВ, RВС реакция күштерін В түйінінен бағыттаймыз.

Нұсқау F, кН

, град

, град

, град

Нұсқау F, кН

, град

, град

, град

1 10 60 50 20 11 12 80 60 30

2 20 30 80 80 12 20 120 75 45

3 15 100 30 45 13 14 30 40 60

4 5 60 100 30 14 16 45 60 80

5 10 45 120 90 15 10 60 30 70

6 6 30 60 50 16 20 90 20 40

7 2 90 45 60 17 6 100 90 90

8 20 60 30 45 18 10 30 100 100

9 10 120 60 70 19 4 80 70 60

10 4 30 80 30 20 10 90 60 30

А С В







F

Тепе-теңдік теңдеулерін құру үшін алдымен координаталар ӛстерін белгілеп алу керек. Координаталар ӛстер жүйесін алған кезде, әсер етуші күштердің осы ӛстерге проекциясын анықтауға ыңғайлы болатынын ескерген жӛн. Онда координаталардың басы В нүктесі деп алып x және y ӛстерін жүргіземіз.

Жинақталатын күштердің жазық жүйесінің жүргізілген ӛстерге байланысты тепе-теңдік теңдеулерін жазамыз:

Σ Fix = 0; Т· cos 10⁰ + RВС· cos 30⁰ = 0;

Σ Fiy = 0; Т· cos 80⁰ - RВС · cos 60⁰ – RАВ = 0.

Бірінші теңдеуден R_ВС күшін анықтаймыз:

RВС = -Т· cos 10⁰ / cos 30⁰ = -50 ·0,985/ 0,866 = -56,86 кН.

Ал екінші теңдеуден RАВ күшін анықтаймыз:

RАВ = Т· cos 80⁰ - RВС · cos 60⁰ = 50 · 0,174 – (-56,86 · 0,5) = 29,3 кН.

RВС күшін анықтағанда пайда болған «-» таңбасы ВС сырығының сығылып тұрғанын кӛрсетеді. Сонымен сырықтардағы реакция күштері мына мәндерге тең болады:

RАВ= 29,35 кН (созылады),

RВС= 56,86 кН (сығылады).

2.3-сурет 30⁰

10⁰ y

60⁰

T=F

RАВ

RВС

В x

В А

F

F^’

F^”

2.7 Кез келген күштер жүйесі Статиканың негізгі леммасы

Кез-келген АҚД-нің А нүктесіне келтірілген F күші басқа В нүктесіне келтірілген сол F күші мен қос күшке эквивалент. Мұндағы қос күш моменті А нүктесіне келтірілген F күшінің В нүктесіне қатысты моментіне тең.

АҚД-нің А нүктесінде келтірілген күшті басқа В нүктесіне кӛшіру керек болсын. Мұндағы В нүктесі күштің әсер ету сызығының бойында жатпайды. Ол үшін В нүктесіне ӛзара қарама – қарсы және де бастапқы А нүктесіндегі күшке параллель бағытталған F1, F^’’ күштерін келтірейік. Олар модульдері жағынан бастапқы күшке тең, яғни F^’ = F^’’ = F.

F^’ және F^’’ күштері нӛлге эквивалент жүйе құрайтындықтан, АҚД-нің тепе- теңдігін ӛзгертпейді. Алынған үш күштен құралған жүйені В нүктесіне келтірілген F′ күшінен және моменті М=F·а болатын (F;F^’’) қос күшінен тұрады деп қарастыруға болады.

2.4 - сурет



^{F F', "}



^{ 0}

___

( , '') _B( )

М F F  BA F М F   



^{, ', ''}



^',



^{, ''}



F  F F F  F F F 

      

2.8 Кез-келген күштер жүйесін бір нүктеге келтіру

Кез-келген күштер жүйесі берілген:



^{F F 1, 2,...Fn}



. Бұл күштер А, В, С, D…

нүктелеріне түсірілген. Бұл күштерді О нүктесіне жинақтау керек болсын. F1

күшін О нүктесіне кӛшірейік. О нүктесіне ӛзара қарама – қарсы және де бастапқы А нүктесіндегі күшке параллель бағытталған F′1 және F′′1 күштерін келтірейік. Нәтижесінде О нүктесіне түсірілген F′₁ күшін және иіні а₁ болатын F1′ F1′′ қос күшін аламыз.

Дәл сол сияқты В нүктесіндегі F2 күшін О нүктесіне кӛшіргенде О нүктесіне келтірілген F2

! күшін және иіні а2 болатын қос күшті аламыз.

Сонымен, А, В, С, D нүктелеріне түсірілген F1, F2, F3 және F4 күштерін О нүктесіне келтіргенде жинақталатын күштер жүйесін және қос күштер жүйесін алдық. Қос күштер жүйесінің моменттері берілген күштердің О нүктесіне қатысты моменттеріне тең:

1 1 1 _o( )1

М   r F^  М F 

; М₂  r F^₂ ₂ М F_o(₂)

; М₃  r F^₃ ₃ М F_o(₃)

… Кез-келген кеңістіктегі күштер жүйесі қандай-да бір О нүктесіне жинақталғанда осы нүктеге келтірілген тең әсерлі күшпен және де, О нүктесіне қатысты барлық күштердің моменттерінің қосындысына тең болатындай, тең әсерлі қос күшпен алмастырылады:

2.5 - сурет

1 n

i i

R F







 

- бас вектор,

 

1 n

o i i

i

M r F









  

- бас момент.

F′1

F′2 F2

F1

F4

F3

F′′1

F′4 B

A O

r 4

r3

F′3

D C

r 1

r2

F′′2

F′′3

F′′4

3-кесте. Кез келген жазық күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттары

№ Күштер

жүйесінің атауы

Схемалық сызбасы

Тепе-теңдік шарттары 1 Кез келген

жазық күштер жүйесі (еркін

орналасқан күштер)

I.

 

⁰

0 0

0 











i

i i

iy i

ix

F M F F

II.

 

 

⁰

0 0

0













i А i i

i i

ix

F M

F M F

(ОА Ох ) III.

 

 

 

⁰

0

0 0













i В i i

А i i

i

F M

F M

F M

(О, А, В нүктелері бір түзудің бойында жатпайды)

2 Жинақталатын

күштер жүйесі I.

0 0









i iy i

ix

F F

II.

 

⁰

0









i А i i

ix

F M F

III.

 

 

⁰

0









i В i i

А i

F M

F M

3 Параллель күштер жүйесі

I.

 

⁰

0

0 







i

i i

iy

F M F

II.

 

 

⁰

0 0









i А i i

i

F M

F M

4 Қос күштер жүйесі

0



i

Mi

5 Бір түзудің бойымен әсер

еткен күштер



0

i

Fix

О х О

у

х О

у

х

• А В О

у

х

• А

• В О

у

х

• А

•

4-кесте. Кез келген кеңістіктік күштер жүйесінің тепе-теңдік шарттары

№ Күштер

жүйесінің атауы

Схемалық сызбасы

Тепе-теңдік шарттары

1

Кез келген күштер жүйесі

 

 

 

⁰

0 0 0 0 0

























i

ki z i

i y i

i x i

iz i

iy i

ix

F M

F M

F M F F F

2

Жинақталатын күштер жүйесі

0 0 0













i iя i

iy i

ix

F F F

3

Параллель күштер жүйесі

 

 

⁰

0 0













i

i z i

i x i

iy

F M

F M F

4

Қос күштер жүйесі

0 0 0













i iz i

iy i

ix

M M M

2.9 Арқалықтың тіреулер реакциясын анықтау (2 тапсырма)

Горизонталь арқалықтың тіректерінің тіреу реакцияларын анықтау керек, егер оған қадалған F1 күші, қос күш моменті М және q қарқындылығымен жайылып таралған күш әсер етіп тұрса. Есеп схемалары 2.6 (а,б,в)-суреттерде, шарттары 5-кестесінде берілген.

x О z

y z

О

у х

х

О z

y

М1

Мn

М2

х О

z

y

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

2.6(а)-сурет

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

2.6(б)-сурет

15.

16.

17.

18.

19.

20.

2.6(в)-сурет

5-кесте – есептің шарттары

Есептің шығару үлгісі.

а) Берілген арқалықтың схемасы бойынша (2.7-сурет) тіректерінің тіреу реакцияларын анықтаңыз. Оған қадалған күш F1= 40кН және қос күш моменті М=10кНм әсер етіп тұр. Сонымен қатар a = 2м, b=6м.

2.7 - сурет Есеп шешімі :

Арқалықтың тепе-теңдігін қарастырамыз. X және Y координаталық ӛстерін жүргізіп арқалыққа әсер ететін күштер мен тіреу реакцияларын саламыз

Нұсқау F1, кН

F2, кН

М, кНм

q, кН/м

а, м

b, м

1 10 35 10 30 2 0,4

2 15 30 15 25 0,8 1

3 20 25 20 20 1 1,2

4 25 20 25 15 1,2 2

5 30 15 30 10 1,4 1

6 35 10 35 5 1,6 3

7 40 5 40 30 1,8 2

8 15 30 15 35 2 0,8

9 20 25 20 25 2 1,6

10 25 20 25 20 0,8 1

11 30 15 30 15 1 1,4

12 15 10 35 10 1,2 2

13 20 5 40 25 1,4 1

14 25 20 20 20 1,6 3

15 30 15 25 15 1,8 2

16 35 10 30 10 1 1,8

17 40 5 35 5 1,2 1

18 15 30 40 30 1,4 4

19 20 25 15 35 1,6 3

20 25 20 20 25 1,8 2

(2.8-сурет). Енді осы схемадағы әсер ететін күштер жүйесінің тепе-теңдік теңдеулерін құрайық.

2.8 - сурет

YA реакциясын анықтау үшін бүкіл күштердің В тірегіне қатысты моменттер қосындысының теңдеуін жазамыз:

Σ М_В (Fi) = 0 -YA (b+2a) + F1·a + M = 0 Бұдан

YA=(F1·a+M)/ (b+2a)=

=(40·2+10)/(6+2·2)=9 кH.

YВ реакциясын анықтау үшін бүкіл күштердің А тірегіне қатысты моменттер қосындысының теңдеуін жазамыз:

Σ М_А (Fi) = 0 YВ (b+2a) – F1( а+b) +М = 0 Бұдан

YВ=(F1(a+b) – M) / (b+2a)=

=(40(2+6)–10)/(6+2·2)=31 кH.

XA реакциясын анықтау үшін х ӛсіне түсетін күштер проекцияларының қосындысының теңдеуін жазамыз:

Σ Fiх = 0 ХA = 0 Тексеру: Σ Fi у= 0 YA + YВ – F1 = 0

9 + 31 – 40 = 0.

Егер тірек реакцияларының шамалары «–» таңбасымен шығатын болса, онда олардың адын ала кӛрсетілген бағыттары қате болғаны. Ондеше реакция күштері бастапқы бағытына қарама - қарсы болады.

б) Берілген схемадағы (2.9-сурет) қатаң бекітпедегі реакцияларды анықтау керек. Егер оған қос күш моменті М=20 кНм және q=10 кН/м

x y

XA

YA

А В

YB

қарқындылығымен жайылып таралған күш әсер етіп тұрса. Сонымен қатар a = 5м, b=4м.

2.9 - сурет Есеп шешімі :

Арқалықтың тепе-теңдігін қарастырамыз. Арқалыққа әсер ететін сыртқы және реакция күштерін кӛрсетіп, x және y ӛстерін жүргіземіз (2.10-сурет).

2.10 - сурет

ХА реакциясын анықтау үшін х ӛсіне түсетін күштердің проекцияларының қосындысының теңдеуін құрамыз:

Σ F_iх = 0 ХА = 0,

YA реакциясын анықтау үшін y ӛсіне түсетін күштердің проекцияларының қосындысының теңдеуін құрамыз:

Σ Fiy= 0 YА – q·b = 0, бұдан

YА = q ·b = 10·4 = 40 кН.

MA моментін анықтау үшін бүкіл күштердің А тірегіне қатысты моменттер қосындысының теңдеуін жазамыз:

Σ МА (Fi) = 0 МA – М – q ·b· (b/2+а) = 0, бұдан

МA = М + q ·b· (b/2+а) = 20 + 10·4·(4/2+5) = 300 кHм.

B MА

YА

Х_А А у

х

Тексеру:

Σ МВ (Fi) = 0 -YA (b+a) + q ·b· b/2 – M + MA = 0 –40·(4+5)+10·4·4/2–20+300=0

2.10 Қатты дененің тіреулер реакциясын анықтау (ЕЖЖ №1)

Ӛзектер мен арқалықтардың салмақ күштерін еске алмай, берілген күштер, және ӛлшемдері арқылы тірек реакцияларын анықтау керек. Есеп схемалары 2.11(а,б,в,г)-суреттерде, шарттары 6-кестесінде берілген.

1.

2.

3.

4.

2.11(а)-сурет

5.

6.

7.

8.

9.

2.11(б)-сурет

10.

11.

12.

13.

14.

2.11(в)-сурет

15.

16.

17.

18.

19.

20.

2.11(г)-сурет

6-кесте – ЕЖЖ-нің шарттары

ЕЖЖ-ның шығару үлгісі

Берілген конструкцияның схемасы бойынша (2.12-сурет) тіректерінің тіреу реакцияларын анықтаңыз. Оған қадалған күш F= 10кН, қос күш моменті М=8 кНм және q=4 кН/м қарқындылығымен жайылып таралған күш әсер етіп тұр. Сонымен қатар a = 2м, b=6м, l=4м.

2.12-сурет Есеп шешімі :

Нұсқау F1, кН

F2, кН

М, кНм

q, кН/м

а, м

b, м

l, м

1 12 10 24 5 1 2 4

2 10 8 16 4 2 2 6

3 12 4 12 6 3 2 2

4 6 6 18 2 2 3 8

5 8 12 20 4 1 3 10

6 10 18 12 2 3 1 4

7 6 20 12 3 2 2 3

8 8 16 12 6 1 2 7

9 6 8 16 5 2 1 5

10 12 6 10 6 1 3 8

11 11 10 12 6 1 2 1

12 12 14 18 2 3 3 6

13 10 20 20 4 2 3 4

14 12 18 12 2 1 1 9

15 6 12 12 3 2 2 10

16 8 6 12 6 1 2 3

17 10 10 18 5 2 1 4

18 6 15 20 6 3 2 8

19 8 20 12 2 2 2 6

20 6 13 12 4 1 3 5

F