Интегралдың кейбір түрлерін есептеудің бір әдісі

1355 ӘОЖ 377

ИНТЕГРАЛДЫҢ КЕЙБІР ТҤРЛЕРІН ЕСЕПТЕУДІҢ БІР ӘДІСІ Белгібайқызы Гҥлжанат

Gul_96_jan@mail.ru

Қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық университетінің 2 курс студенті Алматы,Қазақстан Ғылыми жетекшісі – А.А.Сыдықов

Математикалық талдау пәнінің негізгі ұғымдарының бірі «интеграл» екендігі студенттер қауымына бүгінгі таңда белгілі.

Бұл математикалық ұғымның маңыздылығы және қолданысы, оның алуан түрлері кездесетіні, оларды әрқилы тәсілдермен есептеуге болатындығы қазіргі уақытта жоғары математика курсында кеңінен оқытыла бастады.[1, 2]

Солай бола тұра, кейбір интегралдардың есептеулерін жеңілдетуге бағытталған әдістемелік талқылаулар мен нұсқаулар іріктелініп, кестелер түрінде айқындалып әлі күнге дейін жеткілікті деңгейде берілмей келеді деп ойлаймыз.

Осы айтылғандарға орай, бұл мақалада күрделі деп саналатын мына түрдегі интегралды

 



^{xn sinkxcoskxdx ( 𝑛 және} k кез-келген нақты сандар), яғни



x^nsinkxdx ^және



^xncoskxdx интегралдарын есептеулерге қолайлы рекуррентті формулалар қорытылып шығарылады және мысалдар келтірілу арқылы нақтыланады.

Сонымен жоғарыда кӛрсетілген интегралдарды, қорытылып шығарылатын тӛмендегі формулалар бойынша есептеу әдістерін ұсынамыз.

1.



^xsinkxdx _k¹



^coskxdx_k^1xcoskx

2.



^xcoskxdx _k^xsinkx_k¹



^sinkxdx

3.



^x2sinkxdx _k²



^xcoskxdxx_k^{2 coskx}

4.



^{x2coskxdx x}_k^{2 sinkx}_k²



^xsinkxdx

5.



^x3sinkxdx _k³



^{x2coskxdx x}_k^{3 coskx}

6. x kxdx

kx k k

kxdx x



x^{3cos  3 sin  3}



^2sin

7.



^x4sinkxdx _k⁴



^{x3coskxdx x}_k^{4 coskx}

8.



^{x4coskxdx x}_k^{4 sinkx}_k⁴



^x3sinkxdx

9.



^x5sinkxdx _k⁵



^{x4coskx x}_k^{5 coskx}

10.



^{x5coskxxdx x}_k^5sinkx_k⁵



^x4sinkxdx

Осылай жалғастыра берсек, мынадай рекуррентті формулалар анықталады



^xnsinkxdx _kⁿ



^{xn1coskxdx x}_k^{n coskx} (1)



^{xncoskxdx x}_k^{n sinkx}_kⁿ



^{xn1sinkxdx} (2)

1356



^xn



^{sinkxcoskx}



^dx _kⁿ



^xn1



^{coskxsinkx}



^{dx x}_kⁿ



^{coskxsinkx}



(3) Енді осы формулаларды пайдаланып к=1, n=6 болғандағы, яғни мына түрдегі ∫ 𝑛 интегралды есептеп кӛрейік.

∫ 𝑛 ∫ 𝑛 ∫ 𝑛 𝑛 ∫ 𝑛 𝑛 ∫ 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 ∫

𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 Тексеру:

( 𝑛 )

𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 демек интеграл таңбасының астындағы функцияның алғашқы функциясы дұрыс анықталған, яғни интегралды есептеу әдісі орынды.

Кестеде кӛрсетілген формулалардың кӛмегімен, интеграл таңбаларының астындағы нақтыланған функцияларға байланысты берілген интегралдарды да оңай есептеулерге болады, мәселен:

2-мысал.

C x x x

x x x x

x

x x x x

x x xdx x x

x x x x

x x x x x x

x x xdx x

x x

x x

xdx x

x x dx x x











 

























 



 

























 





5 625sin 5 6

125cos 5 6

25 sin 5 3

5 cos 5

5sin 125

6

5 125cos 5 6

25 sin 5 3

5 cos 5

125 cos 5 6

125cos 5 6

25 sin 5 3

5 cos

5 5cos 5

5 cos 1 25 5 6 25 sin 5 3

5 cos 5

25 sin 5 6 25 sin

5 3 5 cos

5 5 cos

5 3 5 cos 5

sin

2 3

2 3

2 3

2 3

2 3

3 2 3

Тексеру:

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x x x

x x x

x x x x

x x x

x x

5 sin

625

5 sin 150 5

cos 30 5 cos 375 5

cos 375 5

cos 30 5 sin 625 5

sin 150

25 5 sin 6 625

75 5 6

125 cos 25 5 6

sin 5

25 5 6 625 sin

6 25 5 3 cos 5 5

3 125 5 6 5 cos

125 5 6 sin 5

3

2 3

2 3

2 2

3



 











 







 



  



 



 







 



 



 



 





 



 





 



 



3-мысал.



 

 























 



 

























 









C x x

x x x x

xdx x x

x x x x

xdx x x

x x x x

xdx x

x x x x

xdx x

x x x x

xdx x

x x xdx x

5 625cos 5 6

25 cos 5 3

5 sin 5

125 sin 5 6

125sin 5 6

25 cos 5 3

5 sin

5 5 sin 5 1 5sin 25 5 6 25 cos 5 3

5 sin 5

25 cos 5 6 25 cos 5 3

5 sin

5 5 cos 5 2 5 cos 5

5 3 5 sin 5

5 sin 5 3 5 sin 5

cos

2 3

2 3

2 3

2 3

2 2 3

3 3

Тексеру:

1357

 

 

x x

x

x x x x

x x x x

x x x

x x

x x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x

x x x x

x x x

x x x

x

5 cos 5

125sin 6

5 5 sin 5 3

25cos 5 6

25cos 5 6

cos 5

125sin 5 6

5 sin 5 3

625 sin 6 5 3

5 25cos 5 6

25 cos 5 6

625 sin 6 5 5 3

sin 625 5

6 25 5 3

625 cos 25 6

5 cos 125 5

6 5 5

13625 sin 125 6 25

5 5 3

125 cos 6 25 5 3

625 cos 6 25 3

5 125 sin

6 5 5

125 sin 6 5 5

625 cos 6 25 5 3

125 sin 6 5

3

2 3

2 2

3 2

2

3 2

2 2

3 3

2 3

















 



 



 











 



 

 



 



 

 



 



 

 



 



 



 



 



 

 



 



  

 



 



 







 



 



 



 



 







 



 

 



 



 

 



 



 

4-мысал.∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

Тексеру: ]

Қорыта айтқанда, осындай түрлерде берілетін болмаса сондай түрлерге келетін интегралдарды жоғарыда ұсынылған рекурентті формулалар арқылы есептеу әдістері студенттер қауымына аталмыш тақырыпты жақсы деңгейде меңгерулеріне септігін тигізеді деп ойлаймыз.

Қолданылған әдебиеттер тізімі

1. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. Том II. – Москва, 1973.

2. Крейн С.Г., Ушакова В.Н. Математический анализ элементарных функций. – М., 1963.

ӘОЖ 377

ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРГЕ ШЕК ТЕОРИЯСЫН ҚОЛДАНУ МЫСАЛДАРЫ Берік Нҧрдана

Семей қаласының Шәкәрім атындағы мемлекеттік университеті Nurdana_Urdjar@mail.ru

Ғылыми жетекшісі: ф.-м.ғ.д., профессор Берікханова Г. Е.

Мектептің «Алгебра және анализ бастамалары» курсында функцияның үзіліссіздігі, туындысы тақырыптарын оқыту шек ұғымына тікелей байланысты. Сондай-ақ «Геометрия»

курсындағы шеңбер ұзындығы, дӛңгелектің ауданы, конустың кӛлемі, цилиндрдің кӛлемі тақырыптары шек ұғымы арқылы түсіндірілетіні белгілі. Бірақ мектептің математика курсында шек тақырыбы арнайы оқытылмайды.

Шекті есептеу математикалық анализдің негізгі аппараттарының бірі. Оның теориясы мен есептеу әдістерін математикалық анализ курсында толық меңгереміз. Оның геометриялық есептерді шешуде қолданылуы математиканың практикалық маңызын арттырады. Осы мақсатта мынандай мысалдар қарастырамыз.