Использование однопараметрических структурно-устойчивых отображений для управления системой хищник-жертва

Ж.Ж.Ермекбаева

Использование однопараметрических структурно-устойчивых отображений для управления системой хищник-жертва

(Евразийский Национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Астана )

В работе предложен компенсаторный эффект как управляющий механизм численностью популяции. На примере модели хищник-жертва показана эффективность компенсаторного механизма для стабилизации численности популяции на заданном уровне. Управляющий фактор представлен в виде функции структурно-устойчивого отображения –x³+k1x– катастрофа складки. Рассмотрены фазовые портреты и динамика популяции. Построена адаптивная система управления для системы хищник-жертва с насыщением с нелинейным законом управления.

В настоящее время проблематично полностью исключить вредное воздействие технологи- ческих выбросов на экосистемы, но тогда встает вопрос, нельзя ли применить дополнительное воздействие на экосистему, которое существенно уменьшает вредное воздействие, чтобы сохра- нить численность популяции. Такое воздействие мы назвали компенсаторным эффектом.

Предлагаемый в работе компенсаторный механизм позволит предотвратить появление так называемых неожиданных очагов массового размножения, обоснованно и с максимальным эф- фектом применять методы и средства защиты, регулирования численности популяций.

Система хищник-жертва на примере фитофаг-энтомофаг характеризует парные взаимодей- ствия двух компонент со схожими быстрыми характерными временами. Это позволяет прово- дить больше лабораторных экспериментов по практическому нахождению компенсаторного эффекта.

В данной работе предложена теоретическая возможность нахождение регулирующих ком- пенсаторных воздействия на взаимодействия хищников и жертв. При анализе динамики чис- ленности необходимо дать описание общей картины взаимодействия популяций. Это может быть достигнуто при исследовании фазовых портретов на плоскости (x, z), где выявляются характерные точки системы и кривые, разграничивающие различные области и зоны, отража- ющие качественные варианты динамики популяции.

На плоскости(x, z) гдеx- плотность популяции хищника, аz- плотность популяции жерт- вы, представляется возможным проанализировать взаимодействие популяции с их естествен- ными врагами. Основная модель имеет вид:

dx

dt =px(1−βx− z 1 +x²) dz

dt =cz(−α−z+ γ_x²

1 +x²), (1)

где x(t), z(t)– численности соответственно жертв и хищников в системе в момент времени t;

α, β, γ, p, c=const≥0,px- скорость роста популяции жертв;

pβx² - скорость гибели жертв, вызванная действием внутрипопуляционных саморегуляторных механизмов;

pxz

1+x² - скорость уничтожения жертв хищниками при достаточном малом значении x;

αcz - скорость естественной смертности хищников;

cz²- скорость смертности популяции хищников, вызванная действием внутрипопуляционной конкуренции;

cγzx²

1+x² - скорость прироста хищников.

Поведение динамических режимов, поведение главных изоклин на фазовой плоскости изобра- жены на рис. (1)

Исследованы качественные свойства системы при заданных параметрах: p = 1, α = 0.39, β = 0.1, γ = 15.538, c= 1 – система имеет следующие стационарные решения:

(x₁, z₁) = (0,0),(x₂, z₂) =1 β,0

,(x₃, z₃) =r α (γ−α),0

,(x₄, z₄) = (0,1), (x5, z5) = (0.32,1.068),(x6, z6) = (5.9,14.7),(x7, z7) = (7.15,14.85).

Обозначим их (1-7). При проведении подробного анализа в системе хищник-жертва об- наружены очень интересные закономерности, которые можно наблюдать в любых сложных системах.

Структура фазовых траектории исследуемой системы (1) показывает сложное поведение через триггерные режимы, в природе (на примере фитофаг-энтомофаг) они описывают раз- личные вспышки такие как: реверсивные, перманетные, фиксированные и собственно вспышка.

Поведение главных изоклин системы (1) и фазовый портрет при коэффициентах

p= 1, α= 0.39, β= 0.1, γ= 15.538, c= 1

Попытки регулирования численности вредителей с помощью химикатов приводят к вре- менному улучшению ситуации, или не приносят никакого эффекта. Это связано с тем, что популяции (насекомые) против которых проводится обработка, быстрее адаптируются к ним.

Хищники (энтомофаги) напротив, имея интенсивные метаболизм более чувствительны к хи- микатам, и испытывают на себе пагубное воздействие химической обработки. В результате вредоносность вредителей может возрастать за счет снижения численности хищников. Все это вынуждает искать новые эффективные средства защиты.

Человечеству уже известны методы борьбы с инфекциями в виде вакцинации, т.е. усиле- нии иммунитета организма, выработке антител против тех или иных инвазий. По сути, мы имеем дело с компенсирующим воздействием, когда борьба идет не прямо против инвазий, а на усиление реакции организма, на их вредное воздействие.

Задача управления биологическими системами имеет два взаимосвязанных аспекта. Пер- вый состоит в изучении динамики систем при постоянных значениях параметров управления.

Здесь рассматривают исследование устойчивых стационарных состояний систем, анализ про- цесса потери устойчивости и рождения автоколебаний, исследование случая крайней неустой- чивости - хаотических структур, изучение параметрических границ всех перечисленных режи- мов.

Второй аспект задачи управления состоит в изучении реакции биологических систем на изменения управляющих параметров в процессе ее изменения. Здесь решаются вопросы управ- ляемости биологических систем и проблема разрешимости задач оптимального управления. В данной статье предлагается попытка практического применения выше указанных задач.

Николис и Пригожин в своих работах по самоорганизации изучают термодинамику и устой- чивость эволюционных процессов, включая анализ пребиотического образования полимера и эволюционную обратную связь, а также обсуждается организация в сообществах насекомых и разделение труда. В работах Арнольда В.И. исследовались математические модели влияния структурно-устойчивого отображения на экологическую модель.

В данной работе предлагается решить данную проблему с использованием прикладных ре- зультатов теории катастроф, в частности, исследовать динамические свойства системы управ-

ления в классе однопараметрических структурно-устойчивых отображений (катастрофа склад- ки). Под структурной устойчивостью следует понимать независимость качественного поведе- ния сообщества от незначительных вариаций параметров, определяющих динамику этого со- общества.

Рассмотрим модель динамики сообщества для оценки механизма управления с применением D-фактора:

dxk

dt =xkfk(x1, . . . , xn)−πkDxk,

где xk(t) – численность k-ой популяции в момент времени t, fk – интенсивность размно- жения k-ой популяции, N– общее число видов в экосистеме, D – регулирующий фактор, π_k– показатель чувствительностиk-ой популяции к воздействию фактораD [1],[2]. В исследуемой модели фактор чувствительности возьмем равным единице. В данной работе для управления сложными процессами предлагается два подхода. Первый подход -D-фактор, представленный в виде нелинейной функции, в виде структурно-устойчивого отображения (катастрофа склад- ки). Второй подход - построение имитационной модели управления сложными процессами в экосистемах, с помощью адаптивной системы управления, которая в условиях недетерми- нированной внешней среды и изменяющихся параметров объекта способна поддерживать и стабилизировать видовое разнообразие и численность на прогнозируемом уровне.

Рассмотрим первый подход. Представим управляющийD- фактор в виде функции структурно-устойчивого отображения – x³ +k1x – катастрофа складки [4]. Свойство теории катастроф - гистерезис проявляется в том, что система обладает четко выраженной замедлен- ной реакцией на некое воздействие, причем эта реакция идет по одному пути, когда воздействие возрастает, и по другому пути, когда оно убывает. Применение складки можно привести следу- ющим образом, если в результате эпидемии численность фитофагов существенно уменьшается и параллельно уменьшается численность энтомофагов, то заболевание постепенно возвраща- ется к эндемическому уровню или как переход, от начала момента вспышки до момента завер- шения вспышки.

Идея состоит в том, что в популяционной среде при воздействии на параметры управления экологической системы влияниеD-фактора от желаемого или заданного значения изменяются по закону заданному в форме структурно устойчивых отображений.

Динамику численности двух взаимодействующих популяций с применением - фактора мож- но описать при помощи следующей модели.

dx

dt =px(1−βx− z

1 +x²)−(x³+k1x) dz

dt =cz(−α−z+ γx²

1 +x²)−(z³+k₂z) (2) x³ + k1x, z³ + k2z – управляющие факторы, интегрированные параметры после химико- биологического воздействия.

После применения отрицательной обратной связи −x³ популяции через критический мо- мент выходит на устойчивый стационарный уровень. Влияние k Џ является бифуркационной точкой, которое зависит от параметраp.

Исследуем основные свойства системы (2) имеет следующие стационарные точки:

(x1, z1) = (0,0),(x2, z2) = 1

2

pp²β²+ 4p−4k1−1 2pβ,0

,(x3, z3) =

s

cα+k2

cα−cγ+k2

,0

,

(x4, z4) =

0,1−k1

p

,(x5, z5) = (0.382,0.820).

Характер фазовых портретов показывает устойчивый узел, т.е. стабильное сосуществование двух популяций не на нулевом уровне и элиминацию различных вспышек, поведение является более предсказуемым и управляемым (см. рис.2).

Фазовый портрет системы (2) при параметрах

x0= 0.1;z0= 0.1;p= 1;c= 1;α= 0.39;β= 0.1;γ= 15.538;k1= 0.1;k2= 0.1

Исследуем устойчивость стационарных состояний на основе метода функций Ляпунова[?],[?],[?]. Для этого приводим некоторый формализм позволяющий предста- вить уравнение (2)в отклонениях относительно стационарных состояний. Пусть состояния системы (2) определяется набором в виде вектор столбцаx с компонентами (x₁, x₂, . . . , x_n).

Для этого заменим переменные для жертвыx=x₁ и для хищникаz=x₂. Тогда x: dx

dt =F(X_S+x)−F(X_S).

Данное уравнение необходимо разложить в ряд Тейлора, т.е. правую часть вблизи стационар- ного состояния. В нашем случае имеет вид полинома по X.

Через переменные Aзаменим коэффициенты полинома:

A₀ =F(X_S);A₁ =h

p−2βpx₁−px₁(1−x²₁) (1 +x²₁)²

i XS

;A₂=h px₁ 1 +x²₁

i XS

;A₃ =hp(x²₁−1) (1 +x²₁)²

i XS

;

A4=

h px₁x₂ (1 +x²₁)²

3− 4x²₁ 1 +x²₁

−βp i

XS

;A5 = 2 3 h

− px₁ (1 +x²₁)²

3− 4x²₁ 1 +x²₁

i XS

;

A6 =

h px1x2

(1 +x²₁)²

1− 8x1

1 +x²₁ + 8x³₁ (1 +x²₁)²

i XS

.

Через переменные B заменим коэффициенты полинома:

B₀=F₂(X_S);B₁=h2cγx₁x₂ (1 +x²₁)²

i _X

S

;B₂=h cγx²₁

1 +x²₁ −2cx₂−αci _X

S

;

B₃=hcγx₂(2x²₁−1) (1 +x²₁)³

i _X

S

;B₄=h 2cγx₁ (1 +x²₁)²

i _X

S

;

B5= 1 3

h 2cγ (1 +x²₁)²

1− 4x²₁ 1 +x²₁

i _X

S

;B6=h2cγx₁x₂ (1 +x²₁)³

3x²₁−1 1 +x²₁ −1i

_X

S

.

Таким образом, получаем систему в отклонениях от стационарных состояний с законом управления u(t) =−x³−k1x1.

F1(X_S+x) =A0+A1x1+A2x2+A3x1x2+A4x²₁+A5x²₁x2+A6x³₁+u1

F2(XS+x) =B0+B1x1+B2x2+B3x²₁+B4x1x2+B5x²₁x2+B6x³₁+u2 (3) В качестве инструмента исследования устойчивости системы (3) используем некоторые специ- альные функцииV(x1, x2), называемые функциями Ляпунова. Как известно, если существует положительно-определенная функция Ляпунова V(x), такая что ее полная производная по времениV⁰(x) =−W(x)вдоль решения дифференциального уравнения состояния системы (3) будет отрицательно-определенной функцией, то состояние равновесия системы асимптотически устойчиво. Построим функцию Ляпунова таким образом, чтобы ее градиент был вектором

gradV =−dx

dt, (4)

противоположным вектору скорости системы (3). Тогда полная производная по времени от функции Ляпунова с учетом уравнения движения (4) будет равна:

W(x1, x2, . . . , xn) =dV

dt =−gradV dx dt.

Таким образом, полная производная по времени от функции Ляпунова W(x₁, x₂, . . . , x_n)≤0.

Для устойчивости системы (3) достаточно, чтобы сама функция Ляпунова была знакополо- жительной. При указанных условиях построения функции Ляпунова и использованные тео- ремы Морса из теории катастроф [7],[8] гарантирует существование гладкой замены перемен- ных, такой что функция Ляпунова локально может быть представлена квадратичной формой V =Pn

i=1λiy²_i, гдеλi-собственные значения матрицы устойчивостиVij,||V_ij||=

∂²V

∂xi∂xj

- гес- сиан функции Ляпунова, вычисленный для состояния равновесия. Так как функция Ляпунова зависит от параметров системы и управления, то гессиан и его собственные значения также зависят от этих параметров. Потребовав выполнение условийλi >0можно определить область устойчивости системы. Построим функцию Ляпунова таким образом, чтобы ее градиент был вектором, противоположным вектору скорости системы gradV = ^dx_dt. Выделим компоненты функции Ляпунова. Тогда

∂V1(x)

∂x₁ =−A₀−A₁x₁−A₄x²₁−A₆x³₁+k₁x₁+x³₁; ∂V1(x)

∂x₂ =−A₂x₂−A₃x₁x₂−A₅x²₁x₂ Вторая компонента

∂V2(x)

∂x2

=−B0−B1x1−B3x²₁−B6x³₁;

∂V₂(x)

∂x2

=−B2x2−B4x1x2−B5x²₁x2+k2x2+x³₂. Тогда полная производная функции Ляпунова будет иметь вид:

dV

dt = ∂V(x)

∂x dx

dt =−h

A0+A1x1+A2x1x2+A4x²₁+A5x²₁x2+A6x²₁x2−k1x1−x³₁i3

−

−h

B₀+B₁x₁+B₂x₂+B₃x²₁+B₄x₁x₂+B₅x²₁x₂+B₆x³₁−k₂x₂−x³₂i³

(5)

Потенциальная функция имеет следующий вид:

V(x) =−A0x₁−A₁x²₁

2 −A₄x³₁

3 −A₆x⁴₁

4 −A₂x²₂

2 −A₃x₁x²₂

2 −A₅x²₁x²₂

2 +k₁x²₁ 2 +x⁴₁

4 −B₀x₁−

−B1x²₁

2 −B3x³₁

3 −B6x⁴₁

4 −B2x²₂

2 −B4x1x²₂

2 −B5x²₁x²₂

2 +k2x²₂ 2 +x⁴₂

4 (6)

По виду потенциальной функции (6) явно не видна ее положительная определенность. По- этому можно воспользоваться леммой Морса из теории катастроф. Функция (6) удовлетворяет условиям леммы. Находми гессиан (матрицу устойчивости).

∂²V1(x)

∂x1∂x1

=k1+ 3x²₁−A1−2A4x1−3A6x²₁; ∂²V1(x)

∂x1∂x2

= 0;

∂²V₁(x)

∂x2∂x1

=−A3x₂−2A₅x₁x₂; ∂²V₁(x)

∂x2∂x2

=−A2−A₃x₁−A₅x²₁. И для второй компоненты функции Ляпунова

∂²V2(x)

∂x₁∂x₁ =−B1−2B3x1−3B6x²₁; ∂²V2(x)

∂x₂∂x₁ =−B4x2−2B5x1x2;

∂²V2(x)

∂x2∂x2

=k2−B2−B4x1−B5x²₁+ 3x²₂;

Функция Ляпунова по лемме Морса представляется в виде квадратичной формы:

V(x) = (A₁+ 2A₄x+ 3A₆x²−k₁−3x²+B₁+ 2B₃x+ 3B₆x²)x²+

+(A₂+A₃x+A₅x²+B₂+B₄x+B₅x²−k₂−3z²)z² (7) Положительная определенность функции Ляпунова, приведенной к каноническому виду (7), определяется условиями:

(A1+ 2A4x+ 3A6x²−k1−3x²+B1+ 2B3x+ 3B6x²)>0

(A2+A3x+A5x²+B2+B4x+B5x²−k2−3z²)>0 (8) Таким образом, при выполнении определенных условий по центральной теореме Морса функция Ляпунова и ее полная производная могут быть локально приведены к канонической форме диагонального вида путем гладкой замены переменных. Коэффициенты канонических форм (8) определяют область робастной устойчивости системы управления. Сделаем некото- рые допущения: перепишем выражение дляA₁ в другом виде, какp−A₁. Если предположить, что x1

XS

∼=x1 и x2

XS

∼=x2, то после объединения схожих компонентов из системы получим выражения дляk1 и k2

V(x) =px²+ (k₁+ 3x²₁−A₁−2A₄x₁−3A₆x²₁−B₁−2B₃x₁−3A₆x²₁)x²₁+

+(k2+ 3x²₂−B2−B4x1−B5x²₁−A2−A3x1−A5x²₁)x²₂ (9) Пренебрегая другими значениями функции, т.е. обнуляя, мы получим выражения для управ- ляющих параметров:

k₁ =p−(A₁+B₁) + 3(A₀+B₆−1) + 2x₁(A₄+B₃; )

k2= 2x1A3+B4+ 3x²₁(A5+B5) + (A2+B2)−3x²₂;k1, k2 >0 (10) Достаточным условием положительной определенности кандидата на функцию Ляпунова для системы (9), является условие:p >0, p≤k1.В качестве второго подхода управления сложными процессами популяционных моделей рассмотрим имитационное моделирование экологической системы. Суть имитационного моделирования заключается в исследовании сложной матема- тической модели с помощью вычислительных экспериментов и обработки результатов этих экспериментов.

Благодаря возможности проигрывать различные “сценарии” поведения и управления ими- тационная модель может быть успешно использована для выбора оптимальной стратегии экс- плуатации природой или оптимального способа создания искусственной экосистемы. При со- здании имитационной модели можно позволить себе более высокую степень подробности при выборе переменных и параметров модели. С помощью программного комплекса Matlab R2006a, Simulink смоделированы адаптивные системы управления для системы хищник-жертва с ли- нейным законом управления, и в качестве механизма адаптации используются условия из (10).

С помощью обратной связи модель хищник-жертва адаптируется, приспосабливается, перена- страивается к условиямD-фактора. Адаптивной считают систему, которая может приспосаб- ливаться к изменениям внутренних и внешних условий [9]. Такие системы управления сохраня- ют работоспособность при непредвиденных изменениях свойств модели популяции,D-фактора (законов управления) или окружающей среды путем смены алгоритма своего функциониро- вания, программы поведения или поиска оптимальных состояний. Для адаптивной системы управления для модели механизмы адаптации строятся с помощью A0, . . . , A6;B0, . . . , B5 и управляющих параметровk1, k2 из (10). Структурную схему системы управления можно пред- ставить следующим образом, представленную на рис.3.

Система управления

С помощью программного комплекса Matlab R2006a, Simulink смоделированы адаптив- ные системы управления (см. рис.3). Существуют адаптивные системы управления с эталон- ной моделью. В таких моделях основное целевое условие – это обеспечение сходимости к нулю ошибки слеженияe(t) =x(t)−xm(t)→0при t→0. Гдеx(t)- настраиваемая модель (исходная модель популяции со сложным поведением),x_m(t) - эталонная модель (желательное стабиль- ное поведение популяций). Задача состоит в нахождении таких параметров управления, при котором сложное поведение можно свести к прогнозируемому.

С применением этого подхода предлагаем возможность применения подхода управлением сложным поведением популяционной модели с помощью имитационного моделирования. Смо- делированная адаптивная система управления дает показательные результаты управляемости и адаптивности. Таким образом, компенсаторный эффект в построенной нами адаптивной си- стеме управления в системе хищник-жертва позволяет сохранять численность популяций на заданном уровне.

Выводы

В работе предложен компенсаторный механизм управления в виде однопараметрического структурно-устойчивого отображения - катастрофа складки x³+k1x, - которое показало, что появляется возможность стабилизации численности популяций на заданном уровне. Данный механизм позволяет, манипулируя коэффициентами, рассмотреть воздействие как на одну по- пуляцию (возможно антропогенное воздействие), так и на обе (нейтрализация вредного воз- действия). Доказана устойчивость системы хищник-жертва с управлением (8) методом функ- ции Ляпунова. Показана теоретическая возможность существования управляющего механизма компенсаторного воздействия, что позволит целенаправленно вести поиск нейтрализующих ре- агентов экспериментально для управления численностью популяций в экосистемах. Данное на- правление дает потенциальную возможность совместного исследования теоретического подхода с натурными экспериментами. В рамках общей модели хищник-жертва открывается возмож- ность количественной оценки взаимодействия популяций, которая может быть использована

для прогнозирования динамики численности и управления вспышками массовых размножений- эпидемий. В конкретной экологической обстановке это соответствует степени реальной вредо- носности вида и определяет целесообразность проведения защитных мероприятий.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Омаров А.Н., Недорезов Л.В., Абросов Н.С. Метод сравнения устойчивости видового разнообразия проточных систем. Красноярск: Препринт є80Б, 1988.-C. 32.

2. Omarov A.N. The kinetic approach to a problem of variety and stability ecosystem. International Conference M34 "Mathematical Modeling of Ecologycal Systems.- Dairk-Press, 2003.- p. 35

3. Бейсенби М.А. Модели, методы анализа и синтеза предельно устойчивых систем управ- ления. Автореф. дис. док. Алматы.1998.- C. 46.

4. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамиче- ских систем второго порядка. Москва: Наука, 1966.- C. 568.

5. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А.Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. Москва: Наука, 1976.- C.488.

6. Ляпунов А.М.Общая задача об устойчивости движения. Москва.: Изд-во АН СССР, 1948.- C.473

7. Арнольд В.И. Теория катастроф. Москва: Наука, 1990.-C.128

8. Постон Т., Стюарт И., Теория катастроф и ее приложения. Москва: Мир, 1980.- 600с.

9. Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах. Москва: Наука, 1990.- 296с.

Ермекбаева Ж.Ж.

Жемтiк-жыртқыш жүйесiн басқару үшiн бiр параметрлiк құрылымдық-орнықты бейнелеу сыныбын қолдану

Бұл жұмыста популяцияның көлемiн басқару механизмi ретiнде компенсаторлық тәсiл қарастырлған. Басқару заңы бiр параметрлiк құрылымдық-орнықты бейнелеу сыныбындаx³+k1x(бүгiлiс күйреуi үлгiсiнде) берiлген. Жүйенiң фа- залық бейнелерi мен популяцияның динамикасы келтiрiлген. Жемтiк-жыртқыш жүйесi үшiн адаптивтi басқару жүйесi құрастырылған.

Yermekbayeva J.J.

Use of single parameter structurally stable maps for the predator-prey system regulation

A “compensator effect” as the population regulation mechanism is presented. On the basis of predator-prey model the efficiency of the compensator mechanism as regards the stabilization of the population at a fixed level is shown. The operating factor is given in the form of structurally stable map – x³+k1x – fold catastrophe. Phase portraits and dynamics of the population are considered. An adaptive management system for nonlinear predator-prey system with saturation is constructed.

Поступила в редакцию 12.04.10 Рекомендована к печати 25.05.10