Использование «бегущей средней» для построения регрессионной модели

(1)

Использование «бегущей средней»

для построения регрессионной модели

Кантарбаева А. У., Керимкулов С.Е.

Евразийский национальный университет им. Л. Н. Гумилева, Казахстан

Эконометрические исследования развития экономических показателей в условиях высокой неопределенности и динамичности требуют обобщения и развития современных методов на принципиально новых подходах экономической науки.

Пусть

{ } U { }

,...

2 , 1 ,...

2 , 1

= = =

h

h th

th ,

{ } { }

^th ^I ^tk ⁼⁰^, ^h^≠^k^,^h^,^k⁼¹^,²^,... неравномерные групповые периоды времени t=1,2,..., где

{ } {

^th ⁼ ^t¹⁺^t²⁺^...⁺^t⁽^h⁻¹⁾⁺¹^,

}

th h

t t

t h

t t

t1+ 2+...+ ( −1)+2,...,1+ 2+...+ ( −1)+ -h-я группа периодов времени с промежутком времени th=1,2,....

Условное математическое ожидание E

(

y/

{ }

th _h₌1,2,...

)

временного ряда независимых случайных величин y_t, t=1,2,... на множестве

{ }

th h=1,2,...

определяется величиной:

( { } ) ∑ ( { } )

= = =

,...

2 , 1 ,...

2 ,

1 /

/

h

h E y th

th y

E , (1)

если ряд (1) сходится, где

{ }

( )

{ }

( ) { }

{ }

( ) { }

{ }

( ) { }











∈

=

∈

=

∈

=

∑

+ + +

+

− + + +

= +

+

=

, ...

...

, ,

/ Pr

..., ...

...

, 2 ,

2 / Pr

, 1 ,

1 / Pr

/

...

2 1

1 ) 1 ( ...

2 1

1 1 1

1

th t th y y y

t t t

y y y

t t t

y y y

th y E

th t t

h t t t t

t t

t

t t

, h=1,2,..., (2)

{ } (

^y ^y ^/^th

)

Pr = -условная вероятность.

(2)

Дисперсия Var

(

y/

{ }

th _h₌1,2,...

)

временного ряда независимых случайных величин y_t, t=1,2,... на множестве

{ }

th h=1,2,... определяется величиной:

( { } ) ∑ ( { } )

= = =

,...

2 , 1 ,...

2 ,

1 /

/

h

h Var y th

th y

Var , (1)

если ряд (1) сходится, где

{ }

( )

{ }

( )

( ) ( { } ) { }

{ }

( )

( ) ( { } ) { }

{ }

( )

( ) ( { } ) { }











∈

=

−

∈

=

−

∈

=

−

=

∑

+ + +

+

− + + +

= +

+

=

, ...

...

, ,

/ Pr

1 /

..., ...

...

, 2 ,

2 / Pr

1 /

, 1 ,

1 / Pr

1 /

/

...

2 1

1 ) 1 ( ...

2 1

2 2

1

1 1

2 1

1

2

th t th y y t

y E y

t t t

y y t

y E y

t t t

y y t

y E y

th y Var

th t t

h t t t t

t t

t

t t

, h=1,2,..., (2)

{ } (

^y ^yt/^th

)

Pr = -условная вероятность.

Регрессионная модель временного ряда y_t, t=1,2,... на множестве

{ }

th h=1,2,...

определяется уравнениями на условные математические ожидания:

E

(

y/

{ }

th _h₌1,2,...

)

=β0, (4)

{ }

( )

{ } { }

{ }















∈

=

, ...

...

, ,

, ...

...

, 2 ,

, 1 ,

/

02 01

th t

t t

th y E

βOh

β β

, h=1,2,..., (5)

где β₀,β_Oh, h=1,2,... неизвестная случайная величина.

Основные предпосылки регрессионной модели:

1. Кусочно-постоянные значения параметров β_Oh, h=1,2,... на множестве

{ }

^th ^:

{ } { }

{ }















∈ +

=

+

−

− +

−

, ...

...

, ,

, ...

...

, 2 ,

, 1 ,

) 1 ( ...

2 1 1 02 01

th t u

t t u

y

t h t t t Oh

t t t

t

β β β

(5)

где u_t^, t=¹^,²^,... случайные ошибки.

(3)

2. Временной ряд y_t, t=1,2,...,n и случайные ошибки u_t, t=1,2,...,n

независимо распределенная выборочная случайная величина.

3. Временной ряд y_t и y_s, t,s=1,2,...,n;t≠s и случайные ошибки u_t и u_s,

s t n s

t, =1,2,..., ; ≠ некоррелированы:

{ }

(

^u^u ^/^th

)

⁼⁰^, ^h⁼¹^,²^,...

E _t _s ; t,s=1,2,...,n;t≠s. (6)

4. Математическое ожидание случайных ошибок u равно нулю:

{ }

(^u^/ ^th )⁼⁰^, ^h⁼¹^,²^,...

E . (7)

5. Временной ряд yt, t=1,2,...,n и случайные ошибки ^ut, ^t=1,2,...,ⁿ

нормально распределенная случайная величина.

Для построения неравномерные групповые периоды времени

{ }

th h=1,2,...

временного ряда yt, t=1,2,... будем использовать известные модели

«усреднения Отелбаева», которые подробно изложены в работе [3].

Отметим, что она использована для асимптотической оценки функции распределения собственных значений дифференциальных операторов.

«Время пробега» h-й группы периодов времени с длиной th^∗=1,2,...,

,...

2 ,

=1

h , h<t временного ряда y_t, t=1,2,... с постоянной дисперсией называется величина:

{ }

( )







 ≥

= =

∗ Var y th

th th

th th 1 /

:

inf ₂

,...

2 ,

1 , h=1,2,.... (8)

«Бегущей средней» y^∗_t , t=1,2,... временного ряда y_t, t=1,2,... с постоянной дисперсией называется величина:

{ }

( )







 ≥

= =

∗ Var y th

y th y

h th

t 1 /

:

inf ₂

,...

2 , ) 1

( , h=1,2,.... (9)

Тогда неравномерные групповые периоды времени

{ }

∗ =1,2,...

th h с

постоянной дисперсией на h-й группы периодов времени с длиной времени

th∗=1,2,... для временного ряда yt, t=1,2,... определяется как объединение взаимно-непересекающейся группы периодов времени составленных с промежутком времени «время пробега» th^∗ =1,2,... и интервалов

(4)

{ } {

^th^∗ ⁼ ^t¹^∗⁺^t²^∗⁺^...⁺^t⁽^h⁻¹⁾^∗⁺¹^,^t¹^∗⁺^t²^∗⁺^...⁺^t⁽^h⁻¹⁾^∗⁺²^,...,^t¹^∗⁺^t²^∗⁺^...⁺^th^∗

}

^, ^т.е.

{ } U { }

,...

2 , 1 ,...

2 , 1

=

= ∗

∗ =

h

h th

th , где

{ } { }

^th^∗ ^I ^tk^∗ ⁼⁰^, ^h^≠^k^,^h^,^k⁼¹^,²^,... ^t⁼¹^,²^,...^.

Теперь рассмотрим конкретный пример временного ряда, составленного на основе архивных данных из интернета ресурса, например (см. [3]) ежеминутного торга как цена открытия обменного курса Евро/Доллар США на торговой сессии мирового рынка валют FOREX от 6 января 2009 года за 6 часов (см. Табл. 1 и Рис. 1).

Таблица 1 Цена открытия торговой сессии мирового рынка валют FOREX

от 6 января 2009 года за 6 часов, минут, Евро×100/Доллар США×100*

Время, мин.

Обменный курс, €/$

Время, мин.

1 127,00 5 126,99 9 127,07 13 127,03 353 126,00 357 126,14 2 126,99 6 127,01 10 127,01 14 127,05 354 126,13 358 126,10

3 126,96 7 127,00 11 127,02 … … … 355 126,04 359 126,12

4 126,96 8 127,03 12 127,04 352 125,90 356 126,08 360 126,13

________________________________

*) Интернет ресурс: http://www.forexite.com/free_forex_quotes/forex_history_arhiv.html

Далее используя определения условное математическое ожидание (1), дисперсии (2), спецификации и основные предпосылки регрессионной модели (3)-(6) временного ряда yt, t=1,2,... на множестве неравномерные групповые периоды времени

{ }

∗ =1,2,...

th h , также применяя метод наименьших квадратов, получим оценки параметров регрессии:

{ } { }



{ }













∈

, ...

...

, ˆ ,

, ...

...

, 2 ˆ ,

, 1 ˆ ,

02 01

th t

t t

βOh

β β

(10)

числовые значения, которых приведены в таблице 2.

(5)

Таблица 2 Расчетная цена торговой сессии мирового рынка валют FOREX

от 6 января 2009 года за 6 часов, минут, Евро*100/Доллар США*100*

Время, мин.

1 127,004 5 127,004 9 127,004 13 127,025 353 126,093 357 126,093 2 127,004 6 127,004 10 127,004 14 127,025 354 126,093 358 126,093 3 127,004 7 127,004 11 127,004 … … 355 126,093 359 126,093 4 127,004 8 127,004 12 127,025 352 125,924 356 126,093 360 126,093

________________________________

*) Интернет ресурс: http://www.forexite.com/free_forex_quotes/forex_history_arhiv.html

Цена открытия и регрессионная модель торговой сессии мирового рынка валют FOREX от 06.01.2009г. за 6 ч., минут, Евро×100/Доллар США×100*

Рисунок 1

________________________________

*) Построено авторами на основе: http://www.forexite.com/free_forex_quotes/forex_history_arhiv.html

Построение графика средней осуществляется способом создания границ вариации для временного ряда

Var

(

y^/

{ }

th h=¹^,²^,...

)

⁼^σ⁰, (11)

{ }

( )

{ } { }

{ }















∈

=

, ...

...

, ,

, ...

...

, 2 ,

, 1 ,

/

02 01

th t

t t

th y Var

σOh

σ σ

, h=1,2,..., (12)

и как следствие создание периода отвечающего условию (11):

Var

(

y/

{ }

th _h₌1,2,...

)

=σˆ0, (13)

(6)

{ }

( )

{ } { }

{ }















∈

=

, ...

...

, ˆ ,

, ...

...

, 2 ˆ ,

, 1 ˆ ,

/

02 01

th t

t t

th y Var

σOh

σ σ

, h=1,2,..., (14)

каждому временному ряду , соответствует дисперсия , Увеличение порядка средней не отвечающего условию (11) путём включения в период нового временного ряда приведёт к резкому скачку вариации.

Литература

[1] Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.– М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002.-311с.

[2] Котировка торговой сессии мирового рынка валют FOREX от 6 января 2009 года / Архив котировок торга FOREX / Интернет ресурс:

http://www.forexite.com/free_forex_quotes/forex_history_arhiv.html

[3] Отелбаев М. Оценки спектра оператора Штурма-Лиувилля, Алма- Ата, «Ғылым», 1990.

[4] Керимкулов С.Е. Моделирование макроэкономических процессов в Казахстане. Монография. Алматы: НИЦ «Fылым», – 2001.-240 с.

[5] Greene, William H. Econometric analysis. 6^th edition. New Jersey: Prentice Hall, - 2008. – 1178 p.