1
ИССЛЕДОВАНИЕ НАБЛЮДАЮЩЕГО УСТРОЙСТВА С
ПОВЫШЕННЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ РОБАСТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НА ОСНОВЕ ФУНКЦИЙ А.М.ЛЯПУНОВА
А.Ж. Скакова
Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева г. Астана, Казахстан. E-mail: [email protected]
Введение. Для современных задач управления характерны все возрастающая сложность, связанные неопределенностью в описаниях объекта управления и внешней среды. Следовательно, актуальной является проблема построения наблюдающего устройства обеспечивающего работоспособность при больших пределах изменения неопределенных параметров объекта управления. Такое наблюдающее устройство, реализующее оценку вектора состояния объекта управления с неопределенными параметрами, назовем робастным. В общей постановке исследование системы на робастную устойчивость состоит в указании ограничений на изменение параметров системы, при которых сохраняется устойчивость. Универсальным методом исследования устойчивости динамических систем является прямой метод А.М.Ляпунова [1,2].
Рассмотрим линейную стационарную замкнутую систему управления, описывающуюся следующим уравнением состояния с неопределенными параметрами
( ) ( ) ( ) ( )
.
t f t Bu t Ax
х t y(t)Cx(t)v(t), x(t0)x0,tt0 (1)
Здесь x(t)Rn – вектор состояния объекта, u(t)Rm, y(t)Rl – входной и выходной векторы, A,B,C – соответственно матрицы объекта управления, и наблюдения. Объект подвержен действию возмущений f(t) и «шума (погрешности) измерений» v t . Считается, что при работе системы доступны измерению процессы u(t),y(t),a x(t),f(t),v t – недоступны. Рассматривается задача получения оценки состояния объекта xˆ(t). Процесс xˆ(t), полученный с помощью некоторого алгоритма, должен в определенном (например, в асимптотическом) смысле приближаться к процессу x(t) (xˆ(t)x(t) при
t независимо от исходного начального состояния объекта x0.
Для полностью наблюдаемого стационарного объекта с одним входом и с одним выходом при отсутствии возмущений получена асимптотически точная оценка состояния, с наблюдающим устройством в форме однопараметрических структурно устойчивых отображений [3].
Для построения наблюдателя рассмотрим ошибки оценивания
)) ˆ( ) ( ( )
(t x t x t
и получим уравнение для ошибки
2 ), ( ) ( ) ( )
( )
(t A t LC t f t Lv t
(2) (t0)0 x0 xˆ0, tt0
Синтез наблюдателя заключается в выборе оператора L. Выбираем оператор L в форме
t k
k x t x t
L
1 2
2 1
1( ) ( )
)
( , (3) Пусть допустим, что существует функция Ляпунова
n i
Vi(1, 2,,n), 1,2,, , для которой антиградиент Vi/ задается вектором скорости системы т.е. через:
n i i
i
i V V V
dt d
...
2 1
, i1,...,n
Полная производная по времени от вектор-функции Ляпунова определяется как скалярное произведение градиента функций Ляпунова на вектор скорости т.е.
1 1 1 2 1
23 1 1 2 2
3 2 2 1
,..., )
( ,...,
) ( )
(
n n
n n
i n
i
i c ck a a a
dt d V dt
dV
(4)Отсюда из (4) имеем, что полное производное по времени от функций Ляпунова всегда получаются знакоотрицательной функцией.
Теперь по компонентам вектора градиента построим потенциальную функцию, т.е. функцию Ляпунова в виде
) ( ) 1 2(
) 1 ( ) 1 2(
) 1 ( ) 1 2(
1
) 2(
) 1 4 (
) 1 (
2 1 2
3 2 2
2 1
2 1 1
4 1 1
t a
t a
t a
a k c t
c V
n n
n
n
, (5) Положительная определенность функций Ляпунова будет определяться условиями: при c1 0
k an/c1, 1an1, 1an2,....,1a1 (6) Таким образом, за счет введения закона управления в форме однопараметрической структурно-устойчивых отображений при неопределенности параметра объекта управления стационарное состояние будет устойчивой при изменении параметров в пределах неравенства (6).
Литература:
1. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. – М., 1967. – 225 с.
2. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. – М., 1966. – 540 с.
3. Гильмор Р. Прикладная теория катастроф. – М., 1981. – Т.1. – 344 с.
